Рабочая программа дисциплины – Линейная алгебра

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Муниципальное образовательное учреждение
«Волжский институт экономики, педагогики и права»
Факультет менеджмента
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
___________/О.И. Егоршева/
«____»_____________ 2011 г.
Рабочая программа дисциплины
линейная алгебра и линейное программирование
Направление подготовки
080200.62 Менеджмент
Профиль подготовки
менеджмент организации
Квалификация (степень) выпускника
бакалавр
Форма обучения
очная, заочная
Волжский
2011
2
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями Федерального
государственного образовательного стандарта высшего профессионального
образования по направлению подготовки 080200.62 Менеджмент, утвержденного
приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 20 мая
2010г. №544.
Рабочая программа предназначена для преподавания дисциплины линейная
алгебра и линейное программирование вариативной части математического и
естественнонаучного цикла по направлению подготовки 080200.62 Менеджмент
студентам очной формы обучения в 4 семестре и студентам заочной формы
обучения на 2 курсе.
Составитель рабочей программы к.ф.-м.н. , доцент Меркулов В.А.
Программа одобрена на заседании кафедры математики и информатики
от 09 сентября 2011 года , протокол № 01-11.
Рецензент:
Подписи:
Зав. кафедрой математики и информатики _________ Меркулов В.А.
Декан экономического факультета
_________ Мильковская И.Ю.
Декан факультета менеджмента
_________ Киселева Н.А.
3
1. Цель освоения дисциплины
Целью освоения дисциплины является формирование знаний, умений и навыков, способствующих развитию математической культуры алгоритмического мышления и опыта в выборе инструментальных средств аналитических преобразований, моделирования и анализа управления
производственным процессом.
Приобретённый уровень подготовки должен обеспечивать умение читать нужную для этого
литературу и самостоятельно продолжать своё математическое образование.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина входит в раздел «Б.2. Математический и естественнонаучный цикл. Вариативная часть» ФГОС ВПО по направлению подготовки 080200.62 Менеджмент. Для освоения дисциплины необходимы знания, полученные по школьному общеобразовательному курсу алгебры и по
дисциплине «Математика» базовой части цикла.
Успешное освоение курса необходимо для изучения дисциплин «Методы принятия управленческих решений», «Информационные технологии в управлении» базовой и вариативной частей математического и естественнонаучного цикла и дисциплин профессионального цикла
ФГОС ВПО по направлению подготовки 080200.62 Менеджмент.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины формируются следующие компетенции:
- владеет культурой мышления, способностью к восприятию, обобщению и анализу информации,
постановке цели и выбору путей её достижения (ОК-5);
- владеет методами количественного анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-15);
- умеет применять количественные и качественные методы анализа при принятии управленческих решений и строить экономические, финансовые и организационно-управленческие
модели (ПК-31);
- способен выбирать математические модели организационных систем, анализировать их адекватность, проводить адаптацию моделей к конкретным задачам управления (ПК-32).
После изучения дисциплины обучающийся должен:
знать:
 математический язык и математическую символику для выражения количественных и качественных отношений между элементами математических объектов;
 основные понятия, инструменты и методы линейной алгебры и линейного программирования;
уметь:
 выполнять типовые математические задания из разделов дисциплины;
 использовать инструменты и методы линейной алгебры для записи и исследования систем линейных уравнений и экономико-математических моделей простейших задач линейного программирования;
владеть:
 навыками применения аппарата линейной алгебры для решения экономических задач;
 основами методики построения математических моделей линейных экономических процессов
и симплексным методом решения задачи линейного программирования.
4. Структура дисциплины по видам учебной работы. Формы текущего контроля
успеваемости и промежуточной аттестации
Общая трудоёмкость дисциплины составляет 4 зачётные единицы, 144 часа.
Дисциплина состоит из двух разделов: 1) линейная алгебра; 2) линейное программирование.
Объектами изучения линейной алгебры являются матрицы, определители, системы линейных
уравнений, векторные пространства. Основное прикладное значение имеет теория систем линейных уравнений, а матрицы и определители используются как удобный математический инструмент при изучении линейных систем. Последние применяются как в экономико-математических
4
моделях задач линейного программирования, так и в экономической теории, в которой широкое
применение находят также понятия матрицы, вектора и векторного пространства.
Разделы, состоящие из отдельных тем, изучаются на лекциях, на практических занятиях и в
процессе самостоятельной работы. Указанные виды учебной работы являются основными для
освоения дисциплины.
Текущий контроль успеваемости студентов по неделям семестра включает в себя проверку
выполнения домашних общих заданий и заданий индивидуального типового расчёта (ДЗ и ТР),
контрольный опрос по теории на тему практического занятия (контр. опрос), а также результат
аудиторной контрольной работы (КР).
Промежуточная аттестация по итогам освоения дисциплины проводится в форме зачёта с
оценкой. Темы разделов, изучаемые по неделям семестра в часах, для основных видов учебной работы, формы текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации представлены в таблице 1.
Таблица 1
Наименование тем дисциплины,
изучаемых на основных видах
учебной работы
Сем.
1
Виды учебной работы
недели
часы
Лекции
Практич. занятия
Самост.
работа
2
3
4
5
1. Матрицы и определители
4
2. Системы линейных уравнений
4
3. Общая задача ЛП
4
4. Свойства решений канонической задачи
4
5. Симплексный метод
4
6. Теория двойственности
4
1-3
8
4-8
10
9-11
6
12-13
4
14-15
4
16-17
4
1-6
12
7-12
12
13
2
14
2
15-16
4
17-18
4
1-6
20
7-12
22
13
8
14
6
15-16
8
17-18
8
Итого:
4
36
36
72
Формы текущего
контроля
успеваемости и промежуточной
аттестации
6
ДЗ, КР,
контр. опрос
ДЗ, ТР,
контр. опрос
ДЗ, контр.
опрос
ДЗ, ТР,
контр. опрос
ТР, контр.
опрос
ТР, контр.
опрос
Зачёт с
оценкой
Для студентов заочной формы обучения лекции и практические занятия, организуемые во
время сессии, имеют цель кратко сообщить основные понятия, определения, формулы и теоремы,
указать главные практические приложения и факты из истории дисциплины.
На лекциях более подробно могут быть разобраны наиболее важные вопросы программы. На
практических занятиях рассматриваются типовые задания, даётся образец решения варианта домашней контрольной работы с методическими указаниями по её выполнению и оформлению.
Основным видом учебной работы студента-заочника является самостоятельная работа. Она
складывается из чтения учебника и конспекта лекций, решения задач и выполнения контрольной
работы, в процессе рецензирования которой преподавателем осуществляется текущий контроль
успеваемости. Структура дисциплины по видам учебной работы в часах и форма промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины в соответствии с учебным планом представлены в
таблице 2.
5
Таблица 2
Виды учебной работы ,
форма промежуточной аттестации
Аудиторные занятия
Заочная форма обучения
Основная
Ускоренная
Курс 2, часы
Курс 2, часы
18
16
Лекции
10
8
Практические занятия
8
8
122
124
4
4
144
144
1
1
Самостоятельная работа
Зачёт с оценкой
Итого:
Количество контрольных работ
5. Содержание дисциплины
5.1. Наименование тем и перечень вопросов, изучаемых на лекциях
1. Матрицы и определители. Числовые матрицы и их виды. Операции над матрицами и их
свойства. Определители квадратных матриц. Основные свойства определителей и их следствия,
формулы Лапласа. Определение и вычисление обратной матрицы. Решение квадратной системы
линейных уравнений методом обратной матрицы. Формулы Крамера.
Литература: [1], гл.1, п.1.1-1.5; [3], гл.6, п.6.1-6.4;[4], гл.6, п. 6.1-6.4, гл. 7, п.7.2.
2. Системы линейных уравнений. Основные понятия общей теории линейных систем.
Элементарные преобразования систем линейных уравнений и матриц. Система линейных уравнений с базисом, метод Жордана-Гаусса. Вычисление обратной матрицы и ранга матрицы методом
элементарных преобразований. Теорема Кронекера-Капелли об условии совместности системы
линейных уравнений. Линейная однородная система и её исследование. Собственные значения и
собственные векторы квадратной матрицы.
Литература: [1], гл.2; [3], гл.7; [4], гл.7, гл. 13, п. 13.9.
3. Общая задача линейного программирования. Задачи математического и линейного
программирования. Математические модели экономических задач использования ресурсов и составления рациона. Каноническая форма задачи линейного программирования. Геометрическая
интерпретация и графический метод решения стандартной задачи.
Литература: [5], гл.1; гл.2, п. 2.3; гл.4; [4], гл.8, п.8.1-8.3, п.8.6, п.8.8; [6], D.1-2.
4. Свойства решений канонической задачи. Выпуклые множества. Многоугольник и многогранники. Область допустимых решений канонической задачи. Опорное решение и его связь с
угловыми точками многогранника решений.
Литература: [5], гл.2, п.2.2; гл.3; [4], гл.8, п. 8.4,п.8.5, п.8.7; [6], D.3.
5. Симплексный метод. Критерий оптимальности опорного решения. Улучшение опорного
решения. Алгоритм симплексного метода решения задач линейного программирования.
Литература: [5], гл.5, п.5.1-5.4; [4], гл.8, п.8.9, п.8.10; [6], D.4.1-4.4.
6. Теория двойственности. Симметричные взаимно двойственные задачи и их экономический смысл. Алгоритм составления симметричной двойственной задачи. Теоремы двойственности.
Анализ двойственных оценок ресурсов.
Литература: [5], гл.6; [4], гл.8, п.8.11-8.13; [6], D.5.1-5.4.
5.2. Наименование тем и перечень вопросов, изучаемых на практических занятиях
1. Матрицы и определители. Числовые матрицы и действия над ними. Вычисление определителей различных порядков. Вычисление обратной матрицы и решение матричных уравнений.
Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными с помощью обратной матрицы
и по формулам Крамера.
Литература: [2], гл.1, п.1.1, п.1.2; гл.2, п.2.1; [3], гл.6, п.6.3; гл.7, п.7.2.
6
2. Системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методом ЖорданаГаусса. Вычисление обратной матрицы и ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Исследование линейных систем по теореме Кронекера-Капелли. Вычисление собственных
значений и собственных векторов квадратной матрицы.
Литература: [2], гл.1, п.1.2, п.1.3; гл.2, п.2.3; гл.3, п.3.4; [3], гл.7, п.7.5-7.7.
3. Общая задача линейного программирования. Геометрическая интерпретация и графический метод решения стандартной задачи линейного программирования с двумя переменными и
с п переменными.
Литература: [5], гл.2, п.2.3; гл.4.
4. Свойства решений канонической задачи. Составление экономико-математической модели производственной задачи использования ресурсов и представление её в канонической форме.
Нахождение и анализ первого опорного решения.
Литература: [8], Раздел III, Тема 12.
5. Симплексный метод. Улучшение опорного решения и преобразование целевой функции.
Экономический анализ и проверка на оптимальность нового опорного решения. Повторение шагов
симплексного метода до нахождения оптимального решения. Экономический анализ оптимального решения.
Литература: [8], Раздел III, Тема 13.
6. Теория двойственности. Математическая формулировка исходной стандартной задачи
использования ресурсов и составление для неё симметричной двойственной задачи нахождения
оптимального набора цен каждого типа ресурсов. Решение двойственной задачи на основании
теорем двойственности. Табличная форма симплексного метода решения исходной и симметричной двойственной задач линейного программирования.
Литература: [8], Раздел III, Тема 16, Тема 14.
5.3. Самостоятельная работа и контролируемая самостоятельная работа студентов
Учебные задачи: изучение теоретического лекционного курса; приобретение умений и навыков использовать изученные математические методы для самостоятельного решения и исследования типовых задач; развитие способностей к логическому и алгоритмическому мышлению; воспитание математической культуры аналитических преобразований.
Таблица 3
№
Виды СРС и КСРС
Часы
п/п
1 Проработка лекций по конспекту (СРС).
18
2 Выполнение домашних практических заданий (КСРС).
36
3 Подготовка к контрольной работе (СРС).
6
4 Выполнение индивидуального типового расчёта (КСРС).
12
Всего часов:
72
Типовой расчет содержит индивидуальные задания, выполняемые студентами самостоятельно с необходимыми пояснениями решения и указанием используемых теоретических понятий,
определений, теорем и формул. Выполнение ТР контролируется преподавателем. Предварительно
проверяется правильность решения задач. Завершающим этапом является защита ТР, во время которой студент должен уметь правильно отвечать на теоретические вопросы, пояснять решения
своих задач и уметь решать задачи аналогичного типа. Плановая продолжительность выполнения
ТР - текущий семестр.
Целью контрольной работы, выполняемой на практическом занятии в аудитории, является
проверка степени усвоения учебного материала по отдельным вопросам темы 1.
Контрольная работа студентов-заочников должна быть решена в полном соответствии с образцом её выполнения, выданным на практических занятиях. Срок сдачи контрольной работы на
рецензию определяется деканатом.
7
6. Образовательные технологии
При реализации основных видов учебной работы: лекций, практических занятий, самостоятельной работы – используются традиционные, при освоении математики, образовательные технологии разделов 4 и 5 с оценочными средствами контроля раздела 7.
7. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины
Выбор вида и формы контроля определяется целью освоения дисциплины раздела 1 и содержанием формируемых компетенций раздела 3.
Оценочными средствами текущего контроля успеваемости в форме устного опроса по
освоению теории и владению практическими методами решения математических задач являются
вопросы тем дисциплины, изложенные в разделах 5.1 и 5.2.
Оценочными средствами текущего контроля успеваемости в форме зачёта с оценкой являются контрольная работа и типовой расчёт, примерные варианты которых приведены ниже.
КР: Линейная алгебра
1. Вычислить матрицу D  2 ÀÂ   3Ñ 2  4 Å 2 , если

6
À  
8
4
5
 1

   4
 3

 3
,
 6 
1 

8,
 7 
 8
Ñ  
 5
3
.
 2 
2. Решить систему по формулам Крамера:
2 x1  x2  x3  3,

 x1  x2  x3  11,
 x  x  2 x  8.
2
3
 1
 5

3. Найти матрицу À , обратную матрице À   21
 1

1
0
2
0
21

16  .
4 
ТР: Линейная алгебра и линейное программирование
1. Вычислить определитель:
3
4  3 1 2
5 6
5
2
3
4 9 3 7 5 .
1  4 1
1 2
3 7
5
2
3
2. Решить систему методом обратной матрицы:
 x1  3x2  4 x3  1,

2 x1  x2  3x3  4,
3x  5 x  10 x  7.
2
3
 1
8
3. Решить систему методом Жордана-Гаусса. В ответе указать общее и базисное решения.
6 x1  3x 2  2 x3  3x 4  4 x5  5,
4 x  2 x  x  2 x  3x  4,
 1
2
3
4
5

4 x1  2 x 2  3x3  2 x 4  x5  0,
2 x1  x 2  7 x3  3x 4  2 x5  1.
4. Предприятие выпускает два вида изделий P1 и P2 . На изготовление единицы изделия P1
требуется затратить a11 кг сырья 1-го типа S1 , a21 кг сырья 2-го типа S 2 и a31 кг сырья
3-го типа S 3 . На изготовление единицы изделия
P2 требуется затратить a12 кг сырья 1-го
типа S1 , a22 кг сырья 2-го типа S 2 и a32 кг сырья 3-го типа S 3 . Производство обеспечено
сырьём каждого типа в количестве b1 кг, b2 кг и b3 кг соответственно. Стоимость единицы
изделия P1 составляет c1 тыс. руб., а единицы изделия P2 - c 2 тыс. руб.
Составить план производства изделий P1 и P2 , обеспечивающий максимальную сумму от
её реализации.
1) Решить задачу симплексным методом.
2) Сформулировать двойственную задачу и найти её решение.
a11  1 êã; a12  7 êã;
b1  840 êã; c1  30 òûñ. ðóá.;
a 21  5 êã; a 22  2 êã; b2  750 êã; c 2  49 òûñ. ðóá.
a31  4 êã ; a32  5 êã; b3  807 êã;
Оценочным средством текущего контроля успеваемости в форме зачёта для студентов
заочной формы обучения является контрольная работа КР: Линейная алгебра и линейное
программирование. Её варианты составляются из заданий 1 и 2 контрольной работы и заданий 3
и 4 типового расчёта, приведённых выше для студентов очной формы обучения.
Промежуточная аттестация по итогам освоения дисциплины для студентов очной формы
обучения проводится в форме зачёта с оценкой по результатам аудиторной контрольной работы и
домашнего типового расчёта.
Промежуточная аттестация по итогам освоения дисциплины студентами заочной формы
обучения проводится в форме письменного зачёта с оценкой по теоретической части учебного материала курса и практической части курса линейной алгебры. Практическая часть содержит два
задания из контрольной работы, теоретическая часть содержит один вопрос из приведённых ниже.
Вопросы к зачёту для студентов заочной формы обучения
1. Определение матрицы, её элементов и порядков. Понятие прямоугольной матрицы, матрицыстроки и матрицы-столбца. Понятие квадратной матрицы, её порядка, главной и побочной диагоналей. Определение единичной и нулевой матриц.
2. Определение равенства двух матриц. Определение суммы двух матриц и произведения матрицы на число. Понятие противоположной матрицы и разности двух матриц. Свойства операций
сложения матриц и умножения матрицы на число.
3. Определение произведения матрицы на матрицу. Две схемы умножения матрицы на матрицу.
Понятие перестановочных матриц. Умножение квадратной матрицы на единичную матрицу.
Основные свойства операции умножения матриц.
4. Определение целой положительной степени квадратной матрицы. Определение транспонированной матрицы. Пять свойств операции транспонирования матрицы, суммы матриц, произведения матрицы на число, произведения двух матриц, единичной матрицы.
5. Определение определителей квадратных матриц 2-го и 3-го порядков. Правило Сарруса вычисления определителя 3-го порядка.
6. Определение минора и алгебраического дополнения элемента определителя. Формула вычисления определителя 3-го порядка с помощью миноров и алгебраических дополнений элементов
первой строки определителя. Формулировка теоремы разложения, формулы Лапласа.
7. Решение системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными по формулам Крамера.
9
8. Основные понятия общей теории линейных систем: общий вид системы; понятие совместной и
несовместной системы; понятие определённой и неопределённой совместной системы. Три вида элементарных преобразований линейных систем. Понятие равносильных систем. Понятие
нулевого и противоречивого уравнений системы.
9. Определение линейной системы с базисом. Понятие базисных и свободных неизвестных.
Определения общего, частного и базисного решений. Понятие о решении линейной системы
методом Жордана-Гаусса.
10. Экономико- математическая модель производственной задачи использования ресурсов.
11. Каноническая форма производственной задачи. Допустимые и недопустимые, вырожденные и
невырожденные базисные решения. Опорное решение канонической задачи.
12. Определение оптимального решения канонической задачи. Критерий оптимальности опорного
решения.
13. Алгоритм симплексного метода решения задачи использования ресурсов.
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям /[Н.Ш. Кремер и др.]; под ред. проф. Н.Ш. Кремера.  3-е изд.
 М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006.  479с.
2. Практикум по высшей математике для экономистов: Учеб. пособие для вузов/ Н.Ш. Кремер, И.М. Тришин, Б.А. Путко и др.; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера.  М.: ЮНИТИ – ДАНА,
2005. – 423 с.
3. Меркулов В.А. Курс высшей математики. Избранные разделы. Разд.2: Элементы линейной
алгебры: Учеб. пособие/МОУ ВИЭПП.  Волгоград, 2004.  64с.
4. Меркулов В.А. Краткий курс высшей математики: Учеб. пособие/МОУ ВИЭПП.  Волжский, 2010.–320 с.
б) дополнительная литература:
5. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов/ Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко,
И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера.  М.: ЮНИТИ,1997.  407 с.
6. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник/Под ред. В.И. Ермакова.  М.:
ИНФРА - М, 2004.  656с.
7. Брыжина Э.Ф., Линьков А.М., Рабинович М.Г. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учеб. пособие по высш. мат. для сам. работы студ. всех спец./ЛИЭИ. – Л., 1989. – 96 с.
8. Меркулова Н.И. Прикладная математика для экономистов в примерах и задачах: Учебное
пособие для вузов и колледжей/Под ред. проф. В.И. Копылова. – Волгоград: Комитет по
печати и информации, 1999. – 304 с.
9. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике.  7-е изд.  М.: Наука, 1964.  872с.
10. Кудрявцев Л.Д. Мысли о современной математике и ее изучении.  М.: Наука, 1977.  112с.
11. Меркулов В.А. О некоторых принципах преподавания математики школьникам и студентам/Вестник ВолгГАСУ. Сер.:Гуманит. науки. 2000. Вып. 1(3). ВолгГАСУ, Волгоград,  с.96-101.
в) программное обеспечение и Интернет – ресурсы:
12. diqital. svyaznoy.ru.
13. www. litres.ru/
14. www. kniqka.info/
15. www.biblioclub.ru – электронная библиотека
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
В лекционной аудитории желательно наличие отдельной доски для записи основных исходных положений и промежуточных результатов, неоднократно используемых при изложении курса.
ЛИСТ
согласования рабочей программы
Направление подготовки (специальность):
080200.62 Менеджмент
Профиль (специализация): менеджмент организации
Дисциплина:
линейная алгебра и линейное программирование
Форма обучения: очная, заочная
Учебный год
2011 -2012
РЕКОМЕНДОВАНА заседанием кафедры математики и информатики
протокол № 01-11 от "09" сентября 2011г.
Ответственный исполнитель,
заведующий кафедрой
математики и информатики ___________ /Меркулов В.А./ “__” ___2011 г.
(подпись)
Исполнитель:
__________ / Меркулов В.А./
“__” ___2011 г.
(подпись)
СОГЛАСОВАНО:
Заведующий кафедрой ________________________________________________________________
наименование кафедры
личная подпись
расшифровка подписи
дата
Заведующий кафедрой ________________________________________________________________
наименование кафедры
личная подпись
расшифровка подписи
дата
Декан факультета _____________________________________________________________________
наименование факультета
личная подпись
расшифровка подписи
Заведующая библиотекой ________________________________________________________________
личная подпись
расшифровка подписи
дата
дата
Дополнения и изменения в рабочей программе
дисциплины на 20__/20__ уч. г.
Внесенные изменения на 20__/20__ учебный год
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
___________/О. И. Егоршева/
"__" __________________20__ г.
В рабочую программу вносятся следующие изменения:
1) …………………………………..;
2) …………………………………...
или делается отметка о нецелесообразности внесения каких-либо изменений на
данный учебный год
Рабочая программа пересмотрена на заседании кафедры
_________________________________________________________________
(дата, номер протокола заседания кафедры, подпись зав. кафедрой).
СОГЛАСОВАНО:
Заведующий кафедрой
математики и информатики
___________ /Меркулов В.А./ «__»___2011 г.
Заведующая библиотекой
__________________________________________________________________
личная подпись
расшифровка подписи
дата