L6-3

Потенциальная энергия.
Тот факт, что работа сил, действующих в потенциальных силовых полях, зависит только от
координат начального и конечного положений частицы, дает возможность характеризовать
потенциальные поля скалярной физической величиной, называемой потенциальной энергией.
Пусть частица перемещается из различных точек потенциального силового поля в заранее
выбранную точку О (рис.6.5). Так как работа сил поля на это перемещение не зависит от вида
траектории, то она может зависеть только и только от радиус-вектора r , характеризующего
положение точки D:
O
AD- O =
ò Fdr = U (r ).
(6.18)
D
Скалярная функция U, зависящая от положения частицы (относительно фиксированной точки
О), называется потенциальной энергией частицы в точке D поля. Работу, совершенную силами
поля на перемещение частицы между двумя произвольными точками, можно выразить
убыванием функции U. Действительно, так как работа сил поля не зависит от траектории
перемещения, то перемещение частицы 1-2 произведем так, чтобы траектория проходила через
точку О (рис. 6.5). Так что можно написать
Рис. 6.5
A1- 2 = A1- O + AO- 2 = A1- O - A2- O ,
откуда, с учетом (6.18), получим
A12 U  r1  U  r2    U  r 
(6.19)
Следовательно, работа сил поля на перемещение частицы между двумя
произвольными точками 1-2 равна убыли потенциальной энергии частицы.
Потенциальная энергия частицы в данной точке поля остается неопределенной. Однако если
задать значение потенциальной энергии частицы в какой-либо точке поля, то, перемещая
частицу из этой точки в различные точки поля и измеряя работу сил поля, из (6.19) сможем
однозначно определить потенциальную энергию во всех точках поля. Это обычно
осуществляется выбором нулевого уровня потенциальной энергии. То есть, предварительно
договариваются потенциальную энергию в какой-то точке О считать за ноль. Выбор нулевого
уровня потенциальной энергии поля называется нормировкой потенциальной энергии.
Теперь уже понятно, что при введении потенциальной энергии частицы в (6.18) мы молчаливо
принимали точку О как нулевой уровень потенциальной энергии.
Если потенциальная энергия нормирована, то потенциальная энергия частицы в
произвольной точке поля численно равна работе, которую совершают силы поля при
перемещении частицы из рассматриваемой точки в нулевой уровень.
Сравнивая (6.19) с выражениями (6.6) - (6.8), полученными нами для работы сил упругости,
кулоновских и гравитационных сил и сил тяжести, получим потенциальные энергии частицы в
этих силовых полях:
U упр (r )=
kx 2
+ C1 ,
2
(6.20)
U кул (r )=
a
+ C2 ,
2
(6.21)
U тяж (z )= mgz + C2
.
(6.22)
Выбором следующих условий нормировки
U упр (0)= 0, Uкул (¥ )= 0, Uтяж (0)= 0 ,
(6.23)
в формулах (6.20)-(6.22) постоянные слагаемые обратятся в нуль.
Следует заметить, что все физические формулы, которые могут быть сравнены с
результатами экспериментов, содержат только разность потенциальных энергий, которая не
зависит от условия нормировки. Так что нормирование потенциальной энергии не играет в
физике большой роли.
Еще одно замечание. Потенциальная энергия не является характеристикой частицы в
потенциальных силовых полях. Она характеризует способность силового поля, созданного
консервативно взаимодействующими телами, совершить механическую работу. Частица в данном
случае – пассивный объект для изучения энергетических свойств поля.
И так, воздействие потенциального силового поля на частицу можно охарактеризовать двумя
способами: силой F, действующей на частицу (силовая характеристика) и потенциальной
энергией частицы U в каждой точке этого поля (энергетическая характеристика). Обе эти
характеристики равноправны. Используя связи, существующие между ними, из одной можно
получить другую.
Получим связь между силой и потенциальной энергией.
Пусть частица в потенциальном поле совершила элементарное перемещение dr . По
определению, работа сил поля на рассматриваемое перемещение будет
 A  Fdr  Fs ds .
(6.24)
С другой стороны, эта работа равна убыли потенциальной энергии частицы:
 A   dU ,
(6.25)
что является выражением (6.19) для элементарного перемещения частицы. Из записанных
соотношений (6.18) и (6.25) следует, что если известен вид действующих в поле сил F(r), то
потенциальная энергия в произвольной точке r определится интегралом
r
U  r     F  r  dr ,
(6.26)
O
где точка О выбрана в качестве нулевого уровня потенциальной энергии.
Если известна потенциальная энергия, то из соотношений (6.24) и (6.25) получим
Fs  
U
s
,
(6.27)
который является градиентом потенциальной энергии, взятым с обратным знаком. Значит,
проекция силы вдоль перемещения Fs , действующей на частицу со стороны поля,
равна проекции градиента потенциальной энергии частицы на это же направление,
взятой с обратным знаком.
Элементарное перемещение dr и силу F в прямоугольной системе координат можно
представить в следующем виде:
dr  iˆdx  ˆjdy  kˆdz;
F  iˆFx  ˆjFy  kˆFz .
(6.28)
(6.29)
Рассматривая работу составляющих этой силы в направлении соответствующих координатных
осей и приравнивая их убыли потенциальной энергии частицы U  x, y, z  по этим осям, получим
Fx  
U
U
U
; Fy  
; Fz  
.
x
y
z
(6.30)
С учетом этого, вектор силы (6.29), действующей на частицу, примет следующий вид:
 U ˆ U ˆ U 
F    iˆ
j
k
   gradU .
y
y 
 x
(6.31)
Выражение в скобках – это градиент скалярной функции U в прямоугольной системе
координат. Введя обозначение набла-оператора



  iˆ  ˆj  kˆ ,
x
x
x
(6.32)
соотношение (6.27) можно представить в виде
F   U .
(6.33)
Полученные соотношения (6.26) и (6.31) дают однозначную связь между силовой и
энергетической характеристиками потенциального поля. Например, если потенциальная энергия
частицы выражается формулой
U  x, y     x 2   y 2 ,
то сила, действующая в поле, будет:


F  2 iˆ x  ˆj y .