ExamPhil - Высшая школа экономики

Экзаменационные вопросы и задачи
Натуральные и целые числа. Принцип математической индукции. Пример.
Рациональные числа как расширение целых. Соразмерность. Рациональная прямая. Изоморфизмы.
Иррациональные отрезки. Действительные числа и операции над ними. Порядок. Существование корней.
Числовая прямая. Полнота. Действительное число как актуальная бесконечность.
Алгебраические уравнения и комплексные числа. Определение комплексных чисел и операций над ними.
Свойства комплексных чисел. z2.
6. Комплексная плоскость. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение. Деление. Возведение в степень.
7. Извлечение корня из комплексного числа: простейшее уравнение zn = c. Основная теорема алгебры,
следствия. Единственность поля комплексных чисел в геометрической форме (теорема Фробениуса).
8. Уравнения прямой: параметрическое; каноническое; общее.
9. Уравнения прямой: с угловым коэффициентом; в отрезках; через две точки.
10. Динамика рыночных цен: функции предложения и спроса, точка равновесия. Функции линейного спроса
и предложения в равновесной форме.
11. Линейные паутинные модели Вальраса коррекции спроса и предложения.
12. Вектор-строка и вектор-столбец, их произведение. Алгебра матриц. Делители нуля.
13. Системы линейных уравнений и определители матриц малой размерности.
14. Алгебраические дополнения. Обратная матрица. Пример: нахождение обратной для матрицы второго
порядка.
15. Системы линейных алгебраических уравнений в матричном виде. Правило Крамера.
16. Интерполяция как обработка экономической статистики.
17. Последовательности; предел последовательности, геометрическая иллюстрация. Геометрическая прогрессия. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
18. Ряд; сумма ряда. Сумма бесконечной геометрической прогрессии. Дисконтирование. Рента. Реальный
доход купонной облигации (земельного владения). Предельная цена.
19. Предел функции. Монотонные функции. Значения основных пределов. Арифметические операции и
дальнейшее вычисление пределов функций.
20. Сравнительная скорость роста и убывания. Бесконечно малые и бесконечно большие; o-малые.
21. Непрерывность. Свойства непрерывных функций. Сложная функция.
22. Непрерывные функции и модели в экономике.
23. Производная, ее интерпретации; ускорение. Правила дифференцирования. Дифференциал.
24. Производные высших порядков. Формула Тейлора; ряд Тейлора.
25. Экстремальные задачи. Правило нахождения экстремума.
26. Случайность в частной жизни, политике, в натурфилософии и математике; 3 класса феноменов: детерминистические, стохастические, хаотические. Предметная и математическая модели, примеры, исходы и
элементарные события, события. Статистическая устойчивость в конечных моделях.
27. Устойчивость частот и вероятность элементарных событий. Вероятность событий. Классическая и неклассическая вероятности. Дискретные модели.
28. Непрерывные модели: модель измерений (Гаусса). События, главные события.
29. Вероятностное пространство. Элементарные свойства вероятности. Случайные величины. Независимость событий, попарная и в совокупности. Независимость случайных величин.
30. Формула полной вероятности. Рандомизация.
31. Формула Байеса. Предметный пример, принятие решений в неопределенных ситуациях.
32. Элементарные с.в. и конечные распределения: с.в. Бернулли биномиальные с.в., дискретные равномерные с.в., их распределения и интерпретация.
33. Дискретные случайные величины и их распределения: геометрические, с.в. Пуассона и Паскаля.
34. Непрерывные с.в., плотность. Существование, пример. Гауссовские (нормальные), равномерные и экспоненциальные с.в.
35. Числовые характеристики дискретных случайных величин и их свойства.
36. Предельные теоремы для серии Бернулли и их применения. Предельные теоремы в серии Пуассона и их
применения.
37. Неопределенные интегралы. Основные правила интегрирования.
38. Определенный интеграл; формула Ньютона-Лейбница.
39. Кривая Лоренца и коэффициент Джинни. Пример.
40. Обыкновенное дифференциальное уравнение. Откуда берутся дифференциальные уравнения; дискретная модель динамики народонаселения, две непрерывных модели: «жесткая и «гибкая».
1.
2.
3.
4.
5.
41. Примеры функций нескольких переменных. Предел функции по совокупности переменных.
42. Предел функции по переменному. Частные производные. Пример.
43. Дифференциал функции нескольких переменных. Достаточные условия. Пример.
44. Частные производные и дифференциал второго порядка. Пример.
45. Достаточные условия экстремума функции нескольких переменных. Пример.
46. Системы обслуживания, экспоненциальные с.в. и пуассоновские модели.
47. Равномерные с.в. и геометрические вероятности. «Случайные моменты времени» и задача о встрече.
48. Математические ожидания и дисперсии непрерывных с.в. Их свойства. Примеры.
49. Арифметические операции, суммы независимых случайных величин, свертки.
50. Предельные теоремы для сумм независимых с.в.
51. Таблица параллельных понятий планиметрии и арифметической модели. О существовании евклидовой
плоскости. Об априорности представлений о пространстве. Структура евклидового подхода к геометрии.
52. Высказывания (пропозиции); логические связки и логические операции. Таблицы истинности.
53. Логические законы. Законы А1–А5 как фундамент алгебры логики. Равносильные преобразования. Законы Де Моргана.
54. Предикаты, кванторы, логические формулы. Структура суждений и логики Аристотеля, интерпретация
на языке множеств.
55. Алгебра множеств. Диаграммы Эйлера–Венна.
56. Конечные множества. Бесконечные множества, счетные множества.
57. Несчетные и континуальные множества.
Список задач к экзамену
При вычислениях считать, что a  число букв в имени студента, b  число букв в фамилии студента, c  число букв в
названии места (города, села...) рождения студента.
1. Найти сумму ряда Sn 
1
1
1

 ... 
 ...
12 23
n(n 1)
2. Во Франции XVI в. ростовщики давали кредит на условии удвоения суммы долга за 6 лет. Какова была
годовая процентная ставка для простых и сложных процентов?
3. Рост курса некоторой иностранной валюты предполагается в размере (a+b)/2 (% в год). Надежный банк
предлагает ставки по вкладам в размере 19% годовых по национальной валюте и 12.5%  по иностранной. Решить, в какой валюте выгоднее поместить сбережения в банк (считая предполагаемый рост курса
истинным). При каком росте курса иностранной валюты ставка 19% в национальной валюте будет равновесной?
4. Найти комплексные числа, равные соответственно
1 i 1 i  1 i 

,

1+i 1 i  1+i 
33
.
n
n
5. Методом математической индукции доказать формулу (1  i )n  2n / 2  cos  i sin  .
4
4 

4
6. Найти комплексное число, равное: 1 .
7. Пользуясь теоремой о целых корнях, найти корни уравнения x3  6x + 4 = 0.
8. Прямая спроса проходит через точки (Q0,0) = (a,0) и (0,b). Прямая предложения  через точку (0,P0),
b
ac
P0 
и имеет угловой коэффициент s 
относительно оси OP. Найти точку равновесия и
a b
bc
написать функции спроса и предложения в равновесной форме.
1 a c 
 2 3
9. Найти с помощью алгебраических дополнений обратную для матриц A  
и B  0 1 b  .


1 2
0 0 1
n
n
n 1
 a c   a na c 
10. Методом математической индукции вывести формулу 
.
 
a n 
 0 a   0
11. Найти вектор потребления для сбалансированной торговли трех стран со структурной матрицей
1
 a
0
 a b 4

 b
1 1
P
.
a b 2 2 


1 1
 0

4 2

12. Пусть кривые спроса и предложения заданы уравнениями x + 2y = 5 и x = 3y; а) найти точку равновесия; б) записать уравнения линий спроса и предложения в равновесной форме.
0 0 1 
13. Пусть A  0 1 0 . Доказав, что A2 = I, найти A1 и A21.
1 0 0 


14. Задача удвоения вклада и «правило 70». За сколько лет удвоится вклад при p (мес) = [(a+b+c)/3]%?
15. Найти производную функции y = eax cosbx.
16. Найти производные функций y = ln(a+bx), y = 1  x 2 .
17. Цена большого бриллианта пропорциональна квадрату его веса. Показать, что при разделении бриллианта на две части, его стоимость всегда уменьшается. Когда понижение стоимости будет максимальным?
18. Зависимость функции спроса D и предложения S от цены имеют вид: D = 7  p и S = p + 1. Найти: а)
равновесную цену; б) эластичность спроса и предложения для этой цены.
19. Производитель реализует свою продукцию по цене p за единицу, а издержки S(x) при этом задаются
зависимостью S(x) = ax + bx3 (a<p). Найти оптимальный для производителя объем выпуска продукции и
соответствующую ему прибыль, вычислить при p = 2a.
20. Найти коэффициент эластичности функции u = ax bbx a.
21. Для функции затрат C = aQ+b, Q > 0 (a,b > 0) найти функции средних и предельных затрат и нарисовать
графики всех трех функций на единой координатной плоскости.
22. Для функции затрат C(Q) = Cmin + a(Q  Qmin)2; Q > 0 (Cmin, a, Qmin > 0)
 подтвердить закон убывающей производительности (C(Q) > 0, C(Q) > 0);
 найти функции: средних затрат AC(Q) = C(Q)/Q и предельных затрат MC(Q) = C (Q).
23. Показать, что при любой функции затрат точка минимума АС всегда лежит на графике МС.
24. Пусть A, B, C  произвольные события. С помощью операций  ,  ,  найти выражение для событий,
состоящих в том, что произошло: а) только событие А; б) ровно одно событие; в) не менее двух событий; г) ровно два события. В объединениях выделить несовместные слагаемые.
25. Найти вероятность появления следующего события при бросании трех правильных монет: а) на первой
монете выпал герб; б) выпало ровно два герба; в) выпало не более двух гербов.
26. Вероятность хотя бы одного появления события A при двух независимых испытаниях P = 0.84. Испытания считаются успешными, если A происходит хотя бы раз в трех испытаниях. Вычислить вероятность
успеха в испытаниях. Какова вероятность того, что событие A в первый раз произойдет на третьем испытании?
27. Проверить независимость следующих событий. A: в 4-х независимых равновероятных испытаниях
Бернулли в первый раз выпадет герб; B: в 4-х независимых равновероятных испытаниях Бернулли выпадет нечетное число гербов.
28. Найти вероятность того, что в семье с двумя детьми оба ребенка мальчики в предположении: а) старший ребенок мальчик, б) по крайней мере, один из детей – мальчик. Считаем каждое сочетание детей
равновероятным.
29. Известно, что ответом в задаче, предложенной студенту, является одно из чисел 1,…, с, и студент в
a
силу своей подготовки выбирает правильный путь решения задачи с вероятностью p 
, и тогда
a b
обязательно получает правильный ответ. Если же он ошибается в выборе пути решения, то в результате
может получиться любое число от 1 до c с равной вероятностью. Какова вероятность гипотезы Н, что
студент правильно решил задачу при условии, что он получил правильный ответ?
30. Задача де Мере. Имеются три правильные игральные кости. Почему выпадение в сумме числа 11 более
вероятно, чем 12, хотя оба разбиваются в сумму 6 способами
11  6  4  1, 6  3  2 , 5  5  1, 5  4  2 , 5  3  3 , 4  4  3 ,
12  6  5  1, 6  4  2 , 6  3  3 , 5  5  2 , 5  4  3 , 4  4  4 ?
Найти эти вероятности.
31. Баскетболист дважды совершает по два штрафных броска. Считаем, что броски независимы с вероятностью попадания р в каждом. Какова вероятность не менее трех попаданий? Вычислить ее при p = q.
d
32. Пусть с.в. Пуассона а и b независимы. Доказать, что  a   b   a b , т.е. показать, что сумма двух
независимых случайных величин Пуассона с параметрами a и b, имеет пуассоновское распределение c
параметром a + b.
33. Найти математическое ожидание, второй момент и дисперсию с.в. Бернулли. Используя свойства ожидания и дисперсии, найти M Bi np и D Bi np .
34. Найти математическое ожидание (среднее значение) числа очков, выпадающих при двух независимых
бросках правильной игральной кости с условием, что единица (1) не выпадает.
35. Какой объем выборки судебных дел для большого города или субъекта РФ окажется достаточным для
определения доли уголовных дел с ошибкой не более 0.005 при доверительном уровне 0.95?
36. Если в государстве 60% беднейших владели 20% совокупного дохода, то такое распределение считалось классическим примером социальной несправедливости. В середине ХХ в. оно было характерно для
развивающихся стран. Построить по этим данным кривую Лоренца и найти коэффициент Джинни. Во
сколько раз средний доход беднейших слоев меньше среднего дохода остальной части населения.
37. На основании следующих статистических данных построить кривую Лоренца.
% получаемых совокупных доходов
% домашних хозяйств
20
40
50
70
Найти коэффициент Джинни и относительный средний доход каждой группы.
38. Найти решение «гибкого» уравнения народонаселения x  (1 x) x, x(0)  x0 .
39. Найти решения системы уравнений для элементарной динамической модели сражения:
 x  by, x(0)  x0 ,

 y  ax, y (0)  y0 .
40. Найти частные производные функции u  x y .
41. Найти частные производные функции u 
1
2
x  y2  z2
.
42. Рассмотрим функцию u (x, y) = x2 + y2. Нарисовать ее линии уровня, найти частные производные, дифференциал, градиент и производную по направлению (2,1). Вычислить их в точке (3,2). Показать, что
градиент перпендикулярен линии уровня.
43. Для функции спроса x = A  3p1 + 2p2 + 0.25I, где A = a + b + c, p1 = a, p2 = b, найти коэффициент эластичности по ценам и доходу. Найти также коэффициент перекрестной эластичности. При каких I большинство этих характеристик будут положительными?
44. Найти дифференциал функции u 
1
2
x  y2  z2
.
45. Найти дифференциалы du и d2u функции u(x,y) = ln(ax  by ); в каких точках они существуют?
46. Фирма производит товары двух видов. Известно, что для выпуска этих товаров в количествах x и y соответственно необходимо произвести денежные затраты в объеме C = 2x + y + 1. Вся произведенная продукция продается на рынке по ценам p1 и p2, которые снижаются при увеличении предложения товаров
на рынке: p1 = 8  x, p2 = 17  2y. Требуется определить оптимальные объемы выпуска продукции, обеспечивающие максимум прибыли фирмы.
47. Доказать закон контрапозиции AB   B A равносильными преобразованиями и с помощью таблиц
истинности.
48. Равносильными преобразованиями доказать, что A  B  (AB)(BA).
49. Равносильными преобразованиями упростить логическую формулу:  AB  B.
50. Равносильными преобразованиями упростить логическую формулу: (AB)  (BA).
51. Доказать первый закон Де Моргана, выписав таблицы истинности для формулы  (AB)   A  B.
d
52. Показать, что a   G G a ,2 ( > 0), т.е. a   G ~ a ,2 .
53. Доказать, что cov(G,G2) = 0.
54. Задача о встрече. Пара влюбленных работает в разных, но близко расположенных фирмах. Обеденный
перерыв длительностью в 1 час, с 13 до 14 часов, они стремятся использовать для встречи друг с другом
в близлежащем кафе, но в силу производственных причин они уходят на перерыв в случайное время и,
придя в кафе, каждый может ждать другого полчаса. Какова вероятность того, что они встретятся?
55. Доказать, что отрезок [0, 1] и окружность единичного радиуса равномощны.
56. Доказать счетность множества целых чисел.
57. Доказать счетность бесконечного множества непересекающихся кругов или квадратов на плоскости.