Сюзев Иванов Основы Фильт..

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ Н.Э. БАУМАНА
В.В. Сюзев, И.П. Иванов
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
Рекомендовано учебно-методическим объединением вузов
по университетскому политехническому образованию
в качестве учебного пособия для студентов специальности
220100 «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети»
Москва
Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана
2001
УДК 621.377.2(075.8)
ББК 32.97
С98
Рецензенты: А. В, Горячев, В. И. Кузовлев, А. С. Романовский
Сюзев В.В., Иванов И.П.
С98
Теоретические основы цифровых фильтров: Учеб. пособие.
М: Изд-во МТТУ им, Н.Э. Баумана, 2001. 72 с., ил.
ISBN 5-7038-1935-0
В пособии рассмотрены основы теории цифровых фильтров и наиболее часто
используемые на практике методы их расчета. Теоретические материалы иллюстрируются
и подтверждаются прикладными примерами.
Пособие предназначено в первую очередь для студентов, обучающихся по
специальности «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети», и может быть
использовано при изучении дисциплин «Управляющие ЭВМ и системы» и «Системы
реального времени», а также в курсовом и дипломном проектировании. Пособие
представляет интерес и для аспирантов, инженеров и научных работников,
специализирующихся а области цифровой обработки сигналов.
Ил. 17. Табл. 8. Бибдиогр. 6 назв.
УДК 621.377.2(075.8)
ББК 32.97
Владимир Васильевич Сюзев
Игорь Потапович Иванов
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
Редактор Е.К. Кошелева
Корректор О.В. Калашникова
Изд. лиц. № 020523 от 25.04.97.
Подписано в печать 10.12.01. Формат 60x84/16. Бумага офсетная.
Печ.л.4,5. Усл. печ, л, 4,19. Уч.-изд. л. 3,79. Тираж 100 экз.
Изд. Лэ 105. Заказ
Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана.
107005, Москва, 2-я Бауманская, 5.
ISBN 5-7038-1935-0
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001
ВВЕДЕНИЕ
Цифровая фильтрация является одной из важных операций цифровой
обработки сигналов и находит самое широкое применение в различных
областях науки и техники, включая электронику, связь, телевидение,
управление, радио- и гидролокацию, спектрографию, измерительную
технику, медицину и т.д.
Теории и практике применения цифровых фильтров посвящен целый
ряд известных работ, из которых в первую очередь следует отметить
фундаментальный труд Л. Рабинера и Б. Гоулда [2]. Однако большинство
этих работ носит монографический характер. Методической же литературы
по цифровой фильтрации, предназначенной для использования в различных
формах учебного процесса, явно недостаточно. Предлагаемое пособие в
определенной степени решает эту проблему.
1. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ.
1.1. Цифровые фильтры.
Цифровые
фильтры
(ЦФ)
представляют
собой
системы,
предназначенные для преобразования структуры входного сигнала к виду,
определяемому характером его дальнейшего использования. Они относятся к
классу линейных дискретных систем, взаимосвязь между входным x(i) и
выходным y(i) дискретными сигналами в которых определяется следующим
разностным уравнением:
N 1
M 1
l 0
k 1
y (i )   bl x(i  l )   ak y (i  k ).
(1.1)
Здесь пределы суммирования N и М и величины ak и bl являются
коэффициентами (параметрами) фильтра, причем коэффициенты ak и bl могут
быть константами либо отсчетами решетчатых функций, зависящих от
дискретного времени i.
Сигналы x(i) и y(i) могут быть как вещественными, так и
комплексными. Уравнение (1.1) можно рассматривать как алгоритм
вычисления y(i), т.е. алгоритм работы ЦФ. Его реализация в виде устройства
приведет к аппаратному способу реализации ЦФ, а программирование на
выбранном языке  к программному способу реализации ЦФ.
Как правило, решение уравнения (1.1), т.е. решетчатую функцию {y(i)}
требуется определить при i0. Если известны коэффициенты ak и bl отсчеты
входного сигнала {x(i)} при iN+1 и начальные значения у(1), у(2), ...,
у(М+1), то, используя (1.1), можно рассчитать отсчеты у(г) для любого i0.
Уравнение (1.1) дает аналитическое описание ЦФ во временной
области.
Если коэффициенты ak и bl не зависят от дискретного времени i, то ЦФ
являются системами с постоянными параметрами, в противном случае они
будут принадлежать классу систем с переменными параметрами.
Пример 1.1. Записать уравнение ЦФ с постоянными параметрами а1=
0,5, b0=1, М=2, N=1 и рассчитать значения y(i) для х(i)=1 при i=0 и x(i)=0
при i>0. Начальное значение y(1)=0.
Решение. Уравнение фильтра:
y(i)=x(i)+0,5y(i1).
Значения y(i):
y(0)=x(0)+0,5y(1)=1;
y(1)=x(1)+0,5y(0)= 0,5;
y(2)=x(2)+0,5y(1)= 0,25
и т.д. Входной и выходной сигналы являются вещественными.
Пример 1.2. Записать уравнение комплексного ЦФ с постоянными
параметрами a1=(0,2+j0,1), b0=1, М=2, N=1 и рассчитать значения
выходного сигнала для условий предыдущего примера. Здесь j  1
(мнимая единица).
Решение. Уравнение фильтра:
y(i)=x(i)+(0,2+j0,1)y(i1).
Значения у(i):
y(0)=x(0)+(0,2+j0,1)y(1)=1;
y(1)=x(1)+(0,2+j0,1)y(0)=0,2+j0,1;
y(2)=x(2)+(0,2+j0,1)y(1)=0,03+j0,4
и т д. Входной сигнал ЦФ является вещественным, а выходной 
комплексным.
Пример 1.3. Записать уравнение ЦФ с переменными коэффициентами
при b0=eji, a1=0, М=2, N=1 и х(i)=1 для i0.
Решение. Уравнение фильтра:
y(i)=ejix(i).
Значения y(i):
y(0)=x(0)=1;
y(1)= x(1)= 1;
y(2)=x(2)=1
и т.д. Выходной сигнал веществен, поскольку веществен входной сигнал и
e
j i
1 при i  2k ,


k = 0,1,2 ...
 1 при i  2k  1,

Цифровые фильтры принято делить на два класса: рекурсивные (РЦФ)
и нерекурсивные (НЦФ). Если в уравнении (1.1) хотя бы один коэффициент
ak отличен от нуля, то фильтр называют рекурсивным. Если же в (1.1) все
коэффициенты ak равны нулю, то фильтр, реализующий такой алгоритм,
называют нерекурсивным. Для него разностное уравнение (1.1) упрощается:
N 1
y (i )   bl x (i  l ).
(1.2)
l 0
Очевидно, что НЦФ представляет собой систему без обратной связи, а
РЦФ  систему с обратной связью.
1.2. Передаточные функции цифровых фильтров.
В соответствии с общим определением передаточных функций систем
автоматического управления [1] передаточной функцией H(z) ЦФ называют
отношение zобразов выходного Y(z) и входного X(z) сигналов фильтра при
нулевых начальных условиях:
H(z)=Y(z)/X(z).
(1.3)
Вычисляя zпреобразование выходного сигнала по разностным
уравнениям (1,1) и (1.2):
N 1
M 1
l 0
k 1
Y ( z )  X ( z ) bl z  l  Y ( z )  ak z  k ,
N 1
Y ( z )  X ( z ) bl z  l ,
l 0
из общей формулы (1.3) после простых преобразований можно получить
более удобные для использования зависимости для передаточных функций
рекурсивных и нерекурсивных ЦФ:
N 1
H p ( z) 
b z
l
l
l 0
M 1
1   ak z
, (1.4)
k
k 1
N 1
H н ( z )   bl z  l . (1.5)
l 0
Передаточные функции (1.4) и (1.5) содержат все те же параметры
фильтров, что и разностные уравнения (1.1) и (1.2), и поэтому дают полное
описание ЦФ. Они определяют собой способ аналитического описания ЦФ в
zобласти.
Пример 1.4. Записать передаточную функцию рекурсивного ЦФ с
разностным уравнением y(i)=x(i)2x(i1)+0,5y(i1))0,1y(i2).
Решение. В соответствии с (1.4) передаточная функция этого РЦФ
будет иметь следующий вид:
H(z)=(12z1)/(10,5z1+0,1z2).
Передаточные функции оказываются весьма полезными при
рассмотрении различных форм реализации ЦФ и анализе их динамических
свойств. Кроме того, из передаточных функций легко получить частотные
характеристики ЦФ, широко используемые при анализе и синтезе фильтров.
1.3. Основные формы реализации передаточных функций
цифровых фильтров.
Существует весьма большое число различных форм реализации
рекурсивных и нерекурсивных ЦФ. Рассмотрим наиболее распространенные
из них. При построении структурных схем, соответствующих этим формам
реализации, будем использовать существующие в теории управления
графические обозначения операций задержки, сложения и умножения.
Операцию задержки (запоминания) отсчетов сигнала на m шагов
дискретизации t обозначают квадратиком с записью в нем величины zm,
операцию сложения  прямоугольником со знаком 2, а операцию умножения
на константу  квадратиком с крестиком внутри. Передачу данных
отображают на схемах сплошными линиями со стрелками.
Для сравнительного анализа сложности реализации различных форм
передаточных функций обычно используют следующие реализационные
характеристики:
L0  число ячеек (регистров) оперативной памяти, необходимой для
хранения коэффициентов фильтра;
LП  число ячеек постоянной памяти, необходимой для хранения
коэффициентов фильтра;
М  число умножений, выполняемых при вычислении одного отсчета
выходного сигнала;
А  число алгебраических сложений двух слагаемых, которые должны
быть выполнены в фильтре для получения одного отсчета выходного
сигнала.
Эти же характеристики могут быть использованы и для оценки
вычислительной сложности алгоритмов фильтрации (1.1) и (1.2).
Для рекурсивных фильтров можно выделить четыре основные формы
реализации: прямую, каноническую, каскадную (последовательную) и
параллельную.
Прямая форма (рис. 1.1) соответствует непосредственной реализации
разностного уравнения (1.1) или передаточной функции (1.4). Для нее
L0=N+M2, LП = N+M1, M=N+M1, A=N+M2.
Каноническая форма (рис. 1.2 для случая N=M1) соответствует замене
(1.1) эквивалентной системой разностных уравнений:
M 1
v(i )    ak v(i  k )  x (i ),
k 1
N 1
y  i    bl x (i  l ).
l 0
Рис. 1.1. Прямая форма.
Введение вспомогательной последовательности позволяет объединить
часть элементов задержки и уменьшить их число по сравнению с прямой
формой реализации. Остальные реализационные характеристики при этом
остаются без изменения.
Рис. 1.2. Каноническая форма.
При
последовательной
форме
(рис.
1.3)
используется
способ
представления H(z) в виде произведения типовых звеньев не выше второго
порядка (биквадратных звеньев [2]):
V
H ( z)  
k 1
0k  1k z 1   2 k z 2
.
1  1k z 1   2 k z 2
Биквадратное звено становится универсальным блоком для построения
РЦФ любого порядка (порядком РЦФ называют максимальное значение
степени знаменателя передаточной функции фильтра). Реализационные
характеристики этой формы во многом зависят от числа используемых
биквадратных звеньев.
Рис. 1.3. Последовательная форма.
Параллельная форма (рис. 1.4) основана
представлении H(z) суммой типовых звеньев:
на
эквивалентном
0 k  1k z 1
,
1
  2 k z 2
k 1 1  1k z
V
H ( z)  
которые могут быть реализованы в виде биквадратного блока при 2k=0.
Реализационные характеристики здесь также сильно зависят от числа
типовых блоков.
Все рассмотренные формы реализации РЦФ при одних и тех же
входных данных и бесконечной разрядности представления чисел в ЦФ дают
абсолютно одинаковые результаты, так как получены путем эквивалентных
математических преобразований одного и того же исходного уравнения (1.4).
Однако при ограниченной разрядной сетке представления чисел, что всегда
имеет место в реальных ЦФ, эти формы приведут к различному результату,
так как отличаются механизмом преобразования погрешностей округления.
Каскадная форма, как правило, обеспечивает наименьший уровень
собственных шумов фильтра [3].
Рис. 1.4. Параллельная форма.
Для нерекурсивных ЦФ возможны прямая и каскадная формы
реализации. Прямая форма (рис.1.5) соответствует непосредственной
реализации НЦФ согласно (1.2) или (1 5). Для нее L0=N, LП=N, M=N, A=N1.
Рис. 1.5. Прямая форма.
Каскадную форму легко получить из каскадной формы РЦФ, если в
биквадратных звеньях положить все 1k и 2k равными нулю. Для весьма
важного типа нерекурсивных фильтров с линейной фазочастотной
характеристикой (см. разд. 2.1) возможны специальные формы реализации,
учитывающие свойства симметрии или антисимметрии коэффициентов
фильтра bl.
Рис. 1.6. Специальная форма.
На рис.1.6 приведена структурная схема фильтра, соответствующая
разностному уравнению (1.2) при bl= bN1l и четном N. В таких формах
реализации число умножений уменьшается практически вдвое. В два раза
сокращается и число хранимых в памяти фильтра констант.
1.4. Частотные характеристики фильтров.
Комплексные частотные характеристики представляют собой функции
частоты о), полученные в результате подстановки z=ejt (где j  мнимая
единица, t  шаг дискретизации по времени решетчатого сигнала) в
передаточные функции (1.4) и (1.5):
N 1
H p (e
jt
)
 b (e
 jlt
l
l 0
M 1
1   ak ( e
)
, (1.6)
jkt
)
k 1
H н (e
jt
N 1
)   bl ( e  jlt ). (1.7)
l 0
Модуль комплексной частотной характеристики A()=|H(ejt)|,
называемый амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) фильтра,
определяет амплитуду выходного сигнала устойчивого фильтра в
установившемся режиме при входном сигнале x(i)=ejit=cos(it)+jsin(it).
Аргумент комплексной частотной характеристики
()=[H(ejt)],
называемый фазочастотной характеристикой (ФЧХ) фильтра, определяет
фазу выходного сигнала устойчивого фильтра при входном сигнале x(i)=ejit.
Для рекурсивных и нерекурсивных фильтров с вещественными
коэффициентами справедливы следующие соотношения для АЧХ и ФЧХ:
N 1
 N 1
 N 1 N 1

2
2
 (  bi cos it )  (  bi sin it ) 
  bmbi cos( m  i )t ) 
i 0
 i 0
   i 0 i 0
 , (1.8)
Ap ( ) 
M 1
M 1
M 1 M 1



2
2
 (  ak cos kt )  (  ak sin kt ) 
   ak al cos( k  l )t ) 
k 0
 k 0

 k 0 l 0

 N 1

 M 1

b
sin
i


t
)
 i

  ak sin kt ) 
  arctg  Mk 01
 , (1.9)
 p ( )  arctg  Ni 01
 b cos it ) 
 a cos kt ) 
 i

 k

 i 0

 k 0

N 1
N 1
i 0
i 0
Aн ( )  (  bi cos it ) 2  (  bi sin it ) 2 
N 1 N 1
 b b cos(m  i )t ,
m i
(1.10)
m 0 i 0
 N 1

  bi sin it 
 . (1.11)
 н ( )  arctg  Ni 01
 b cos it 
 i

 i 0

В формулах (1.8) и (1,9) коэффициент а0=1.
Кроме АЧХ и ФЧХ используют также еще одну частотную
характеристику  групповое время замедления (ГВЗ):
()=d/d, (1.12)
равное времени задержки в установившемся режиме выходного сигнала
фильтра относительно входного сигнала x(i)=ejit.
Пример 1.5. Записать частотные характеристики РЦФ с передаточной
функцией H(z)=1/(10,5z1).
Решение. В соответствии с зависимостями (1.8), (1.9) и (1.12)
частотные характеристики этого фильтра равны
H(ejt)=1/(10,5e-jt);
A()=1/[(10,5cost)2+(0,5sint)2]1/2;
()=arctg(0,5sint/(10,5cost));
()=1/0,5tA2()(0,5cost).
Пример 1.6. Записать частотные характеристики НЦФ с передаточной
функцией H(z)=1+0,5z1.
Решение. В соответствии с формулами (1.10), (1.11) и (1.12) имеем
H(ejt)=1+0,5ejt;
A()=[(10,5cost)2+(0,5sint)2]1/2;
()=arctg(0,5sint/(1+0,5cost));
()=0,5t(cost+0,5)/A2().
Пример 1.7. Записать уравнение для выходного сигнала НЦФ (см.
пример 1.6) в установившемся режиме при x(i)=sinit.
Решение. В соответствии с результатом предыдущего примера
получаем
yуст(i)=A()sin[it+()].
Частотные характеристики содержат все параметры ЦФ и
представляют собой также способ их описания в частотной области. При
обработке с помощью ЦФ аналоговых сигналов с ограниченным частотным
спектром в полосе [в,в], где в  максимальная (верхняя) частота спектра,
величину шага дискретизации по времени выбирают из условия
НайквистаКотельникова t/в, и характер частотных характеристик в
диапазоне от нуля до /t полностью определяет изменение спектра
аналогового сигнала, получаемого после цифроаналогового преобразования
выходного сигнала ЦФ.
Частотные характеристики обладают рядом полезных для практики
свойств, которые непосредственно следуют из формул (1.8)(1.12).
Основными из них являются следующие.
1. Все частотные характеристики представляют собой периодические
функции частоты to с периодом 2/t.
2. АЧХ и ГВЗ представляют собой четные функции частоты , и их
графики симметричны относительно оси ординат, а ФЧХ является нечетной
функцией , и ее график антисимметричен относительно этой оси.
Из указанных выше свойств следует, что требования к частотным
характеристикам при постоянном t необходимо задавать только на
интервале [0; /t].
Чтобы упростить сопоставление частотных характеристик ЦФ с
различными t, применяют нормировку частоты. Существует два способа
нормировки. При первом способе полагают нормированной частоту '=t,
тогда период частотных характеристик равен 2 и требования к ним задаются
на интервале [0;]. При втором способе используют нормированную частоту
w=t/2. В этом случае период частотных характеристик равен единице и
требования к ним задаются на интервале [0; 0,5]. В пособии используется
преимущественно второй способ нормировки частоты. При этом изменяются
аргументы в обозначении частотных характеристик H(ejw2), A(w), (w) и
(w). Изменяются и сами формулы частотных характеристик. Новые
формулы в случае необходимости могут быть легко получены из
зависимостей (1.6)(1.12) подстановкой =2w/t.
Пример 1.8. Записать выражение для АЧХ и ФЧХ НЦФ при
нормированной частоте w.
Решение. Подставив в формулы (1.10) и (1.11) значения =2w/t,
после преобразований получим
Aн ( w) 
N 1 N 1
 b b cos 2 (m  i ) w ,
m i
(1.13)
m 0 i 0
 N 1

  bi sin 2 iw 
 . (1.14)
 н ( w)   arctg  Ni 01
 b cos 2 iw 
 i

 i 0

1.5. Импульсная характеристика фильтров.
Импульсная характеристика ЦФ h(i) представляет собой реакцию
фильтра при нулевых начальных условиях на входное воздействие в виде
единичного дискретного скачка:
1 при i  0,
x (i )   (i )  
0 при i отличных от 0.
Из этого определения и определений передаточной функции и
комплексной частотной характеристики следует, что импульсная
характеристика и передаточная функция связаны между собой обратным и
прямым zпреобразованиями:
h(i )  z 1[ H ( z )],
H ( z )  z[h(i )],
(1.15)
а импульсная характеристика и комплексная частотная характеристика 
парой преобразований Фурье
h (i ) 
H (e
t
2
jt
 / t


H (e jt )e jit d  ,
 / t
)

 h (i ) e
(1.16)
 j it
.
i 
Для НЦФ из (1.15) следует важный вывод, что
h(i)=bi, (1.17)
т.е. коэффициенты НЦФ являются отсчетами импульсной характеристики.
Пример 1.9. Определить h(i) для РЦФ с H(z)=(1z1)/(1+0,5z1).
Решение. Используя правила обратного zпреобразования [2], получим
1 при i  0,
h (i )  
n 1
 1,5( 0,5) при i  1.
Пример 1.10. Найти h(i) для НЦФ с H(z)=1+0,2z10,1z2.
Решение. Учитывая (1.17), имеем h(0)=1, h(1)=0,2; h(3)=0,1,
остальные значения h(i) равны нулю.
В зависимости от характера импульсной характеристики (ИХ)
цифровые фильтры принято делить на два класса: фильтры с конечной
импульсной характеристикой (КИХфильтры) и фильтры с бесконечной
импульсной характеристикой (БИХфильтры) [2], Отметим, что все
практически реализуемые НЦФ являются КИХфильтрами, а почти все РЦФ
(за исключением тех, у которых передаточная функция может быть
преобразована к виду (1.5)) являются БИХфильтрами.
Зная ИХ h(i), можно рассчитать при нулевых начальных условиях
выходной сигнал ЦФ y(i) по заданному входному сигналу x(i). Аналитически
связь y(i) с х(i) и h(i) выражается уравнением линейной дискретной свертки
последовательностей отсчетов x(i) и h(i), причем все три последовательности
могут быть как конечными, так и бесконечными [2]:
i
i
l 0
l 0
y (i )   h(l ) x (i  l )   x (l )h (i  l ), i  0,1,...
(1.18)
Пример 1.11. Вычислить значения отсчетов выходного сигнала для
НЦФ с ИХ h(0)=1, h(1)=0,5; h(i2)=0 при x(0)=1, x(1)=1, x(2)=0,5;
x(i3)=0.
Решение. Непосредственно из (1.18) следует, что
y(0)=h(0)x(0)=1; y(1)=h(0)x(1)+h(1)x(0)=1,5;
y(2)= h(0)x(2)+h(1)x(1)=0;
y(3)= h(1)x(2)=0,25; y(i4)=0.
1.6. Устойчивость цифровых фильтров.
Фильтр называют устойчивым, если при любых начальных условиях и
любом ограниченном входном сигнале x(i) выходной сигнал y(i) также
остается ограниченным, т.е. из условия |x(i)|B при всех i следует, что
|y(i)|C,
(1.19)
причем В и С  константы, не зависящие от г. Очевидно, что нерекурсивный
фильтр всегда устойчив, так как его выходной сигнал является конечной
суммой ограниченных величин. Для РЦФ априори утверждать о его
устойчивости нельзя, устойчивость каждого конкретного РЦФ нужно
проверять, и она зависит от значений его коэффициентов.
Для практической проверки устойчивости РЦФ условие (1.19)
неудобно. Обычно применяют два практических условия устойчивости,
эквивалентные (1.19) [2]. Первый критерий устойчивости формулируется
следующим образом: если передаточная функция фильтра представляет
собой несократимую дробь, то для устойчивости фильтра необходимо и
достаточно, чтобы ее полюсы (корни знаменателя передаточной функции)
лежали внутри единичной окружности на zплоскости. Математически этот
критерий можно записать так:
|zi| 1, i=1,2,…,M1,
(1.20)
где zi  iй полюс H(z).
Пример 1.12. Проверить устойчивость двух РЦФ с передаточными
функциями H1(z) =(1z-1)/(10,5z-1) и H2(z) =(1z-1)/(12z-1).
Решение. Оба фильтра имеют по одному полюсу, причем у первого
z1=0,5, а у второго z1=2. Следовательно, первый РЦФ устойчив, а второй 
нет.
Неустойчивый фильтр неработоспособен в том случае, когда входной
сигнал действует неограниченно долго, так как рано или поздно выходной
сигнал перестает зависеть от входного. Однако он работоспособен и может
использоваться в тех случаях, когда входной сигнал действует в течение
ограниченного интервала времени. Например, алгоритм накопления суммы
конечных величин может быть реализован с помощью рекурсивного фильтра
с передаточной функцией H(z)=1/(1z-1) (цифровой интегратор). Такой
фильтр имеет полюс z=1 и в общем случае неустойчив. Однако он вполне
работоспособен, если входной сигнал (набор суммируемых величин)
действует при 0 i N1, после чего результат обнуляется (сбрасывается), т.е.
восстанавливаются нулевые начальные условия.
Второй критерий устойчивости следует из определения (1.18)
выходного сигнала через входной и импульсную характеристику фильтра и
имеет следующую запись:

 h (i )  D ,
(1.21)
i 0
где D  константа. Второй критерий менее удобен для проверки
устойчивости ЦФ, чем первый.
1.7. Классификация фильтров по назначению.
С точки зрения назначения ЦФ, все они условно могут быть разделены
на два класса: частотные фильтры и функциональные фильтры.
Частотные фильтры предназначены для целенаправленного
изменения частотного спектра Х(еjt) входного сигнала. Исходными
данными для проектирования таких фильтров являются задаваемые
желаемые частотные характеристики. Реальные частотные характеристики
ЦФ должны быть достаточно близкими к желаемым. Степень близости
желаемой и реальной частотных характеристик определяется некоторой
количественной мерой и может служить показателем качества частотных
фильтров.
К числу частотных фильтров принадлежат избирательные фильтры,
корректирующие фильтры и преобразователи Гильберта. В избирательных
фильтрах полностью подавляются частотные составляющие в определенной
полосе частот, называемой полосой задерживания, и сохраняются
неизменными частотные составляющие в другой полосе частот, называемой
полосой пропускания. Между полосами пропускания и задерживания
возможен диапазон частот, характер поведения составляющих которого
безразличен для выходного сигнала (полоса безразличия).
В зависимости от положения указанных полос и их количества
различают следующие избирательные фильтры.
Фильтры низких частот (ФНЧ) предназначены для подавления
высокочастотных составляющих спектра входного сигнала. Полоса
пропускания лежит в пределах от нуля до граничной частоты пропускания
гп, полоса задерживания определяется интервалом частот от граничной
частоты задерживания гз до /t, а диапазон [гп;гз] составляет полосу
безразличия ФНЧ Желаемая АЧХ идеального ФНЧ представлена на рис 1.7.
Рис. 1.7. АЧХ ФНЧ.
Фильтры высоких частот (ФВЧ) используют для подавления
низкочастотных составляющих входящего спектра. Полоса задерживания
ограничена частотами 0 и гз, полоса пропускания  частотами гп и /t, а
место нахождения полосы безразличия такое же, как и в ФНЧ, только гп>гз.
Желаемая АЧХ идеального ФВЧ изображена на рис. 1.8.
Рис. 1.8. АЧХ ФВЧ.
Полосовые фильтры (ПФ) предназначены для пропускания
ограниченной полосы частотных составляющих. Они имеют две полосы
задерживания; [0;гз1] и [гз2; /t], две полосы безразличия: [ гз1; гп1] и
[гп2; гз2], и одну полосу пропускания [гп1; гп2], причем гп1<гп2. АЧХ
идеального ПФ изображена на рис. 1.9.
Рис. 1.9. АЧХ ПФ.
Режекторные фильтры (РФ) преследуют обратную цель и служат для
подавления заданной полосы средних частот. Они имеют две полосы
пропускания: [0; гп1] и [гп2; /t], две полосы безразличия [ гп1; гз1] и [ гз2;
гп2], и одну полосу задерживания [гз1; гз2]. АЧХ идеального РФ
представлена на рис 1.10.
Рис. 1.10. АЧХ РФ.
С помощью корректирующих фильтров обеспечивается заданное
изменение интенсивности частотных составляющих определенной полосы
частот. Преобразователи Гильберта (ПГ) используют для получения
комплексного сигнала
u(i)=x(i)+jv(i),
(1.22)
jt
спектр которого U(е ) удовлетворяет условию
 2 X ( e jt ) при 0     / t ,
U ( e jt )  
0 при  / t    2 / t.
(1.23)
Из (1.22) и (1.23) следует, что спектр v(i)
  jX ( e jt ) при 0     / t ,
V ( e jt )  
jt
 jX ( e ) при  / t    2 / t ,
т.е. для получения сигнала v(i) (и тем самым сигнала u(i) достаточно
пропустить x(i) через идеальный ПГ с комплексной частотной
характеристикой
  j при 0     / t ,
H ( e jt )  
 j при  / t    2 / t.
Для идеального ПГ действительная часть комплексной частотной
характеристики равна нулю, а мнимая часть имеет вид
 1 при 0     / t ,
Im[ H ( e jt )]  
1 при  / t    2 / t.
(1.24)
Идеальные
частотные
характеристики
частотных
фильтров
нереализуемы. Возможна лишь их аппроксимация с той или иной степенью
точности. Частотные фильтры можно построить в виде как рекурсивных, так
и нерекурсивных ЦФ.
Функциональные фильтры используют для выполнения более сложных
операций над сигналами, которые напрямую могут быть и не связаны с
изменением частотного спектра входного сигнала. Входной сигнал в таких
фильтрах, как правило, представляется в виде аддитивной смеси полезного
сигнала u(i) и случайного шума n(i) с известной корреляционной функцией
либо функцией спектральной плотности S().
К функциональным фильтрам можно отнести согласованные фильтры,
оценивающие степень соответствия полезной составляющей входного
сигнала
некоторому
эталонному
сигналу
на
фоне
шумов;
дифференцирующесглаживающие фильтры, предназначенные для оценки
производных полезного сигнала при наличии помех, экстраполирующие
фильтры, вычисляющие будущее значение полезного сигнала в условиях
действия случайных помех. Поскольку полное подавление случайных помех
невозможно, получаемые на выходе функциональных фильтров оценки носят
статистический характер. В качестве их количественной меры обычно
используют дисперсию, определяемую для стационарного шума выражением
2 
t
2
 / t


S ( ) | A( ) |2 d .
(1.25)
 / t
В случае некоррелированного шума (математический белый шум)
дисперсия оценки выражается непосредственно через импульсную
характеристику функционального фильтра:

 2   n2  h 2 (i ),
(1.26)
i 0
где 2n  дисперсия входной помехи n(i). Дисперсия (1.25) или (1.26) может
использоваться как показатель качества функциональных фильтров.
Функциональные фильтры также могут быть выполнены как в
рекурсивном, так и в нерекурсивном вариантах.
2. МЕТОДЫ РАСЧЕТА НЕРЕКУРСИВНЫХ ФИЛЬТРОВ.
2.1. Классификация нерекурсивных цифровых фильтров
по виду импульсной характеристики.
В зависимости от вида импульсной характеристики фильтров h(i)
(коэффициентов фильтра bi, так как h(i)=bi) различают НЦФ с линейной ФЧХ
и минимальнофазовые НЦФ. В НЦФ с линейной ФЧХ импульсная
характеристика должна удовлетворять условию симметрии или
антисимметрии относительно середины интервала ее определения [0;N).
Поскольку значение N (порядок нерекурсивного фильтра) может быть
нечетным и четным, существует четыре вида НЦФ с линейной ФЧХ и
передаточной функцией (1.7): а) фильтр вида 1: N  нечетное, ИХ 
симметричная, h(i)=h(Ni1); б) фильтр вида 2: N  четное, ИХ 
симметричная, h(i)=h(Ni1); в) фильтр вида 3: N  нечетное, ИХ 
антисимметричная, h(i)=h(Ni1); г) фильтр вида 4: N  четное, ИХ 
антисимметричная, h(i)=h(Ni1).
Передаточные функции H(z) фильтров всех четырех видов могут иметь
нули, расположенные внутри, на и вне единичной окружности на
zплоскости. На рис. 2.1, а показано возможное расположение нулей, причем
z(1)1 и z(1)2, z(2)1 и z(2)2, z(3)1 и z(3)2 представляют
собой
(1)
(2)
(1)
комплексносопряженные
величины
и z 1=1/|z 1|; z 2=1/|z(2)2|;
z(3)1=|z(3)2|=|z4|=|z5|=1.
Пример 2.1. Определить расположение нулей следующих НЦФ вида
14: H1(z) = 1+ 2z-1 + z-2, N=3; H2(z) = 1 0,2z-1 0,2z-2 + z-3, N = 4; H3(z) = 2 
0z-1 2z-2, N = 4; H4(z) = 1 2,2z-1 2,2z-2  z-3, N = 4.
Решение. Нули передаточных функций таких фильтров равны: а) для
НЦФ вида 1 z1 = z2 = 1; б) для НЦФ вида 2 z1 = 1, z2,3 = 0,6  j0,8; в) для
НЦФ вида 3 z1,2 =  1; г) для НЦФ вида 4 z1 = 1, z2,3 = 0,6  j0,8.
Фильтры всех четырех видов реализуются с учетом симметрии или
антисимметрии импульсной характеристики (см. рис. 1.6). При этом
реализационные характеристики, например для фильтра вида 1, имеют
значения L0=N, LП=(N+1)/2, M=(N+1)/2, A=N1. Рассмотренные фильтры
применяют в качестве избирательных фильтров, преобразователей
Гильберта, корректоров АЧХ и дифференцирующесглаживающих фильтров
В минимальнофазовых НЦФ ИХ не обладает свойствами симметрии
или антисимметрии. Нули передаточных функций таких НЦФ находятся
внутри и на единичной окружности на zплоскости (рис. 2.1,б). Для них
характерно минимальное абсолютное значение группового времени
замедления.
Рис. 2.1. Расположение нулей передаточных функций.
Пример 2.2. Найти положение нулей передаточной функции фильтра с
H(z)= 0,244z-3+1,01z-21,4z-1+1 и определить его тип.
Решение. Нули H(z) имеют значения zl,2 =0,5 ± j0,6; z3=0,4; |z1,2|1;
|z3|1, следовательно, данный фильтр является минимально-фазовым.
Минимальнофазовые фильтры применяют в качестве избирательных в
тех случаях, когда требуется малое ГВЗ. Они могут быть реализованы либо в
прямой, либо в последовательной форме. При прямой форме реализации их
реализационные характеристики равны L0=LП=N, M=N, A=N1.
2.2. Частотные характеристики нерекурсивных фильтров
с симметричной и антисимметричной
импульсной характеристикой.
Свойства симметрии и антисимметрии импульсной характеристики
НЦФ позволяют преобразовать общую форму записи их частотных
характеристик (1.7), (1.10) и (1.11) к более простому виду, весьма полезному
для практики расчета таких фильтров. Получим эти новые зависимости для
всех четырех видов НЦФ, попутно подтвердив линейный характер их ФЧХ.
Фильтр вида 1. Используя свойство симметрии ИХ, из общей
формулы АЧХ (1.10) получим
2
 N211

N 1


 N 1 
2
A1 ( )    h(i )(cos it  cos( N  1  i )t )  h 
t  
 cos
2
 2 
 i 0



2
 N211

N 1


 N 1 
   h(i )(sin it  sin( N  1  i )t )  h 
t  .
 sin
2
 2 
 i 0



Учитывая известные зависимости для сумм косинусов и синусов
разных аргументов, после преобразований приходим к результату
2
 N211


 N 1 
 N 1 
2
A1 ( )    2h(i )(cos  i 
 t  h 
 
2 

 2 
 i 0


N 1
N 1


  cos2
t  sin 2
t  ,
2
2


из которого следует выражение для АЧХ:
A1 ( ) 
N 1
1
2

 2h(i )cos  i 
i 0
N 1 
 N 1 
  t  h 
;
2 
 2 
это
выражение
путем
линейного
i=[(N1)/2]k можно привести к виду
преобразования
индекса
N 1
 N 1  2
 N 1

A1 ( )  h 
 k  cos kt .
   2h 
 2  k 0  2

(2.l)
Для ФЧХ из формулы (1.11) имеем
 N211

N 1
 N 1 

h(i )(sin it  sin( N  1  i )t  h 
t 
 sin


2
2


i 0


1 ( )  arctg N 1

 2 1

N 1
 N 1 

h(i )(cos it  cos( N  1  i )t  h 
t 
 cos


2
 2 
i 0


 N211

N 1
 N 1 
 N  1 

h(i )cos  i 
t  h 
sin
 t



 i 0
2 
2

 2 


 arctg  N 1

 2 1

N  1 
N 1
 N 1 

h(i )cos  i 
t  h 
cos
t



 i 0
2 
2

 2 


N 1
 N 1

 arctg  tg
t   
t.
2
2


(2.2)
Комплексная частотная характеристика (1.7) для этого вида НЦФ
примет вид
N 1
2
 N 1 
 N 1

H1 ( e jt )  h 
 k  coskt e  j ( N 1) t / 2 . (2.3)
   2h 
 2  k 1  2

Фильтр вида 2. В этом случае N делится пополам и суммы в АЧХ и
ФЧХ содержат только парные составляющие,
тригонометрических
преобразований
и
линейной
i=(N/2)1k получаем
A2 ( ) 
N
1
2
N

 2h  2  1  k  cos(k  0,5)t ,
поэтому после
переиндексации
(2.4)
k 0
 2 ( )  
N 1
t ,
2
N
1
2
N
(2.5)

 2h  2  1  k  cos(k  0,5)t e
H 2 ( e jt ) 
 j ( N 1) t / 2
. (2.6)
k 0
Фильтр вида 3. Для этого фильтра среднее значение его импульсной
N 1

характеристики равно нулю, т.е. h 
Кроме того, для него и
0.
 2 
следующего фильтра вида 4 суммы в АЧХ и ФЧХ будут содержать разности
тригонометрческих функций. Используя формулы таких разностей, получим
A3 ( ) 
N 1
2
 N 1

 k  sin kt ,
2

 2h 
k 1
 3 ( ) 

2
N 1
t ,
2

H 3 (e jt ) 
(2.7)
(2.8)
N 1
2
  N 1

t 
2

 j 
 N 1

2h 
 k  sin kt ) e  2

 2

k 1
(2.9)
.
Фильтр вида 4. В этом случае
A4 ( ) 
N
1
2
k 0
 4 ( ) 
H 4 (e
jt
 N 1

 k  sin( k  0,5)t ,
2

 2h 

2

N 1
t ,
2
N
1
2
(2.10)
(2.11)
  N 1

t 
2

 j 
 N 1

)   2h 
 k  sin(k  0,5)t e  2
 2

k 0
.
(2.12)
Таким образом, полученные результаты подтверждают линейный
характер ФЧХ НЦФ с симметричными и антисимметричными импульсными
характеристиками. АЧХ в таких фильтрах представляются линейными
аналитическими выражениями относительно импульсной характеристики,
что может быть использовано при расчете НЦФ по заданной АЧХ.
Запись АЧХ в виде линейной суперпозиции взвешенных косинусоид
или синусоид позволяет определить область применения различных видов
НЦФ с точно линейными ФЧХ. АЧХ фильтров вида 1 не имеет особых
точек и может принимать различные значения в зависимости от значений ИХ
h(i). Поэтому такие фильтры могут быть использованы для проектирования
любых частотных и функциональных фильтров.
АЧХ фильтров второго вида равна нулю при = независимо от
значений ИХ. Отсюда следует, что такие фильтры нельзя использовать для
аппроксимации частотных фильтров с частотной характеристикой, отличной
от нуля в точке = (например, фильтров верхних частот). АЧХ фильтров
вида 3 равна нулю при =0 и =, а ФЧХ без учета множителя с линейным
изменением фазы являются чисто мнимой функцией (так как ej2=j). Поэтому
этот вид фильтров не пригоден для проектирования ФНЧ и ФВЧ, но
пригоден для аппроксимации ПФ и особенно ПГ и дифференциаторов. АЧХ
фильтров вида 4 равна нулю при =0. Следовательно, фильтры этого вида не
могут быть использованы для фильтрации низких частот, однако хорошо
подходят для разработки ПФ, ФВЧ, ПГ и дифференциаторов.
При использовании нормированной частоты
w частотные
характеристики НЦФ принимают следующий вид:
а) фильтр вида 1
N 1
 N 1  2
 N 1

A1 ( w)  h 
 k  cos 2 kw ,
   2h 
 2  k 1  2

1( w)   ( N  1) w;
(2.13)
(2.14)
б) фильтр вида 2
A2 ( w) 
N
1
2
N

 2h  2  1  k  cos 2 (k  0,5) w ,
(2.15)
k 0
2 ( w)   ( N  1)w;
(2.16)
в) фильтр вида 3
A3 ( w) 
N 1
2
k 1
 3 ( w) 
 N 1

 k  sin 2 kw ,
2

 2h 

2
  ( N  1) w;
(2.17)
(2.18)
г) фильтр вида 4
A4 ( w) 
N
1
2
k 0
 4 ( w) 
 N 1

 k  sin 2 ( k  0,5) w .
2

 2h 

2
  ( N  1) w.
(2.19)
(2.20)
Эти зависимости в дальнейшем будут использованы для решения
задачи аналитического синтеза частотных фильтров.
2.3. Основные этапы проектирования нерекурсивных фильтров.
Процесс проектирования нерекурсивных фильтров включает в себя ряд
этапов, каждый из которых, в свою очередь, содержит определенные
подэтапы. Состав этапов зависит от назначения фильтра.
Для частотных фильтров на первом этапе осуществляют
математическую постановку задачи аппроксимации, поскольку, как
отмечалось ранее, точное воспроизведение исходно задаваемых частотных
характеристик невозможно. Этот этап включает в себя следующие подэтапы:
выбор типа фильтра (с линейной ФЧХ определенного вида или
минимальнофазового);
выбор аппроксимируемой функции B(w), задающей требования к
заданной частотной характеристике;
выбор аппроксимирующей функции Ф(w,{с}), значения которой
определяют требуемую частотную характеристику фильтра (например,
АЧХ). Здесь {с}  вектор коэффициентов, совпадающий с вектором значений
импульсной характеристики фильтра {h(i)} либо достаточно просто
аналитически связанный с ним;
обеспечение приблизительного равенства аппроксимирующей и
аппроксимируемой функций:
Ф(w,{с})B(w) (2.21)
при заданных значениях w. При этом, если равенство (2.21) обеспечивается
без всякого критерия, уточняющего его смысл, то аппроксимационная задача
является неоптимизационной, если же для выполнения равенства
используется какой-либо критерий приближения (аппроксимации), то
аппроксимационная задача является оптимизационной. Для ее решения
необходимо на этом подэтапе выбрать критерий приближения;
определение весовой функции аппроксимации q(w), задающей
требования по точности приближения на различных участках диапазона
изменения нормированной частоты w.
Таким образом, целью первого этапа является математическая
формулировка задачи вычисления коэффициентов {с} (или импульсной
характеристики h(i)) по заданным требованиям к характеристикам фильтра.
Второй этап проектирования частотных НЦФ состоит в решении
задачи вычисления коэффициентов {с}. По сути дела это этап расчета НЦФ,
его называют еще этапом аналитического синтеза НЦФ. Этот этап включает
в себя следующие подэтапы:
оценка необходимого порядка N фильтра;
расчет вектора коэффициентов {с} и связанных с ним значений ИХ
фильтра;
оценка точности воспроизведения задаваемых характеристик и ее
сравнение с предъявляемыми требованиями.
Если требования к характеристикам выполняются, то второй этап
завершается, в противном случае необходимо вернуться ко второму подэтапу
и рассчитать вектор коэффициентов {с} для большего значения N.
Целью второго этапа является определение всех параметров НЦФ
(порядка N и значений ИХ h(i)).
Третий этап заключается в программной или аппаратной реализации
НЦФ. Он содержит следующие основные подэтапы:
выбор формы реализации и оценка реализационных характеристик;
оценка разрядности представления входных и выходных сигналов,
значений импульсной характеристики НЦФ и промежуточных данных;
выбор
элементной
базы,
разработка
функциональной
и
принципиальной схем при аппаратной реализации НЦФ в виде
специализированного устройства;
программирование на языке используемого процессора (общего
назначения или специализированного, например какого-либо сигнального
процессора [6]) при программной реализации фильтра;
оценка точности реализации требуемых характеристик фильтра при
ограниченной разрядной сетке (оценка собственных шумов фильтра).
При выполнении третьего этапа возможна ситуация, когда полученные
оценки по разрядности элементов НЦФ и точности воспроизведения
характеристик не могут быть выполнены на реальных устройствах. В этом
случае необходимо вновь вернуться ко второму этапу и решить задачу
аналитического синтеза НЦФ более точными методами при большем
значении порядка фильтра N и снова перейти к третьему этапу.
Для
функциональных
фильтров
последовательность
этапов
проектирования остается той же. Отличие состоит только в исходных данных
для проектирования и в содержании некоторых подэтапов и методов решения
оптимизационной задачи аппроксимации. Исходными данными для
проектирования являются требования по точности оценки искомых
параметров полезного сигнала,
априорные
сведения
о
входном
полезном
сигнале (монотонность, дифференцируемость, полоса частот и
т.п.), а также корреляционноспектральные характеристики помехи. Порядок
фильтра, связанный в этом случае с временем наблюдения Tн
(наблюдательным временем) процесса, описываемого входным сигналом,
является системной характеристикой, определяемой на более высоком
уровне проектирования всей системы обработки, включающей в себя НЦФ
Выбор типа фильтра обычно не требуется, поскольку существующие методы
оптимизации приводят, как правило, к НЦФ с точно линейными ФЧХ (см
разд. 2.7, а также [5])
2.4. Требования к аппроксимируемой и аппроксимирующей
функциям.
В частотных фильтрах аппроксимируемая функция строится на основе
задаваемых частотных характеристик НЦФ Для избирательных фильтров она
имеет следующий вид: в полосах пропускания B(w)=1, в полосах
задерживания B(w)=0; в промежуточных полосах (полосах безразличия)
значения B(w) не заданы и могут быть приняты любыми в пределах от нуля
до единицы. Полезно в полосах безразличия доопределить B(w) любым
простым законом изменения (обычно линейным) с целью уменьшить
систематические погрешности аппроксимации, обусловленные явлением
Гиббса [2]
Пример 2.3. Записать аппроксимируемую функцию для ФНЧ.
Решение. Для ФНЧ
1 при 0  w  wгп ,

 w  wгз
B ( w)  
при wгп  w  wгз ,
w

w
гп
гз

0 при w  w  0,5.
гз

(2.22)
График функции B(w) приведен на рис 2.2.
Рис. 2.2. АЧХ ФНЧ.
Пример 2.4. Записать аппроксимируемую функцию для ФВЧ.
Решение. Функция B(w) имеет вид
0 при 0  w  wгз ;

 w w
B( w)   гз
при wгз  w  wгп ;
w

w
гп
гз

1 при w  w  0,5.
гп

(2.23)
График функции B(w) изображен на рис 2.3.
Рис. 2.3. АЧХ ФВЧ.
Пример 2.5. Записать аппроксимируемую функцию для ПФ.
Решение.
0 при 0  w  wгз1 ,

 wгз1  w при w  w  w ,
гз1
гп1
 wгз1  wгп1

B( w)  1 при wгп1  w  wгп 2 ,

 w  wгз 2 при wгп 2  w  wгз 2 ,
 wгп 2  wгз 2

0 при wгз 2  w  0,5.
График функции B(w) представлен на рис. 2.4.
(2.24)
Рис. 2.4. АЧХ ПФ.
Пример 2.6. Записать аппроксимируемую функцию для РФ.
Решение. Для режекторного фильтра
1 при 0  w  wгп1 ,

( wгз1  w) /( wгп1  wгз1 ) при wгп1  w  wгз1 ,

B( w)  0 при wгз1  w  wгз 2 ,
( w  w ) /( w  w ) при w  w  w ,
гз 2
гп 2
гз 2
гп 2
гз 2

1 при wгп 2  w  0,5.

(2.25)
График функции B(w) приведен на рис. 2.5.
Рис. 2.5. АЧХ РФ.
В функциональных фильтрах аппроксимируемая функция как таковая
не образуется. В качестве аппроксимируемой функции выступает входной
сигнал, состоящий из смеси полезной составляющей и помехи.
Аппроксимирующая функция Ф(w,{с}) в частотных фильтрах должна
удовлетворять следующим, требованиям:
вектор коэффициентов {с} должен быть связан с вектором значений
импульсной характеристики {h(i)};
функция Ф(w,{с}) должна просто зависеть от вектора {с};
при заданных значениях w должно выполняться соотношение (2.21).
Наиболее простой и удобной для решения задачи аппроксимации
является линейная зависимость функции Ф(w,{с}) от вектора {с}:
K
Ф( w,{c})   ck k ( w),
(2.26)
k 0
где k(w)  известные функции частоты. Поскольку в НЦФ с линейной ФЧХ
частотные характеристики выражаются линейными зависимостями
относительно h(i) с тригонометрическими функциями (см. зависимости
(2.13)(2.19)), то целесообразно в аппроксимирующих функциях принять в
качестве k(w) функции косинуса или синуса.
Пример 2.7. Записать аппроксимирующие функции для избирательных
фильтров.
Решение. Для ФНЧ
 N21
 c cos 2 kw при N нечетном,
k
 
k 0
Ф( w,{c})   N
 2 1
  ck cos (2k  1) w при N четном.
 k 0
Для
первого
(2.27)
выражения
формулы
c N 1
k
N 1
 N 1 
2
h
, k  0,1,...,
 1,
  c0 ; h(k ) 
2
2
 2 
cN
1k
N 1
h( k )  2
, k  0,1,...,
 1.
2
2
для
второго
(2.27)

ДляФВЧ
 N21
 c cos 2 kw при N нечетном,
k
 
k 0
Ф( w,{c})   N
 2 1
  ck sin  (2k  1) w при N четном.
 k 0
Для
первого
(2.28)
выражения
формулы
(2.28)
второго

формулы
(2.29)
c N 1
k
N 1
 N 1 
2
h
, k  0,1,...,
 1,
  c0 ; h(k ) 
2
2
 2 
cN
1k
N 1
h( k )  2
, k  0,1,...,
 1.
2
2
ДляПФ
 N21
 c cos 2 kw при N нечетном,
k

k 0
N
 2 1
  ck cos (2k  1) w при N четном,
 k 0
Ф( w,{c})   N 1
 2
  ck sin 2 kw при N нечетном,
 k 0
 N 1
2
  ck sin  (2k  1) w при N четном.
 k 0
Для
первого
 N 1 
h
  c0 ; h(k ) 
 2 
c N 1
2
k
2
для второго  h(k ) 
(2.29)
выражения
, k  0,1,...,
cN
2
1k
2
N 1
 1,
2
, k  0,1,...,
N 1
 1,
2
для третьего  h(k ) 
cN
2
1k
для четвертого  h(k ) 
2
cN
2
, k  0,1,...,
1k
2
N 1
 1,
2
, k  0,1,...,
 N 1 
h
  0,
 2 
N 1
 1.
2
Для РФ
N 1
2
Ф( w,{c})   ck cos 2 kw.
(2.30)
k 0
В формуле
N 1 
(2.30) h 
  c0 ; h(k ) 
 2 
c N 1
2
k
2
, k  0,1,...,
N 1
 1.
2
Если для ФНЧ wгп + wгз = 0,5, требования к точности аппроксимации в
полосах пропускания и задерживания одинаковы и N  нечетное, то часть
коэффициентов ck оказывается известной заранее:
c0=0,5; c2k =0 при 22k(N1)/2, (2.31)
Такие фильтры называют равнополосными, или полуполосными, у них
N=3+4l, l=0,1,2,…, и реализационные характеристики лучше, чем у обычных
избирательных фильтров с линейной ФЧХ:
L0=N1, LП=(N3)/4+1, M=(N3)/4+1, A=(N+1)/2.
Пример 2.8. Записать аппроксимирующую и аппроксимируемую
функции для преобразователя Гильберта.
Решение. При построении ПГ в виде нерекурсивного фильтра
целесообразно использовать фильтр вида 3, причем аппроксимирующая и
аппроксимируемая функции имеют вид
N 1
2
Ф( w,{c})   ck sin 2 kw.
(2.32)
k 1
B( w)  1 при w1  w2  0,5,
(2.33)
где w1, w2  граничные значения заданной полосы частот При w1 + w2 = 0,5 и
выборе постоянной весовой функции q(w) = const ПГ реализуется в виде
равнополосного нерекурсивного фильтра.
Для минимальнофазовых фильтров обычно формулируют две
основные задачи аппроксимации, В первой задаче заданы АЧХ A(w) и ФЧХ
(w) фильтра, требуется определить H(z) так, чтобы выполнялись
приближенные равенства [2, 3].
| H (e j 2 w ) | A( w),
arg | H (e j 2 w ) |  ( w).
(2.34)
При этом вводятся аппроксимируемые функции
B1 ( w)  A( w)cos ( w), B2 ( w)  A( w)sin  ( w)
и аппроксимирующие функции
N 1
Ф1 ( w,{h( k )})   h( k )cos 2 kw,
k 0
N 1
Ф2 ( w,{h( k )})   h( k )sin 2 kw,
k 0
так что вместо (2.34) рассматриваются эквивалентные им приближенные
равенства
Ф1 ( w,{h(k )})  B1 ( w),
Ф2 ( w,{h(k )})  B2 ( w).
(2.35)
Во второй задаче аппроксимации задана лишь АЧХ A(w), a ФЧХ может
быть произвольной. В этом случае аппроксимируемая и аппроксимирующая
функции имеют вид
B( w)  A2 ( w),
N 1
2
Ф( w,{c})   ck cos2 kw,
k 0
причем функция Ф(w{c}) не должна иметь вещественных корней нечетной
кратности. Тогда, используя (2.3), можно построить функцию
N 1
H '( z )   h '( k ) z  k
k 0
(N  нечетное), вычислить корни H'(z) и построить передаточную функцию
H(z) искомого минимальнофазового фильтра так, чтобы корни H(z)
совпадали с корнями H'(z), лежащими внутри и на единичной окружности в
комплексной z-плоскости. Тогда
| H (e j 2 w ) | A( w).
В функциональных фильтрах аппроксимирующая функция должна
быть наиболее просто аналитически связана с оцениваемыми параметрами, в
то же время характер ее изменения должен соответствовать характеру
изменения полезной составляющей сигнала Обычно это достигается
аппроксимирующей функцией линейного вида
r
Ф(i{ p})   pk k (i ),
(2.36)
k 0
где {pk}  вектор искомых параметров входного сигнала, а (i)  известные
функции времени Величину r в дифференцирующесглаживающих фильтрах
называют еще порядком фильтра (не путать в величиной N). Вид функций
k(i) зависит от характера полезного сигнала. Если сигнал полиномиальный,
то k(i) являются степенными функциями, если сигнал гармонический, то
k(i) выбирают тригонометрическими (косинус либо синус). В случае
полезного сигнала более сложной формы, хорошо представляемого гладкими
функциями с ограниченной вариацией, в качестве функций k(i) также
используют степенные функции, так как гладкие функции с достаточной
степенью точности аппроксимируются конечными степенными рядами
(например, рядом Тейлора).
Пример
2.9.
Записать
аппроксимирующую
функцию
для
дифференцирующесглаживающего фильтра r-го порядка.
Решение. Цифровой дифференцирующесглаживающий фильтр
(ЦДСФ) предназначен для оценки производных входного сигнала x(i),
искаженного аддитивным шумом n(i), т.е. для многократного
дифференцирования сигнала в условиях действия шумов. В таких фильтрах
полезная составляющая может быть описана рядом Тейлора:
r
u ( i )   pk i k ,
(2.37)
k 0
где параметры pk=u(k)tk/k! (u(k)  k-я производная сигнала). Наличие шума не
позволяет использовать простые разностные методы дифференцирования в
силу их малой точности. Поэтому задача дифференцирования со
сглаживанием реализуется как задача аппроксимации входного сигнала x(i)
аппроксимирующим сигналом (функцией) полиномиального вида:
r
Ф(i,{ pk })   pk i k
k 0
на интервале дискретного времени [0,N). Величины pk являются оценками
искомых параметров pk. При несмещенной оценке, т.е. при условии
отсутствия шумов во входном сигнале (когда n(i)=0), параметр и его оценка
совпадают.
При текущем режиме дифференцирования интервал аппроксимации
(его называют еще интервалом наблюдения) перемещается (скользит) по оси
дискретного времени. При этом возможны два варианта его организации. В
первом варианте конец интервала совмещается с отсчетом x(iN+1). При
такой организации интервала аппроксимации все параметры будут
определены к дискретному моменту iN+1 и потребуется их дополнительный
пересчет к текущему моменту времени.
Во втором варианте начало интервала совмещается с текущим
отсчетом сигнала x(i), а конец  с отсчетом x(iN+1). При этом порядок
следования отсчетов фактически изменяется на обратный, что приводит к
скользящей выборке x(il). Ее аппроксимация рядом Тейлора (2.37)
позволяет получать оценки четных производных со своим знаком, а оценки
нечетных  с обратным. Для устранения знаковой инверсии параметров
аппроксимирующую функцию преобразуют к виду
r
Ф(l ,{ pk (i )})   ( 1) k pk (i )l k .
(2.39)
k 0
Функция (2.39) будет использована в разд. 2.7 при аналитическом
синтезе ЦДСФ r-го порядка.
2.5, Неоптимизационные методы расчета частотных фильтров.
Наиболее распространенными неоптимизационными методами расчета
частотных НЦФ являются методы частотной выборки и разложения в
тригонометрический ряд Фурье [2, 3]. Оба метода используют взаимосвязь
ИХ h(i) НЦФ с частотной характеристикой H() виде пары преобразований
Фурье (1.16).
Если в (1.16) использовать не все значения непрерывной частоты , а
только N некоторых выборочных значений k, где   постоянный шаг
дискретизации по частоте, то пара интегральнодискретных преобразований
Фурье (1.16) превращается в пару конечных дискретных преобразований
Фурье:
N 1
H (k )   h(i )e
j
2
ki
N
,
(2.40)
i 0
2
j ki
1 N 1
h(i )   H (k )c N ,
N k 0
(2.41)
где H(k)  выборочные значения частотной характеристики в точках, кратных
. Формулы (2.40), (2.41) и определяют метод частотной выборки расчета
НЦФ.
При их использовании получаемый НЦФ с некоторой точностью
аппроксимирует заданную частотную характеристику. Погрешность
аппроксимации возникает из-за ограниченности бесконечного ряда в (1.16) N
первыми членами, она точно равна нулю в точках частот взятия выборки и
имеет конечную величину в промежуточных точках. Чем более гладкой
является задаваемая частотная характеристика, тем меньше погрешность
аппроксимации между частотными отсчетами.
Для частотных НЦФ с точно линейной фазовой характеристикой
можно получить удобные аналитические выражения для H(k), вид которых
зависит от способа выбора N равноотстоящих отсчетов частотной
характеристики. Существует два способа выбора отсчетных точек,
пригодных для расчета НЦФ методом частотной выборки [2]. При первом
способе используют отсчеты в точках
k 
2
, k  0,1,..., N  1,
N t
(2.42)
при втором  в точках
k 
2
(k  0,5), k  0,1,..., N  1.
N t
(2.43)
Наличие двух способов дискретизации частоты дает дополнительные
возможности при расчете фильтров с заданной частотной характеристикой.
Например, если граничная частота полосы фильтра оказывается намного
ближе к точке выборки, используемой при втором способе дискретизации
частоты, чем при первом, то целесообразно использовать для решения задачи
аппроксимации второй способ дискретизации частоты. В противном случае
применяют первый способ дискретизации частоты
Для практического вычисления h(i) НЦФ с точно линейной ФЧХ по
формуле (2.41) целесообразно представить H(k) в показательной форме
записи [2]. Для первого способа дискретизации частоты
H (k )  A(k )e j ( k ) , k  1,2,..., N  1, (2.44)
причем
A(k )  A( N  k ), k  1,2,..., N  1,
(2.45)
и при четном N
 2  N  1 
N
k

 при k  0,1,...,  1,
2
 N  2 
 2
N
 N 1 
k   ( N  k ) 
 при k   1,..., N  1,
2
 2 
N
0 при k  N / 2,


(2.46)
а при нечетном N
 2  N  1 
N 1
k
,

 при k  0,1,...,
2
 N  2 
k  
N 1
 N 1 
 2
(
N

k
)
при
k

,..., N  1.


N
2
 2 

(2.47)
При втором способе дискретизации частоты
2
j ( k 0,5) i
1 N 1
N
H
(
k
)
e
,

N k 0
A(k )  A( N  1  k ), k  0,1,..., N 1,
h(i ) 
(2.48)
(2.49)
и при четном N
2  N 1


j 
( k 0,5) 
N

 A( k )e N  2
при k  0,1,...,  1,

2
H (k )  
2  N 1 

j 
( N k 0,5)
 A( k )e N  2 
при k  N / 2,..., N  1.
(2.50)
а при нечетном N
2  N 1 

j 
( k 0,5)
N 3
 A( k )e N  2 
при k  0,1,...,
,
2

 N  1
N 1


H (k )   A 
,
 при k 
2
  2 

2  N 1 
j
( N k 0,5)
N 1
 A( k )e N  2 
при k 
,..., N  1.

2
(2.51)
В формулах (2.44), (2.45), (2.49)(2.51) A(k) есть дискретная АЧХ
фильтра A(k).
Пример 2.10. Рассчитать равнополосные ФНЧ с параметрами
wгп=0,125; wгз=0,375 при t=0,1с и N=11; 15 методом частотной выборки с
первым способом дискретизации частоты. Вычислить также АЧХ каждого
фильтра для девяти равноотстоящих значений w, начиная с w=0 при шаге
w=0,125.
Решение. Для нормированной частоты w выражение дискретизации
частоты (2.42) примет следующий вид:
wk=k/N, k=0,1,...,(N1)/2. (2.52)
Требуя выполнения равенства A(wk)=B(wk) для B(w) (2.22), по
формулам (2.41), (2.44), (2.45), (2.47) и (1.13) рассчитываем значения ИХ h(i)
и реальную АЧХ A(w) фильтра. Результаты расчетов приведены в табл. 2.1 и
2.2, причем в табл. 2.1 представлена только первая половина симметричных
значений ИХ.
Табл. 2.1.
Значение ИХ h(i)= h(N-1-i)
i
0
1
2
3
4
5
6
7
N=11
N=15
-0,0113743
0,0000000
-0,0322681
0,0000000
0,2863714
0,4965879
—
—
0,0064268
0,0000000
-0,0113743
0,0000000
0,0322681
0,0000000
0,2863714
0,4998649
Табл. 2.2.
Значение АЧХ A(w)
w
0,0000
0,0625
0,1250
0,1875
0,2500
0,3125
0,3750
0,4375
0,5000
N=11
1 ,0000000
1,0051637
0,9482504
0,7547681
0,5000000
0,2353607
0,0182741
0,0143592
0,0254011
N=15
1 ,0000000
0,9995476
0,9823748
0,7604279
0,4996201
0,2553742
0,0344692
0,0053761
0,0024879
Метод разложения в ряд Фурье применим для расчета ИХ фильтров с
линейной ФЧХ и решения второй задачи для минимальнофазовых
фильтров. Если аппроксимирующая функция имеет вид (2.26), причем
 k ( w)  cos2 kw или  k ( w)  sin 2 kw , то этим методом можно получить
удобные аналитические выражения для расчета значений ИХ h(i).
Продемонстрируем это на примере, когда  k ( w)  cos2 kw .
Потребуем выполнения равенства (2.21) для Ф(w,{c}) в виде (2.27) при
нечетном N, т.е.
N 1
2
B ( w)   ck cos 2 kw.
k 0
Умножим это равенство на функцию cos2mw и полученные произведения
проинтегрируем в пределах от 0,5 до +0,5. Тогда
N 1
2
0,5
k 0
0,5
 ck

cos(2 kw)cos(2 mw)dw 
0,5

B ( w)cos2 mwdw.
0,5
Учитывая, что
0 при m  k ,

0,5 cos(2 kw)cos(2 mw)dw  1 при m  k  0,
0,5 при m  k  0,

0,5
получаем следующие выражения для коэффициентов ck:
0,5
c0 

B( w)dw,
0,5
0,5
ck  2

B( w)cos2 kwdw, k  1,2,...,
0,5
N 1
.
2
Используя свойство симметрии B(w) и известную связь коэффициентов
ck со значениями ИХ h(i) (см. 2.27), можно записать следующие
окончательные выражения для импульсной характеристики фильтра:
 N 1 
h
  2  B ( w)dw,
 2 
0
0,5
N 1
 N 1 
h(i )  2  B ( w)cos 2 
 i  wdw i  1,2,...,
 1.
2
2


0
0,5
(2.53)
Формулы (2.53) и определяют аналитическое описание метода
разложения
в
ряд
Фурье
для
аппроксимирующей
функции
косинусоидального вида. Из (2.53) ясно, что значения ИХ представляются в
форме коэффициентов тригонометрического ряда Фурье аппроксимируемой
функции B(w), откуда и следует название этого метода.
Пример 2.11. Выполнить расчет двух равнополосных ФНЧ методом
разложения в ряд Фурье (условия см. в примере 2.10).
Решение. Используя, как и в примере 2.10, B(w) вида (2.22), из (2 53)
после преобразований получаем
2
 N 1 
h
  2  dw 
wгп  wгз
 2 
0
wгп
wгз
 (w  w
гз
)dw  wгп  wгз ,
wгп
N 3
 N  1  cos 2 iwгз  cos 2 iwгп
h
i 
, i  1,2,...,
.
2 2
2i  ( wгп  wгз )
2
 2

Результаты расчета h(i) и АЧХ для конкретных значений wгп и wгз
приведены в табл. 2.3 и 2.4.
i
0
1
2
3
4
5
6
7
Табл. 2.3.
Значение ИХ h(i)= h(N-1-i)
N=11
N=15
-0,0114632
0,0000000
-0,0318422
0,0000000
0,2665796
0,5000000
—
—
0,0058486
0,0000000
-0,0114632
0,0000000
-0,0318422
0,0000000
0,2865796
0,5000000
Табл. 2.4.
Значение АЧХ A(w)
w
N=11
0,9865485
0,9783654
0,9665278
0,7436831
0,5000000
0,2347864
0,0334722
0,0235831
0,0134514
0,0000
0,0625
0,1250
0,1875
0,2500
0,3125
0,3750
0,4375
0,5000
N=15
0,9982456
0,9867547
0,9747989
0,7832679
0,5000000
0,2578671
0,0252012
0,0091256
0,0017544
2.6. Оптимизационные методы расчета частотных фильтров.
Оптимизационные методы различаются критерием аппроксимации,
уточняющим смысл соотношения (2.21). Наиболее часто используют два
основных критерия аппроксимации: среднеквадратичный критерий,
минимизирующий среднеквадратичную погрешность аппроксимации
w2
 q( w) | B( w)  Ф( w,{c}) |
2
dw  min
(2.54)
w1
и наилучший равномерный (чебышевский) критерий, минимизирующий
абсолютную погрешность аппроксимации
(2.55)
max q( w) | B( w)  Ф( w,{c}) | min, w1  w  w2.
Критерии (2.54) и (2.55) могут применяться раздельно и совместно 
каждый для определенной области частот. Функция q(w) в них является
весовой функцией, влияющей на точность аппроксимации на различных
диапазонах частоты.
Общий принцип определения значений q(w) состоит в следующем: чем
точнее должно выполняться соотношение (2.21) при w=wj, тем больше
должно быть значение q(wj). При использовании критерия (2.55) для
отдельных интервалов частот w1 j  w  w2 j задаются значениями j, такими,
чтобы на этих интервалах выполнялось неравенство
| B( w)  Ф( w,{c}) |  j .
(2.56)
Тогда для j-го интервала
q(w) = R/j,
(2.57)
где R  произвольная константа, общая для всех интервалов (нормирующий
множитель).
Пример 2.12. Задать весовую функцию q(w) для критерия (2.55) на
трех интервалах частот с граничными значениями w11, w21, w12, w22,w13, w23
при 1=0,1; 2=0,01; 3=0,001.
Решение. Выберем R=0,1, тогда
1 w11  w  w21 ,

q( w)  10 w12  w  w22 ,
100 w  w  w .
13
23

По (2.55) и (2.57) определяем оптимальную функцию Ф(w,{с}),
удовлетворяющую (2.56). Соотношение (2.57) можно использовать
совместно с (2.54). Однако в этом случае (2.57) следует рассматривать как
эвристическую рекомендацию.
Существуют два метода расчета НЦФ, соответствующие указанным
критериям аппроксимации. Первый метод  метод наименьших квадратов 
позволяет при заданных величинах w1, w2 и функциях q(w), B(w) и Ф(w,{с})
определить вектор коэффициентов {с}, минимизирующий целевую функцию:
w2
G ({c})   q( w)[ B( w)  Ф( w,{c})]2 dw.
(2.58)
w1
Необходимые и достаточные условия минимума (2.58) [3] имеют вид
уравнений
G ({c})
 0, m  0,1,..., K ,
cm
(2.59)
где K в зависимости от четности или нечетности N принимает значения
(Nl)/2 или N/2l, которые с учетом (2.26) сводятся к системе линейных
алгебраических уравнений относительно коэффициентов {c} и,
следовательно, значений импульсной характеристики h(i):
K
d
c  d m ,k 1 , i  0,1,..., K ,
m ,i i
(2.60)
i 0
где
w2
d m ,i   q( w) m ( w) i ( w)dw;
(2.61)
w1
w2
d m ,k 1   q( w) B( w) m ( w)dw.
(2.62)
w1
Пример 2.13. Рассчитать два равнополосных ФНЧ (условия см. в
примере 2.10) при wl = 0, w2 = 0,5 и
1 0  w  wгп ,

q( w)  0 wгп  w  wгз ,
 g w  w  0,5,
гз

где g = const.
Решение. Выбирая функции B(w) и Ф(w,{с}) такими же, как в примере
2.11, из (2.61), (2.62) получаем
d m ,i
 wгп sin(m  i )2 wгп g gwгз g sin(m  i )2 wгз
 

, m  i  0,
 2  4( m  i )
4
2
4( m  i )

 sin( m  i )2 wгп  sin( m  i )2 wгп  sin(m  i )2 wгз  sin( m  i )2 wгз , m  i,
 4(m  i )
4( m  i )
4(m  i )
4(m  i )
 wгп при m  0,

d m ,k 1  sin( m 2 wwгп /(2m ) при m  0,

 wгп  g / 2  gwгз при m  l  0.
Результаты расчета ИХ по уравнению (2.60) и АЧХ по формуле (1.10)
при g=1 приведены в табл. 2.5 и 2.6.
Табл. 2.5.
Значение ИХ h(i)= h(N-1-i)
i
0
1
2
3
4
5
6
7
N=11
N=15
-0,0118785
0,0000003
-0,0621937
0,0000008
0,3007862
0,4999980
—
—
-0,0033884
0,0000021
0,0197280
-0,0000073
-0,0713280
0,0001370
0,3049177
0,4999840
Табл. 2.6.
Значение АЧХ A(w)
w
0,0000
0,0625
0,1250
0,1875
0,2500
0,3125
0,3750
0,4375
0,5000
N=11
1,0009418
0,9987452
0,9965320
0,6734561
0,4999968
0,2463425
0,0034674
0,0010103
0,0009420
N=15
0,9998589
0,9995361
0,9993988
0,6601352
0,4999387
0,2510380
0,0005983
0,0003612
0,0001417
Пример 2.14. Решить задачу аналитического синтеза амплитуднофазового корректора по методу наименьших квадратов.
Решение. Амплитуднофазовый корректор, т.е. фильтр, у которого
АЧХ и ФЧХ близки к заданным желаемым функциям A*(w) и *(w), можно
построить в виде нерекурсивного фильтра, используя метод наименьших
квадратов [3], если определять ИХ h(i) из условия минимума функции:
0,5
G(h(i )) 
 q( w)[ D ( w)  D ( w)] dw.
2
1
2
2
2
0
Здесь
N 1
D1 ( w)  A* ( w)cos  * ( w)   h(i )cos 2 iw,
i 0
N 1
D2 ( w)  A* ( w)sin  * ( w)   h(i )sin 2 iw.
i 0
Необходимые и достаточные условия минимума G(h(i))
G (h(i ))
 0, i  0,1,..., N  1,
h(i )
приводят к системе линейных алгебраических уравнений относительно
значений ИХ h(i):
N 1
0,5
0,5
 h(i)  q( w)cos[(i  j)2 w]dw   q( w) A ( w)cos[ ( w)  j2 w]dw,
*
i 0
0
*
j  0,1,..., N  1.
0
Решив эту систему, можно определить импульсную характеристику
амплитуднофазового корректора. В частном случае при q(w)=1 система
может быть решена аналитически и значения импульсной характеристики
рассчитаны по формуле
0,5
h(i )  2  A* ( w)cos[ * ( w)  2 iw]dw.
0
Второй метод  метод наилучшей равномерной аппроксимации 
основывается на чебышевской теории равномерного приближения [2]. В
соответствии с этой теорией для заданного класса к функций
K
Фk ( w,{c})   ck cosk 2 w, аппроксимируемой функции B(w), весовой функции
k 0
q(w) и замкнутого интервала [w1;w2] аппроксимации существует функция
Фk(w,{с}) наилучшего равномерного приближения с такими значениями
коэффициентов ck, которые соответствуют минимальному значению
(2.63)
 ({c}0  max | ( w,{c}) |, w1  w  w2 ,
где
( w)  q( w)[ B( w)  Ф( w,{c})].
Величина ({с}) представляет собой максимальное значение
абсолютной погрешности аппроксимации на интервале [w1;w2].
Очевидно, что функция наилучшего равномерного приближения точно
соответствует критерию (2.55). Для ее отыскания используют теорему
Чебышева [2], которая утверждает, что для того, чтобы функция Ф(w,{с})
была функцией наилучшего равномерного приближения к функции B(w) с
весовой функцией q(w), необходимо и достаточно, чтобы функция (w,{с})
принимала наибольшие и равные друг другу по абсолютной величине и
чередующиеся по знаку значения в K+2 последовательно расположенных
точках (точках альтернанса) w'1, w'2, ..., w'K+2 интервала [w1;w2], т.е.
( w '1,{c})  ( w '2 ,{c})  ...  ( 1) K 1 ( w ' K 2 ,{c}),
w1  w '1  w '2  ...  w ' K 2  w2 ,| ( w ' j ,{c}) || ( w,{c}) |, j  1,2,..., K  2.
(2.64)
Последнее соотношение истинно при любом значении w,
принадлежащем интервалу [w1;w2].
Теорема Чебышева справедлива и для аппроксимируемых функций,
заданных на отдельных интервалах, не имеющих общих точек. В этом случае
функция должна быть доопределена на промежуточных интервалах так,
чтобы в целом получилась непрерывная функция на замкнутом интервале,
включающая все заданные интервалы. При этом все точки альтернанса
должны располагаться только на заданных интервалах.
Как правило, аналитически функцию наилучшего равномерного
приближения определить невозможно. Одним из наиболее эффективных
численных методов определения функций чебышевского приближения
является алгоритм Ремеза [2]. Суть этого алгоритма сводится к
последовательной модификации коэффициентов аппроксимирующей
функции до тех пор, пока с заданной степенью точности не оказываются
выполненными условия теоремы Чебышева. Алгоритм Ремеза ориентирован
на применение ЭВМ.
Пример 2.15. Решить задачу чебышевской аппроксимации для ФНЧ с
линейной ФЧХ минимального порядка N= Nmin.
Решение. Определим Nmin по оценочной эмпирической формуле,
справедливой для ФНЧ [3]:
N min 
P1 ( п ,  з )
 P1 ( п ,  з )( wгз  wгп )  1,
wгз  wгп
(2.65)
где P1(п,з)=[5,309*10-3(lgп)2+7,114*10-2lgп4,761*10-1]; lgз[2,66*10-3(lgп)2
+ 5,941*10-1lgп+4,278*10-1]; P2(п,з)=11,01217+0,51244(lgп  lgз), а п и з 
максимально допустимые отклонения АЧХ от аппроксимируемой функции
B(w) соответственно в полосах пропускания и задерживания.
Очевидно, что фильтру наименьшего порядка NNmin (оптимальному
фильтру) соответствует оптимальная функция Ф*oпт(w,{c}). Для того чтобы
определить функцию Ф*oпт(w,{c}), нужно построить несколько функций
наилучшего равномерного приближения к B(w) с весом q(w) различных
порядков, начиная с K=Kн=(N12)/2 (для четных Nmin). Если при K=Kн
условие (2.56) не выполняется хотя бы для одного j, необходимо увеличить
K. Процесс вычислений заканчивается тогда, когда ФK(w,{c}) удовлетворяет
(2.56), а ФK-1(w,{c}) (или ФK-2(w,{c}) для равнополосных фильтров) не
удовлетворяет, причем Ф*oпт(w,{c})= ФK(w,{c}).
Пример 2.16. Рассчитать по алгоритму Ремеза равнополосный ФНЧ
(условия см. в примере 2.10) для п=з=3*10-4.
Решение. Для заданных п и з Nmin, в соответствии с (2.65), равно 14.
Так как фильтр равнополосный, Kн=8. С помощью алгоритма Ремеза строим
функции наилучшего равномерного приближения Ф8(w,{c}) и Ф6(w,{c}),
аппроксимирующие функцию
1 при 0  w  0,125,
B ( w)  
0 при 0,375  w  0,5
с весовой функцией q(w)=1 в полосах пропускания и задерживания. При
K=Kн=8 требования к АЧХ выполняются: |1Ф8(w,{c})|3*10-4 при 0w0,125
и |Ф8(w,{c})|3*10-4 при 0,375w0,5; при K=6 требования к АЧХ не
выполняются, т.е. Nmin=15 . В табл. 2.7 приведены абсолютные погрешности
аппроксимации п=з=тах|B(w) Ф(w,{c})| при 0w0,125 и 0,375w0,5.
i
0
1
2
3
4
5
6
7
П=З
Табл. 2.7.
Значения ИХ h(i) =h(N-1-i)
N=11
N=15
0,0130539
-0,0037370
0,0000000
0,0000000
-0,0638686
0,0205680
0,0000000
0,0000000
0,3013116
-0,0723199
0,5000000
0,0000000
—
0,3053691
—
0,5000000
0,0015943
0,0002395
Пример 2.17. Решить задачу чебышевской аппроксимации для
минимальнофазового ФНЧ порядка N по заданной АЧХ (см. разд. 2.4).
Даны условия:
|1  A( w) |  п1 при 0  w  wгп ,
| A( w) |  з1 при wгз  w  0,5.
Решение. Точный алгоритм решения сводится к следующему [3].
1. Необходимо построить оптимальную функцию Фoпт(w,{c}),
удовлетворяющую соотношениям
|1   п21   з21 / 2  Фk ( w,{c}) | 2 п при 0  w  wгп ,
| Фk ( w,{c}) |  з2 / 2 при wгз  w  0,5,
где
k
Фk ( w,{c})   ci cos 2 iw.
i 0
Каждая функция последовательности, которую следует построить для
определения Фoпт(w,{c}), строится как функция наилучшего приближения к
аппроксимируемой функции
2
2

1   п1   з1 при 0  w  wгп ,
B( w)  

0 при wгз  w  0,5
с весовой функцией

1 при 0  w  wгп ,
q( w)  
2

4 п1 /  з1 при wгз  w  0,5.
(2.67)
Ориентировочная оценка величины начального порядка Kн функции
Фk(w,{c}) может быть найдена так же, как в примере 2.15, если принять
Kн=(Nl)/2 и
п=2п1, з=2з /2.
(2.68)
2. Строим функцию Ф°(w,{c})=Фoпт(w,{c})+M+M, не имеющую
вещественных корней. Величина М=max|Ф(w,{c})| при wгзw0,5; M=(10-2
10-3)М .
3. По коэффициентам Ф°(w,{c}) строим функцию
2K
H '( z )   h '(i )z  i .
i 0
4. Вычисляем корни функции H'(z).
K 1
5. Строим функцию H "( z )   h "(i )z i  z  k , корни которой совпадают с
i 0
корнями H'(z), лежащими внутри и на единичной окружности.
6. Строим передаточную функцию искомого минимальнофазового
K
фильтра H ( z )  bK H "( z )   h(i )z i , h(i )  h "(i )h(k ). Значение h(k) определяем из
i 0
условия | H ( ) | | H '( ) |, эквивалентного равенству
K
 h (i ) 
i 0
последнего равенства и выражений для H''(z) и H(z) следует, что
2K
h( k ) 
 h '(i )
i 0
.
 h "(i )  1
K 1
i 0
2K
 h '(i).
i 0
Из
Пример 2.18. Рассчитать минимальнофазовый равнополосный ФНЧ
наименьшего порядка N при wгп = 0,125, wгз = 0,375; п1= 0,02, з1= 0,003.
Решение. По формулам (2.68) находим п = 0,04; з= 4,5*10-8. Тогда из
формулы (2.65) следует, что Kн=6. Аппроксимируемая функция примет вид
1  3,99995 104  1 при 0  w  0,125,
B ( w)  
0 при 0,375  w  0,5.
Находим по формуле (2.67) весовую функцию:
1 при 0  w  0,125,
q ( w)  
888889 при 0,375  w  0,5.
С помощью алгоритма Ремеза определяем Фoпт(w,{c}). Для этого были
последовательно построены функции Ф6(w,{c}), Ф7(w,{c}), Ф8(w,{c}) и
Ф9(w,{c}) [2, 3]. Анализ показал, что функция Ф9(w,{c}) удовлетворяет
заданным требованиям, т. е. Фoпт(w,{c}) = Ф9(w,{c}). По полученной функции
строим функцию Ф°(w,{с})= Фoпт(w,{c})+0,19*10-7, а по коэффициентам
последней  передаточную функцию
18
H '( z )   h '(i ) z  i .
i 0
Определив ее корни, записываем передаточную функцию
9
H ( z )   h (i ) z  i ,
i 0
корни которой совпадают с корнями H'(z), лежащими внутри единичной
окружности (корней, лежащих на единичной окружности, в данном примере
нет), причем
9
 h (i ) 
i 0
18
 h '(i).
Значения импульсной характеристики этого
i 0
фильтра
и
максимальные
аппроксимации
значения
абсолютных
 мп  max |1 | H ( ) || при 0  w  0,125,
 мз  max | H ( ) | при 0,375  w  0,5
приведены в табл. 2.8.
i
Табл. 2.8.
Значения ИХ h(i)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
мп
мз
0,0390416
0,1895547
0,3880348
0,3955276
0,1442823
-0,0923005
-0,1018407
-0,0049612
0,02901673
0,01067023
0,00828240
0,00019770
2.7. Аналитический синтез оптимальных
дифференцирующеесглаживающих фильтров.
погрешностей
Рассмотрим
решение
задачи
синтеза
оптимальных
дифференцирующесглаживающих фильтров для случая помехи типа
математического белого шума (некоррелированного шума). Как отмечалось в
примере 2.9, задача дифференцирования в условиях помех может быть
сведена к задаче аппроксимации выборки входного сигнала x(ji) полиномом
(2.37), параметры которого с точностью до постоянного множителя
совпадают с оценкой соответствующей производной. В случае
некоррелированной помехи состоятельная и несмещенная оценка
производных может быть получена с помощью метода наименьших
квадратов, в соответствии с которым минимизируется величина дисперсии
погрешностей аппроксимации
N 1
r
i 0
k 0
 2   [ x( j  i )   ( 1) k p k ( j )i k ]2 .
(2.69)
Дифференцируя функцию (2.69) по каждому параметру pk приравнивая
производные нулю, условие минимума (2.69) можно представить
эквивалентной системой линейных алгебраических уравнений относительно
искомых параметров pk :
r
N 1
N 1
k 0
i 0
i 0
 (1)k p k ( j ) i k m   x( j  i )(1)m i m , m  0,1,..., r.
(2.70)
Из аналитического решения системы (2.70) можно получить искомые
результаты.
В самом общем случае, применяя метод Крамера, решение системы
(2.70) можно представить в следующем виде:
pk ( j) 
k
,

(2.71)
где   главный определитель системы уравнений (2.70), а k  ее k-й
частный определитель, получаемый заменой k-го столбца главного
определителя на столбец свободных членов системы (2.70). Раскладывая
частный определитель относительно элементов столбца свободных членов,
решение (2.71) можно переписать в более наглядной форме:
N 1
p k ( j )   x( j  i )
i 0
Aik
,

(2.72)
где Аki  алгебраическое дополнение i-й строки k-гo частного определителя.
Принимая величину Аki/ в качестве значения импульсной характеристики
hrk(i), получаем оценку параметра p k ( j ) в виде нерекурсивного
дифференцирующесглаживающего фильтра:
N 1
p k ( j )   x( j  i )hkr (i ).
(2.73)
i 0
Пример 2.19. Выполнить синтез ЦДСФ первого порядка.
Решение. При r = 1 система уравнений (2.70) примет вид
N 1
N 1
N 1
i 0
i 0
i 0
p0 ( j ) i 0  p1 ( j ) i1   x ( j  i ),
N 1
N 1
N 1
i 0
i 0
i 0
 p0 ( j ) i  p1 ( j ) i 2    x ( j  i )i,
а ее решение представляется в виде уравнений двух нерекурсивных фильтров
2(2 N  1  3i )
,
N ( N  1)
i 0
N 1
6( N  1  2i )
p1 ( j )   x ( j  i )
N ( N 2  1)
i 0
N 1
p0 ( j )   x ( j  i )
с импульсными характеристиками
Дисперсия оптимальной оценки k-го параметра с помощью ЦДСФ r-го
порядка в соответствии с общим уравнением (1.26)
N 1
 r2   n2  [hkr (i )]2 .
i 0
Здесь, как и в разд.1.7, 2n определяет дисперсию входного
некоррелированного шума.
3. МЕТОДЫ РАСЧЕТА РЕКУРСИВНЫХ
ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ.
3.1. Особенности расчета рекурсивных цифровых фильтров.
В отличие от НЦФ устойчивые физически реализуемые рекурсивные
фильтры в общем случае не обладают точно линейной фазовой
характеристикой (за исключением частного случая, когда все полюсы H(z)
размещаются на единичной окружности). В связи с этим при расчете РЦФ
всегда приходится рассматривать заданные и амплитудную, и фазовую
характеристики.
Решение задачи расчета РЦФ сводится к определению значений его
коэффициентов bj и aj (коэффициенты фильтра в РЦФ не совпадают со
значениями
его
импульсной
характеристики),
обеспечивающих
воспроизведение заданных характеристик фильтра, в качестве которых могут
быть использованы импульсная и частотная характеристики, характеристика
группового времени замедления и т.д. Поскольку точное воспроизведение
этих характеристик невозможно, задача расчета РЦФ также является
аппроксимационной задачей и может быть решена чисто математическими
методами.
Область, в которой производится аппроксимация, определяется
назначением фильтра. Так, если аппроксимация производится в z-плоскости,
результирующий фильтр будет цифровым. Если же она производится в sплоскости, результирующий фильтр будет аналоговым и потребуется
дополнительный этап его дискретизации. В соответствии с этим все методы
проектирования РЦФ можно разделить на три группы.
Первая группа методов основывается на аппроксимации данных
характеристик в непрерывной s-области с последующим применением
простых методов отображения в z-область. Вторую группу методов расчета
РЦФ образуют прямые методы расчета в z-области. Часто удается найти
такое расположение полюсов и нулей фильтра, при котором обеспечивается
аппроксимация непосредственно заданной характеристики фильтра. Третья
группа методов базируется на использовании процедуры оптимизации для
нахождения такого расположения полюсов и нулей в z-плоскости, при
котором обеспечивается аппроксимация заданной характеристики фильтра.
При этом обычно не удается получить формулы, связывающие
коэффициенты фильтра с известными параметрами заданной характеристики.
Расчет фильтров производится, как правило, численно  методом
последовательных приближений.
Наибольшее распространение на практике получила первая группа
методов, особенно при расчете частотных фильтров. Это связано с тем, что
при таком подходе нет необходимости в создании специальной теории
расчета цифровых фильтров. Для этого можно использовать хорошо
разработанную теорию расчета фильтров непрерывного времени,
базирующуюся на широком классе известных аналоговых фильтров:
Баттерворта, Бесселя, Чебышева, Кауэра и др. [2,3]. Последующее
применение известных методов дискретизации (перехода от непрерывной
области к дискретной) позволяет относительно просто решать поставленную
задачу проектирования РЦФ,
3.2. Методы расчета рекурсивных цифровых фильтров
по фильтрам непрерывного времени.
Методы расчета различаются между собой способами дискретизации
передаточной
функции
H(s)
непрерывного
фильтра.
Наиболее
распространенными методами дискретизации являются:
метод отображения дифференциалов;
метод инвариантного преобразования импульсной характеристики;
метод билинейного преобразования;
метод согласованного zпреобразования.
Для иллюстрации методики проектирования РЦФ рассмотрим метод
билинейного преобразования.
Билинейное преобразование представляет собой конформное
отображение s-плоскости в точки z-плоскости и использует замену
переменной вида
s(1z-1)/(1+ z-1),
(3.1)
где   постоянный множитель, значение которого не меняет форму
преобразования.
Применение (3.1) обеспечивает однозначное преобразование
передаточной функции H(s) аналогового фильтрапрототипа в передаточную
функцию H(z) рекурсивного цифрового фильтра:
(3.2)
H ( z )  H ( s) s (1z ) /(1 z ) .
1
1
При этом преобразовании каждой точке комплексной s-плоскости
(s=+j) ставится в соответствие определенная точка z-плоскости
(z=exp((+jw)t)). Мнимая ось s-плоскости (s=j для <<)
отображается в единичную окружность z-плоскости (z=exp(jwt)). Левая
половина s-плоскости (Re(s)<0) отображается в часть z-плоскости внутри
единичного круга (|z|<1), что позволяет из устойчивого аналогового фильтра
получить устойчивый цифровой рекурсивный фильтр.
Соотношение между частотами аналогового фильтра («аналоговыми»
частотами)  и цифрового фильтра («цифровыми» частотами»)  можно
определить из (3.1) подстановкой s=j и z=ejt. Оно выражается следующим
соотношением:
=tg(t/2)= tg. (3.3)
На рис. 3.1 представлен график зависимости (3.3) для случая =1.
Рис. 3.1. График зависимости между частотами аналогового и цифрового фильтров.
Из соотношения (3.3) и его графика следует, что при небольших
значениях w отображение частот почти линейно, однако для основной части
частотной шкалы оно существенно нелинейно и сильно ограничивает область
применения билинейного преобразования. Действительно, в общем случае
при использовании преобразования (3.3) частотная характеристика
цифрового фильтра будет представлять собой деформированную частотную
характеристику преобразуемого аналогового фильтра. По этой причине,
например, билинейное преобразование нельзя использовать для
преобразования аналогового дифференцирующего фильтра в цифровой
дифференциатор.
Для
довольно
большого
практически
важного
класса
частотноизбирательных фильтров (ФНЧ, ФВЧ, ПФ и РФ) частотная
деформация,
описываемая
соотношением
(3.3),
может
быть
скомпенсирована. Метод компенсации деформации достаточно прост.
Совокупность характерных частот среза полос пропускания и задерживания
ЦФ известна. Используя соотношение (3 3), по ним можно найти все
граничные частоты среза аналогового фильтра, на основе которых рассчитать
соответствующий аналоговый фильтр. Выполнив последующее билинейное
преобразование этого фильтра, можно получить цифровой фильтр, все
частоты которого будут совпадать с заданными. При этом следует иметь в
виду, что компенсация касается только АЧХ фильтра; ни ФЧХ, ни
импульсная характеристика аналогового и цифрового фильтров совпадать не
будут.
Выбор параметра  по формуле
=ctg(гпt/2)=сtgwгп. (3.4)
приводит к нормированному аналоговому фильтрупрототипу (П=1)> что
удобно при использовании справочников по аналоговым фильтрам.
Пример 3.1. Проиллюстрировать процедуру синтеза рекурсивного
цифрового ФНЧ методом билинейного преобразования при следующих
требованиях к АЧХ: неравномерность АЧХ в полосе пропускания не более
АП, максимальное отклонение от нуля в полосе задерживания АЗ,
граничные нормированные частоты полос пропускания гп и задерживания
гз, =1.
Решение. По выражению (3.3) находим граничные «аналоговые»
частоты полосы пропускания П и полосы задерживания З:
П =tgwгп, З =tgwгз.
Определяем по этим частотам передаточную функцию H(s)
аналогового фильтрапрототипа с неравномерностью АЧХ в полосе
пропускания [0, П]АП и отклонением от нуля в полосе задерживания
[З,], равным АЗ. После этого, выполняя билинейное преобразование (3.1),
получаем РЦФ, удовлетворяющий поставленным требованиям. Описанную
процедуру синтеза иллюстрирует рис. 3.2.
Пример 3.2. Рассчитать рекурсивный цифровой ФНЧ с
использованием результатов расчета аналоговых фильтров, приведенных в
справочнике [4], для следующих исходных данных: частота дискретизации
fд=8 кГц, граничная частота полосы пропускания fгп=1 кГц, граничная
частота полосы задерживания fгз=3 кГц, верхняя граница рабочего затухания
в полосе пропускания а = 1,4 дБ, гарантированное затухание в полосе
задерживания а0=40 дБ.
Алгоритм расчета РЦФ по справочнику [4] включает в себя следующие
этапы.
1. Расчет нормированных «цифровых» граничных частот
wгп= fгп/fд ; wгз= fгз/fд.
2. Определение значения параметра  (см. формулу (3.4)).
Рис. 3.2. Иллюстрация процедуры синтеза цифрового фильтра по аналоговому.
3. Нахождение граничной «аналоговой» частоты З полосы
задерживания аналогового фильтрапрототипа.
4.
Определение
передаточной
функции
аналогового
фильтрапрототипа нижних частот требуемого типа (на базе фильтров
Баттерворта, Чебышева, Кауэра и т.д.) [2, 3]:
а) определение модуля коэффициента отражения |р| по заданной
верхней границе рабочего затухания а в полосе пропускания;
б) определение порядка фильтра по номограммам [4].
в) запись передаточной функции H(s) аналогового фильтра данного
типа и его порядка в общем виде;
г) определение численных значений коэффициентов передаточной
функции с учетом модуля коэффициента отражения |р| по таблицам
справочника ([4], с. 44387);
д) запись передаточной функции H(s) с численными значениями
коэффициентов.
5. Определение передаточной функции H(z) цифрового ФНЧ с
помощью билинейного преобразования (3.1).
6. Контрольный расчет АЧХ полученного ЦФ.
Выполним представленный алгоритм расчета для заданных исходных
данных.
1. wгп=103/(8*103)=0,125 и wгз=3*103/(8*103)=0,375.
2. =ctg*0,125=2,414214.
3. З=2,414214tg*0,375 5,82.
4. Передаточная функция аналогового фильтра типа фильтра
Баттерворта:
а) для а=1,4 дБ следует выбрать |р|=50%;
б) порядок фильтра при |р|=50% и а0=40 дБ получается равным 3 (см.
[4]).
в) общий вид H(s):
H(s)=(1/c)*1/(s а0)/[s22а1s+(a21+a22)];
г) коэффициенты H(s) [4]: с=0,57735; а0=1,200937; а1=0,600468;
а2=1,040042;
д) передаточная функция с H(s) с коэффициентами:
H(s)=1,7320527/(s+1,200937)/(s2+1,2009365s+1,472249).
5. Передаточная функция ЦФ H(z), получаемая из H(s) подстановкой
(3.1):
H(z)=1,732052(1z-1)(1+ z-1)2/(3,615151  1,213278z-1)/(10,169994 8,77236z-1 +
+4,371362z-2).
Из полученной передаточной функции могут быть определены
значения всех коэффициентов аj и bk ФНЧ рекурсивного типа.
3.3. Сравнение нерекурсивных и рекурсивных фильтров.
Оба класса фильтров обладают рядом преимуществ и недостатков.
Преимущества НЦФ по сравнению с РЦФ сводятся к следующему.
Нерекурсивные фильтры могут иметь точно линейную ФЧХ.
Мощность собственных шумов (дисперсия погрешностей округления)
НЦФ, как правило, гораздо меньше, чем у РЦФ, и не имеет тенденции к
накапливанию в силу отсутствия обратных связей в таких фильтрах. Она
равна нулю, т.е. у НЦФ отсутствуют собственные шумы в том случае, если
операции сложения и умножения выполняются без округлений. В РЦФ
мощность собственных шумов принципиально не может равняться нулю,
поскольку в цепи обратной связи этих фильтров всегда должно выполняться
округление при вычислении произведений отсчетов сигнала на
коэффициенты фильтра.
Для НЦФ проще вычисление коэффициентов, что объясняется
линейной зависимостью аппроксимирующей функции от коэффициентов.
НЦФ являются принципиально устойчивыми системами, в то время как
устойчивость РЦФ априори гарантировать нельзя. Устойчивость РЦФ всегда
необходимо проверять по тому или иному критерию устойчивости (см. разд.
1.6). Для РЦФ, находящихся на границе устойчивости, накопление
внутренних шумов может привести к потере устойчивой работы.
Главным недостатком НЦФ по сравнению с РЦФ является то, что при
одинаковых требованиях к АЧХ отсутствии требований к линейности ФЧХ и
постоянной частоте дискретизации они требуют при своей реализации
выполнения существенно большего числа арифметических операций. Этот
недостаток для некоторых фильтров удается уменьшить разработкой
специальных быстрых алгоритмов нерекурсивной фильтрации либо
переходом к более простым алгоритмам квазиоптимального типа (например,
применение робастного подхода к цифровой фильтрации сигналов) [5,6].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.
1. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем. М.: Наука, 1977.559с.
2. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов: Пер. с
англ. М.: Мир, 1978. 848 с.
3. Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов:
Справочник. М.: Радио и связь, 1985. 312 с.
4. Христиан Э., Эйзенман Е. Таблицы и графики по расчету фильтров: Пер. с англ.
М.: Связь, 1975. 408 с.
5. Проектирование специализированных информационно-вычислительных систем:
Учеб. пособие / Ю.М. Смирнов, Г.Н. Воробьев, Е.С. Потапов, В.В. Сюзев. М.: Высш. шк.,
1984. 359 с.
6. Солонина А.И., Улахович Д.А., Яковлев Л.А. Цифровые процессоры обработки
сигналов фирмы Motorola. СПб.: БХВ, 2000.512с.
ОГЛАВЛЕНИЕ.
Введение ...............................................................................................................3
1. Цифровые фильтры и их характеристики .....................................................4
1.1. Цифровые фильтры ......................................................................................4
1.2. Передаточные функции цифровых фильтров ............................................6
1.3. Основные формы реализации передаточных функций
цифровых фильтров .....................................................................................7
1.4. Частотные характеристики фильтров .......................................................12
1.5. Импульсная характеристика фильтров .....................................................16
1.6. Устойчивость цифровых фильтров ...........................................................18
1.7. Классификация фильтров по назначению ................................................19
2. Методы расчета нерекурсивных фильтров ..................................................24
2.1. Классификация нерекурсивных цифровых фильтров
по виду импульсной характеристики ........................................................24
2.2. Частотные характеристики нерекурсивных фильтров с
симметричной и антисимметричной импульсной характеристикой......26
2.3. Основные этапы проектирования нерекурсивных фильтров ..................31
2.4. Требования к аппроксимируемой и аппроксимирующей
функциям .....................................................................................................34
2.5. Неоптимизационные методы расчета частотных фильтров ....................43
2.6. Оптимизационные методы расчета частотных фильтров ........................50
2.7. Аналитический синтез оптимальных дифференцрующесглаживающих фильтров ...........................................................................61
3. Методы расчета рекурсивных цифровых фильтров ....................................63
3.1. Особенности расчета рекурсивных цифровых фильтров .........................63
3.2. Методы расчета рекурсивных цифровых фильтров
по фильтрам непрерывного времени .........................................................64
3.3. Сравнение нерекурсивных и рекурсивных фильтров ...............................69
Список литературы ..............................................................................................71