муниципальное бюджетное вечернее (сменное) общеобразовательное учреждение

муниципальное бюджетное вечернее (сменное) общеобразовательное учреждение
«Вечерняя (сменная) общеобразовательная школа № 17»
(заочная форма обучения)
ЗАЧЕТЫ
ПО МАТЕМАТИКЕ
на 2013 - 2014 учебный год
Фамилия
___________________________________________________________________
Имя
__________________________________________________________________
Отчество
__________________________________________________________________
Выдана
«_______»_______________________2013года
Директор школы Балахонова Татьяна Аркадьевна
Место
для
фото
Заместители директора по УВР:
Зенкова Виктория Аркадьевна,
Липская Светлана Викторовна
Классный руководитель:
____________________________________________________
1
Указания заочникам
1.
Продолжительность учебного года в вечерней (сменной) школе:

с 01 сентября по 31 мая - 5 – 8, 10, 11 классы;

с 01 сентября по 25 мая - 9, 12 классы.
2.
Согласно ст.176 Трудового кодекса РФ работникам, обучающимся в вечерних
(сменных) общеобразовательных учреждениях, в период учебного года устанавливается
по их желанию рабочая неделя, сокращенная на один рабочий день или на
соответствующее им количество рабочих часов с выплатой 50% среднего заработка.
Выпускникам 9, 12 классов работодатель предоставляет дополнительные отпуска с
сохранением среднего заработка для сдачи выпускных экзаменов в 9 классе – 9
календарных дней, в 12 классе – 22 календарных дня.
3.
Обучающиеся обязаны регулярно, по расписанию, посещать учебные занятия и
своевременно сдавать зачеты.
4.
Каждый обучающийся 10 класса в течение учебного года должен сдать 7 зачетов
по математике (согласно графику сдачи зачетов). Зачет состоит из двух частей:
практической (письменная контрольная работа) и теоретической (вопросы по зачетному
разделу).
5.
Сдача зачетов в установленные сроки является обязательной. Обучающиеся, не
сдавшие в течение полугодия предусмотренные программами зачеты, не выполнившие
контрольные работы и не ликвидировавшие задолженности до конца учебного года,
отчисляются из школы (старше 18 лет) или остаются на повторный курс обучения (до 18
лет).
6.
Обучающимся 5-8,10, 11 классов, имеющим задолженность по одному предмету на
конец учебного года, предоставляется право ликвидировать ее с 16 по 30 августа.
7.
Обучающиеся, не сдавшие зачеты к 01 сентября хотя бы по одному предмету,
остаются на повторный курс обучения (до 18 лет) или отчисляются из школы (старше 18
лет).
8.
Обучающиеся, не приступившие к занятиям по неуважительным причинам в
течение 2 месяцев после их зачисления:

становятся на персональный прокурорский контроль (до 18 лет);

исключаются их школы, при этом школа обязана сообщить об этом по месту
работы (старше 18 лет).
2
МАТЕМАТИКА
Учитель ____Липская Светлана Викторовна_____________________________
Кабинет № _29_
Зачет № 1. Срок сдачи – «02_» ____октября_______ 20_13_ года
«Числовые функции»
Содержание курса. Определение функции. Способы задания функции.Нахождение
области
определения
функции
заданной
аналитически.
Чтение
графика
(практика).Область определения и область значений функции.Монотонность
функции.Четность функции. Алгоритм исследование функции на четность. Обратная
функция. График обратной функции.
В ходе изучения темы обучающийся должен уметь:
 строить и читать графики основных
функций:
;
 находить область определения и область значений функции;
 исследовать функцию на четность, монотонность, ограниченность;
 находить обратную функцию.
Контрольная работа №1 «Числовые функции»
М–10
ВАРИАНТ 1
1. Найдите область определения
функции f ( x)  x  3
20. Найдите значения функции
f ( x)  x 2  1 в точках 1; -x.
30.
Постройте
график
функции
f ( x)  x  2 .
4. Докажите, что:
а) функция
является
f ( x)  x 3  2 x
нечетной;
М–10
ВАРИАНТ 2
1. Найдите область определения
функции y  3  x
20. Найдите значения функции
f ( x)  1  x 2 в точках 2;-x.
30. Постройте график функции
f ( x)  3x  6
4. Докажите, что:
x2
а) функция f ( x)  2
является
x 5
четной.
является б) f ( x)  x 3  5x является нечетной.
5. Найдите функцию, обратную данной
четной.
5. Найдите функцию, обратную данной y  3x  4
б) функция
f ( x) 
x2  4
x2
y  2x  3
3
ЗАДАНИЕ К ЗАЧЕТУ № 1 «Числовые функции»
КАРТОЧКА 1
№1. На рисунке изображен график
функции у = f(х).
КАРТОЧКА 2
№1. На рисунке изображен график
функции у = f(х).
y
y
1
1
x
0 1
0 1
Укажите:
x
Укажите:
а) область определения функции;
б) монотонность;
в) ограниченность;
г) наибольшее и наименьшее значения
функции;
д) непрерывность;
е) область значений;
ж) выпуклость.
а) область определения функции;
б) монотонность;
в) ограниченность;
г) наибольшее и наименьшее значения
функции;
д) непрерывность;
е) область значений;
ж) выпуклость.
№ 2. Найти область определения
функции:
№ 2. Найти область определения
функции:
( x  2)( x  9)
3
y

а) y 
;
б)
;
x5
49  x 2
1
в) y  x 
.
x2
10
а) y  2
; б) y 
x 9
1
в) y  x  2  .
x
№ 3. Исследуйте функцию на четность.
№ 3. Исследуйте функцию на четность.
а) y  5  3х 3 ; б) y 
 3x  1
.
1 х4
2
№ 4. Постройте и прочитайте график
функции:
x
а) y  х 2  2 х 4  1; б) y  2 .
х 1
№ 4. Постройте и прочитайте график
функции:
6
3
а) y  х  1; б) y  .
х
№ 5. Найдите множество значений
функции, а также промежутки
возрастания и убывания:
а) y  x 2  6 x  3 ; б) y 
x 2  9 x  10
;
x7
3x  1
.
x2
а) y  х  1; б) y  .
х
№ 5. Найдите множество значений
функции, а также промежутки
возрастания и убывания:
а) y   x 2  6 x  5 ;б) y 
4
5x  8
x2
№ 6. Для заданной функции найдите
обратную функцию: а) y  5 х  2; б)
y
№ 6. Для заданной функции найдите
обратную функцию: а) y  2  4 х; б)
х 1
.
2х  3
y
3  2х
.
5х  1
Зачет № 2. Срок сдачи – «_16___» __октября______ 2013 года
«Начала стереометрии»
Содержание. История возникновения и развития геометрии. Основные понятия
стереометрии. Пространственные фигуры. Моделирование многогранников.
В ходе изучения темы обучающийся должен уметь:
 использовать основные понятия и аксиомы стереометрии при решении стандартных
задач;
 изображать развертку многогранника;
 решать несложные задачи на доказательство.
Контрольная работа № 2 « Начала стереометрии»
М–10
ВАРИАНТ 1
10. Прямые α и b пересекаются в точке
O. Прямые c и d, не проходящие через
точку O, пересекают каждую из прямых α
и b. Докажите, что прямые c и d лежат в
одной плоскости.
20. Через точку пересечения прямых АВ и
АС проведена прямая d, не лежащая с
ними в одной плоскости. Докажите, что
прямые d и ВС не пересекаются.
3. Докажите, что через любые две точки
можно провести хотя бы одну плоскость.
М–10
ВАРИАНТ 2
10. Дана прямая α и не лежащая на ней
точка В. Через точку В проведены три
прямые, пересекающие прямую
α.
Докажите, что все эти прямые лежат в
одной плоскости.
20. Прямая b лежит в плоскости β, а
прямая c пересекает плоскость β в точке,
не принадлежащей прямой b. Докажите,
что прямые b и c не пересекаются.
3. Прямая m лежит в плоскости α.
Докажите, что через прямую m можно
провести плоскость γ, отличную от α.
Зачет № 3. Срок сдачи – «_13_» _ноября______ 2013 года
«Параллельность в пространстве»
Содержание. Параллельность прямых в пространстве. Параллельность прямой и
плоскости. Параллельность двух плоскостей. Параллельное проектирование.
Параллельные проекции плоских фигур. Изображение пространственных фигур. Сечения
многогранников.
В ходе изучения темы обучающийся должен уметь:
5
 распознавать возможные случаи взаимного расположения прямых и плоскостей (на
окружающих предметах, стереометрических моделях и т.д);
 изображать пространственные фигуры на плоскости;
 строить сечения многогранников;
 решать несложные задачи на доказательство.
Контрольная работа № 3 «Параллельность в пространстве»
М–10
ВАРИАНТ 1
10.Отрезок АВ не пересекает плоскость ,
точка С – середина отрезка АВ. Через
точки А, В, С проведены параллельные
прямые, пересекающие
в точках
.Найти А если В =27см, С =16см.
20.Плоскость пересекает стороны АВ и
АС треугольника АВС в точках и ,
причём
сторона
ВС
параллельна
плоскости . Найти АС, если
=6см, а
ВС:
= 9:4.
3.В параллельных плоскостях и β взяты
соответственно отрезки
и
так, что
отрезки
пересекаются в точке О.
Найти О , если
: =3:7 и =12см.
4.В кубе АВСD
постройте сечение
плоскостью, проходящей через точки
А,В, . Найти периметр сечения, если
ребро куба равно 2см.
М–10
ВАРИАНТ 2
10.Отрезок АВ не пересекает плоскость ,
точка С – середина отрезка АВ. Через
точки А, В, С проведены параллельные
прямые, пересекающие
в точках
.Найти В если А =17см, С =24см.
20.Плоскость пересекает стороны АВ и
АС треугольника АВС в точках и ,
причём
сторона
ВС
параллельна
плоскости . Найти ВС, если
=8см, а
ВА: А = 7:3.
3.В параллельных плоскостях и β взяты
соответственно отрезки
и
так, что
отрезки
пересекаются в точке О.
Найти
, если О:О =4:9 и =25см.
4.В кубе АВСD
постройте сечение
плоскостью, проходящей через точки
А,В,К, где точка К-середина ребра С .
Найти периметр сечения, если ребро куба
равно 2см.
ЗАДАНИЕ К ЗАЧЕТУ № 3 «Параллельность в пространстве»
1. Сформулируйте аксиомы стереометрии.
2. Докажите признак параллельности прямой и плоскости.
3. Через прямыеа и в нельзя провести одну плоскость. Могут ли они пересекаться?
4. Прямая РО, не лежащая в плоскости АВС, параллельна стороне АВ параллелограмма
АВСD. Выясните взаимное расположение прямых РО и АD и найдите угол между ними,
если угол АDС равен 1450.
5. Параллелограммы АВСD и АВС1D1 лежат в разных плоскостях. Докажите, что
четырехугольник СDD1C1 - параллелограмм.
6
6. Перечислите случаи взаимного расположения прямых в пространстве. Приведите
примеры соответствующих прямых на модели куба.
7. Докажите признак параллельности двух плоскостей.
8. Прямые АВ и СК пересекаются. Могут ли прямые АС и ВК быть скрещивающимися?
9. В треугольнике АВС середины сторон АВ и ВС лежат в плоскости  , а сторона АС не
лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая АС параллельна плоскости  .
10. Точки А и С лежат в плоскости  , ЕК параллельна этой плоскости. Найдите длину
отрезка АС, если ЕК = 5см и
АЕ 1
 .
АВ 2
11. Какие прямые в пространстве называются параллельными? Приведите примеры.
12. Докажите, что если одна из двух параллельных прямых параллельна данной
плоскости , а другая имеет с плоскостью общую точку, то эта прямая лежит в данной
плоскости.
13. Прямые а и с параллельны, а прямые в и с пересекаются. Могут ли прямыев и с
быть параллельными?
14. Прямая q, не лежащая в плоскости АВС, параллельна основанию АD трапеции
ABCD. Выясните взаимное расположение прямыхq и CD и найдите угол между ними,
если АDС  120 0 .
15. Точка Е не лежит в плоскости параллелограмма АВСD. Докажите, что прямая
проходящая через середины отрезков ЕА и ЕВ , параллельна стороне СD
параллелограмма.
16. Какие прямые называются пересекающимися? Приведите примеры таких прямых
на модели тетраэдра.
17. Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
18. Даны параллельные прямые а и в и плоскость  , проходящая через прямую в.
Пересекает ли прямую а плоскость  ?
19. Три отрезка АА1, ВВ1, СС1, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину
– точку О. Докажите. Что плоскости АСВ и А1С1В1 параллельны.
20. Плоскость  проходит через вершины В и С треугольника АВС, но не совпадает с
плоскостью этого треугольника. На сторонах АВ и АС треугольника взяты
соответственно точки К и Е так, что ЕК = 6 см и параллелен плоскости  ,
АК 2
 .
АВ 5
Найдите длину отрезка ВС.
21. Перечислите случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве.
22. Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными
плоскостями, равны.
23. Могут ли две плоскости иметь: а) только одну общую точку; б) только две общие
точки; в) только одну общую прямую? Ответ обоснуйте.
24. Из точки К проведены до пересечения с плоскостью  три луча. Точки
пересечения лучей с плоскостью соединены отрезками АВ = 6 см, СВ = 8 см. СА = 10 см.
Найдите длину ломаной, проходящей через середины отрезков КА, КВ, КС.
7
25. Постройте сечение куба АВСDА !В1С! D1 плоскостью, проходящей через ребра АВ
и С! D1. Какая фигура получилась в сечении?
26. Точка К не лежит в плоскости прямоугольника АВСD. Как расположена прямая
СD по отношению к плоскости АВК? Ответ обоснуйте.
27. В тетраэдре АВСD точки М, К, Р – середины ребер АВ, АС, ВD. Докажите, что
плоскость МКР параллельна плоскости АСD. Вычислите площадь треугольника МРК,
если площадь треугольника АСD равна 56 см2
28. В кубе АВСDА!В1С! D1 проведите сечение плоскостью через ребро СС1 и прямую,
проходящую через точку пересечения диагоналей грани АА1DD1.
29. Какие плоскости называются параллельными? Приведите примеры на моделях
геометрических тел.
30. Докажите, что если плоскость проходит через данную прямую, параллельную
другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей
параллельна данной прямой.
31. Могут ли скрещивающиеся прямые а и в быть параллельными прямой с? Ответ
обоснуйте.
32. Через точки А, В и середину М отрезка АВ проведены параллельные прямые
пересекающие некоторую плоскость  в точках А1, В1, М1 соответственно. Найдите
длину отрезка АА1, если ММ1 = 10 см, ВВ1 = 8 см, причем отрезок АВ не пересекает
плоскость  .
33.
Постройте сечение параллелепипеда АВСDА !В1С! D1 плоскостью АВС1.
Зачет № 4. Срок сдачи – «_11__» _декабря___ 2013 года
«Перпендикулярность в пространстве»
Содержание. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых.
Перпендикулярность прямой и плоскости. Ортогональное проектирование.
Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол.
Перпендикулярность плоскостей.
В ходе изучения темы обучающийся должен уметь:
 использовать теоремы при решении задач;
 находить угол между плоскостями;
 находить площадь ортогональной проекции.
Контрольная работа № 4 «Перпендикулярность в пространстве»
М–10
ВАРИАНТ 1
1 .В перпендикулярных плоскостях
расположены (соответственно) точки А и
В. К линии пересечения плоскостей
проведены перпендикуляры АС и ВД,
причём АС=12см, а ВД=15см.Найти длину
АВ, если расстояние между точками С и Д
0
М–10
ВАРИАНТ 2
1 .В перпендикулярных плоскостях
расположены (соответственно) точки А и
В. К линии пересечения плоскостей
проведены перпендикуляры АС и ВД,
причём АС=4 см, а ВД=16см.Найти
длину СД, если расстояние между точками
0
8
равно 16см.
20.Через
середину
Д
катета
ВС
прямоугольного
(угол В-прямой)
проведена прямая ДМ перпендикулярная
плоскости АВС. Найти расстояние:
а) от прямой ДМ до гипотенузы АС, если
ВС=8см, АС=17см;
б) от прямой ДМ до катета АВ.
3.В
прямоугольном
параллелепипеде
ABCDA1B1C1D1 найдите угол между АС и
ВС1, если АВ=4, ВС=6, ВВ1=7.
4.Квадрат АВСД и прямоугольник А Д с
общей стороной АД лежат в двух
перпендикулярных плоскостях. Найдите
площадь
квадрата,
если
А =8см,
С =10см.
А и В равно 20см.
20.Через
середину
К
катета
АВ
прямоугольного
(угол В-прямой)
проведена прямая ЕК перпендикулярная
плоскости АВС. Найти расстояние:
а) от прямой ЕК до гипотенузы АС, если
ВС=5см, АВ=12см;
б) от прямой ЕК до катета ВС.
3.В
прямоугольном
параллелепипеде
ABCDA1B1C1D1 найдите угол между АС и
ВС1, если DC=3, ВС=7, АА1=5.
4.Квадрат АВСД и прямоугольник А Д с
общей стороной АД лежат в двух
перпендикулярных плоскостях. Найдите
площадь прямоугольника, если площадь
квадрата равна 9 , а В = см.
ЗАДАНИЕ К ЗАЧЕТУ № 4 «Перпендикулярность в пространстве»
1.Из точки к плоскости проведен перпендикуляр длиной 5см и наклонная длиной х см,
угол между наклонной и ее проекцией на плоскость 30 . Найдите длину наклонной.
2.Из точки к плоскости проведен перпендикуляр длиной 6см и две равные наклонные
длиной 10см. Угол между проекциями равен 90 . Найдите расстояние между
основаниями наклонных.
3.В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12см и 5см, угол между
диагональю и высотой 45 .Найдите высоту прямоугольного параллелепипеда.
4. Двугранный угол равен 90 . На разных гранях двугранного угла выбраны точки,
удаленные от ребра угла на расстоянии 12 и 9 см. Найдите расстояние между этими
точками.
Зачет № 5. Срок сдачи – «_19__» _февраля__ 2014 года
«Тригонометрические функции»
Содержание. Числовая окружность на координатной плоскости. Синус, косинус,
тангенс, котангенс. Тригонометрические функции числового аргумента. Формулы
приведения. Функции у = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx, их свойства. Построение и
преобразование графиков тригонометрических функций.
В ходе изучения темы обучающийся должен уметь:
 переводить градусную меру угла в радианную и наоборот;
 определять значения функции по значению аргумента при различных способах
задания функции;
 строить графики у = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx и описывать их свойства.
9
Контрольная работа № 5 «Тригонометрические функции»
М–10
1. Вычислите:

6

2sin
4
ВАРИАНТ 1
М–10
1 Вычислите:

4
а) 2sin
+ tg ;
а) cos
б)
+ 2 cos ;

4
- sin
б) 0,5 cos
в) cos 810°.
20. Упростите: (1 + tg ²α) cos ²α – 1.
30. Докажите тождество:

3
3
;
2

- 3 sin ;
3
в) sin 540°.
2 Упростите: 1 – sin ²α (1 + ctg ²α).
0
3 . Докажите тождество:
(1 – sin ²α)(1 + tg ²α) = 1.
1
1

 1.
2
1  tg  1  ctg 2 
4. Вычислите значение каждой
тригонометрических функций, если:
sinα = 

2
ВАРИАНТ 2
из 4. Вычислите значение каждой
тригонометрических функций, если:
5 3
;
   2 .
13 2
из
1
2
cosα =  ; 90° <α<180°.
5. Постройте график функции
у = 3 – 2 cos (x - 1).
5. Постройте график функции
у = 2 – 3 sin (x - 1).
ЗАДАНИЕ К ЗАЧЕТУ № 5 «Тригонометрические функции»
1. Изобразите на единичной окружности угол поворота, равный 1500, 2100, 3900, 600,
1450, - 450, - 900, - 1800,
3
7
  2

, ,
,- ,,.
4
6
2 4 3
6
2. В какой четверти лежит угол  , если:
 = 1790,
 = 3250,
 = - 1500,
=

,
3
=
5
,
4
=-
 = - 100,
3
,
4
=-
10
.
3
3. Выразите в радианной мере углы 300, 450, 600, 900, 1900, 2500, 3200, 4500. Какой
формулой необходимо воспользоваться при переводе градусной меры угла в радианную?
4. Дайте определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла  . Для каких
значений  имеет смысл каждое из выражений: sin  , cos  , tq  , ctq  ?
5. Какие знаки имеют синус, косинус, тангенс и котангенс угла  в каждой из
координатных четвертей?
6. Какой знак имеет: sin 1790, cos 4100, tq 1450, ctq 2880, sin
5
3
2

, cos , ctq , tq ?
6
4
3
4
7. Найдите значение выражения:
3






+ 3 tq - ctq ;
б) sin (- ) + 3 cos - tq + ctq
2
4
2
4
3
6
3
3





в) 2 sin - 3 tq + ctq () – tq  ;г) 3 tq (- ) + 2 sin - 3 tq 0 – 2 ctq
2
4
6
4
4
4
а) 2 sin  - 2 cos
10
3
3

+ 4 cos 0 – 3 sin + cos  ;е) sin (-  ) – cos (- ) + 2 sin 2 - tq  ;
2
2
2







ё) 3 – sin2 + 2 cos2 - 5 tq2 ж) 3 sin2 - 4 tq2 - 3 cos2 + 3 ctq2
2
2
4
3
4
6
2
д) 5 sin
8.
Используя определения синуса и косинуса с помощью единичной окружности,
выведите основные тригонометрические тождества.

1
    . Найдите: а) sin  , если cos  = - 0,6; б) cos  , если sin  =
2
3
15
в) tq  , если cos  = - ; г) sin  , если ctq  = -2.
17
9. Известно,
10. Найдите значения тригонометрических функций угла  , если известно, что:
а) sin  =
3

и 0  
5
2
в) tq  = -
б) cos  =

3
 
и
2
3
8
и  - угол I четверти
17
г) ctq  = - 2,5 и  - угол IV четверти
11.Упростите выражения:
а) 1 – cos2  ; б) sin2  - 1; в) cos2  + ( 1 – sin2  ) ; г) sin2  + 2 cos2  - 1
д) ( 1 - sin  )(1 + sin  ); е) (cos  - 1)( cos  +1); ё) 1 - sin2  - cos2  ;
ж) cos2  - (1 - 2 sin2  ); з) sin  cos  tq  ;и) sin  cos  ctq  - 1;
1  sin 
1
1
 tq ; н)

cos 
1  cos  1  cos 
12.Докажите, что при всех допустимых значениях  значение выражения не
к) sin2  + cos2  +tq2  ; л) tq  ctq  + ctq2  ;м)
зависит от  :
а)
1  sin  1  sin 
sin 2   cos 2   1
1  2 cos  sin 
1
1


б)
в)
г)
2
2
2
2
(sin   cos  )
1  tq  1  ctq 
cos 
cos 
sin 
д) (sin  +cos  )2 – 2sin  cos  е) sin4  + cos4  +2sin2  cos2 
ё)
2  sin 2   cos2 
3sin 2   3 cos2 
13. Докажите тождество:
а) (sin  +sin  )(sin  - sin  ) – (cos  +cos  )( cos  - cos  ) = 0;
cos2  ; в)
cos 2   sin 2 
1  4 sin 2  cos 2 
2
2
=sin
cos
г)


; (sin   cos ) 2 +2sin  cos  =1;
ctq2  tq2
cos3   sin 3 
2
=cos  - sin  ;е) (1+tq  )2 + (1 - tq  )2 =
cos 2 
1  sin  cos 
cos 
cos 
tq  tq

ё)
= 2tq  ;
ж)
= tq  tq 
ctq  ctq
1  sin  1  sin 
д)
14. Запишите формулы приведения:
а)

2

б) ctq2  - cos2  = ctq2 
б)   
в)
3

2
г) 2  
15. Опишите построение и постройте графики функций:
11

6
x
2
а) y = 2sin(3x - )-1; б) y = - cos( 

4
)+2;
sin x, x  0
16. Постройте и прочитайте график функцииf(x) = 
 x, x  0
Зачет № 6. Срок сдачи – «_09__» _апреля_ 2014 года
«Тригонометрические уравнения»
Содержание. Арккосинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс. Простейшие
тригонометрические уравнения. Решение уравнений вида: cost = a, sint = a, tgt = a, ctgt =
a. Решение уравнений: методом замены переменной, методом разложения на множители,
решение однородных уравнений.
В ходе изучения темы обучающийся должен уметь:
 определение арккосинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса;
 основные способы решения тригонометрических уравнений.
Контрольная работа № 6 «Тригонометрические уравнения»
М–10
1. Вычислите: а)
arcsin 1  arcsin
ВАРИАНТ 1

1
3

 arcsin  

2
2



б) arcsin  cos  ;


в) ctq arcsin

3
3
1
 arccos 
2
2
М–10
1 Вычислите: а)
2
 arcsin  1  2 arcsin 0
2
arcsin

б) arcsin  ctq  ;

4


1
в) cos arq sin     arq sin 1 .
 2

20. Решите уравнение:
а) sin x  0,5 2 ;
б) 2 cos 2x  1  0 ;
2. Решите уравнение:
а) sin x  0,5 3 ;
x 
в) 2 sin     1 .

в) 2 cos 2 x     2 .
2
6
3. Решите уравнение.
а) 2 cos 2 x  3 cos x  1  0 ;
б) 4 sin 2 x  4 cos x  1  0 ;
в) 2tqx  ctqx  1  0 .
4. Вычислите значение каждой
тригонометрических функций, если:
sinα = 
5 3
;
   2 .
13 2
ВАРИАНТ 2

б) 2 cos 3x  3 ;

4
3. Решите уравнение.
а) 2 sin 2 x  sin x  1  0 ;
б) 6 cos 2 x  7 sin x  8  0 ;
в) 2tqx  ctqx  3  0 .
из 4. Вычислите значение каждой
тригонометрических функций, если:
из
1
2
cosα =  ; 90° <α<180°.
5. Решите уравнение и найдите его корни, 5. Решите уравнение и найдите его корни,
принадлежащие указанному отрезку:
принадлежащие указанному отрезку:
12
3 sin 4 x  cos 4 x  0 ,
  
 2 ; 2 
3 sin 6 x  3 cos 6 x  0 ,
  
 3 ; 3 
ЗАДАНИЕ К ЗАЧЕТУ № 6. «Тригонометрические уравнения»
1. Вычислите:


1
1
2
3
3
2
; arccos  
; arcsin 0; arcsin 1; arcsin
; arccos ; arccos  
; arcsin ;



2
2
2
2
 2 
 2 




1
1
2
2
3 
3
; cos arccos
; cos arccos ; sin  arccos
; tq arccos ; tq arccos
; sin 4 arcsin 1;
arcsin  




 


2
2
2
2
2
2














1
3 
3
3
; tq 2 arcsin ; arcsin  
; arctq 0; arctq 1; arctq 

sin  3 arcsin
 2 
 3 ; arctq 3;
 
2
2







arccos 0; arccos 1; arccos
2. Решите уравнения:
1
1
1
1
2
3
3
2
; sin x 
; sin x   ;
; cos x  
; cos x  ; cos x  
; sin x 
; sin x  
2
2
2
2
2
2
2
2
cos x 
tqx 
1
; tqx  3; tqx   3; tqx  1;
3
2 cos 2 x  cos x  1  0; 2 sin 2 x  sin x  1  0; 2 sin 2 x  sin x  6  0; 2 cos2 x  sin x  1  0;
3 cos 2 x  sin x  1  0; 4 sin 2 x  cos x  1  0; 2 sin 2 x  3 cos x  0; tqx  3ctqx  2 3;
tq2 x  3tqx  4  0; tqx  3ctqx  1  3; tq2 x  tqx  1  0; 1  7 cos 2 x  3sin 2 x;
3  sin 2 x  4 sin 2 x; cos 2 x  cos 2 x  sin x cos x  0; 3 cos x  sin x  0.
Зачет № 7. Срок сдачи – «_07__» ___мая_ 2014 года
«Преобразование тригонометрических выражений»
Содержание. Синус, косинус, тангенс, котангенс суммы и разности аргументов.
Формулы двойного аргумента. Преобразование сумм тригонометрических функций в
произведения. Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы.
В ходе изучения темы обучающийся должен уметь:
 использовать основные тригонометрические формулы для преобразования выражений
и доказательства тождеств.
Контрольная работа № 7 «Преобразование тригонометрических выражений»
М–10
ВАРИАНТ 1
1. Вычислите: а) sin 780°;
б)
cos
13
.
6
20. Вычислите:
М–10
1 Вычислите:
sin
cos²15° + sin² 15°.
ВАРИАНТ 2
а) cos 780°;
б)
13
.
6
2 Вычислите: cos²75° + sin² 75°
13
30. Упростите выражение:
а) sin     sin   ;
30. Упростите выражение:
а) cos(  )  cos  .
 3

sin      sin 2   

б)  2
.
2 cos  sin     1
б)
4. Найдите sin2α, если
cosα = - 0,8 и
sin( )  cos   
;


1  2 cos    cos  
2

4. Найдите cos 2α, если

< α < π.
2
sinα = 0,8 и

< α < π.
2
5. Решите уравнение:
5.Решите уравнение:
sin 5x  cos 4x  cos 5x  sin 4x  1.
cos 4x  sin 3x  sin 4x  cos 3x  1.
ЗАДАНИЕ К ЗАЧЕТУ № 7. «Преобразование тригонометрических выражений»
1. Запишите формулы синуса, косинуса, тангенса для углов α и - α.
2. Вычислите: а) sin 135° - sin 45°;
cos120 0
б) sin (- 240°) – cos (- 150°); в)
;
sin  330 0





1  2 sin 2 22 0 30
г) sin     cos    cos  tg   ; д)
;
2
0

3

3
2 cos 15  1
6
3. Упростите выражение: а)
 3

sin 
    sin 2   
 2

;
2 cos   sin     1

 3
 
sin     cos
  tg   
2
 2
 
б)
;

  3

cos    cos
  tg    
2
  2



sin 2    
2
  tg 2      sin    ;
в)


sin 
2

4. Докажите тождество: а)  1  ctg 2 
б)  1  tg 2 
1
sin 2 
sin 2  cos 2   1.
sin 2  cos 2   1;
5. Решите уравнение: а)

2
1
cos 2 
cos 3x cos 2x  sin 3x sin 2x  1.
6. Найти sin , если cosα = 0,8 и

   .
2
14
б) cos 2x  sin 2 x  1.
15