III. Электричество и магнетизм 1 _____________________________________________________________________________
реклама
1 III. Электричество и магнетизм _____________________________________________________________________________ Тема 3.3. ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 1.4. Равновесие зарядов на проводниках. Свободные электрические заряды в проводнике могут перемещаться под действием сколь угодно малой силы. Поэтому равновесие зарядов в проводнике может наблюдаться только при выполнении следующих условий: 1. Напряженность электрического поля внутри проводника должна быть равна нулю, т.е. 3.1 E 0. В соответствии с 3.1 и 1.19. это означает, что потенциал внутри проводника остается постоянным. 2. Напряженность поля на поверхности проводника должна быть в каждой точке направлена по нормали к поверхности. Следовательно, в случае равновесия зарядов, поверхность проводника является эквипотенциальной поверхностью. Если бы эти условия не выполнялись, то на свободные заряды, имеющиеся в каждом проводнике, действовала сила, и равновесие было бы нарушено. Земля также является проводником, и заряды на ней находятся в равновесии. Поэтому можно считать, что все точки земли имеют одинаковый потенциал. По этой причине постоянную точку при измерении потенциала часто выбирают на поверхности земли и говорят о потенциале относительно земли. Так как при равновесии зарядов на проводнике напряженность поля в нем равна нулю, то поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность, проведенную внутри проводника, равен нулю. Из теоремы Гаусса 1.9 следует, что в этом случае поверхность электрических зарядов не охватывает. Следовательно, при равновесии, внутри проводника не может быть электрических зарядов. Все они расположатся на поверхности проводника с некоторой поверхностной плотностью . Заряды в состоянии равновесия распределяются по поверхности проводника всегда, независимо от того каким образом возникают эти заряды. Так как в состоянии равновесия зарядов внутри проводника нет, то удаление вещества из некоторого объема, взятого внутри проводника, никак не отражается на распределении зарядов. Это означает, что избыточный заряд распределяется на полом проводнике так же, как и на сплошном, т.е. на его наружной поверхности. На Рис. 28. Электростатическая защита. поверхности полости заряды располагаться не могут. Это явление широко используется в электростатической защите (напряженность электрического поля в полости, изображенной на рисунке 28, равна нулю) и генераторе Ван-де-Граафа, помощью которого получают высокие напряжения, порядка миллиона Вольт. 2 Лекция 4. Проводники в электрическом поле. _____________________________________________________________________________ К аналогичному результату мы придем, рассматривая незаряженный проводник, помещенный во внешнее электрическое поле. Под действием внешнего электрического поля в проводнике носители заряда приходят в движение: положительные по полю, отрицательные – против поля (рис. 29а). В результате перемещения зарядов на поверхности проводника возникают заряды противоположных знаков, называемые индуцированными зарядами, а само явление – электростатической индукцией. Поле этих зарядов направлено против внешнего поля и ослабляет его (см. рис 29б). Перемещение зарядов будет происходить до тех пор, пока напряженность поля в проводнике не станет равной нулю, а заряды при этом распределятся по поверхности проводника. Следовательно, нейтральный в) б) а) проводник, внесенный во внешнее электрическое поле, разрывает часть линий напряженности - они Рис. 29. Проводник в электрическом поле. заканчиваются на отрицательном заряде и начинаются на положительном (рис. 29в). Тот факт, что заряды в проводнике распределяются только по его поверхности, является следствием закона Кулона. Поэтому, исследуя на опыте, действительно ли в объеме проводника нет электрических зарядов, можно проверить справедливость закона Кулона и притом с гораздо более высокой точностью. Такие опыты впервые были проведены Кавендишем на 11 лет раньше Кулона, но эта работа Кавендиша была опубликована только в конце 19 века. В этих опытах изолированный металлический шар помещался внутри металлических полусфер, которые могли быть соединены в одну сферу. В одной из полусфер было маленькое отверстие, через которое шар мог бы быть соединен со сферой. Сам опыт заключался в следующем. Полусферы складывались вместе, соединялись проволокой с шаром и заряжались от электрофорной машины. Затем проволоку убирали, обе полусферы раздвигали и с помощью электрометра определяли заряд шара. Опыт всегда показывал, что на шаре нет никаких следов заряда. Позднее Максвелл повторил опыты Кавендиша с более чувствительными приборами и показал, что отклонение от двойки в показателе степени закона Кулона если и существует, то не превышает значения 0,00005. Распределение зарядов по поверхности проводника зависит от его формы. Опыт показывает, что поверхностная плотность зарядов различна в различных точках поверхности проводника: она близка к нулю в углублениях и максимальна вблизи острия. 3 III. Электричество и магнетизм _____________________________________________________________________________ Но напряженность электрического поля пропорциональна поверхностной плотности заряда . Поэтому напряженность поля у поверхности проводника сложной формы также весьма неодинакова. Она особенно велика возле участков с малым радиусом кривизны, т.е. у заострений. Это приводит к своеобразному явлению «стекания» зарядов с металлического острия. 2.4. Электроемкость. Конденсаторы. Опыт показывает, что независимо от способа электризации тела, его заряд всегда пропорционален потенциалу, т.е. 3.2 q C. Коэффициент пропорциональности между зарядом тела и его потенциалом называется электроемкостью (или просто емкостью) проводника. Из 3.2 следует, что q . 3.3 C . Для уединенной сферы потенциал определяется по формуле 1.17, и тогда для емкости сферы получим выражение C 4 0 R . 3.4 Из 3.4 следует, что емкость уединенного проводника зависит от его геометрических размеров, а также диэлектрических свойств среды. Уединенные проводники обладают малой емкостью и поэтому не могут накапливать большой заряд. На практике нам необходимы устройства способные при малых размерах и сравнительно низких потенциалах накапливать значительные заряды. Конденсатором называются два проводника, разделенных слоем диэлектрика, толщина которого во много раз меньше размеров проводника. Чтобы внешние тела не влияли на емкость конденсатора, проводникам придают такую форму, чтобы электрическое поле было сосредоточено только между проводниками. Этому условию удовлетворяют: две пластины, расположенные на небольшом расстоянии друг к другу, два коаксиальных цилиндра, две концентрические сферы. Поскольку электрическое поле сосредоточено внутри конденсатора, то линии напряженности начинаются на одной обкладке и заканчиваются на другой. Следовательно, заряды обкладок равны по величине и противоположны по знаку. Под емкостью конденсатора понимается величина равная отношению заряда одной из обкладок к разности потенциалов между ними. q . 3.5 C Величина емкости конденсатора определяется его геометрическими размерами, а также диэлектрическими свойствами среды, заполняющей конденсатор. 4 Лекция 4. Проводники в электрическом поле. _____________________________________________________________________________ Примеры расчета емкости конденсатора. 1) Плоский конденсатор. Если на плоские пластины подать равные по величине и противоположные по знаку заряды, то напряженность электрического поля между пластинами, q согласно 1.12, будет определяться по формуле E . Если расстояние 0 S между пластинами равно d, то разность потенциалов между ними будет равна qd . Подставляя найденное выражение в формулу 3.5 для E d 0 S емкости конденсатора, получим 0 S . C d 2) Цилиндрический конденсатор. Если на обкладках конденсатора имеется электрический заряд q, то напряженность электрического поля между 1 обкладками определяется по формуле E и тогда для разности 20 r потенциалов между ними можно получить R2 R2 1 dr R E dr ln 2 . И для емкости сферического 20 r 2 0 R1 R1 R1 конденсатора получим 2 0 . R2 ln R1 Если расстояние между пластинами d R 2 R1 значительно меньше радиусов цилиндров, то R R d d d ln 2 ln 1 ln 1 R1 R1 R R1 1 и тогда для емкости цилиндрического конденсатора получим 2 0 R 1 0 S . C d d Аналогичное выражение можно получить и для сферического конденсатора. Из полученных выражений следует, что емкость конденсатора определяется геометрическими размерами конденсатора и диэлектрическими свойствами среды, заполняющей конденсатор. Отметим, что полученный результат является общим и для конденсаторов с обкладками любой формы, если только зазор между ними мал по сравнению с радиусами кривизны обкладок. C 3.4. Энергия взаимодействия точечных зарядов. Энергия заряженных проводников. 5 III. Электричество и магнетизм _____________________________________________________________________________ Ранее мы показали, что электрический заряд, находящийся в электрическом поле, обладает энергией, которую можно найти по формуле 1.18. Поэтому энергия системы двух точечных зарядов q1 и q 2 , расположенных на расстоянии r друг от друга может быть определена следующим образом. Пусть заряд q1 находится в электрическом поле, создаваемым вторым зарядом. Тогда q q 3.6 W1 q1 21 k 1 2 . r Очевидно, справедливо и обратное утверждение: заряд q 2 в поле первого заряда будет обладать энергией q q 3.7 W2 k 1 2 . r Из 3.6 и 3.7 следует, что W1 W2 W , и общую энергию системы двух точечных зарядов можно записать в виде: 1 1 1 3.8 W W1 W2 q1 21 q 2 12 . 2 2 2 Для системы, состоящей из N точечных зарядов, выражение 3.8 запишется в виде: 1 N W qiki , 3.9 2 i1 где i k . Заряд q, находящийся на некотором проводнике, можно рассматривать, как систему точечных зарядов dq . Поэтому заряженный проводник будет обладать энергией. Найдем величину этой энергии. Пусть заряд проводника равен q , его емкость С, а потенциал . Для увеличения заряда тела на величину dq нужно совершить работу dA dq . q q dq Но и тогда dA . Интегрируя полученное выражение найдем, что C C q2 3.10 A const . 2C Естественно считать энергию незаряженного проводника равной нулю, тогда постоянная интегрирования будет равна нулю, и для энергии заряженного проводника получим выражение q 2 C 2 q . 3.11 W 2C 2 2 Как и всякий заряженный проводник, конденсатор обладает энергией C 2 W . 3.12 2 6 Лекция 4. Проводники в электрическом поле. _____________________________________________________________________________ В случае плоского конденсатора C 3.12 примет вид W 0 S , E d и тогда выражение d 0S 2 2 0S E d d E2 . 2d 2 3.13 Введем величину W , 3.14 V которую будем называть объемной плотностью энергии. Тогда для электрического поля в конденсаторе получим, что E 2 w 0 . 3.15 2 С учетом того, что D 0 E выражение 3.15 примет вид ED . 3.16 w 2 Тот факт, что объемная плотность энергии выражается через характеристики электрического поля E и D , говорит о том, что само поле w обладает энергией.