2.3 Эквивалентные преобразования электрических цепей.

2.1 Топологические параметры цепи.
Электрической цепью называют совокупность тел и сред, образующих замкнутые пути для
протекания электрического тока.
Обычно физические объекты и среду, в которой протекает электрический ток, упрощают до
условных элементов и связей между ними. Тогда определение цепи можно сформулировать как
совокупность различных элементов, объединенных друг с другом соединениями или связями, по
которым может протекать электрический ток.
Элементами электрической цепи являются источники электрической энергии, активные и
реактивные сопротивления.
Связи в электрической цепи изображаются линиями и по смыслу соответствуют идеальным
проводникам с нулевым сопротивлением.
Связи цепи, наряду с элементами, определяют ее свойства и для одних и тех же элементов можно
создать множество различных электрических цепей различающихся только связями.
Связи элементов электрической цепи обладают топологическими свойствами, т.е. они не
изменяются при любых преобразованиях, производимых без разрыва связей. Пример такого
преобразования показан на рис. 1.
Возможность взаимно однозначного преобразования электрической цепи позволяет использовать
его до начала анализа для приведения схемы к наиболее простому и легко воспринимаемому виду.
Так схема на рис. 1 б) выглядит значительно проще, чем схема а).
Для описания топологических свойств электрической цепи используются топологические понятия,
основными из которых являются узел, ветвь и контур.
Узлом электрической цепи называют место (точку) соединения трех и более элементов.
Графически такое соединение может изображаться различными способами.
Обратите внимание на точку в месте пересечения линий схемы. Если она отсутствует, то это
означает отсутствие соединения. Точка может не ставиться там, где при пересечении линия
заканчивается (рисунок а)).
Узел не обязательно имеет вид точки. На рис. 1 б) вся нижняя линия связи, соединяющая R2, E, R5
и R3 , является узлом, а на рис. 1 а) этот же узел представлен диагональной связью.
Ветвью называют совокупность связанных элементов электрической цепи между двумя узлами.
Ветвь по определению содержит элементы, поэтому вертикальные связи рис. 2 а) и б) ветвями не
являются. Не является ветвью и диагональная связь рис. 1 а).
Контуром (замкнутым контуром) называют совокупность ветвей, образующих путь, при
перемещении вдоль которого мы можем вернуться в исходную точку, не проходя более одного
раза по каждой ветви и по каждому узлу.
По определению различные контуры электрической цепи должны отличаться друг от друга по
крайней мере одной ветвью.
Количество контуров, которые могут быть образованы для данной электрической цепи ограничено
и определено.
2.2 Источники электрической энергии.
Источники электрической энергии являются необходимым элементом любой электрической цепи.
Их разделяют на идеальные и реальные источники. В свою очередь, идеальные источники делятся
на источники электродвижущей силы (ЭДС) и источники тока .
Источники ЭДС - это такие элементы электрической цепи, у которых разность потенциалов на
выходе не зависит от величины и направления протекания тока, т.е. их вольтамперные
характеристики (ВАХ) представляют собой прямые линии параллельные оси I (см. таблицу 2).
Направление стрелки в условном обозначении источника ЭДС указывает направление действия
ЭДС, поэтому направление падения напряжения на выходных зажимах источника всегда
противоположно.
Так как на ВАХ электрическое сопротивление соответствует котангенсу угла наклона
характеристики, то сопротивление источника ЭДС равно нулю, а проводимость, соответственно,
бесконечности.
Источники тока - это такие элементы электрической цепи, у которых протекающий через них
ток не зависит от знака и значения разности потенциалов на выходе, т.е. их (ВАХ) представляют
собой прямые линии параллельные оси U (см. таблицу 2).
Отсюда, сопротивление источника тока равно бесконечности, а проводимость - нулю.
Направление стрелки в условном обозначении источника тока указывает направление протекания
тока.
Источники ЭДС и источники тока часто рассматриваются как некие абстракции, не имеющие
реального физического воплощения. Однако, это справедливо только, если считать , что их ВАХ
не имеют ограничения. В этом случае ток через источник ЭДС или падение напряжения на
источнике тока могут достигать бесконечно больших значений. При этом мощность источника
(P=UI) должна быть бесконечно большой, что исключает возможность технической реализации.
Если же ток и/или напряжение источника ограничено, то свойствами идеального источника
обладают, например, стабилизированные источники питания, типичная ВАХ которых приведена
на рис. 1
Выходное напряжение такого устройства Uвых
постоянно до тех пор, пока ток нагрузки не
достигнет максимально допустимого значения
после чего источник питания из режима
стабилизации напряжения переходит в режим
стабилизации тока. В пределах обоих режимов
источник питания обладает свойствами
соответственно идеального источника ЭДС и
источника тока.
Идеальные источники ЭДС и тока используются
для моделирования некоторых электромагнитных
процессов и нелинейных элементов электрических цепей, таких, например, как диод.
Imax ,
также
Реальные источники электрической энергии
(ИЭ) имеют ВАХ, показанную на рис. 2.
ВАХ реальных источников пересекает обе
оси координат и эти точки пересечения
соответствуют нулевому току через
источник и нулевому падению напряжения.
Режим с нулевыи током и ненулевым
падением напряжения называется
холостым ходом, а режим с нулевым
падением напряжения и ненулевым током
на выходе - коротким замыканием.
Уравнение ВАХ ИЭ представляет собой
уравнение прямой линии в координатах U-I.
Его можно получить из уравнения прямой
линии, проходящей через начало координат
I = - Ug = -U/r либо из обратной функции U
= -Ir , где r - коэффициент соответствующий котангенсу угла наклона к оси U и имеющий
размерность сопротивления, а g = 1/r - тангенс угла наклона с размерностью проводиомсти. Для
получения ВАХ ИЭ можно сместить линию I = - Ug на величину тока короткого замыкания
I = -Ug + Iкз = Iкз - Ug = J - Ug
(1)
или обратную функцию U = -Ir сместить на величину напряжения холостого хода
U = -Ir + Uхх = Uхх - Ir = E - Ir
(2)
В выражениях (1) и (2) ток короткого замыкания Iкз и напряжение холостого хода Uхх являются
константами, поэтому их можно заменить равным по значению током J и ЭДС E
соответствующих идеальных источников, т.к. параметры идеальных источников также являются
константами. Тогда выражениям (1) и (2) можно поставить в соответствие электрические схемы
рис. 3 а) и б).
Выражения (1) и (2) и соответствующие им
схемы рис. 3 описывают один и тот же
элемент электрической цепи, имеющий ВАХ,
представленную на рис. 2. Поэтому оба
варианта совершенно эквивалентны и
могут применяться в зависимости от целей и
удобства конкретного представления.
В ИЭ сопротивление r и проводимость g
называются соответственно внутренним
сопротивлением и внутренней проводимостью источника.
Из выражений (1) и (2) следует, что ток I на выходе ИЭ отличается от значения тока внутреннего
источника J на величину тока Ug, ответвляющегося внутри ИЭ через проводимость g.
Аналогично, напряжение U на выходе источника отличается от значения ЭДС внутреннего
источника на величину падения напряжения Ir на внутреннем сопротивлении r. Поэтому, чем
меньше внутреннее сопротивление ИЭ r, тем ближе его свойства к свойствам идеального
источника.
При r 0 ИЭ становится источником ЭДС, однако, в эквивалентной схеме с источником тока g =
1/r  , и J = E/r   . Отсюда следует, что при преобразовании источника ЭДС с конечными
значениями параметров мы получим ИЭ с бесконечным значением тока. Идентичные рассуждения
можно привести и для преобразования ИЭ с источником тока при g 0.
Таким образом, любой реальный источник электрической энергии, представленный, например,
схемой а) рис. 3 можно преобразовать и представить эквивалентной схемой рис. 3 б) и наоборот. В
то же время, идеальные источники (источники ЭДС и тока) в принципе не могут быть
преобразованы один в другой.
Параметры ИЭ в схемах а) и б) связаны между собой следующими соотношениями:
E = Jg ; r = 1/g ; J = E/r ; g = 1/r
На практике параметры ИЭ определяют по координатам двух точек ВАХ, т.е. по значениям тока и
падения напряжения на выходе источника в двух произвольных режимах (при любых двух
значениях сопротивления нагрузки, подключенного к выходным зажимам ИЭ).
Пусть измерены значения токов и падений напряжения в нагрузке в режиме 1 и 2 рис 2. Тогда по
этим параметрам можно определить параметры схем рис. 3 следующим образом:
(3)
для схемы а) или
(4)
для схемы б) .
Выражения (3) и (4) позволяют определить искомые параметры источников в общем случае,
однако задачу можно существенно упростить, если источник допускает режимы холостого хода
и/или короткого замыкания. Тогда достаточно измерить:
1. напряжение холостого хода Uхх , а также ток I и напряжение на выходе U, при любой
нагрузке;
2. ток короткого замыкания Iкз, а также ток I и напряжение на выходе U, при любой нагрузке;
3. напряжение холостого хода Uхх и ток короткого замыкания Iкз.
Для этих трех случаев выражения (3) и(4) преобразуются с учетом того, что Iхх =0, и Uкз =0, к виду
представленному в таблице 1:
Таблица 1.
Схема
замещ.
Исходные параметры
Uхх , U, I
Iкз , U, I
Uхх , Iкз
Рис. 3
а)
J = Uхх I/(Uхх -U)
J = Iкз
J = Iкз
g = I/(Uхх -U)
g = (Iкз -I)/ U
g = Iкз/ Uхх
Рис. 3
б)
E = Uхх
E = IкзU/(Iкз -I)
E = Uхх
r = (Uхх -U)/ I
g = (Iкз -I)/ U
r = Uхх / Iкз
На практике параметры ИЭ можно определить также с помощью переменной нагрузки без
одновременного измерения тока и напряжения. Для этого достаточно, например, измерить
напряжение холостого хода Uхх, а затем подключить и изменять нагрузку до тех пор, пока падение
напряжения на ней не станет равным Uхх/2. Можно также измерить ток короткого замыкания Iкз , а
затем подключить и изменять нагрузку до тех пор, пока ток в ней не станет равным Iкз/2. В обоих
случаях внутреннее сопротивление источника r будет равно
сопротивлению нагрузки Rн.
Рассмотрим подробнее этот способ для случая ИЭ с источником ЭДС
показанного на рис. 4. При подключении нагрузки Rн напряжение на
выходе источника уменьшается в два раза, т.е. Uхх = E =2Uн . В то же
время, Uн = E - Ir. Отсюда внутреннее сопротивление
r = (E - Uн)/I = (2Uн - Uн)/I = Uн /I = Rн .
Аналогично для схемы ИЭ с источником тока после подключения нагрузки ток во внешней цепи
уменьшится вдвое, т.е. Iкз = J =2Iн и Iн = J - Ug . Тогда
g = (J - Iн)/U = (2Iн - Iн)/U = Iн /U = Gн
Таким образом, если в нагрузке протекает ток равный половине значения тока короткого
замыкания источника или падение напряжения на ней составляет половину от напряжения
холостого хода, то в таком режиме сопротивление нагрузки и ее проводимость в точности
равны внутреннему сопротивлению и проводимости ИЭ.
Реальные источники электрической энергии обладают внутренним сопротивлением,
соответствующим потерям в самом источнике и теоретически не могут быть представленными без
него. Однако на практике часто бывает целесообразным не учитывать внутреннее сопротивление.
Оценим возникающую при этом погрешность.
Пусть источник имеет вольтамперную
характеристику, представленную на рис. 5,
и пусть к нему поочередно подключаются
две различные нагрузки, соответствующие
работе источника в точках A и B. Причем
нагрузки выбраны таким образом, что
IB=Iкз IA= I и UA=Uхх UB= U , т.е.
отклонение тока в точке A от тока
короткого замыкания равно току в точке B,
а отклонение напряжения в точке B от
напряжения холостого хода равно
напряжению в точке A.
Выразим отклонения тока и напряжения в относительных единицах, приняв за базовые значения
напряжение холостого хода Uхх и ток короткого замыкания источника Iкз Изложенные выше сведения по источникам электрической энергии кратко можно свести в
таблицу
Таблица 2.
Идеальные источники
ЭДС
Тока
E = const
J = const
r=0
r=
g= 
g=0
Источники электрической
энергии
E = Uхх = J/g
J = Iкз = E/r
r = -ctg = E/J = 1/g
g = -tg = J/E = 1/r
2.3 Эквивалентные преобразования электрических цепей.
Последовательное соединение - это совокупность связанных элементов электрической цепи, не
имеющая узлов.
Отсюда следует, что по всем элементам последовательного соединения протекает одинаковый
ток, т.к. изменение тока может происходить только в узлах электрической цепи.
В последовательное соединение в общем случае может входить любое количество резисторов и
источников ЭДС (рис. 1), но не может входить более одного источника тока, т.к. это
противоречило бы свойству каждого из источников создавать в цепи ток не зависящий от внешних
элементов.
Падение напряжения между точками a и b рис. 1 можно представить разностью потенциалов этих
точек Uab =  a -  b . Формально в эту разность можно включить произвольное число значений
потенциалов (например, потенциалов точек соединения элементов) с противоположными знаками,
а затем попарно объединить их -
Uab =  a -  b =  a - с + с - d + d -...- i + i - k + k-... - q + q -  b =
= ( a - с)+( с- d)+( d -...- i)+( i - k)+( k-... - q)+( q -  b) =
= Uac+ Ucd+ Ude+...+ Uik+ Ukl+ Ulm+...+ Uqb =
(1)
= Ir1+ Ir2+ Ir3+...+ Irm+E1+ E2+...-En =
= I(r1+ r2+ r3+...+ rm)+( E1+ E2+...-En) = IR + E
Таким образом, любое последовательное соединение можно преобразовать к последовательному
соединению одного эквивалентного резистора и одного источника ЭДС. Причем, сопротивление
эквивалентного резистора равно сумме всех сопротивлений входящих в соединение, а ЭДС
эквивалентного источника равна алгебраической сумме ЭДС источников входящих в соединение.
Последовательное соединение элементов обладает свойством коммутативности, т.е. любые
элементы этого соединения могут произвольно переставляться в пределах соединения. Это
свойство непосредственно следует из коммутативности слагаемых выражений (1).
Так как эквивалентное сопротивление R представляет собой сумму положительных слагаемых, то
R > rmax, где rmax - наибольшее из сопротивлений, входящих в соединение.
Если последовательное соединение подключено к узлам электрической цепи, то его определение
тождественно определению ветви, следовательно, ветвь может быть образована только
последовательным соединением.
В отличие от последовательного соединения, в параллельном следует различать параллельное
соединение элементов цепи и параллельное соединение ветвей.
Параллельное соединение элементов - это совокупность элементов электрической цепи,
объединенных двумя узлами и не имеющих связей с другими узлами.
В параллельное соединение элементов в общем случае могут входить резисторы и
источники тока (рис. 2), но не может входить более одного источника ЭДС, т.к. это противоречило
бы их свойству
создавать на выходе
разность
потенциалов не
зависящую от
внешней цепи.
Все элементы в
параллельном
соединении
подключены к двум
узлам и падение
напряжения между
этими узлами
одинаково для всех элементов.
Общий ток, протекающий через параллельное соединение I можно представить суммой токов в
отдельных элементах в виде I = I1+I2+...+In -J1+J2+...+Jm. Отсюда, раскрывая токи через
сопротивления через напряжение между узлами U, получим
I = Ug1+Ug2+...+Ugn -J1+J2+...+Jm=
=U(g1+g2+...+gn) -(J1+J2+...+Jm)=UG+J
(2)
Таким образом, параллельное соединение любого количества элементов можно преобразовать к
параллельному соединению одного эквивалентного резистора и одного источника тока. Причем,
сопротивление эквивалентного резистора равно величине обратной сумме всех проводимостей
резисторов входящих в соединение, а ток эквивалентного источника равен алгебраической сумме
токов источников входящих в соединение.
Аналогично последовательному соединению, параллельное обладает свойством коммутативности,
вытекающим из свойства коммутативности сумм выражений (2).
При параллельном соединении для эквивалентной проводимости G, являющейся суммой
проводимостей отдельных элементов, справедливо отношение G > gmax, где gmax - наибольшая из
проводимостей элементов, образующих соединение. Отсюда G=1/R > gmax=1/rmin  R < rmin,
т.е. эквивалентное сопротивление резисторов, входящих в параллельное соединение меньше
наименьшего из них rmin.
Понятие сопротивления более привычно и употребимо, чем эквивалентное ему понятие
проводимости. Поэтому при параллельном соединении приходится решать задачу определения
именно эквивалентного сопротивления. Для двух, трех и четырех соединенных параллельно
резисторов эквивалентные сопротивления R приведены в таблице 1. Для большего числа
сопротивлений нетрудно получить аналогичные выражения из соотношений, приведенных на рис.
2.
Таблица 1.
r1 ; r2
r1 ; r2 ; r3
r1 ; r2 ; r3 ; r4
R=
В параллельное соединение могут входить не только
элементы, но и ветви, каждая из которых может быть
последовательным соединением элементов (рис. 3 а)).
В этом случае используется понятие параллельного
соединения ветвей, под которым понимают
совокупность ветвей электрической цепи,
объединенных двумя узлами и не имеющих связей с
другими узлами.
На рис. 3 а) ветви R1R2 и R3 соединены параллельно,
но элементы R1R3 и R2R3 параллельного соединения не образуют, т.к. эти пары элементов не
объединены двумя узлами. Очевидно, что для них не выполняется и условие равенства падений
напряжения.
Схемы цепей рис. 3 относят обычно к смешанному соединению, понимая под ним совокупность
последовательного и параллельного соединений элементов и ветвей цепи.
Можно показать, что любую электрическую цепь путем поэтапных преобразований
соединений элементов можно привести к последовательному соединению R-E или
эквивалентному параллельному соединению G-J . Этот метод позволяет решать довольно
сложные задачи и особенно эффективен, если требуется определить режим в какой-либо
отдельной ветви цепи. Пример таких преобразований приведен на рис. 4.
Здесь на отдельных этапах преобразования параметры элементов определяются из выражений:
R34=R3+R4 ; J2=E2/R2 ; R234=(R2R34)/(R2+R34) ; J' =J+J2 ; E' = J'R234 ; R = R1+R234 ; E = E' E1 ; J=E/R.
Особая задача, связанная с преобразованием цепей, состоит в определении сопротивления
(входного сопротивления) цепи относительно точек разрыва. Она возникает, в частности, при
использовании метода эквивалентного генератора для анализа электрических цепей в статических
режимах, а также при составлении характеристического уравнения для анализа переходных
процессов. Можно показать, что эквивалентное сопротивление R на рис. 4, является входным
сопротивлением этой цепи и может быть определено по описанной ниже методике.
Собственно, методика заключается в том, что до начала эквивалентных преобразований в цепи
нужно заменить все источники ЭДС и тока их эквивалентными сопротивлениями, а затем
определить эквивалентное сопротивление. Как известно, сопротивление источника ЭДС равно
нулю, а сопротивление источника тока - бесконечности. Поэтому на электрической схеме
источники ЭДС нужно заменить связью, а источники тока - разрывом цепи. Рассмотрим этот
процесс на примере рис. 5, где точка разрыва цепи, относительно которой нужно определить
входное сопротивление, помечена крестиком.
Вначале заменим источники их эквивалентными сопротивлениями и изобразим разрыв в явном
виде точками a и b (рис. 5 б)). Теперь задача становится очевидной, т.к. цепь от точки a к точке b
представляет собой последовательное соединение R1 и R3 .
2.4 Закон Ома.
Закон Ома - это закон, устанавливающий связь между падением напряжения U на любом
неразветвленном (не содержащем узлов) участке электрической цепи и величиной тока I,
протекающего по этому участку.
Эта связь может быть выражена в виде математической записи или в графической форме для
любого элемента электрической цепи. Графическая форма представления закона Ома называется
вольтамперной характеристикой (ВАХ).
Если зависимость U(I) или I(U) какого-либо элемента электрической цепи линейна, то такой
элемент называют линейным, а электрическую цепь, состоящую только из линейных
элементов - линейной цепью.
Для линейного элемента справедливо
U=rI или I=gU,
(1)
где r=1/g и g=1/r - некоторые постоянные коэффициенты имеющие размерность соответственно
В/А=Ом (омы) и А/В=См (сименсы).
Коэффициент r называется сопротивлением, а g - проводимостью. Оба коэффициента
определяются геометрическими размерами и физическими свойствами среды, по которой
протекает электрический ток. В простейшем случае протекания тока по проводнику с постоянным
сечением r= l/s , где  , l и s - соответственно удельное электрическое сопротивление
проводника, его длина и площадь поперечного сечения.
На электрических схемах элемент, описываемый выражением U=rI обозначается как
показано на рис.1 и называется сопротивлением или резистором. Следует заметить,
что в литературе понятие сопротивления используется как для обозначения
коэффициента пропорциональности между током и напряжением, т.е. некоторого
свойства физического объекта, так и для обозначения самого объекта, обладающего
этим свойством, что порождает неточность формулировок и описаний. Поэтому в
дальнейшем мы будем для обозначения свойства объекта использовать термин сопротивление, а
для самого объекта термин резистор аналогично понятиям емкость и конденсатор.
В резисторе ток и падение напряжения (напряжение) всегда имеют одинаковое направление (рис.
1). В принципе направление протекания тока и направление падения напряжения могут отличаться
только у идеальных источников электрической энергии, т.к. заряды перемещаются от точки с
более высоким потенциалом к точке с более низки, т.е. в направлении
уменьшения разности потенциалов (падения напряжения). В силу этого,
направления падения напряжения и ЭДС всегда противоположны, т.к.
положительное направление ЭДС соответствует увеличению разности
потенциалов.
Пользуясь законом Ома и эквивалентными преобразованиями можно
решать довольно сложные задачи по расчету электрических цепей.
Пусть, например, известны значения сопротивлений резисторов R1=40 Ом,
R2=10 Ом, R3=20 Ом, R4=30 Ом, и падение напряжения на R2 равное U2=2
В. Требуется определить входное напряжение U .
Ток через R2: I2 = I3 = U2/R2 = 0.2 А.
Эквивалентное сопротивление последовательно соединенных резисторов R2 и R3 R23 = 10+20=30
Ом.
Напряжение на эквивалентном сопротивлении U23 = I2R23 = 6 В.
Эквивалентное сопротивление смешанного соединения, в котором параллельно эквивалентному
сопротивлению R23 подключен резистор R4 : R234 = (R23R4)/( R23 + R4) =15 Ом.
Ток через эквивалентное сопротивление резисторов R234 равен току через R1 и представляет
собой ток на входе цепи: I234 = I1 = I = U23 /R234 = 0.4 А.
Полное эквивалентное сопротивление всей цепи является суммой эквивалентного сопротивления
R234 и резистора R1 , т.к. они соединены последовательно: R = R234 +R1 = 15+40 = 55 Ом.
Отсюда, искомое напряжение U = IR = 0.4 55 = 22 В
известно, что любую электрическую цепь с помощью эквивалентных преобразований можно
представить в виде последовательного соединения резистора и источника ЭДС. Рассмотрим связь
между током и напряжением в таком соединении.
Падение напряжения на концах участка ac (рис.2 а)) можно
представить через разность потенциалов точек a и c :
Uac=  a- c = ( a- b)+( b- c) = Ur + UE =Ir + E
Отсюда - I = (Uac - E)/r.
Если аналогичные выкладки провести для цепи рис. 2 б), в которой
направление действия ЭДС противоположно, то, очевидно, мы получим
выражение для тока, отличающееся знаком E
I = (Uac + E)/r.
Таким образом, ток в цепи рис. 2 в общем случае определяется как
I = (Uac  E)/r.
(2)
Причем, знак плюс в числителе выбирается если направление протекания тока и направление
действия ЭДС совпадают.
Выражение (2) обычно называют законом Ома для цепи, содержащей источник ЭДС. Очевидно,
что выражение (1) является частным случает выражения (2) при E=0.
2.5 Законы Кирхгофа.
Законы Кирхгофа являются одной из форм закона сохранения энергии и потому относятся к
фундаментальным законам природы.
Первый закон Кирхгофа является следствием принципа непрерывности электрического тока, в
соответствии с которым суммарный поток зарядов через любую замкнутую поверхность равен
нулю, т.е. количество зарядов выходящих через эту поверхность должно быть равно количеству
входящих зарядов. Основание этого принципа очевидно, т.к. при нарушении его электрические
заряды внутри поверхности должны были бы либо исчезать, либо возникать без видимых причин.
Если заряды перемещаются внутри проводников, то они образуют в них
электрический ток. Величина электрического тока может измениться только в узле
цепи, т.к. связи считаются идеальными проводниками. Поэтому, если окружить
узел произвольной поверхностью s (рис. 1), то потоки зарядов через эту
поверхность будут тождественны токам в проводниках образующих узел и
суммарный ток в узле должен быть равным нулю.
Для математической записи этого закона нужно принять систему обозначений направлений токов
по отношению к рассматриваемому узлу. Можно считать токи направленные к узлу
положительными, а от узла отрицательными. Тогда для узла рис. 1 уравнение Кирхгофа будет
иметь вид I3+I4-I1-I2 = 0 или I3+I4=I1+I2 .
Обобщая сказанное на произвольное число ветвей сходящихся в узле, можно сформулировать
первый закон Кирхгофа следующим образом:
 алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю
(1)

или
в любом узле сумма токов направленных к узлу равна сумме токов направленных от узла
, где p+q=n.
(2)
Очевидно, что обе формулировки равноценны и выбор формы записи уравнений может быть
произвольным. Существенным является только соглашение о знаках токов для данной цепи, т.е. в
пределах описания одной электрической цепи нельзя для разных узлов использовать разные
знаки для токов направленных к узлам или от узлов.
При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа направления токов в ветвях
электрической цепи выбирают обычно произвольно. При этом необязательно даже стремиться,
чтобы во всех узлах цепи присутствовали токи разных направлений. Может получиться так, что в
каком-либо узле все токи сходящихся в нем ветвей будут направлены к узлу или от узла, нарушая
тем самым принцип непрерывности. В этом случае в процессе определения токов один или
несколько из них окажутся отрицательными, что будет свидетельствовать о протекании их в
направлении противоположном принятому.
Второй закон Кирхгофа связан с понятием потенциала электрического поля, как работы,
совершаемой при перемещении единичного точечного заряда в пространстве. Если такое
перемещение совершается по замкнутому контуру, то суммарная работа при возвращении в
исходную точку будет равна нулю. В противном случае путем обхода контура можно было бы
получать положительную энергию, нарушая закон ее сохранения.
Каждый узел или точка электрической цепи обладает собственным потенциалом и, перемещаясь
вдоль замкнутого контура, мы совершаем работу, которая при возврате в исходную точку будет
равна нулю. Это свойство потенциального электрического поля и описывает второй закон
Кирхгофа в применении к электрической цепи.
Он также как и первый закон формулируется в двух вариантах, связанных с тем, что падение
напряжения на источнике ЭДС численно равно электродвижущей силе, но имеет
противоположный знак. Поэтому, если какая либо ветвь содержит сопротивление и источник
ЭДС, направление которой согласно с направлением тока, то при обходе контура эти два
слагаемых падения напряжения будут учитываться с разными знаками. Если же падение
напряжения на источнике ЭДС учесть в другой части уравнения, то его знак будет соответствовать
знаку напряжения на сопротивлении.
Сформулируем оба варианта второго закона Кирхгофа, т.к. они принципиально равноценны:
 алгебраическая сумма падений напряжения вдоль любого замкнутого контура
электрической цепи равна нулю
(3)
Примечание: знак + выбирается перед падением напряжения на резисторе, если направление протекания тока через
него и направление обхода контура совпадают; для падений напряжения на источниках ЭДС знак + выбирается, если
направление обхода контура и направление действия ЭДС встречны независимо от направления протекания тока;
 алгебраическая сумма ЭДС вдоль любого замкнутого контура равна алгебраической сумме
падений напряжения на резисторах в этом контуре
, где p+q=n
(4)
Примечание: знак + для ЭДС выбирается в том случае, если направление ее действия совпадает с направлением
обхода контура, а для напряжений на резисторах знак + выбирается, если в них совпадают направление протекания
тока и направление обхода.
Здесь также как и в первом законе оба варианта корректны, но на практике удобнее использовать
второй вариант, т.к. в нем проще определить знаки слагаемых.
С помощью законов Кирхгофа для любой электрической цепи можно составить независимую
систему уравнений и определить любые неизвестные параметры, если число их не превышает
число уравнений. Для выполнения условий независимости эти уравнения должны составляться по
определенным правилам.
Общее число уравнений N в системе равно числу ветвей Nв минус число ветвей, содержащих
источники тока NJ , т.е. N = Nв - NJ .
Наиболее простыми по выражениям являются уравнения по первому закону Кирхгофа, однако их
число N1не может быть больше числа узлов Nу минус один.
Недостающие уравнения составляются по второму закону Кирхгофа, т.е.
N1 = Nу -1 ;
(5)
N2 = N - N1 = Nв - NJ - N1.
(6)
Сформулируем алгоритм составления системы уравнений по законам Кирхгофа :
1. определить число узлов и ветвей цепи Nу и Nв;
2. определить число уравнений по первому и второму законам N1 и N2.;
3. для всех ветвей (кроме ветвей с источниками тока) произвольно задать
направления протекания токов;
4. для всех узлов, кроме одного, выбранного произвольно, составить уравнения по первому
закону Кирхгофа;
5. произвольно выбрать на схеме электрической цепи замкнутые контуры таким образом,
чтобы они отличались друг от друга по крайней мере одной ветвью и чтобы все ветви,
кроме ветвей с источниками тока, входили по крайней мере в один контур;
6. произвольно выбрать для каждого контура направление обхода и составить уравнения по
второму закону Кирхгофа, включая в правую часть уравнения ЭДС действующие в
контуре, а в левую падения напряжения на резисторах. Примечание: Знак ЭДС выбирают
положительным, если направление ее действия совпадает с направлением обхода независимо от направления
тока; а знак падения напря
Составление матричных соотношений при наличии ветвей с идеальными источниками
В цепи могут иметь место ветви, содержащие только идеальные источники ЭДС или тока. При записи уравнений
без использования матричных соотношений такие ветви не вносят каких-либо особенностей в их составление.
Однако, если уравнения записываются по второму закону Кирхгофа в матричной форме или используется
матричная форма контурных уравнений, то в матрице сопротивлений ветвей Z ветвям, содержащим идеальные
источники тока, будут соответствовать диагональные элементы
. Поэтому при наличии таких ветвей
исходная схема перед составлением уравнений должна быть подвергнута соответствующему преобразованию,
иллюстрируемому рис. 3.
Здесь идеальный источник тока
(см. рис. 3,а) включен между узлами k и n. Подключение к узлам l и m по
два одинаковых по величине и противоположно направленных источника тока
(см. рис. 3,б) не влияет на
режим работы цепи, что указывает на эквивалентность замены исходной цепи на рис. 3,а схемой на рис. 3,б.
Может быть другой случай, когда уравнения в матричной форме записываются по первому закону Кирхгофа или
используется матричная форма узловых уравнений, а в цепи имеют место ветви, содержащие только идеальные
источники ЭДС. Для таких ветвей соответствующие им диагональные элементы матрицы Y будут равны
.
Поэтому при наличии таких ветвей исходную схему перед составлением уравнений необходимо подвергнуть
преобразованию, поясняемому рис. 4.
Здесь участок исходной цепи (см. рис. 4,а) содержит ветвь с идеальным источником ЭДС
каждую ветвь, соединенную с узлом n, источника с ЭДС, равной
рис. 4,б, позволяет (в силу того, что
представленную на рис. 4,в.
. Включение в
, и направлением действия, указанным на
) трансформировать исходную цепь в схему,