rabota3x

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 43 г.о. Самара
Научно - практическая конференция
исследовательских работ учащихся
Секция «Математика»
«Замечательные свойства параллелограмма»
Автор: ученица 8 «Б» класса
МБОУ СОШ № 43 г.о. Самара
Никитина Ксения
Руководитель: учитель
математики Кудашева О.А.
Самара 2015
Содержание
1. Введение
2. Теоретическая часть
2.1 Немного из истории
2.2 определение параллелограмма и его частные случаи
2.3 Известные свойства параллелограмма
3. Практическая часть
3.1 Дополнительные замечательные свойства параллелограмма
3.2 Способ построения биссектрисы параллелограмма
4. Выводы
5. Заключение
6. Перспектива исследования
7. Список литературы
8. Альбом – буклет «Замечательные свойства параллелограмма»
1. Введение
В 8 классе на уроках геометрии мы изучали тему «Четырёхугольники». Мы
познакомились с их различными видами, узнали свойства и признаки,
научились решать задачи. Особенно богат своими удивительными
свойствами квадрат. Знакомый нам с детского сада, он, оказывается,
объединил в себе свойства прямоугольника, ромба, да и параллелограмма.
Решали задачи, применяя полученные знания. Свойства параллелограмма
являются базовыми для всех перечисленных четырёхугольников.
Мне стало интересно, кто впервые коснулся этой темы, есть ли другие
свойства у параллелограмма, кроме тех, что изучается в школьном курсе
геометрии. К размышлению о дополнительных свойствах параллелограмма
меня подтолкнуло решение задачи №425 («Геометрия 7-9» Атанасян Л.С.)
Периметр параллелограмма АВСД равен 46см, АВ=14см. Какую сторону
параллелограмма пересекает биссектриса угла А? Найдите отрезки, которые образуются
при этом пересечении.
Обратилась с этим вопросом к учителю математики, и получила
предложение изучить специальную литературу по этому вопросу, а затем
изложить в исследовательской работе. Всё, что нового я узнала о свойствах
параллелограмма, я и представлю.
Актуальность данной темы в том, что знание дополнительных свойств
параллелограмма имеет большое значение при решении задач, в том числе и
заданий ОГЭ. Данное исследование, которое выходит за рамки нашей
школьной программы, поможет найти новые подходы
геометрических задач.
к решению
Применение дополнительных – замечательных
свойств параллелограмма делает решение задач более простым и позволяет
быстрее придти к нужному результату.
Объект исследования: параллелограмм
Предмет исследования: свойства параллелограмма
Цель: - найти и доказать разные дополнительные свойства параллелограмма;
- углубить свои знания по изучению свойств параллелограмма.
Задачи исследования:
- познакомиться с некоторыми фактами из истории геометрии по изучению
параллелограмма;
- изучить теоретический материал учебника и дополнительных источников
информации и найти новые свойства параллелограмма, которые не изучались
на уроке геометрии;
- оформить результаты, сделать соответствующие выводы.
Гипотеза исследования: свойства параллелограмма, изучаемые в школьном
курсе геометрии – не единственные, существуют и другие дополнительные,
обеспечивающие иной подход к решению геометрических задач.
Методы исследования:
- поисковый;
- аналитический;
- графический;
- сравнение и обобщение.
Практическая значимость работы определяется возможностью
использования данного материала при решении геометрических задач, при
доказательстве некоторых положений. Данную работу можно применять и в
методической работе учителям математики при изучении темы
«Параллелограмм и его свойства».
2. Теоретическая часть
2.1 Немного из истории...
Для начала я решила узнать, откуда появилось определение
параллелограмма.
Оказывается термин « параллелограмм» греческого происхождения и был
введён Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были
известны еще пифагорейцам.
В «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: в параллелограмме
противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а
диагональ разделяет его пополам. Евклид не упоминает о том, что точка
пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам. Он не
рассматривает ни прямоугольника, ни ромба.
Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и
появились в учебниках лишь в XVII веке. Все теоремы о параллелограммах
основываются непосредственно или косвенно на теореме Евклида о
свойствах параллелограмма.
Само же понятие параллелограмм от греч. Parallelos — параллельный и
gramme — линия. Поэтому слово «параллелограмм» можно перевести как
«параллельные линии».
2.2 Определение параллелограмма и его частные случаи
Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие
стороны попарно параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых.
Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и
ромб.
Прямоугольник - параллелограмм, все углы которого прямые.
Прямоугольник имеет все свойства параллелограмма, но так же имеет свое
собственное: Диагонали прямоугольника равны.
прямоугольник
Ромб - параллелограмм, все стороны которого равны. Ромб обладает очень
важным индивидуальным свойством: Диагонали ромба взаимно
перпендикулярны и делят его углы пополам.
ромб
Квадрат - равносторонний прямоугольник (или параллелограмм, у которого
все углы прямые, стороны равны между собой; или ромб, у которого все
углы прямые). Так как квадрат является и ромбом, и прямоугольником, и
параллелограммом он имеет все свойства вышеперечисленных фигур.
квадрат
2.3 Известные свойства параллелограмма
Свойство 1. В параллелограмме противоположные стороны равны
и противоположные углы равны.
Дано:
АВСD – параллелограмм
Доказать:
AB  CD, BC  AD
A  C , B  D
Доказательство:
1. Построим диагональ BD .
2. Треугольники АВД и СВД равны:
1) ВД – общая
2) ADB  CBD
3) BDC  DBA
3. Так как треугольники равны, то равны все соответственные элементы.
Свойство 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся
пополам.
Дано:
АВСD – параллелограмм
Доказать: AO  OC , BO  OD
Доказательство:
1. Треугольники
АОВ и СОД равны:
1)АВ = СД 2) ABD  CDB
3) ACD  BAC
2. Так как треугольники равны, то равны все соответственные элементы.
3. Практическая часть
К вопросу о новых дополнительных свойствах параллелограмма я
попыталась подойти практически и аналитически. Изображая различные
параллелограммы, при помощи транспортира проводила в них биссектрисы,
высоты. Анализировала рисунки и пыталась сделать выводы. Так же я
использовала бумажные модели параллелограммов. Проведенная работа
позволила мне сформулировать и доказать свойства биссектрис
параллелограмма, а так же придумать способ проведения биссектрисы
параллелограмма без транспортира.
3.1 Дополнительные – замечательные свойства параллелограмма
а) Биссектриса угла параллелограмма отсекает
от параллелограмма равнобедренный треугольник
В
А
М
С
Д
Дано:
АВСD - параллелограмм
АМ – биссектриса <А
Доказать:
∆ АВМ – равнобедренный.
Доказательство:
Т.к. АМ – биссектриса угла А, то <1 = < 2.
Т.к. АВСD – параллелограмм, то АД // ВС , значит <2 = <3 как внутренние
накрест лежащие углы для секущей АМ.
Значит, < 1 = < 3, тогда ∆ АВМ – равнобедренный.
б) Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под
прямым углом
В
Е
К
С
Оо
А
Д
Дано:
АВСD – параллелограмм
АК и DЕ – биссектрисы
Доказать:
<АОD – прямой
Доказательство:
Рассмотрим ∆ АОD: < 1 = < 2 = ½ < А, < 3 = < 4 = ½ < D (по свойству
биссектрис)
< А + < D = 180˚ (сумма соседних углов).
< 2 + < 3 = ½ < А + ½ < D = ½ (< А + < D) = ½ * 180˚ = 90˚
Значит, <АОD - прямой .
Из предыдущего доказательства можно сделать ещё два вывода:
1. Биссектрисы параллелограмма пересекутся внутри
параллелограмма, если меньшая сторона больше половины
соседней стороны (рис. 1)
В
А
С
Д
рисунок 1
2. Биссектрисы соседних углов в параллелограмме пересекутся вне
параллелограмма, если меньшая сторона меньше половины соседней
стороны (рис. 2)
В
О
А
С
Д
рисунок 2
Биссектрисы соседних углов параллелограмма могут пересекать
противоположную сторону
М
или
её продолжение
К
а
в
а > в /2
а < в
М
К
а > в
в) Биссектрисы противоположных углов равны и параллельны
В
К
А
С
М
Д
Дано:
АВСD – параллелограмм
АК и СМ – биссектрисы
АВ = ВК = СD = DМ
Доказать:
АК = СМ; АК // СМ
Доказательство:
Рассмотрим прямые АК и СМ:
< 2 = < 6 (соответственные)→ АК // СМ
Так как АМ // КС (по свойству противоположных сторон параллелограмма),
а АК // СМ, то АКСМ – параллелограмм.
Из этого следует, что АК = СМ (по свойству противоположных сторон
параллелограмма).
г) Все биссектрисы, пересекаясь, образуют прямоугольник
В
О
А
К
С
Д
Е
F
Дано:
АВСD – параллелограмм
АК, ВF, CE, DО – биссектрисы
Доказать:
Образовался прямоугольник
По теореме «биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются
под прямым углом» АК и DО, пересекаясь, образуют прямой угол; АК и ВF,
пересекаясь, образуют прямой угол; ВF и CF, пересекаясь, образуют прямой
угол; ОD и СЕ, пересекаясь, образуют прямой угол. Значит, образовался
четырёхугольник, у которого, все углы прямые. Значит, это прямоугольник.
д) Высоты, опущенные из одной вершины, образуют угол, равный углу
параллелограмма при соседней вершине.
В
С
Р
А
Д
К
Дано:
АВСD – параллелограмм
ВК и ВР - высоты
Доказать:
< КВР = < ВСД
Доказательство:
< КВС = 900
< РВС= 900 - < КВР
Кроме того, из треугольника ВСР: < РВС = 900 - < ВСР
< РВС= 900 - < КВР
< РВС = 900 - < ВСР, следовательно: < КВР = < ВСР.
В работе были доказаны свойства биссектрисы параллелограмма. Уместно
показать, как строить биссектрису в параллелограмме без циркуля и
транспортира.
3.2 Способ построения биссектрисы параллелограмма без транспортира.
Мы узнали, что биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный
треугольник. Циркулем измеряем сторону АВ и откладываем это расстояние
из точки В на прямой ВС, делаем засечку, обозначаем точку буквой К. Таким
образом АВ = ВК.
Проводим биссектрису < А – АК.
В
К
А
С
Д
4. Выводы
Свойства биссектрис параллелограмма.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный
треугольник.

Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под
прямым углом

Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются на
большей стороне параллелограмма, если она в два раза больше
меньшей стороны.

Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются внутри
параллелограмма, если меньшая сторона больше половины большей
стороны

Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются вне
параллелограмма, если меньшая сторона меньше половины большей
стороны

Биссектрисы соседних углов параллелограмма могут пересекать
противоположную сторону или ее продолжение

Биссектрисы соседних углов параллелограмма равны и параллельны

Биссектрисы параллелограмма, пересекаясь, образуют прямоугольник.
Свойство высот параллелограмма:

Высоты, опущенные из одной вершины, образуют угол, равный углу
параллелограмма при соседней вершине.
Применение данных свойств позволяет сделать решения задач более
простыми и быстрее придти к нужному результату, а так же открывает
широкий спектр для решения задач на построение.
5. Заключение
Целью моей работы было:
- найти и доказать разные дополнительные свойства параллелограмма;
- углубить свои знания по изучению свойств параллелограмма.
В ходе исследования мною были найдены свойства биссектрис и высот
параллелограмма. Я это показала графически и доказала рассуждением.
Значит, находит подтверждение и гипотеза исследования: свойства
параллелограмма, изучаемые в школьном курсе геометрии – не
единственные, существуют и другие дополнительные, обеспечивающие иной
подход к решению геометрических задач.
Рассмотрение
вопроса
о
замечательных
свойствах
параллелограмма
позволило мне приобрести для себя новые знания. Я считаю, что
применение этих свойств делает решение задач более простым и позволяет
быстрее придти к нужному результату.
В ходе работы я создала альбом - буклет
который
включил
иллюстративные
для моих одноклассников, в
материалы
и
доказательства
замечательных свойств параллелограмма. Думаю, что это их заинтересует,
расширит математический кругозор, поможет в решении геометрических
задач.
6. Перспектива исследования
Совсем недавно, на уроках геометрии мы изучили новую теорему:
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади
этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих
равные углы.
Мне кажется, что используя эту теорему, можно найти ещё замечательное
свойство высот параллелограмма.
Я попробую найти его в ближайшее время.
7. Список литературы
1.Атанасян Л.С. «Геометрия 7-9» Учебник для общеобразовательных
учреждений, изд.» Просвещение», Москва 2009.
2. Глейзер Г.И. История математики в школе. М.,1983.
3. Депман И.Я. «за страницами учебника математики» Москва,
изд. «Просвещение», 1989г.
4. Сайты сети Интернет
ПРИЛОЖЕНИЕ
Альбом
«Замечательные свойства параллелограмма»
Параллелограмм и его свойства
Свойство 1. В параллелограмме противоположные
углы и противоположные стороны равны.
Дано:
АВСD – параллелограмм
Доказать:
AB  CD, BC  AD
A  C , B  D
B
C
A
D
1. Построим диагональ BD
2. Треугольники ABD  CBD равны:
1) BD  общая ; 2) ADB  CBD ; 3) BDC  DBA
3. Так как треугольники равны, то равны все
соответственные элементы.
Параллелограмм и его свойства
Свойство 2. Диагонали параллелограмма точкой
пересечения делятся пополам.
Дано:
АВСD – параллелограмм
Доказать:
B
C
O
AO  OC , BO  OD
A
1. Треугольники AOB  COD равны:
1)
D
AB  CD ; 2) ABD  CDB ; 3) ACD  BAC
2. Так как треугольники равны, то равны все
соответственные элементы.
Биссектриса угла параллелограмма отсекает
от параллелограмма равнобедренный треугольник
М
В
С
3
1
Дано:
АВСD - параллелограмм
АМ – биссектриса <А
2
Доказать:
∆ АВМ – равнобедренный.
D
А
Доказательство:
Т.к. АМ – биссектриса угла А, то <1 = < 2.
Т.к. АВСD – параллелограмм, то АД // ВС , значит <2 = <3
как внутренние накрест лежащие углы для секущей
АМ.
Значит, < 1 = < 3, тогда ∆ АВМ – Равнобедренный.
Биссектрисы смежных углов параллелограмма
пересекаются под прямым углом
В
Е
К
О
С
4
1
2
А
3
Дано:
АВСD – параллелограмм
АК и DЕ – биссектрисы
Доказать:
<АОD - прямой
D
Доказательство:
Рассмотрим ∆ АОD: < 1 = < 2 = ½ < А, < 3 = < 4 = ½ < D (по свойству
биссектрис)
< А + < D = 180˚ (сумма соседних углов).
< 2 + < 3 = ½ < А + ½ < D = ½ (< А + < D) = ½ * 180˚ = 90˚
Значит, <АОD - прямой .
Биссектрисы соседних углов пересекаются на большей стороне
параллелограмма, если она в 2 раза больше смежной стороны
Дано:
О
С АВСD – параллелограмм
В
АО и DО – биссектрисы
О є ВС
Доказать:
ВС в 2 раза больше АВ.
А
D
Доказательство:
Рассмотрим ∆АВО. Он равнобедренный (по свойству биссектрисы
параллелограмма): АВ = ВО.
Рассмотрим ∆СDО. Он равнобедренный (по свойству биссектрисы
параллелограмма): CD = CO.
Т.к. СD = АВ (противоположные стороны параллелограмма), то ВО = СО.
Т.к. АВ = ВО, а ВО = СО, значит АВ = ½ ВС, т.е. ВС в 2 раза больше АВ.
Из предыдущего доказательства можно сделать ещё два вывода:
Биссектрисы параллелограмма
пересекутся внутри
параллелограмма, если меньшая
сторона больше половины соседней
стороны (рис. 1)
Биссектрисы соседних углов в
параллелограмме пересекутся вне
параллелограмма, если меньшая
сторона меньше половины
соседней стороны (рис. 2)
О
В
С
В
С
О
А
Рис. 1
D
А
Рис. 2
D
Биссектрисы соседних углов параллелограмма могут
пересекать противоположную сторону
или её продолжение
M
K
M
K
a
a
b
b
a>b/2, a<b
a>b
Способ построения биссектрисы параллелограмма без транспортира.
В
А
К
С
D
Мы узнали, что биссектриса
отсекает от параллелограмма
равнобедренный треугольник.
Циркулем измеряем сторону
АВ и откладываем это
расстояние из точки В на
прямой ВС, делаем засечку,
обозначаем точку буквой К.
Таким образом АВ = ВК.
Проводим биссектрису <А –
АК.
Биссектрисы противоположных углов равны и параллельны
К
В
3
Дано:
АВСD – параллелограмм
АК и СМ – биссектрисы
АВ = ВК = СD = DМ
Доказать:
АК = СМ; АК // СМ
С
4
5
1
2
А
6
D
М
Доказательство:
Рассмотрим прямые АК и СМ:
< 2 = < 6 (соответственные)→ АК // СМ
Так как АМ // КС (по свойству противоположных сторон
параллелограмма), а АК // СМ, то АКСМ – параллелограмм. Из
этого следует, что АК = СМ (по свойству противоположных сторон
параллелограмма).
Все биссектрисы, пересекаясь, образуют прямоугольник
О
В
А
E
F
К
С
Дано:
АВСD – параллелограмм
АК, ВF, CE, DО – биссектрисы
Доказать:
Образовался прямоугольник
D
По теореме «биссектрисы соседних углов параллелограмма
пересекаются под прямым углом» АК и DО, пересекаясь, образуют
прямой угол; АК и ВF, пересекаясь, образуют прямой угол; В F и CF,
пересекаясь, образуют прямой угол; О D и СЕ, пересекаясь,
образуют прямой угол. Значит, образовался четырёхугольник, у
которого, все углы прямые. Значит, это прямоугольник.