koper_ geox

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА СЕЛА АМЗЯ ГОРОДСКОГО
ОКРУГА ГОРОД НЕФТЕКАМСК
______________________________________________________________________________________
Коперник геометрии
Исследовательская работа по математике
Автор:
Закирьянова Роза Махмутовна,
учитель математики.
Нефтекамск
2013
₂
Оглавление
Введение………………………………………………………….............3
I. Экспериментальное опровержение аксиомы параллельных.4
II. Доказательство некоторых понятий и фактов геометрии
Лобачевского…………………………................................................5
III. Исследование геометрических свойств на поверхностях
различной кривизны…………………………………………………….6
IV.Практическое применение геометрии
Лобачевского……………………………………………………………..8
V. Заключение ……………………………………………………………9
VI. Список источников………………………………………….. …………..10
Приложение:
1. Презентация к исследовательской работе
2. Модель псевдосферы.
₃
Введение
Любая теория современной науки считается единственно верной, пока
не создана следующая. Это своеобразная аксиома развития науки.
На одном из уроков геометрии в этом учебном году возникла такая
ситуация. Провожу математический диктант. Среди вопросов есть и такой:
сколько прямых, параллельных данной, можно провести в любой плоскости,
через точку, не лежащую на данной прямой этой плоскости? Почти все
учащиеся в ответе указали в ответе одну прямую, и только два ученика
написали: бесконечно много. И тут я подумала: а почему бы детям не
рассказать о незнакомой им геометрии Лобачевского. В результате появилась
небольшая исследовательская работа, озадачившая и удивившая ребят.
Итак, моя проблема - рассмотреть в общих чертах неевклидову
геометрию (геометрию Лобачевского).
Работу я решила назвать так: «Коперник геометрии»
Актуальность – тема интересна и широко используется не только в
образовании, но и нашла применение в области высоких точных технологий,
инженерного проектирования в различных областях промышленного
производств.
Цель исследования – найти доказательство того, что истинно утверждение:
через точку, не лежащую на данной прямой, проходит бесконечное количество
прямых, лежащих в одной плоскости и параллельных ей.
Гипотеза: есть мнение некоторых учащихся, что аксиома параллельных
Евклида не
всегда истинна.
Новизна – на внеклассном мероприятии дети узнали столько
интересного и нового, что были очень удивлены!
Задачи исследования – теоретически и экспериментально
опровергнуть аксиому параллельных; исследовать некоторые факты и
понятия геометрии Лобачевского.
₄
Экспериментальное опровержение аксиомы параллельных
На уроке технологии, те самые мальчики, которые «не очень
правильно» ответили на вопрос диктанта, выточили деревянную модель
псевдосферы, на которой наглядно можно опровергнуть аксиому
параллельных прямых. Посмотрите, ведь на самом деле, через данную точку
плоскости, можно провести не одну параллельную прямую, а бесконечное
множество. Вот оно - удивительное рядом! А ведь все дело - в плоскости. Она
изогнута. Вы можете не согласиться и сказать, что плоскость не может быть
такой. Но ведь в аксиоме параллельных прямых ясно прописано: в любой
плоскости. То есть мы ничего не нарушили: эту модель можно отнести к
плоскости. Но только аксиома Евклида в ней не «работает»!
Кстати, модель называется псевдосферой. А получается она путем
вращения … Об этом я скажу чуть позже.
Посмотрите, через точку М проходят две прямые, параллельные прямой D.
₅
II. Доказательство некоторых понятий и фактов геометрии
Лобачевского
История создания геометрии Лобачевского одновременно является историей
попытки доказать пятый постулат Евклида. Этот постулат представляет собой
одну из аксиом, положенных Евклидом в основу изложения геометрии. Пятый
постулат - последнее и самое сложное из предложений, включенных
Евклидом в его аксиоматику геометрии. Напомним формулировку пятого
постулата: если две прямые пресекаются третьей так, что по какую -либо
сторону от неё сумма внутренних углов меньше двух прямых углов, то по ту
же сторону исходные прямые пересекаются.
Например, если угол α – прямой, а угол β чуть меньше прямого, то прямые c
и d непременно пересекаются, причём справа от прямой m.
Лобачевский сформулировал новую аксиому параллельных, прямо
противоположную аксиоме Евклида: через точку вне прямой можно провести
не только одну прямую, не встречающую данной прямой, а по крайней мере
две.
Заменив этой аксиомой пятый постулат Евклида, Лобачевский разработал
свою неевклидову геометрию, которая оказалась такой же безупречной и
правильной, как и геометрия Евклида.
Геометрия Лобачевского отличается от геометрии Евклида лишь в одной
аксиоме - пятой. Но главное различие кроется в понимании природы самого
пространства.
.
₆
Ш. Исследование геометрических свойств на поверхностях различной
кривизны
Лобачевский
твёрдо
был
убеждён в
логической
правильности неевклидовой геометрии. Чтобы можно было
это доказать,
Лобачевский
предпринимал астрономические наблюдения и производил
измерения углов космических треугольников, стороны которых измерялись
расстояниями
от Земли до
небесных тел.
Лобачевский пытался
установить, равна ли сумма углов 180° или она меньше
двух прямых
углов.
Эти измерения не могли
дать определённого результата в силу
их приближённого характера.
Лобачевский
всю
жизнь искал
оправдания
своей геометрии в механике и астрономии и не переставал
верить, что торжество его идей
неминуемо.
Занимается проблемой V
постулата, почти одновременно с Лобачевским и венгерский учёный Янош
Бояй. Он также не получил признания при жизни. Его
«Арреndix»,
содержащий основы неевклидовой геометрии, был
изложен сжато и
схематично вот одна из причин, сделавших это
произведение
недоступным для его современников.
Положение изменилось,
когда итальянский математик Эудженио
Бельтрами нашёл модель для неевклидовой геометрии. Он её назвал
псевдосферой. Псевдосфера образуется вращением линии,
называемой
трактрисcой, вокруг её оси.
Одним из важнейших результатов открытия геометрии Лобачевского
было развитие новых, неевклидовых геометрий, в первую очередь геометрии
Римана. В качестве модели планиметрии Римана служит сфера, если
считать каждую пару диаметрально противоположных её точек за одну
«точку». На сфере нет прямых линий, но имеются большие окружности, т.е.
окружности с центром в центре сферы. Большие окружности сферы – это её
«прямые». На сфере сумма углов треугольника больше180°; каждые две
прямые имеют одну общую точку, т.е. на римановой поверхности нет
параллельных прямых. Поверхности, которые допускают движения по
себе, всюду должны быть искривлены одинаково. Их называют
поверхностями постоянной кривизны. Всего существует три типа таких
поверхностей. (см.рис.): 1тип – это поверхность нулевой кривизны. Так
называются поверхности, к которым в любом месте можно плотно, без
складок и разрывов, приложить плоский кусочек, например, бумаги. Такая
поверхность и есть евклидова плоскость. На плоскости выполняется V
постулат Евклида: через точку вне данной прямой проходит только одна
прямая, параллельная данной. Сумма углов треугольника равна 180°.
Геометрию
на плоскости называют параболической.
₇
2 тип – это поверхности постоянной отрицательной кривизны.
Маленький
участок такой поверхности напоминает седло. Чтобы плотно приложить к ней
листок бумаги, его обязательно придётся надорвать. Такая поверхность есть
модель плоскости Лобачевского, т.е. псевдосфера. На псевдосфере: через
точку вне данной прямой можно провести две прямые, параллельные данной.
Сумма углов треугольника меньше 180°.
3 тип - это поверхности постоянной положительной кривизны.
Пытаясь обернуть такую поверхность листом бумаги, на нём образуются
складки. Эта поверхность – сфера, модель Римановой геометрии. На сфере
через точку вне данной прямой нельзя провести ни одной прямой,
параллельной данной. Сумма углов треугольника больше 180°.
Рис.2
а)
б)
в)
а) поверхность постоянной отрицательной кривизны;
б) поверхность постоянной нулевой кривизны; в) положительной кривизны.
₈
IV. Практическое применение геометрии Лобачевского
В окружающей
нас
среде свойства физического пространства
приблизительно таковы, какими мы их знаем из евклидовой геометрии, но для
всего пространства они иные. Геометрия Лобачевского описывает
искривленное пространство. Геометрия Лобачевского нашла свою реализацию
в теории относительности Альберта Эйнштейна. Например, Земля создает
вокруг себя искривленное пространство – время, которое называют полем
тяготения. Геометрия искривленных пространств задается не аксиома как у
Евклида, а способом определения расстояния между близкими точками,
линейным элементом
ds. Изменяются метрические коэффициенты –
изменяется ds. Лобачевский проводил астрономические эксперименты. Он
измерял сумму углов треугольника, вершинами которого были
астрономическая обсерватория и две далёкие звезды. Более глубокое
исследование выполнил российский геометр и механик А.П.Котельников
(1865 – 1944). В 1923 году он ввел понятие пространство скоростей
релятивистской механики, оказавшееся точнейшей реализацией геометрии
Лобачевского. Пока скорости малы по сравнению со скоростью света, векторы
скоростей складываются как обычные векторы в евклидовом пространстве. Но
в области больших скоростей начинается странная арифметика: «любая
скорость» + «скорость света» = «скорость света». Реализуется такая
арифметика именно в геометрии Лобачевского. Следующий шаг сделал
российский физик
Н.А.Черников , который применил геометрию
Лобачевского в физике высоких энергий. Особенно эффективно пространство
скоростей работает при решении задач о столкновениях частиц. В расчетах
современных
синхрофазотронов
используется
формулы
геометрии
Лобачевского. Синхрофазотрон – это ускоритель заряженных частиц.
Простейший ускоритель электронов есть в каждом доме. Это телевизор,
вернее его основная деталь – электронно-лучевая трубка или кинескоп. В
телевизионной трубке электроны ускоряются до энергии 20 кэВ 9
(килоэлектронвольт). Современный ускоритель – это трубка, из которой
выкачан воздух. В неё «выбрасывают» частицы и под воздействием
магнитного поля они направляются к объекту исследования (это, как правило,
атомы выбранного для опыта вещества). Крупнейший российский ускоритель
У-70 построенный в институте физики высоких энергий работает с 1967 года
и ускоряет в 1,5 километров кольце протоны до энергии 76 ГэВ. Сегодня
удалось «поймать» самые мелкие частицы, из которых состоит материя –
кварки. Таким образом, «воображаемая геометрия», открытая в 19 веке
замечательным русским учёным Н.И Лобачевским до сих пор сохраняет своё
значение для науки и практики.
₉
IV. Заключение
Открытие Лобачевского поставило перед наукой по крайней мере
два важных вопроса: "Что такое геометрия вообще? Какая геометрия
описывает геометрию реального мира?". До появления геометрии
Лобачевского существовала только одна геометрия - евклидова, и,
соответственно, только она могла рассматриваться как описание
геометрии реального мира. Ответы на оба вопроса дало последующее
развитие науки. Лобачевский вошел в историю математики не только
как гениальный геометр, но и как автор фундаментальных работ в
области алгебры, теории бесконечных рядов и приближенного решения
уравнений, в области теории
вероятности, физики, механики,
астрономии. Известный английский математик Уильям Клиффорд
назвал Лобачевского «Коперником геометрии».
Геометрия Лобачевского помогает по-другому взглянуть на
окружающий мир. В этой геометрии не все просто, не все ясно, чтобы
ее понять, нужно обладать фантазией.
Геометрия Лобачевского удивительна и во многом не
соответствует представлениям о реальном мире. Но в логическом
отношении данная геометрия не уступает геометрии Евклида. Жизнь
Николая Ивановича Лобачевского может служить примером того, как
добиваться поставленной цели. Современники не поняли и не приняли
его идей. Оставшись в одиночестве, он не отступил, продолжал свои
исследования. Впоследствии его геометрия затронула умы многих
учёных, было совершено много открытий. Геометрия Лобачевского
способствовала и способствует более глубокому пониманию
окружающего нас материального мира. Изучение космического
пространства, исследования в области высоких энергий и многое
другое было бы невозможно без применения геометрии Лобачевского.
Итак, подведем итог. Что нового вы узнали? Ответы учащихся.
Геометрия Евклида не единственна. Существует и другая - более
загадочная, не очень простая, но очень интересная геометриягеометрия Лобачевского!
Вам бы хотелось, чтобы геометрию Лобачевского изучали в
школе? Ответы учащихся.
10
Список источников
1.Колесников М. Лобачевский./. Серия «Жизнь замечательных
людей». – М.: Молодая гвардия, 1965. – 320 стр. с илл.
2.Широков П.А. Краткий очерк основ геометрии
Лобачевского./. – М.: Наука, 1983. – 76 стр.
3.Лобачевский Н.И. Полное собрание
сочинений, тт. 1–5. М. – Л., 1946–1951
4.Геометрия Лобачевского. Материал
из Википедии — свободной энциклопедии
Web ресурсы.
1. http://www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/67.html - о
неевклидовой геометрии, Э. Б. ВИНБЕРГ, Московский
государственный университет им. М.В. Ломоносова
2. http://www.hrono.ru/biograf/lobachevski.html - Шикман А.П.
Деятели отечественной истории. Биографический
справочник. Москва, 1997 г.
3. http://ns.math.rsu.ru/mexmat/polesno/evklid.ru.html - биография
Евклида.