3708710_Podgotovka_k_kollokviumu_po_lineynoy_algebre

Теорема.
Каждая
матрица
конечным
числом
элементарных
преобразований приводится к ступенчатому виду.
 a11

a
Доказательство. Пусть матрица А имеет вид  21


 am1
a12
a 21
 a1n
 a2 n
  
am 2  amn
b1 

b2 
. Если


bm 
А – нулевая матрица, то она имеет ступенчатый вид.
Если А  0, то будем считать, что есть i-я строка, в которой первый
элемент не равен нулю. Доказательство проведём по индукции по числу
строк р. Если i  1, то поставим i-ю строку на первое место. Таким образом,
без ограничения общности можно считать, что элемент а11  0. Умножив
первую строку на а11–1 и проведя переобозначение элементов, получим
а11 = 1. Если р = 1, то теорема доказана.
Пусть р > 1 и для р – 1 теорема доказана. Для каждого i > 1 вычтем из
1
i-й строки первую строку, умноженную на ai1a11
. В новой матрице все
коэффициенты ai1  0 , i  1.
Рассмотрим матрицу В, получающуюся из матрицы А отбрасыванием
первой строки. По индукции можно считать, что матрица В имеет
ступенчатый вид. Пусть в матрице В первые ненулевые элементы
расположены в столбцах с номерами 1  k 2  k3   . Вычтем из первой
строки вторую, умноженную на a1k 2 , третью строку, умноженную на a1k 3 , и
т. д.
Теорема. Все п! перестановок из п элементов можно расположить в таком
порядке, что каждая следующая перестановка будет получаться из
предыдущей одной транспозицией, причём начинать можно с любой
перестановки.
Доказательство проведём по индукции. Утверждение, очевидно,
справедливо при п = 2. Предположим, что утверждение справедливо при п –
1, и покажем, что тогда оно справедливо при п. Пусть задана изначальная
перестановка i1,i2,,in. Рассмотрим все перестановки из п элементов, в
которых на первом месте стоит i1. Таких перестановок (п – 1)! их можно
упорядочить любым способом с помощью конечного числа транспозиций,
так как, согласно предположению индукции, доказываемое утверждение
справедливо для числа элементов п – 1. В последней из полученных
перестановок из п элементов поменяем местами элемент i1 с любым из
остальных элементов, например, с i2. Начиная с полученной перестановки,
можно упорядочить любым способом все перестановки, у которых на первом
месте стоит i2. Действуя таким образом, можно перебрать все перестановки
из п элементов.
Теорема. Всякая транспозиция меняет чётность перестановки.
Доказательство. Сначала рассмотрим транспозицию двух рядом
стоящих элементов. Если до транспозиции они составляли инверсию, то
после неё инверсию они не составят, и наоборот, если до транспозиции
между ними инверсии не было, то после транспозиции она появится.
Очевидно, что число инверсий, которые рассматриваемые элементы
составляли до транспозиции с элементами, стоящими до них и после них в
перестановке при транспозиции не изменится. Таким, образом, чётность
перестановки после транспозиции двух рядом стоящих элементов изменится.
Пусть теперь первый из тех элементов перестановки, который будет
“участвовать” в транспозиции (в дальнейшем будем называть его первым
элементом), стоит на i-м месте в перестановке, а второй “участник
транспозиции” (в дальнейшем называемый вторым элементом) занимает
место с номером i + k. Чтобы поменять местами эти элементы будем
действовать следующим образом. Сначала последовательно поменяем
местами первый элемент с k – 1 элементами, стоящими между первым и
вторым, так, что первый элемент станет соседним элементом слева для
второго (тем самым проведём k – 1 транспозиций двух соседних элементов).
Затем поменяем местами первый и второй элементы (ещё одна транспозиция
двух соседних элементов). Теперь осталось поставить второй элемент на
место первого, для чего опять нужно провести k – 1 транспозиций второго
элемента с элементами, первоначально находившимися между первым и
вторым. Таким образом, проведено 2(k – 1) + 1 транспозиций двух стоящих
рядом элементов. Тем самым чётность перестановки была изменена нечётное
количество раз, что и доказывает теорему.
Если поменять местами две строки определителя, то получим новый
определитель, равный исходному, умноженному на 1 .
Доказательство. Пусть определитель
 11  12


  1n


 j1  j 2   jn


 i1
 i2




(11)
  in


 n1  n 2   nn
получен из определителя
a11
a 21
a12
a 22
 a1n
 a2n
 
 
a n1 a n 2  a nn
(6) путём транспозиции i-й и j-
2,  n 
 1,
 (9) есть одно из слагаемых, составляющих
й строк. Если 

,

,


2
n
 1
определитель (6), то (9) является одним из слагаемых, составляющих
определитель (11), так как в этом произведении все сомножители стоят в
разных строках и разных строках. Произведению (9) в определителе (6)
соответствует подстановка
 1, 2,  i ,

 1  2   i


j,
 j
n 
,
  n 

(12)
а в определителе (11) –
 1, 2,  j ,  i ,

 1  2   i   j

n 

  n 

(13)
Последняя подстановка получается из предыдущей транспозицией в верхней
строке, и, следовательно, имеет противоположную чётность. Из сказанного
следует, что все произведения, составляющие определитель (6), входят и в
определитель (11), но с противоположными знаками, и свойство можно
считать доказанным.
Теорема.
Произведение
любого
минора
М
k-го
порядка
на
его
алгебраическое дополнение в определителе d является алгебраической
суммой, слагаемые которой, получающиеся от умножения членов минора М
на взятые со знаком (–1)s члены дополнительного минора М*, будут
некоторыми членами определителя d, причём их знаки в этой сумме
совпадают с теми знаками, с какими они входят в состав определителя.
Рассмотрим сначала случай, когда минор М расположен в левом
верхнем углу определителя
a11

a1k



a k1  a kk


d 
a k 1,1  a k 1,k



a n1

a nk
a1,k 1

a1n





a kn

a k ,k 1

a k 1,k 1  a k 1,n



a n ,k 1

a nn
Тогда минор М* занимает правый нижний угол определителя. Число s в этом
случае получается чётным:
s  1  2    k  1  2    k  21  2    k 
Возьмём произвольный член минора М
a11 a 2 2  a k k
Его знак (–1)l, где l – число инверсий в подстановке
(1)
2  k 
1


 1  2   k 
(2)
Произвольный член минора М*
a k 1, k 1 a k  2 , k  2  a n n
(3)
имеет знак (–1)l*, где l* – число инверсий в подстановке
 k 1

  k 1
k2  n 

 k  2   n 
(4)
Перемножая члены (1) и (3), получим произведение п элементов
a11 a 2 2  a k k a k 1, k 1 a k  2 , k  2  a n n ,
(5)
расположенных в разных строках и разных столбцах определителя, то есть
это произведение является одним из слагаемых, составляющих определитель.
Знак произведения (5) – это произведение знаков (1) и (3), то есть (–1)l (–
1)l* = (–1) l +l*.
В определителе произведение (5) берётся с тем же знаком, так как знак
определяется чётностью подстановки
2
 1

 1  2
 k
 k
k 1
 k 1
k2  n 
,
 k  2   n 
(6)
а она, в свою очередь, определяется суммарным числом инверсий в
подстановках (2) и (4). Действительно, первые k чисел в нижней строке (6) не
составляют инверсий с последними n – k числами в той же строке.
Пусть теперь минор М расположен в строках с номерами i1 ,i2 , ,ik ,
расположенными в порядке возрастания, и в столбцах с номерами
j1 , j 2 , , j k , также расположенными в порядке возрастания. Строку с
номером i1 с помощью i1 – 1 транспозиций между соседними строками
можно сделать первой, после этого строку с номером i2 можно такими же
транспозициями в количестве i2 – 1 можно переместить на второе место.
Действуя таким образом, можно добиться того, что минор М займёт первые k
строк, проведя при этом
i1  1  i2  2    ik  k  i1  i2    ik  1  2    k 
транспозиций двух соседних строк.
Тем же самым способом можно переместить столбцы, начиная со
столбца с номером j1, который займёт место первого столбца, продолжая
столбцом с номером j2, который встанет на место второго столбца, и т. д.
Таким образом, нам придётся провести
i1  i2    ik  j1  j 2    j k  21  2    k   s  21  2    k  (7)
транспозиций строк и столбцов, чтобы привести определитель к виду, в
котором минор М занимает левый верхний угол. Очевидно, что при таком
преобразовании дополнительный минор М* окажется в правом нижнем углу.
Теперь заметим, что чётность разности (7) совпадает с чётностью числа s,
после чего можно сделать вывод, что утверждение теоремы верно и в этом
случае.
Теорема Лапласа. Пусть в определителе d порядка п произвольно выбраны k
строк (1  k  п – 1). Тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка,
содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна
определителю d.
Пусть в определителе d выбраны k строк с номерами i1 , i 2 , , i k ..
Произведение любого минора k-го порядка, расположенного в этих строках,
на его алгебраическое дополнение состоит из некоторого количества членов
определителя d, причём с теми же знаками, с которыми они входят в
определитель. Таким образом, все произведения, о которых идёт речь в
формулировке теоремы, образуют подмножество множества всех членов
определителя. Необходимо доказать, что все члены определителя составляют
подмножество множества всех произведений всех миноров k-го порядка,
содержащихся в выбранных k строках, на их алгебраические дополнения
(здесь мы пользуемся известным в теории множеств фактом: если множество
А является подмножеством множества В, и множество В является
подмножеством множества А, то множества А и В совпадают, иначе равны,
иначе состоят из одних и тех же элементов).
Пусть
a11 a 2 2  a n n
(8)
произвольный член определителя d. Возьмём из этого произведения отдельно
произведение элементов, стоящих в выбранных нами k строках с номерами
i1 , i 2 , , i k
a i1 i , ai2 i , , a ik i
1
2
k
Эти элементы стоят в k столбцах с номерами  i1 , i2 , , aik и являются
членами одного из миноров, о которых говорится в условии теоремы.
Произведение всех остальных сомножителей (8), очевидно является членом
его дополнительного минора. Таким образом, всякий член определителя
входит в произведение некоторого, вполне определённого, минора k-го
порядка из выбранных строк на его дополнительный минор, причём является
произведением вполне определенных членов этих двух миноров. Чтобы
получить выбранный член определителя с тем знаком, с которым он входит в
определитель, остаётся заменить дополнительный минор алгебраическим
дополнением, и теорема доказана.
Теорема.
Сумма
произведений
некоторой
строки
определителя
на
алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки
равна нулю.
 a11 a12  a1n 


 a 21 a 22  a 2n 
Определитель  матрицы A  
представим в виде

   


a

a

a
n2
nn 
 n1
суммы произведений элементов i-й строки на их алгебраические дополнения:
  ai1 Ai1  ai 2 Ai 2    ain Ain
Если в этой формуле заменить числа ai1 , ai 2 , , ain произвольными числами
b1 ,b2 , ,bn , то получится определитель матрицы, в которую превращается
матрица А после замены в ней i-й строки числами b1 ,b2,,bn . Если теперь
вместо чисел b1 ,b2,,bn подставить элементы j-й сроки матрицы А, то есть
числа a j1 ,a j 2 ,,a jn , то получится определитель матрицы, в которой i-я и j-я
строки совпадают, и, следовательно, определитель, равный нулю.
Теорема. Определитель произведения двух матриц п-го порядка равен
произведению определителей этих матриц.
 
Пусть даны матрицы п-го порядка A  aij
 
и B  bij
и пусть
 
AB  C  cij . Построим определитель  порядка 2п: в его верхнем левом
углу поставим матрицу А, в правом нижнем – матрицу В, в правом верхнем
углу поставим нули, а на главной диагонали левого нижнего угла поставим
числа –1, заполнив свободные места нулями. Определитель  будет иметь
вид

a11
a 21
a12
a 22
 a1n
 a 2n
0
0
0
0


0
0

a n1

0

0



0
1
  
a n 2  a nn
0  0
b11
b12
0
1

0
b21
b22
 b1n
 b2 n







0
0

1
bn1
bn 2  bnn

Применим к определителю  теорему Лапласа о разложении по первым
п строкам. В результате получим
 = detAdetB
Преобразуем определитель  так, чтобы при неизменности его
значения все элементы bij стали нулями. Для этого к п+1-му столбцу
прибавим первый столбец, умноженный на b11, второй столбец, умноженный
на b21 и т. д. К (п + 2)му столбцу прибавим первый, умноженный на b12,
второй, умноженный на b22 и т. д. Вообще к (n + j)-столбцу, где j =1,2,,п,
прибавим сумму первых п столбцов, умноженных соответственно на
b1 j ,b2 j , ,bnj .
Такие преобразования привели к тому, что в правом нижнем углу
определителя (будем называть его по-прежнему , так как величина его не
изменилась) оказались только нули. В правом верхнем углу определителя
теперь появятся числа, определённые следующим образом: в i-той строке в
столбце с номером n + j будет стоять сумма ai1b1 j  ai 2 b2 j    ain bnj . Эта
сумма, исходя из правила перемножения матриц, равна элементу матрицы
C  AB . Таким образом, в правом верхнем углу оказалась матрица С.
Определитель  принял вид
a11
a 21

a
  n1
1
a12
a 22

an2
0
 a1n
 a 2n
 
 a nn
 0
c11 c12
c 21 c 22
 
c n1 c n 2
0
0
 c1n
 c 2n
 
 c nn
 0
0

0
1

0



0

0



0

1
0

0
0

0
Применим теперь разложение определителя  по последним п столбцам.
Дополнительный минор для минора, стоящего на пересечении первых п
строк и последних п столбцов равен (–1)п. Для самого минора сумма s,
определяемая формулой (*), будет равна
s  1  2    n  n  1  ( n  2 )    2n  2n 2  n
Отсюда получается:
2
   12n  n  1n det C  det C
Теорема. Если в п-мерном векторном пространстве даны две системы
векторов (4) и (5), из которых первая линейно независима и линейно
выражается через вторую, то число векторов в первой системе не
больше, чем во второй.
Доказательство. Пусть n > s, и выражение первой системы через
вторую имеет вид:
α1  c11β1  c12 β 2 
α 2  c 21β1  c 22 β 2 



α n  c n1β1  c n 2 β 2 
  c1s β s
  c 2s β s


  c ns β s
Рассмотрим систему s-мерных векторов
c1T  c11 , c12 , , c1s 
c 2 T  c 21 , c 22 , , c 2 s 

cn
T
 c n1 , c n 2 , , c ns 
Так как n > s, из доказанного выше следует, что система c1 , c 2,,c n линейно
зависима, то есть найдутся такие числа l1 , l 2 , , l n , не все равные нулю, что
выполняется равенство
l1c1  l 2 c 2    l n c n  0
(7)
Это равенство можно расписать в координатах:
l1c11  l 2 c 21    l n c n1

0
l1c12  l 2 c 22    l n c n 2  0

 
l1c1s  l 2 c 2 s    l n c ns  0
(7*)
Рассмотрим теперь линейную комбинацию
l1α1  l 2 α 2    l n α n
Она равна
l1 c11β1  c12 β 2    c1s β s  
 l 2 c 21β1  c 22 β 2    c 2 s β s  




 l n c n1β1  c n 2 β 2    c ns β s  
(8)
 β1 l1c11  l 2 c 21    l n c n1  
 β 2 l1c12  l 2 c 22    l n c n 2  





 β s l1c1s  l 2 c 2 s    l n c ns   0
Последнее равенство следует из (7*). Из него в свою очередь следует
линейная зависимость системы (4), что противоречит условию теоремы.
Таким образом, доказано, что утверждение теоремы верно. В дальнейшем эту
теорему будем называть основной теоремой.
Теорема. Если в данной линейно зависимой системе векторов взяты две в ней
максимальные линейно независимые подсистемы, то эти подсистемы
содержат равное число векторов.
Справедливость теоремы следует из того, что всякая максимальная
линейно независимая подсистема системы векторов эквивалентна самой
системе, и по свойству транзитивности все максимальные линейно
независимые подсистемы эквивалентны между собой. Следовательно, они
содержат одинаковые числа векторов.
Теорема. Пусть даны две системы п-мерных векторов:
1, 2,, r
(9)
1, 2, ,s,
(10)
не обязательно линейно независимые, причём ранг системы (9) равен числу
k, ранг системы (10) – числу l. Если первая система линейно выражается
через вторую, то k  l. Если же эти системы эквивалентны, то k = l.
Пусть системы
являются
соответственно
α i1 , α i2 , , α ik
(11)
β j1 , β j2 , , β jl
(12)
произвольными
максимальными
линейно
независимыми подсистемами систем (9) и (10). Система (9) эквивалентна
системе (11), а система (10) эквивалентна системе (12) Из того, что система
(9) линейно выражается через систему (10) следует, что она линейно
выражается через систему (12). Но из того, что (9) и (11) эквивалентны,
следует, что (11) тоже линейно выражается через (12). Так как (11) линейно
независима, из основной теоремы следует, что k  l. Если эти системы
эквивалентны, аналогичными рассуждениями можно показать, что l  k.
Этим доказывается второе утверждение теоремы.
Теорема. Ранг матрицы равен наивысшему порядку отличного от нуля
минора.
Доказательство. Пусть наивысший порядок отличного от нуля минора
матрицы А (1) равен r. Перестановками строк и столбцов можно добиться
того, что этот минор будет стоять в верхнем левом углу матрицы, которую
обозначим А*. Очевидно, что если все миноры (r + 1)-го порядка у А равны
нулю, то и у матрицы А* такие миноры тоже будут равны нулю. Обозначим
минор порядка r, стоящий в верхнем левом углу через М. Очевидно, что
первые r столбцов матрицы линейно независимы. Если бы это было не так, то
столбцы, составляющие минор М были бы линейно зависимы, и этот минор
равнялся бы нулю.
Теперь осталось доказать, что любой k-й столбец матрицы при
r < k  m будет линейной комбинацией первых r столбцов. Выберем
произвольные числа i и j (r < j  n). Поменяем местами в матрице А* (r+1)-ю
строку c i-й и (r+1)-й столбец с j-м. Теперь минор М получился
“окаймлённым” минором Mij
M ij 
a11  a1r
  
a1 j
a r1  a rr
a i1  air
a rj

aij
При любых i минор Mij будет равен нулю. Например, если r < i  n, то Mij
является минором порядка r + 1 матрицы А, и следовательно, по условию
равен нулю. Если i  r, то Mij не является минором матрицы А, но он
содержит две одинаковых строки, и поэтому равен нулю.
Разложим минор Mij. по последней строке:
M ij  ai1 A1  ai 2 A2    air Ar  aij M  0
(2)
Поскольку в последней формуле алгебраическое дополнение элемента аik не
зависит от i, оно обозначено Аk. Поскольку М  0, из равенства (2) можно
выразить элемент j-го столбца aij через элементы первых r столбцов i-й
строки:
A
A
A
aij   1 ai1  2 ai 2    r air
M
M
M
Это равенство справедливо при всех i (i = 1,2,,r), причём коэффициенты
при аik от i не зависят. Отсюда следует, что i-й столбец матрицы будет
линейной комбинацией её первых r столбцов. Таким образом, в системе
столбцов
матрицы
А
найдена
максимальная
линейно
независимая
подсистема, состоящая из r столбцов, то есть ранг матрицы А равен r.
Ранг
произведения
двух
матриц
не
выше
ранга
каждого
из
сомножителей.
Пусть имеются две матрицы А и В, которые можно перемножать и
пусть АВ = С. В i-й строке, и j-м столбце матрицы-произведения С стоит
элемент c ij , определяемый формулами:
при i = 1
c1 j  a11b1 j  a12 b2 j    a1n bnj
при i = 2
c 2 j  a 21b1 j  a 22 b2 j    a 2n b1nj
при произвольном i
cij  ai1b1 j  ai 2 b2 j    ain bnj
(9)
Здесь видно, что j-й столбец матрицы С представляет собой линейную
комбинацию столбцов матрицы А, взятых с коэффициентами b1 j ,b2 j , ,bnj .
Отсюда следует, что система столбцов матрицы С линейно выражается через
систему столбцов матрицы А, и ранг системы столбцов С не превышает
ранга системы столбцов А.
Если теперь использовать формулу (9) для элементов произвольной
строки матрицы С, то получится:
при j = 1
ci1  ai1b11  ai 2 b21    ain bn1
при j = 2
ci 2  ai1b12  ai 2 b22    ain bn 2
и так далее.
Отсюда видно, что система строк матрицы С является линейной
комбинацией системы строк матрицы В, следовательно, ранг системы строк
матрицы С не может превышать ранга системы строк матрицы В, и теорема
доказана.
Ранг произведения произвольной матрицы А справа или слева на
невырожденную квадратную матрицу Q равен рангу матрицы А.
Доказательство. Пусть
AQ = C
(**)
Из первой теоремы о ранге матрицы следует, что ранг матрицы С не выше
ранга матрицы А. Если умножить обе части равенства (**) на Q–1 справа,
получится равенство
AQ = CQ–1
Из той же теоремы о ранге матрицы следует, что ранг А не выше ранга С.
Отсюда следует, что ранги матриц А и С совпадают.
Теорема Кронекера-Капелли.
Рассмотрим систему уравнений
 a11 x1
a x
 21 1

 
a m1 x1
 a12 x 2
 a 22 x 2
   a1n x n
   a 2n x n



 a m2 x 2


   a mn x n
 
 bm
b1
b2
(3)
Обозначим через А матриц у её коэффициентов и через А* её расширенную
матрицу.
Теорема. Для того, чтобы система линейных уравнений была совместной,
необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы её коэффициентов равнялся
рангу расширенной матрицы.
Доказательство. Пусть система (3) совместна. Тогда существует набор чисел
z1 , z 2 , , z n , который будет решением системы. Если подставить этот набор
чисел в систему, то получится выражение столбца свободных членов в виде
линейной комбинации столбцов коэффициентов. Всякий другой столбец
расширенной матрицы системы очевидно тоже можно представить в виде
линейной комбинации матрицы коэффициентов. Очевидно, что и любой
столбец матрицы коэффициентов системы можно представить в виде
линейной комбинации столбцов расширенной матрицы. Таким образом,
системы столбцов матрицы коэффициентов и столбцов расширенной
матрицы эквивалентны. Это означает, что их ранги равны.
Пусть теперь ранги матрицы коэффициентов системы и расширенной
матрицы системы (3) равны. Тогда некоторая максимальная линейно
независимая система столбцов матрицы коэффициентов будет также
максимальной линейно независимой системой столбцов расширенной
матрицы. Отсюда следует, что столбец свободных членов может быть
представлен
в
виде
линейной
комбинации
столбцов
матрицы
коэффициентов. Набор коэффициентов этой линейной комбинации и будет
решением рассматриваемой системы уравнений.
Теорема. Если ранг r матрицы коэффициентов системы (4) меньше числа
уравнений п, то всякая фундаментальная система решений системы
уравнений (4) состоит из п – r решений.
Доказательство.
Рассмотрим
определитель порядка п – r:
произвольный,
отличный
от
нуля
d
c1,r 1
c1,r  2

c1,n
c 2 ,r 1
c 2 ,r  2

c 2 ,n




c n  r ,r  2  c n  r ,n
c nr ,r 1
Придадим свободным неизвестным системы значения из i-й строки
определителя:
xr+1 = ci,r+1,
xr+2 = ci,r+2,,
xп = ci,п.
Тогда
однозначно
определятся значения базисных переменных х1, х2, , хr. Таким образом,
можно
получить
определённое
решение
системы
(4)
α i T  ci1 , ci 2 , , cir , ci ,r 1 , ci ,r  2 , , cin  Перебрав все строки определителя
d, получим систему векторов
α1 , α 2 , , α n  r ,
(5)
которая является фундаментальной системой решений системы (4). Чтобы
это доказать, нужно, во-первых, доказать, что система (5) линейно
независима, и во-вторых, что любое решение системы (4) можно представить
в виде линейной комбинации системы векторов (5). Первое очевидно, так как
матрица, составленная из векторов системы (5), имеет отличный от нуля
минор порядка n  r, равный d.
Чтобы доказать второе, предположим, что вектор

β T  b1,b2 , , br , br 1 , , bn

(6)
T
является некоторым решением системы (4). Обозначим α i* , i  1,2, , n  r
T
i-ю строку определителя d и β*  br 1 , br 2 , , bn  . Система векторов
α1* , α 2* , α nr* , β*
очевидно, линейно зависима (число векторов превышает размерность
векторов), и существует набор чисел k1 , k 2 , , k n r , что
β*  k1α1*  k 2 α 2*    k nr α nr*
Теперь рассмотрим п-мерный вектор
δ  k1α1  k 2 α 2    k nr α nr  β
(7)
Вектор  является решением системы (4). Из (7) следует, что в решении  все
свободные переменные равны нулю. Однако, при всех свободных
неизвестных, равных нулю, система (4) может иметь только нулевое
решение, то есть  = 0, откуда следует, что
β  k1α1  k 2 α 2    k nr α nr ,
и теорема доказана.
Теорема. Для любых двух многочленов f(x) и g(x) можно найти такие
многочлены q(x) и r(x), что
f  x   g  x q x   r  x  ,
(2)
причём степень r(x) меньше степени g(x) или же степень r(x) равна нулю.
Многочлены q(x) и r(x), удовлетворяющие этому условию, определяются
однозначно.
Сначала докажем единственность многочленов q(x) и r(x). Пусть
существуют ещё многочлены q1(x) и r1(x), удовлетворяющие равенству
f  x   g  x q1  x   r1  x 
(3)
причём степень r1(x) меньше степени g(x). Приравнивая правые части
равенств (2) и (3), получим
g  x q x   q1  x   r1  x   r  x 
Степень многочлена в правой части этого равенства меньше степени g(x), а
степень многочлена в левой части при q x   q1  x  выше или равна степени
g(x). Отсюда следует, что q x   q1  x , а это влечёт за собой r(x) = r1(x), и
единственность доказана.
Докажем теперь существование многочленов q(x) и r(x). Пусть
многочлены f(x) и g(x) имеют степени соответственно п и s. Если п < s, то
полагая q(x) = 0, r(x) = f(x), получим желаемый результат. Пусть п  s.
Примем
f  x   a 0 x n  a1 x n1    a n1 x  a n ,
g  x   b0 x s  b1 x s 1    bn1 x  bn ,
a0  0
b0  0
Положим
a
f1 x   f ( x )  0 x n s g x 
b0
(3)
В результате получен многочлен степени, меньшей, чем п. Обозначим эту
степень через п1, а старший коэффициент многочлена f1(x) через а10.
Положим, если п1  s,
a
f 2  x   f1 x   10 x n1  s g  x 
b0
(4)
Теперь обозначим через п2 степень, а через а20 старший коэффициент
многочлена f2(x). Далее положим
a
f 3  x   f 2  x   20 x n2  s g  x 
b0
(5)
и т. д.
Так как степени многочленов f1(x), f2(x), убывают, то есть
п > n1 > n2 > , то проделав конечное число шагов, мы придём к многочлену
fk(x)
a
f k x   f k 1 x   k 1,0 x nk 1  s g x  ,
b0
(*)
степень которого nk меньше s. После этого процесс останавливается.
Складывая теперь равенства (3), (4), (5), ,(*), получаем
a
a

a
f  x    0 x n  s  10 x n1  s    k 1,0 x nk 1  s  g  x   f k  x 
b0
b0
 b0

В последнем равенстве многочлены
a
a
a
qx   0 x n  s  10 x n1  s    k 1,0 x nk 1  s , r  x   f k  x 
b0
bo
b0
удовлетворяют равенству (1), причём степень r(x) меньше степени g(x).
Алгоритм Эвклида нахождения наибольшего общего делителя. Пусть
даны многочлены f(x) и g(x). При делении f(x) на g(x) в общем случае
получается остаток r1(x). После деления g(x) на r1(x) получается остаток r2(x).
После этого делим r1(x) на r2(x) и. т. д. Так как степени остатков всё время
понижаются, должен наступить момент, когда деление совершится нацело и
поэтому процесс остановится. Тот остаток rk(x), на который нацело делится
предыдущий остаток rk–1(x) и будет наибольшим общим делителем
многочленов f(x) и g(x).
Доказательство. Воспроизведём изложенное выше в виде равенств
f x 

g x 
r1  x 

rk 3  x 
rk 2  x 
rk 1  x 
g  x q1  x   r1  x 


r1  x q 2  x   r2  x  


r2  x q 3  x   r3  x  




 rk  2  x q k 1  x   rk 1  x 


rk 1  x q k  x   rk  x  


rk  x q k 1  x 

(6)
Из последнего равенства следует, что rk(x) является делителем для rk–1(x).
Тогда rk(x) –делитель rk–2(x). Поднимаясь вверх по цепочке равенств (6),
получим, что rk(x) – делитель для r1(x) и g(x), а следовательно и для f(x).
Таким образом, показано, что r1(x) – общий делитель для f(x) и g(x).
Чтобы доказать что r1(x) – наибольший общий делитель для f(x) и g(x)
возьмём произвольный общий делитель   x  многочленов f(x) и g(x). Из
первого равенства (6) следует, что r1(x) делится на   x  . Тогда из второго
равенства (6) следует, что r2(x) также делится на   x  . Продолжая двигаться
по цепочке равенств (6) придём к выводу, что rk–1(x), а следовательно и rk(x)
делится на   x  . Теперь можно утверждать, что rk(x) – наибольший общий
делитель для f(x) и g(x).
Теорема. Если   x  – наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x),
то можно найти такие многочлены u(x) и v(x), что
f  x u  x   g  x v x     x 
(7)
Если степени многочленов при этом f(x) и g(x) больше нуля, то степень u(x)
меньше степени g(x), а степень v(x) меньше степени f(x).
Доказательство. Рассмотрим последнее равенство (6). Если rk(x) = (х),
то положив u1(x) = 1, v1(x) = –qk(x), получим из предпоследнего равенства (6)
 x   rk 2  x u1 x   rk 1  x v1  x 
Если подставить сюда выражение для rk–1(x) из предыдущего равенства (6),
то можно получить
 x   rk 3  x u 2  x   rk 2  x v 2  x  ,
где u1(x) = v1(x), v2(x) = u1(x) – v1(x)qk–1(x). Продолжая подниматься по
равенствам (6), придём к равенству (7).
(*)
Для доказательства того, что степень u(x) меньше степени g(x), а
степень v(x) меньше степени f(x), предположим, что многочлены u(x) и g(x),
удовлетворяющие равенству (7), найдены, но степень u(x) больше или равна
степени g(x). Тогда имеет место равенство
u(x) = g(x) q(x) + r(x),
(8)
где степень r(x) меньше степени g(x). Если подставить это выражение в(7),
получится
f(x)r(x) + g(x)[ v(x)+ f(x) q(x)] =  (х).
В последнем равенстве множитель r(x) при f(x) имеет степень, меньшую, чем
степень g(x). В квадратных скобках стоит многочлен, степень которого
меньше степени f(x), так как в противном случае степень многочлена в левой
части этого равенства была бы выше или равна степени f(x)g(x), что
противоречит определению  (х).
Теорема. Если многочлен f(x) взаимно прост с каждым из многочленов  (х)
и (х), то он взаимно прост с их произведением.
Доказательство. Очевидно, существуют такие многочлены u(x) и v(x),
что
f(x) u(x)
Умножим это равенство на (х):
+  (х) v(x) =1
f(x) (u(x) (х)) +( (х) (х)) v(x) = (х)
Из последнего равенства следует, что всякий общий делитель f(x) и  (х) (х)
является общим делителем для (х), но по условию теоремы f(x) и (х)
взаимно просты.
Теорема. Если произведение многочленов f(x) и g(x) делится на  (х), но f(x)
и  (х) взаимно просты, то g(x) делится на  (х).
Доказательство. Умножая равенство
f(x) u(x) +  (х) v(x) = 1
на g(x), получаем
(f(x) g(x)) u(x) +  (х) (v(x) g(x)) = g(x)
Оба слагаемых правой части делятся на  (х), следовательно и g(x) делится на
 (х).
Теоремы о комплексных сопряженных корнях многочлена. Пусть
многочлен с действительными коэффициентами
f(x) = a0x n + a1x n – 1+ a2x n – 2 ++ an
имеет комплексный корень , то есть
a0 n + a1 n – 1+ a2 n – 2 ++ an = 0
Это равенство не нарушится, если все числа  заменить сопряженными, то
есть приходим к равенству
a0 n  a1 n 1    a n  0 ,
то есть f    0 .
Таким образом, если комплексное (но не действительное) число 
является корнем многочлена f  x  с действительными коэффициентами, то
корнем для f  x  будет и сопряженное число  .
Многочлен
f  x  будет, следовательно, делиться на квадратный
трёхчлен
x   x   x     x 2     x   ,
(5)
коэффициенты которого действительны. Пользуясь этим, докажем, что корни
 и  имеют в многочлене f  x  одну и ту же кратность.
Пусть эти корни имеют соответственно кратности k и l и пусть k > l.
Тогда f  x  делится на l-ю степень многочлена   x 
f x   x l qx 
Многочлен
q(x),
действительными
как
частное
от
коэффициентами,
деления
также
двух
имеет
многочленов
с
действительные
коэффициенты, но в противоречие с доказанным выше, он имеет число 
своим корнем, тогда как  не является для него корнем. Отсюда следует, что
k = l.
Теперь можно сказать, что комплексные корни любого многочлена с
действительными коэффициентами попарно сопряжены.