Зинченко Татьяна Владимировна

Программа
Образовательная область « Математика»
Школьный компонет 10-11 класс
1. Цель:
Повышение математической культуры. Формирование навыков решения нестандартных
задач, успешной сдачи ЕГЭ
Задачи:
Систематизация знаний, приобретенных ранее.
Расширение объема знаний за счет увеличения изучаемых тем.
Развитие мышления, логики и творческого потенциала.
Повышение самостоятельности в работе со справочной литературой.
Подготовка к успешной сдачи ЕГЭ
Содержание:
Данный курс включает темы: уравнения и многочлены (18ч), тригонометрические
уравнения (18ч), уравнения и неравенства с параметрами.(64ч)
Важной задачей данного курса является создание ситуации способствующей развитию
творческого потенциала, выявлению наиболее одаренных детей, более прочному
усвоению материала. Данный курс повышает уровень самостоятельной работы с
учебной литературой, позволяет овладеть логикой и техникой решения уравнений и
неравенств с параметрами. Он стимулирует познавательную активность учащихся,
расширяет кругозор, пробуждает желание заниматься изучением одной из основных
наук.
МОУ Полтавская СОШ
Обобщение опыта работы
учителя математики
МОУ Полтавская СОШ
Зинченко Татьяна Владимировны
по теме:
«Работа учителя по подготовке изучения и доказательства теорем»
2005-2006 учебный год
П. Центральный
Доказательство теорем – постоянный элемент уроков математики, особенно геометрии. Знакомство с
содержанием теоремы и её доказательством вооружает учащихся материалов, который используется при
изложении дальнейшего теоретического материала и решение разнообразных задач. Доказательство
развивает навыки логического мышления, приучает учащихся обосновывать свои суждения, использовать ?
аналитично-синтетический? метод в рассуждениях, рационально записывать ход рассуждений. В ходе
доказательства теоремы развиваются умение расчленять рассуждения на отдельные логические шаги,
получать следствие, анализировать формулировку теоремы, умения, связанные с поиском доказательства.
Все навыки умения, приобретённые в ходе изучаемой теории, совершенствуются при решении задач.
Таким образом, умение проводить доказательство теории позволяет учащимся сознательно и глубоко
изучать математику на протяжении всего периода обучения. Поэтому, методика доказательства теории на
уроке – одно из важнейших звеньев процесса обучения математике и оно требует от учителя особого
внимания.
Поэтому изучение теоремы и её доказательства я провожу на основании следующих действий:
1. Анализ формулировки теоремы. Выделение существенности каждого элемента формулировки
теоремы. Учёт ошибок, которые могут допускать учащиеся. Подготовка соответвующих
контрпримеров.
2. Выяснение проблемы, приводящей к необходимости доказательства теоремы, её знания в системе
3.
4.
5.
6.
7.
8.
теории раздела и всего курса геометрии и её приложения.
Подготовка аналитического рассуждения, позволяющего учащимся уяснить особенности и
последовательность доказательства, необходимость тех или иных дополнительных построений.
Выявление метода, идеи приёма и других особенностей доказательства.
Расчленение доказательства теоремы на отдельные части и логические шаги. Составление плана
доказательства. Рациональная запись доказательства.
выявление понятий, предложений на которых основано доказательство теоремы. Выделение
предложений, требующих повторения.
Составление содержания подготовительной работы к доказательству теоремы, подбор упражнений
и заданий, подготавливающих учащихся к её восприятию.
подбор упражнений, закрепляющих изученную теорему, выявляющих её связь с другими
предложениями.
Такая подготовка учителя к доказательству теоремы исключит формальный характер доказательства.
Работа по анализу формулировки теоремы, раскрытие значения каждого из элементов формулировки
теоремы, рассмотрения контрпримеров исключит то, что большая часть учеников заучивает
доказательство теоремы без достаточного понимания.
Например, изучение первой теоремы курса геометрии – первого признака равенства треугольников,
можно начать с такой подготовительной работы:
1. по готовому рисунку предложить учащимся
назвать:
а) элементы треугольника АВС
б) угол, противолежащей стороне АВ; АС.
в) сторону противолежащую угу А, углу В
г) угол, прилежащей к стороне АВ; АС.
д) угол, заключённый между сторонами АВ и ВС; АС и
ВС.
2. а) между какими сторонами заключён угол А в
каждом треугольнике.
б) какой угол заключён между сторонами АС и ВС; АД
и АВ.
в) как назвать сторону АВ для этих треугольников
г) АВ – общая сторона. Что это значит?
3. а) какие углы вы здесь видите?
б) каким свойством обладают вертикальные и смежные
углы?
в) угол 4 равен 450. Найти углы 1, 2 и 3.
Затем учитель предлагает учащимся по моделям треугольников, которые лежат на столе, выбрать пары
равных треугольников. Учащиеся показывают выбранные треугольники и отвечают на вопросы учителя:
а) как вы это сделали?
б) почему вы решили, что эти треугольники равны?
в) два треугольника равны, что это значит?
В процессе этих вопросов повторяется определение равных треугольников путём наложения их друг на
друга. Затем учитель перед учащимися ставит проблему: всегда ли равенство двух треугольников можно
установить путём наложения? В каких случаях этого сделать нельзя? Как же в этих случаях можно
установить, равны ли треугольники или нет? Отвечая на эти вопросы, учитель подводит учащихся к
необходимости рассмотрения теорем, с помощью которых можно установить, равны ли треугольники не
накладывая один на другой, а сравнивая некоторые их элементы. Учитель формулирует теорему. Затем
учащиеся читают её в учебнике. Выясняется, что дано в теореме и что надо доказать. Выносится рисунок на
доску учителем. Учащиеся оформляют записи и рисунок в тетради. Затем выясняется, что значит: доказать,
что треугольник АВС равен треугольнику А1В1С1. затем учитель рассказывает доказательство теоремы.
Далее учащиеся работают с книгой, отвечают на вопрос, которые записаны на доске, отмечая ответ в
учебнике карандашом.
Вопросы:
1. Почему стороны АВ и АС наложатся на лучи А1В1 и А1С1?
2. Почему совместятся точки В и В1, С и С1?
3. Почему совместятся стороны ВС и В1С1?
4. Из чего следует, что треугольники равны?
Затем учащиеся отвечают на эти вопрос вместе с учителем и составляют план доказательства, записывают
его в тетрадь. Затем учитель предлагает ученикам рассказать ещё раз доказательство. Затем все вместе дают
название этому признаку: по двум сторонам и углу между ними.
Далее решается ряд задач по готовым рисункам на применение теоремы:
1. Доказать: АВС=АДС
2. АД – биссектриса А
Доказать: АВД=АСД
3. доказать: АСВ=АСД
4. Доказать: ОАД=ОВЕ
Найти: Д; ВЕ, если Е=420, АД=4см
Одним из недостатков процесса обучения доказательству теорем является пассивность учащихся,
деятельность которых часто сводится к слушанию учителя и переписыванию с доски. Устранить эти
недостатки можно с помощью методики, при которой учитель направляет деятельность учащихся
постановкой соответствующих заданий для самостоятельной работы, проводит контроль за этой
деятельностью и даёт необходимые консультации.
Например, изучение теоремы Пифагора можно предварить такими устными подготовительными
задачами по готовым рисункам.
1. По данным рисунка найти площадь
четырёхугольника АВСД. В процессе решения
повторяются свойства площади;
прямоугольного треугольника с углом в 300;
равнобедренного треугольника.
2. Найти угол 
3. по данным рисунка доказать, что
четырёхугольник МNPK – квадрат
Доказательство этой теоремы можно провести на основе следующих вопросов и заданий для
самостоятельной работы учащихся:
1. Нарисуйте в тетрадях прямоугольный треугольник.
Обозначьте катеты и гипотенузу а, в и с
2.П остройте квадрат, сторона которого равна а+в
3.На сторонах квадрата отметьте по одной точке делящей эти стороны на отрезки а и в так, чтобы к каждой
вершине квадрата примыкали отрезки а и в
4. Соедините отрезками точки, расположенные на соседних сторонах квадрата. Посмотрите на какие
фигуры при этом разобьётся исходный квадрат. Покажите, что полученные треугольники равны исходному
треугольнику. Укажите признак равенства треугольников
5. Чему равны стороны полученного внутреннего квадрата.
6. Рассмотрим теперь вопрос о том, как связаны между собой площади полученных треугольников и
квадратов. Запишите связь формулой.
7. Зная стороны прямоугольного треугольника и квадрата, запишите формулой для их площадей
8. Подставьте полученные формулы в равенство для площадей. Какое равенство при этом получается.
Раскрывая квадрат и приводя подобные члены, получаем равенство с2=а2+в2.
Описанная методика направленная на активизацию познавательной деятельности учащихся применима и на
уроках алгебры. Например, после формулировки теоремы Виета учитель предлагает учащимся рассмотреть
приведённое квадратное уравнение х2+рх+q=0 и написать в тетрадях формулы для его корней х1х2. Далее
найти сумму и произведение коней, что вполне им под силу.
Применение этой методике показывает, что в результате выполнения этих заданий у учащихся возникает
чувство уверенности в собственных силах, появляется интерес к самостоятельной теоретической работе.
Такая работа может быть предложена ученикам и при доказательстве других теорем.
Анализ содержания и доказательства теоремы, расчленение доказательства на отдельные логические
шаги, выделение тех понятий и теорем, на основе которых доказывается данная, помогают учителю
осознать содержание подготовительной работы, которая должна быть выполнена перед рассмотрением
теоремы.
Всесторонний и обстоятельный анализ теорем школьного курса поможет учителю глубже раскрыть перед
учащимися их суть.
Такой подход даст возможность развивать не только память учащихся, но и их математическое
мышление, сделает процесс изучения теорем более содержательным и интересным, позволит перенести
полученные знания, умение и навыки на решение разнообразных математических задач.