Транспортно-энергетический факультет Кафедра электроснабжения промышленных предприятий МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Транспортно-энергетический факультет
Кафедра электроснабжения промышленных предприятий
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к выполнению курсовой работы по дисциплине
«Теоретические основы электротехники»
(заочная форма обучения)
1
Оглавление
1 Задание к курсовой работе ...................................................................................... 3
1.1 Задача 1. « Анализ трехфазной цепи при различных схемах соединения
нагрузки» .................................................................................................................. 3
1.2 Задача 2 «Анализ линейной электрической цепи с несинусоидальным
источником» ............................................................................................................. 3
1.3 Задача 3 «Переходные процессы в линейной электрической цепи с
сосредоточенными параметрами» ........................................................................ 11
2 Краткие теоретические сведения и примеры решения ...................................... 12
2.1 Трехфазные цепи.............................................................................................. 12
2.1.1 Основные сведения о трехфазных цепях ................................................ 12
2.1.2 Основные формулы и алгоритмы для трехфазных цепей ................... 16
2.1.3 Пример решения задачи 1 ......................................................................... 18
2.2 Цепи несинусоидального тока ........................................................................ 20
2.2.1 Гармонический анализ и разложение функций...................................... 20
2.2.2 Действующее и среднее значения несинусоидальных величин ........... 21
2.2.3 Особенности расчета линейной электрической цепи с
несинусоидальными источниками .................................................................... 23
2.2.4 Мощность при несинусоидальных напряжениях и токах ..................... 24
2.2.5 Пример решения задачи 2 ......................................................................... 25
2.3 Переходные процессы ..................................................................................... 32
2.3.1 Основные определения. Законы коммутации. ....................................... 32
2.3.2 Определение принужденных составляющих ......................................... 33
2.3.3 Начальные условия................................................................................... 35
2.3.4 Операторный метод расчета переходных процессов............................ 37
2.3.4.1 Математические основы метода. Алгоритм расчета
переходного процесса операторным методом ............................................. 37
2.3.4.2 Операторная схема замещения ..................................................... 39
2.3.4.3 Переход от изображения к оригиналу .......................................... 41
2
1 Задание к курсовой работе
1.1 Задача 1. « Анализ трехфазной цепи при различных схемах соединения
нагрузки»
Обмотки трехфазного генератора с симметричной системой фазных
напряжений Uфг соединены звездой. Даны три схемы соединения нагрузки
(рис.1.1): звезда с нулевым проводом; звезда; треугольник.
IA
A
IB
B
IC
C
zA
IA
A
zB
B
zC
IN
О
A
IB
O'
IA
zA
zB
IC
O'
zC
С
C
а) звезда с нулевым проводом
B
б) звезда
IB
IC
a
Iab
b
z A zC

zB
I bc
Ica
c
в) треугольник
Рисунок 1.1
Для каждой схемы:
1) рассчитать все токи;
2) проверить баланс комплексной мощности;
3) построить векторную диаграмму напряжений и токов.
Параметры схемы выбираются из таблицы 1.1 по номеру варианта, задаваемому
преподавателем.
Таблица 1.1- Таблица параметров к задаче 1
Фазное
Номер варианта напряжение
генератора
9
Сопротивления фаз
Фаза В (вс)
Фаза А (ав)
Фаза С (са)
Uфг
RA
xLA
xCA
RB
xLB
xCB
RC
xLC
xCC
В
Ом
Ом
Ом
Ом
Ом
Ом
Ом
Ом
Ом
127
10
20
-
25
30
15
10
-
1.2 Задача 2 «Анализ линейной электрической цепи с несинусоидальным
источником»
3
В линейной электрической цепи, схема и параметры которой приведены
ниже, действует источник несинусоидального напряжения. Форма ЭДС задана.
Требуется:
1) Представить ЭДС источника, заданную графически, рядом Фурье.
2) Для дальнейших расчетов ограничить число членов ряда постоянной
составляющей и тремя – пятью гармониками.
3) Построить графики спектров амплитуд и начальных фаз ЭДС источника.
4) Определить погрешность в определении действующего значения ЭДС,
возникающую за счет ограничения числа гармоник ряда.
5) На одном графике построить кривую исходной несинусоидальной ЭДС и
кривую, полученную в результате сложения гармонических составляющих
ограниченного ряда.
6) Для каждой гармоники, включая постоянную составляющую, рассчитать
токи ветвей. При расчете каждой гармоники выполнить построение векторных
диаграмм токов соответствующих гармоник и проверить правильность расчётов
балансом мощности.
7) Записать мгновенные значения токов ветвей в виде ряда Фурье.
8) Определить действующие значения токов ветвей, активную, реактивную,
полную мощности цепи, а также мощность искажения и коэффициент
мощности.
График несинусоидальной ЭДС источника (таблица 1.2) и электрическая
схема (таблица 1.3) выбираются по номеру в списке журнала группы.
Параметры схемы выбираются из таблицы 1.4 по варианту, назначаемому
преподавателем.
Способ представления ЭДС источника рядом Фурье (с использованием
готовых формул из таблицы 1.4 или разложение в ряд с помощью
компьютерного пакета MathCad) задается преподавателем.
4
Таблица 1.2 – Варианты несинусоидальной ЭДС источника
График несинусоидальной ЭДС,
формула разложения функции в ряд Фурье
e
1
График несинусоидальной ЭДС,
формула разложения функции в ряд Фурье
e
2
Em
Em
wt
e(wt ) 
Em
2  Em

2
p
2p
0
1
1


  sin wt  sin 3wt  sin 5wt  .... 
3
5


e
3
wt
2p
p
0
e(wt ) 
Em
E 
1
1

 m   sin wt  sin 2wt  sin 3wt  .... 
2
p 
2
3

e
4
Em
Em
wt
wt
p
0
e(wt ) 
Em 4  Em

2
p2
2p
1
1


  cos wt  cos 3wt  cos 5wt  .... 
9
25


e
5
p
0
e(wt ) 
2 Em
p
4  Em  1
1
1

  cos 2wt  cos 4wt  cos 6wt  .... 
p
15
35
3

e
6
Em

2p
Em
wt
0
p
2
e(wt ) 
2 Em
p

p
wt
3p
2
4  Em  1
1
1

  cos 2wt  cos 4wt  cos 6wt  .... 
p 3
15
35

0
e(wt ) 
2p
Em Em 
1
1


  sin wt  sin 2wt  sin 3wt  .... 
2
p 
2
3

5
Продолжение таблицы 1.3
7
8
e
Em
e
wt
wt
p
0
E
4  Em
e( t )  m 
4
p2
e
Em
e( t ) 
1
1
1

 2  Em   sin wt 
cos 2wt 
cos 4wt  .... 
p
3p
15p
4

Em
e
Em
10
0 p
3
0
p
2p
2
1
1
1


  cos wt  cos 2wt  cos 3wt  cos 5wt  ... 
2
9
25


9
p
0
3p
p
2
Em
p
2p wt
p
2
2p wt
_
Em
-Em
e(wt ) 
2 3  Em 
1
1

  cos wt  cos 5wt  cos 7wt  .... 
p
5
7


e
Em
11
0
e(wt ) 
6
Em 2  Em

2
p
e(wt ) 
e
Em
12
p
2
p
3p
2
8  Em 
1
1

  sin wt  sin 3wt  sin 5wt  .... 
2
p
9
25


wt
2p wt
0
p
2
1
1


  cos wt  cos 3wt  cos 5wt  .... 
3
5


e(wt ) 
p
3p
2
1
1
1

 2  Em   cos wt 
cos 2wt 
cos 4wt  ... 
p
3p
15p
4

Em
Продолжение таблицы 1.3
e
Em
13
e
Em
14
0
2p
p
e(wt ) 
Em Em

4
p
p
p
2
wt
 sin( wt  32,50 ) sin( 2wt ) sin( 3wt ) sin( 4wt )

 



 ... 
0,843
2
3
4


e
Em
15
wt
0
e(wt ) 
2p
Em 4  Em 
1
1
1


  sin wt  cos 2wt  sin 3wt  sin 5wt.... 
2
4
p
2
9
5


e
Em
16
Em
2
0
2p
p
e(wt ) 
17
0
wt

Em Em  sin( wt  32,50 ) sin( 2wt ) sin( 3wt ) sin( 4wt )

 



 ... 
4
p 
0,843
2
3
4

e
Em
e(wt ) 
e
Em
18
Em
2
2
e(wt ) 
2p wt

3Em Em  sin( wt  120 ) sin( 2wt ) sin( 3wt ) sin( 4wt )

 



 ... 
8
p  0,653
4
2
8

Em
0
p
p
0 p
3
2p wt

3Em Em  sin( wt  120 ) sin( 2wt ) sin( 3wt ) sin( 4wt )

 



 ... 
8
p  0,653
4
2
8

e(wt ) 
p
2p wt
Em
3  Em 
1
1


  cos wt  cos 5wt  cos 7wt  .... 
2
p
5
7


7
Продолжение таблицы 1.3
e
19
e
Em
20
Em
p
0
2p
wt
2p
-Em
e(wt ) 
-Em
4  Em 
1
1

  sin wt  sin 3wt  sin 5wt  .... 
p 
3
5

e
Em
21
0
e(wt ) 
22
2  Em 
1
1

  sin wt  sin 2wt  sin 3wt  .... 
p 
2
3

e
Em
wt
p
2p
0
-Em
e(wt ) 
e(wt ) 
24
p
p
e
Em
wt
-Em
8
2p
3
6 3  Em 
1
1
1


sin
w
t

sin
5
w
t

sin
7
w
t

sin 11wt.... 

2
p
25
49
121


0
2p
e(t ) 
3
wt
m
2  Em 
1
1

  sin wt  sin 2wt  sin 3wt  .... 
p 
2
3

0
p
4p
3
_E
e
Em
23
wt
p
0

Em  sin( wt  32,50 ) sin( 3wt ) sin( 5wt ) sin( 7wt )
 



 ... 
p 
0,422
1,5
2,5
3,5

p
2p
wt
-Em
e(wt ) 

 Em Em  sin( wt  120 ) sin( 2wt ) sin( 3wt ) sin( 4wt )

 



 ... 
4
p  0,326
2
1
4

Продолжение таблицы 1.3
e
25
E
26
m
p
0
_E
e(wt ) 
27
6
p
e
Em
wt
p
2
wt
p
0
2p
2p
-Em
m
6 3  Em 
1
1
1


cos
w
t

cos
5
w
t

cos
7
w
t

cos11wt.... 

2
p
25
49
121


e
Em

Em  sin( wt  32,50 ) sin( 3wt ) sin( 5wt ) sin( 7wt )
e(t ) 
 



 ... 
p 
0,422
1,5
2,5
3,5

28
e
Em
Em
2
wt
0
-Em
p
2p
0
p
2p wt
p
2
2
-Em
e(wt ) 

Em  sin( wt  120 ) sin( 3wt ) sin( 5wt ) sin( 7wt )
 



 ... 
p  0,326
1
1,67
2,33

Em
 p 2


0
0
 



1

sin(
w
t

32
.
5
)

sin(
3
w
t

90
)


Em   4


e(wt ) 


p
  1  sin( 5wt  900 )  1  sin( 7wt  900 )  ... 


3
 3

9
Таблица 1.3 – Схемы электрических цепей
9
C
R1
e(t)
R2
R3
L
Продолжение
Таблица 1.4 – Параметры схемы цепи
T  10 2 ,
R1 , Ом
Вариант E m , В
с
9
10
250
1,2
12
R2 , Ом
R3 , Ом
L , мГн
C , мкФ
15
15
20
50
1.3 Задача 3 «Переходные процессы в линейной электрической цепи с
сосредоточенными параметрами»
Для возникающего переходного процесса в электрической цепи
требуется:
операторным методом рассчитать переходные токи во всех ветвях и
переходное напряжение на реактивном элементе;
- построить
графики тока и напряжения на реактивном элементе в
функции времени t.
Схемы электрической цепи приведены в таблице 1.5, постоянное
напряжение источника и параметры схемы заданы в таблице 1.6.
Номер схемы соответствует порядковому номеру, под которым фамилия
студента записана в групповом журнале. Номер варианта параметров схемы из
таблицы 1.6 назначается преподавателем.
Таблица 1.5
9
R1
R2
E
L
R3
Таблица 1.6 – Параметры схемы к задаче 3
№ варианта
9
Е,
B
500
R1,
Ом
100
R2,
Ом
200
R3,
Ом
50
L, Гн
C, мкФ
в схемах с L в схемах с С
0.3
80
11
2 Краткие теоретические сведения и примеры решения
2.1 Трехфазные цепи
2.1.1 Основные сведения о трехфазных цепях
Трехфазная цепь является частным случаем многофазных электрических
систем, представляющих собой совокупность электрических цепей, в которых
действуют ЭДС одинаковой частоты, сдвинутые по фазе относительно друг
друга на определенный угол.
Каждую
из
частей
многофазной
системы,
характеризующуюся
одинаковым током, называют фазой, т.е. фаза – это участок цепи, относящийся
к соответствующей обмотке генератора или трансформатора, линии и нагрузке.
Совокупности ЭДС (напряжений, токов) в трехфазных цепях называют
трёхфазной системой ЭДС (напряжений, токов).
Под трёхфазной симметричной системой ЭДС (напряжений, токов)
понимают совокупность трёх синусоидальных ЭДС (напряжений, токов)
одинаковой частоты и амплитуды, сдвинутых по фазе на 120°.
Мгновенные значения симметричной системы трёхфазных ЭДС можно
записать в следующем виде
e A  E m  sin(  t )

0
e B  E m  sin(  t  120 )
e  E  sin(  t  240)  E  sin(  t  120).
m
m
 C
(2.1)
e, B
График мгновенных
значений eА, eВ, eС представлен
eA
eB
eC
на рисунке 2.1.
p2
Комплексные
12
действующие
p
3p2
2
p
Рисунок 2.1
значения
симметричной
wt
системы
трёхфазных ЭДС

E
E A  m  e j0 ,
2

E
E B  m  e  j120 ,
2

E
E C  m  e j120 .
2
(2.2)
Векторная диаграмма ЭДС представлена на рисунке 2.2.
+1
.
EA
120
120
+j
120
.
.
EB
EC
Рисунок 2.2
Для симметричной системы ЭДС (напряжений, токов) справедливо
соотношение
E A  E B  E C  0 .
(2.3)
Основные
схемы
соединения
обмоток
генераторов,
обмоток
трансформаторов, нагрузки в трехфазных цепях – звезда и треугольник.
Каждую обмотку генератора называют фазой генератора, напряжения на
них – фазными напряжениями генератора, токи в них – фазными токами
генератора.
Каждую нагрузку называют фазой нагрузки, напряжения
на них –
фазными напряжениями нагрузки, токи в них – фазными токами нагрузки.
13
Провода, соединяющие генератор и нагрузку называются линейными
проводами. Токи, текущие по линейным проводам называются линейными.
Линейное напряжение – это напряжение между линейными проводами.
При соединении звездой точку, в которой объединены три обмотки
генератора, называют нулевой точкой генератора, точку в которой
объединены три конца трёхфазной нагрузки - нулевой точкой нагрузки.
Провод, соединяющий нулевые точки генератора и нагрузки называется
нулевым или нейтральным проводом, ток в нем – током нулевого провода.
Напряжение между нулевыми точками называется смещением нейтрали.
Активная мощность трёхфазной цепи равна сумме активных мощностей
фаз и активной мощности в сопротивлении, включенном в нулевой провод
P  PА  PВ  PС  P0 .
(2.4)
Реактивная мощность трёхфазной цепи представляет собой сумму
реактивных мощностей фаз и реактивной мощности в сопротивлении,
включенном в нулевой провод
Q  Q А  QВ  QС  Q0 .
Полная мощность
S  P2  Q2.
(2.5)
(2.6)
Активная и реактивная мощности любой из фаз (например, фазы А)
определяются как
PА  U А I А cos  А .
Q А  U А I А sin  А .
(2.7)
(2.8)
Для симметричного режима работы
P0  Q0  0,
PA  PB  PC .
(2.9)
Следовательно
P  3  Pф  3 U ф  I ф  cosф  3 U л  I л  cosф .
(2.10)
Аналогично выражается и реактивная мощность
Q  3  Qф  3  U ф  I ф  sin ф  Q  3  U л  I л  sin ф .
Полная мощность при симметричном режиме работы
14
(2.11)
S  3 Uф  Iф  3 U л  I л .
(2.12)
При проверке правильности расчета токов целесообразно составлять
баланс комплексных мощностей источника и потребителя.
Для симметричного режима работы полная комплексная мощность
источника будет рассчитываться как
~
.
*
S ист  3  U ф  I ф ,
где
(2.13)
*
I ф - сопряженный комплекс фазного тока.
Полная комплексная мощность потребителя
~
.
S потр  3 | I ф |2 zФ .
(2.14)
Для несимметричного режима работы:
- полная комплексная мощность источника
~
.
*
.
*
.
*
S ист  U А  I А  U B  I B  U C  I c
(2.15)
- в четырехпроводной сети полная комплексная мощность потребителя
*
.
.
.
.
S потр | I А | z A  | I B | z B  | I C | z C  | I N |2 z N ;
2
2
2
(2.16)
- в трехпроводной сети полная комплексная мощность потребителя
*
.
.
.
S потр | I А | z A  | I B | z B  | I C |2 z C .
2
2
(2.17)
15
2.1.2 Основные формулы и алгоритмы для трехфазных цепей
Таблица 2.1 - Расчетные соотношения для трехфазной цепи при соединении нагрузки звездой и звездой с нулевым
проводом
Схема
соединения
нагрузки
Характеристика
схемы
-
Режим работы
схемы
симметричный
Смещение нейтрали
U O `O  0
Звезда
-
Звезда
с нулевым
проводом
zN  0
несимметричный
симметричный
несимметричный
симметричный
zN  0
несимметричный
16
U  Y  U B  Y B  U C  Y C
U O`O  A A
Y A Y B YC
Фазный и линейный токи
Iф  Iл 
zф
,
z ф  z фг  z л  z фн
Iф  Iл 
U фг  U O`O
Iф  Iл 
U O `O  0
Iф  Iл 
Iф  Iл 
-
zф
U O `O  0
U A  Y A  U B  Y B  U C  Y C

U O `O 
Y A Y B Y C Y N
U фг
Ток нулевого
провода
U фг
IN  0
zф
U фг
IN  IA  IB  IC
zф
U фг  U O`O
zф
IN  0
IN  IA  IB  IC
Таблица 2.2 - Расчетные соотношения для трехфазной цепи при соединении нагрузки треугольником
Схема
соединения
нагрузки
Характе
ристика
схемы
zл  0
Треугольник
zл  0
Фазный ток
Линейные токи
U
Iфн  лг
z фн
I A  Iab  Ica ;
IB  Ibc  Iab ; IC  Ica  Ibc .
При симметричном режиме работы I л  3  I ф
При наличии сопротивления линии традиционно применяют следующий алгоритм расчёта:
1) Преобразуют треугольник сопротивлений нагрузки в эквивалентную звезду
za 
z bc z ab
z ab z ca
z ca z bc
, zc 
, zb 
.
z ab  z bc  z ca
z ab  z bc  z ca
z ab  z bc  z ca
Для симметричной нагрузки
z 
z
3
.
2) В преобразованной схеме с нагрузкой, соединённой звездой, рассчитывают фазные (линейные) токи IA , IВ , IС
(см. расчётные формулы в таблице 2.1);
3) Определяют комплексные потенциалы а , b , c точек а, b, с, к которым присоединен треугольник
a  U A  IA z Л , b  U B  IB z Л , c  U C  IC z Л .
сопротивлений нагрузки
4) Рассчитывают фазные токи в нагрузке
  c 
  b 
   a .
; I bс  b
; I сa  c
Iab  a
z ab
z bс
z сa
Для симметричной нагрузки I фн

Iл
3
17
2.1.3 Пример решения задачи 1
Исходные данные: Uфг = 1000 В;
RA = 100 Ом; xLA = 100 Ом;
RB = 100 Ом; xLB = 100 Ом; xCB = 50 Ом;
RC = 100 Ом; xLC = 100 Ом; xCC = 50 Ом.
Сопротивления фаз
zА = RA + j xLA =100 + 100j Ом;
zB = RB + j xLB - j xCB =100 + 100j – 50j = 100 + 50j Ом;
zC = RC + j xLC - j xCC =100 + 100j – 50j = 100 + 50j Ом
2.1.3.1 Схема нагрузки – звезда с нулевым проводом (рисунок 2.3)
A
B
C
IA
zA
IB
zB
IC
zC
Так как сопротивление нулевого провода
O'
(симметричном или несимметричном) фазные
IN
О
равно нулю, в любом режиме работы цепи
токи равны линейным токам и определяются как
Рисунок 2.3
.
.
.
IA 
o
UA
1000

 7,0771e  j 45 A ;
z A 100  100 j
.
Iф  Iл 
U фг
o
U B 1000e  j120
IB 

 8,944e  j146,565 A ;
zB
100  50 j
o
.
.
o
o
U C 1000e j120
IC 

 8,944e j 93, 435 A .
z A 100  50 j
.
Ток нулевого провода равен сумме токов всех фаз
o
IN  IA  IB  IC  3,162e  j161,565 A .
Баланс мощности:
18
zф
- мощность источника
.
.
.
o
S ист  U А  I А  U B  I B  U C  I c  1000  7,0771e j 45 
 1000 e  j120  8,944 e j146 ,565  1000 e j120  8,944 e  j 93, 435  21000  13000 j ВА ;
o
o
o
o
- мощность потребителей
.
.
.
S потр | I А | z A  | I B | z B  | I C |2 z C  7,07712  100  100 j  
2
2
 8,944 2  100  50 j   8,944 2  100  50 j   21000  13000 j BA .
S ист  S потр .
Порядок построения векторной диаграммы (рисунок 2.4):
- фазные напряжения генератора U A ,U B ,U C ;
- фазные токи IA , IÂ , IÑ ;
- ток нулевого провода (строится как сумма фазных токов) IN  IA  IB  IC .
+1
1
+j
Рисунок 2.4
19
2.2 Цепи несинусоидального тока
2.2.1 Гармонический анализ и разложение функций
На практике часто встречаются несинусоидальные периодические ЭДС и
токи, которые изменяются во времени по не гармоническому закону, но
значения которых регулярно повторяются через равные промежутки времени,
называемые периодом - Т, как это показано на рисунке 2.5.
e(wt)
wt
p
2p
Т/2
Т
Рисунок 1
Рисунок 2.5
Несинусоидальные ЭДС и токи возникают в следующих случаях:
а) при включении в цепь переменного тока элемента с насыщенным
стальным (ферромагнитным) сердечником;
б) при наличии нелинейных сопротивлений в цепи;
в) если источник ЭДС или источник тока выдаёт несинусоидальное
напряжение или ток.
Далее рассмотрим анализ линейных электрических цепей, на входе
которых действуют периодические несинусоидальные ЭДС и токи.
Из курса высшей математики известно, что любая периодическая
функция f t  с периодом 2  p , удовлетворяющая условиям Дирихле (то есть
имеющая на конечном интервале f t  конечное число максимумов, минимумов
и разрывов первого рода), может быть разложена в ряд Фурье. Практически все
периодические функции, используемые в электротехнике, условиям Дирихле
удовлетворяют.
20
Периодическая несинусоидальная ЭДС в общем случае может быть
представлена тригонометрическим рядом Фурье:
et   E 0   E 1m sin wt   1   E 2 m sin 2wt   2    ...  E k m sin kwt   k   

 E 0    E k m sin kwt   k  
(2.18)
k 1
где E0  - постоянная составляющая;
E 1 sin wt   1 
- первая (основная) гармоническая составляющая,
имеющая частоту w  2  p T ;
E k m sin kwt  k   - при k  2 высшие гармонические составляющие
(гармоники);
E ( k ) m - амплитуда k-й гармоники;
 (k ) - начальная фаза k-й гармоники.
k - номер гармоники.
Совокупность постоянной составляющей, основной гармоники и
высших
гармонических
составляющих
называется
спектром
несинусоидальной величины.
2.2.2 Действующее и среднее значения несинусоидальных величин
Периодическую несинусоидальную величину (например, ток) обычно
характеризуют следующими значениями: максимальным  I max  , действующим
I  ,
средним по модулю
Действующее
значение
I ср.мод. 
и постоянной составляющей
несинусоидального
тока
определяется
I 0  .
его
среднеквадратическим (эффективным) значением за период:
T
1
I
 it 2 dt .
T

(2.19)
0
21
Если ряд Фурье для тока ограничить конечным числом членов
i  I 0   I 1m  sin wt   1   I 2 m  sin 2wt   2    ...  I k m  sin kwt   k   , то
выражение (2.34) после интегрирования принимает вид:
I
I 20 

I 21m
I 22 m
I 2k m
.

 ... 
2
2
2
Так как действующее значение гармонической составляющей I  I m
I  I 20   I 21  I 22   ...  I 2k  ,
(2.20)
2 , то:
(2.21)
где I 0  - постоянная составляющая,
I 1 , I 2  , I k  - действующие значения гармоник тока.
Аналогичное выражение имеет действующее значение напряжения:
U  U 20   U 21  ...  U 2k  .
(2.22)
Таким образом, действующее значение несинусоидальной электрической
величины равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной
составляющей и действующих значений всех гармоник. Оно не зависит от
начальных фаз гармоник.
Наряду с действующим значением в электротехнике используют понятие
среднего по модулю значения функции. Оно, например, для тока, выражается
интегралом вида: I ср. мод. 
1 T
 it  dt
T 0
.
Постоянная составляющая представляет собой среднее значение
функции за период:
I 0  
22
1 T
 it dt
T 0
.
2.2.3 Особенности расчета линейной электрической цепи с
несинусоидальными источниками
Расчет
цепей,
в
которых
действует
один
или
несколько
несинусоидальных источников периодических ЭДС и токов, раскладывается на
три этапа;
1) Разложение
ЭДС
и
токов
источников
на
постоянную
и
синусоидальные составляющие (при этом ограничиваемся некоторым числом
гармоник);
2) Применение принципа наложения и расчет токов и напряжений в цепи
для каждой из составляющих в отдельности при этом, учитываем что
структура цепи сохраняется, а сопротивления и проводимости реактивных
элементов изменяются с изменением частоты гармоники;
3) Совместное рассмотрение решений, полученных для каждой из
составляющих.
Рассмотрим каждый из этих этапов подробнее.
1) Если ЭДС изменяется по закону
e  E0  E1m sin w1t   1   E2m sin w2t   2  ,
(2.23)
то действие источника такой ЭДС аналогично действию трёх последовательно
соединённых источников ЭДС:
e0  E 0


e1  E1m sin w1t  1   .
e 2  E 2 m sin w 2 t  2 
(2.24)
Если задача поставлена иначе: заданы не ЭДС, а токи несинусоидальных
источников тока, то принцип решения задачи остаётся тем же. Источник
несинусоидального тока всегда можно представить
в виде параллельного
соединения ряда источников тока. Если к узлам ветви или выходам
двухполюсника подводится несинусоидальный ток
i  I 0  I1m sin w1t  1   I 2 m sin w2t   2  ,
(2.25)
23
то источник такого тока действует подобно параллельному соединению трёх
источников:
i0  I 0


i1  I1m sin w1t  1  
i2  I 2 m sin w2t   2 

2) Применив принцип
(2.26)
наложения, и, рассмотрев действие каждой
составляющей ЭДС в отдельности, можно найти составляющие токов на всех
участках цепи.
При рассмотрении каждой составляющей спектра необходимо учитывать, что
для различных частот индуктивные и ёмкостные сопротивления неодинаковы:
x LK  k  w  L  k  x L1 ;
xC K 
1
k w  C

xC1
k
.
(2.27)
(2.28)
3) Мгновенные значения тока в любой ветви электрической цепи можем
определить на основании принципа наложения:
i(t )  I 0  I1m sin w1t  1   I 2 m sin w2 t   2  .
(2.29)
Зная мгновенное значение тока, можем определить действующее:
I 12m I 22m
I I 

.
2
2
2
0
(2.30)
2.2.4 Мощность при несинусоидальных напряжениях и токах
Под активной мощностью (Р, Вт) несинусоидального тока понимают
среднее значение мгновенной мощности за период первой гармоники:
T
1
P   u  i dt .
T 0
24
(2.31)
P  I 0  U 0  U1  I1 sin 1  U 2  I 2 sin 2  U 3  I 3 sin 3 
   U K  I K sin K
где
K
,
(2.32)
- угол между U K и I K .
Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме
активных мощностей отдельных гармоник.
Аналогично выводится понятие реактивной мощности(Q, ВАр):


k 1
k 1
Q   Qk  U k  I k  sin k .
(2.33)
Полная мощность (S, ВА) равна произведению действующего значения
несинусоидального напряжения на действующее значение несинусоидального
тока:
S U I ,
где U  U 02  U12    U k2 ;
(2.34)
I  I 02  I12    I k2 .
В цепях c несинусоидальными токами в отличие от синусоидальных цепей
S 2  P2  Q2 ;
S 2  P2  Q2  T 2 ,
(2.35)
так как в них действует мощность искажения (Т, ВАр), обусловленная
наличием высших гармоник:
T 2  S 2  P2  Q2 .
(2.36)
Отношение активной мощности к полной называется коэффициентом
мощности.
P
P
.
(2.37)

S U I
цепей   cos  , но в несинусоидальных цепях

Для синусоидальных
появляется коэффициент искажения K и  
I1
cos  Kи cos
I
2.2.5 Пример решения задачи 2
Проведем расчет линейной электрической цепи. Схема и кривая
несинусоидальной ЭДС приложенной к цепи показаны на рисунке 2.6.
25
L1
R1
e
1
Em
R3
e(t)
R2
i3
i2
L3
i1
C2
0
2
p
2
wt
2p
Рисунок 2.6
Значения параметров:
R1  180 Ом; R2  170 Ом; R3  40 Ом; T  0.2  102 с;
L1  90 мГн; L3  70 мГн; C2  1 мкФ; E m  120 В;
Представим ЭДС источника, заданную графически, рядом Фурье,
ограничив число членов ряда постоянной составляющей и тремя первыми
значимыми гармоническими составляющими:
e(t )  60  50.93  sin( 3142t  p )  25.465  sin( 6282t  p )  16.977  sin( 9423t  p ) , В.
Приближенное действующее значение ЭДС:
Em2 1  Em2 2  Em2 3
50.932  25.4652  16.977 2
2
E E 
 60 
 73.248 В.
2
2
2
0
u0( t1)  60
u1( t1)  50.93 sin( t1  p )
u2( t1)  25 sin( 2t1  p ) u3( t1)  16.977 sin( 3 t1  p )
Расчёт токов в ветвях проводим для каждой составляющей спектра по
отдельности:
а) постоянная составляющая (учтём, что для постоянного тока
идеальный
индуктивный элемент – это короткозамкнутая перемычка, а идеальный
емкостной элемент – разрыв цепи):
e(t )  E0  60 В,
I 10  I 30 
E0
60

 0.273 А,
R1  R3 180  40
I 20  0 ,
Pист  E0  I10  60  0.273  16.38 Вт,
26
2
Pпотр  R1  I102  R3  I 30
 (180  40)  0.2732  16.39 Вт.
б) первая (основная) гармоническая составляющая:
e1 (t )  50.93  sin( wt  p ) , В,
перейдем к комплексному амплитудному значению ЭДС:
E m1  50.93  e jp , В.
Комплексные сопротивления ветвей:
Z1  R1  jw  L1  180  j 282.743 Ом,
Z 2  R2  j 
1
 170  j 318.31 Ом,
w  C2
Z3  R3  jw  L3  40  j 219.911 Ом,
Z 23 
Z2  Z3
Z2  Z3
 254.772  j 236.77 Ом.
Комплексные амплитуды токов ветвей на первой гармонике:
Im11 
0
E m1
50.93  e jp

 0.048  j0.058  0.075  e j129.93 А,
Z1  Z 23 180  j 282.743  254.772  j 236.77
U12m  Z 23  Im11  25.943  j3.265 В,
0
U
 25.943  j3.265
Im12  12m 
 0.042  j0.059  0.072  e  j125.28 А,
Z2
170  j318.31
0
U
 25.943  j3.265
Im13  12m 
 0.0064  j0.117  0.117  e j93.14 А.
Z3
40  j 219.911
Мгновенные значения токов в ветвях на первой гармонике:
i11(t )  0.075  sin( 3142t  129.930 ) А,
i12 (t )  0.072  sin( 3142t  125.280 ) А,
i13 (t )  0.117  sin( 3142t  93.140 ) А.
Баланс мощностей:
0
0
E m1 I m11 50.93  e j180  0.075  e  j129.93
~
S èñò 1 


 1.229  j1.468 ВА,
2
2
2
27
2
2
2
2
 Im11 
 Im12 
 Im13 




  180  0.075 
Pïîòð 1  R1 
 R2 
 R3  
 2 
 2 
 2 
2






Вт,
2
2
0.072
0.117
 170 
 40 
 1.229
2
2
2
2
2
2
 Im11 
 I 
 I 
  X   m12   X   m13   282.743  0.075 
Qïîòð 1  X 1  
2
3
 2 
 2 
 2 
2






ВАр.
2
2
0.072
0.117
 318.31 
 236.77 
 1.468
2
2
в) вторая гармоническая составляющая:
e2 (t )  25.465  sin( 2wt  p ) , В,
перейдем к комплексному амплитудному значению ЭДС:
E m 2  25.465  e jp , В.
Комплексные сопротивления ветвей:
Z1  R1  j 2w  L1  180  j565.487 Ом,
Z 2  R2  j 
1
 170  j159.155 Ом,
2w  C2
Z3  R3  j 2w  L3  40  j 439.823 Ом,
Z 23 
Z2  Z3
Z2  Z3
 287.502  j58.519 Ом.
Комплексные амплитуды токов ветвей на второй гармонике:
Im 21 
0
E m 2
25.465  e jp

 0.025  j0.027  0.037  e j132.68 А,
Z1  Z 23 180  j565.487  287.502  j58.519
U12m  Z 23  Im 21  5.608  j9.269 В,
0
U
 5.608  j9.269
Im 22  12m 
 0.045  j0.013  0.047  e j164.29 А,
Z2
170  j159.155
0
U
 5.608  j9.269
Im 23  12m 
 0.02  j0.015  0.025  e j36.37 А.
Z3
40  j 439.823
Мгновенные значения токов в ветвях на второй гармонике:
i21 (t )  0.037  sin( 6284t  132.680 ) А,
28
i22 (t )  0.047  sin( 6284t  164.29 0 ) А,
i23 (t )  0.025  sin( 6284t  36.37 0 ) А.
Баланс мощностей
0
0
E m 2 I m 21 25.465  e j180  0.037  e  j132 .68
~
S ист2 


 0.319  j 0.346 ВА,
2
2
2
Pпотр 2
2
2
2
2
 Im 21 
 Im 22 
 Im 23 
  R 
  R 
  180  0.037 
 R1  
2
3
 2 
 2 
 2 
2






Вт,
 170 
0.047 2
0.025 2
 40 
 0.319
2
2
Qпотр 2
2
2
2
 Im 21 
 Im 22 
 Im 23 
0.037 2






 X1 
 X2 
 X3 
 565 .487 

 2 
 2 
 2 
2






ВАр.
0.047 2
0.025 2
 159.155 
 439.823 
 0.346
2
2
г) третья гармоническая составляющая:
e3 (t )  16.977  sin( 3wt  p ) , В,
перейдем к комплексному амплитудному значению ЭДС:
E m 3  16.977  e jp , В.
Комплексные сопротивления ветвей:
Z1  R1  j3w  L1  180  j848.23 Ом,
Z3  R3  j3w  L3  40  j659.734 Ом,
Z 2  R2  j 
Z 23 
1
 170  j106.103 Ом,
3w  C2
Z2  Z3
Z2  Z3
 216.398  j56.638 Ом.
Комплексные амплитуды токов ветвей на третьей гармонике:
Im 31 
0
E m3
16.977  e jp

 0.0085  j0.017  0.019  e j116.6 А,
Z1  Z 23 180  j848.23  216.398  j56.638
U12m  Z 23  Im31  0.887  j 4.197 В,
0
U
 0.887  j 4.197
Im32  12m 
 0.015  j0.015  0.021  e j133.9 А,
Z2
170  j106.103
29
0
U
 0.887  j 4.197
Im33  12m 
 0.0062  j0.0017  0.0064  e j15.4 А.
Z3
40  j659.734
Мгновенные значения токов в ветвях на третьей гармонике:
i31 (t )  0.019  sin( 9426t  116.6 0 ) А, i32 (t )  0.021  sin( 9426t  133.9 0 ) А,
i33 (t )  0.0064  sin( 9426t  15.4 0 ) А.
Баланс мощностей
0
0
E m3 I m31 16.93  e j180  0.019  e  j116 .6
~
S ист3 


 0.073  j 0.146 ВА,
2
2
2
Pпотр3
2
2
2
2
 Im31 
 Im32 
 Im33 
  R 
  R 
  180  0.019 
 R1  
2
3
 2 
 2 
 2 
2
Вт,






 170 
0.0212
0.0064 2
 40 
 0.073
2
2
Qпотр3
2
2
2
 Im31 
 Im32 
 Im33 
0.019 2






 X1 
 X2 
 X3 
 848 .23 

 2 
 2 
 2 
2
ВАр.






0.0212
0.0064 2
 106.103 
 659.734 
 0.146
2
2
Используя метод наложения, запишем мгновенные токи ветвей:
i1 (t )  I10  i11 (t )  i12 (t )  i13 (t )  0.273  0.075 sin( 3142t  129.930 ) 
 0.037 sin( 6284t  132.680 )  0.019 sin( 9426t  116.6 0 ), A
i2 (t )  I 20  i21 (t )  i22 (t )  i23 (t )  0.072 sin( 3142t  125.280 ) 
 0.047 sin( 6284t  164.29 0 )  0.021sin( 9426t  133.9 0 ), A
i3 (t )  I 30  i31 (t )  i32 (t )  i33 (t )  0.273  0.117 sin( 3142t  93.14 0 ) 
 0.025 sin( 6284t  36.37 0 )  0.0064 sin( 9426t  15.4 0 ), A
Действующие значения токов ветвей:
I m2 11  I m2 12  I m2 13
0.0752  0.037 2  0.019 2
2
I1  I 
 0.273 
 0.279 A ,
2
2
2
10
2
I 2  I 20

30
I m2 21  I m2 22  I m2 23
0.072 2  0.047 2  0.0212

 0.063 A ,
2
2
I m2 31  I m2 32  I m2 33
0.117 2  0.0252  0.0064 2
2
I3  I 
 0.273 
 0.286 A .
2
2
2
30
Для определения мощности искажения определим полную мощность, активную
и реактивную мощности всей цепи.
Полная мощность
S  E  I1  73.248  0.279  20.466 ВА;
Активная мощность
P  P0  P1  P2  P3  17.984 Вт;
Реактивная мощность
Q  Q1  Q2  Q3  1.959 ВАр;
Мощность искажения
T  S 2  P 2  Q 2  9.572
ВАр;
Коэффициент мощности

P 17.984

 0.879
S 20.466
31
2.3 Переходные процессы
2.3.1 Основные определения. Законы коммутации.
Переходный процесс - процесс перехода
цепи
от
одного
установившегося режима работы к другому, возникающий при включении,
отключении, переключении цепи или ее элементов, а также при аварийных
изменениях ее параметров. Все указанные изменения называют коммутацией.
Переходные процессы возникают в цепях, содержащих накопители
энергии: индуктивные катушки и конденсаторы. Эти элементы обладают
способностью накапливать и отдавать энергию соответственно магнитного
и электрического полей. Каждому установившемуся режиму соответствует
определённый запас магнитной и электрической энергии. При переходе к
новому
установившемуся
режиму
энергетическое
состояние
должно
измениться. Так как индуктивные катушки и конденсаторы являются
инерционными элементами, изменение энергии электрического или магнитного
поля в них не может произойти мгновенно. Поэтому возникает переходной
процесс, длительность которого определяется конфигурацией и параметрами
электрической цепи (рисунок 2.7).
х
х(0+)
х(0_)
0+
0_
t
t0
Установившийся
процесс до коммутации
Длительность Установившийся
переходного
процесс после
процесса
коммутации
(принуждённый
режим)
Рисунок 2.7
Момент коммутации определяет начало переходного процесса, при этом
различают время непосредственно перед коммутацией t(0) и сразу после
32
коммутации t(0+), t - длительность коммутации. На рисунке 2.7 t  0 , в
действительности t  0 , т.е коммутация в расчетном отношении считается
мгновенной.
В цепях без накопителей энергии переходный процесс отсутствует: после
срабатывания коммутатора (t = 0+) в цепи сразу же возникает установившийся
(принужденный) режим.
Для упрощения записи в формулах момент времени сразу после
коммутации будем обозначать просто t = 0.
Переходные процессы подчиняются двум законам коммутации.
Первый закон коммутации: ток через индуктивность до коммутации
равен току через ту же индуктивность после коммутации
iL (0 )  iL (0 )  iL (0) .
(2.38)
Второй закон коммутации: напряжение на емкости до коммутации
равно напряжению на емкости после коммутации
uC (0 )  uC (0 )  uC (0) .
(2.39)
Таким образом, токи в индуктивностях и напряжения на емкостях в
начальный момент t = 0+ после коммутации имеют те же значения, что и
непосредственно перед коммутацией при t = 0- и затем плавно изменяются.
Заметим, что токи и напряжения на резисторах, а также токи через емкости и
напряжения на индуктивностях могут изменяться скачкообразно, так как с
ними непосредственно не связана запасаемая в цепи энергия.
2.3.2 Определение принужденных составляющих
Принужденные составляющие (т.е. токи и напряжения после окончания
переходного процесса) определяются видом источника. В случае постоянного
источника цепь после окончания переходного процесса (в принужденном
режиме) рассчитывается как цепь постоянного тока, при этом учитывается, что
при постоянном токе x L  0, xC   .
33
Если источник синусоидальный то сначала находятся комплексные
значения искомых токов и напряжений
Iпр  I пр  e j , U пр  U пр  e j ,
которые
в
потом
записывают
iпр (t )  Im пр  sin( wt   ),
мгновенной
форме
uпр (t )  U m пр  sin( wt  ).
Пример 1 (рисунок 2.8).
Е = 180 В, R1 = 10 Ом, R2 = 40 Ом, R3 = 10 Ом , L = 0,1 Гн
Найти
i1 пр (t ), i2 пр (t ), i3 пр (t ), u L пр (t )
R1
R1
E
R3
i1 пр
R3
R2
R2
E
i2 пр
L
а) исходная схема
i3 пр
б) схема после окончания
переходного процесса
( принужденный режим)
Рисунок 2.8
Так как источник ЭДС постоянный, то после окончания переходного
процесса цепь рассчитывается как цепь постоянного тока, при этом xL  0 .
Расчет
принужденных
токов
выполним
с
помощью
эквивалентных
преобразований цепи
i1 пр (t ) 
E
180

 10 A ;
R2  R3
18
R1 
R2  R3
i3 пр (t )  i1 пр (t ) 
34
i2 пр (t )  i1 пр (t ) 
R2
80

8 A .
R2  R3 10
R3
80

2A ;
R2  R3 40
u L пр (t )  0 .
2.3.3 Начальные условия
Начальными условиями называются значения токов, напряжений и их
производных в начальный момент переходного процесса, при t  0  .
Начальные условия делятся на независимые и зависимые.
Независимые начальные условия – это значения токов индуктивных
элементов iL (0) и напряжений емкостных элементов uC (0) для времени t  0 
Независимые начальные условия определяются из законов коммутации.
uC (0)  uC (0 _ ) .
iL (0)  iL (0 _ ) ;
Они могут быть нулевыми и ненулевыми.
Зависимые начальные условия – это значения всех остальных токов,
напряжений и производных по времени токов и напряжений для времени t  0  .
Зависимые начальные условия определяются:
- после того, как рассчитаны независимые начальные условия;
- из уравнений по законам Кирхгофа для послекоммутационной схемы,
записанных для времени t  0  .
Количество начальных условий, которые нужно рассчитать равно
количеству постоянных интегрирования в выражении переходной величины.
Если характеристическое уравнение имеет один корень и в выражение
свободного тока или напряжения входит одна неизвестная постоянная
интегрирования, для ее определения необходимо предварительно рассчитать
только одно начальное условие: значение самой функции
x (0) . Если
неизвестных постоянных интегрирования – две, то для их определения
предварительно рассчитывают два начальных условия: значение самой
функции x(0) и ее первой производной
dx(t )
для момента времени t = 0+ .
dt t 0
Примеры расчета начальных условий приведены ниже.
Пример 1 (рисунок 2.9).
35
R1
Е = 100 В, R1 = 10 Ом, R2 = 10 Ом,
R3
i1 (t )
E
i2 (t )
L
R2
R3 = 10 Ом , L = 0,1 Гн
i3 (t )
Найти i1 (0), i2 (0), i3 (0), uL (0)
Рисунок 2.9
Сначала найдем независимое начальное условие: для данной схемы – это
ток i3 (0) , так как это ток через индуктивность. По первому закону коммутации
он будет равен току через эту же индуктивность в последний момент перед
коммутацией.
До коммутации в цепи (рисунок 2.10) протекал один постоянный ток
R1
i (t ) 
i ( 0 )
E
R3
E
100

 5A
R1  R3
20
Этот ток постоянный и от времени
не зависит, поэтому для времени t  0 _
Рисунок 2.10
По первому закону коммутации
i ( 0)  i ( t )  5 A
i3 (0)  i (0 )  5 A
Остальные искомые начальные значения токов токи и напряжения на
индуктивности являются зависимыми начальными условиями.
Для их определения систему уравнений по законам Кирхгофа для схемы
после коммутации запишем для момента времени t  0  .
i1 (0)  i2 (0)  i3 (0)  0
R1i1 (0)  R2i2 (0)  E
 R2i2 (0)  R3i3 (0)  uL (0)  0
Неизвестными в этих уравнениях являются i1 (0), i2 (0), uL (0) . Их можно
найти, решив составленную систему уравнений любым методом в Mathcad или
вручную, например, с помощью подстановки.
36
Из первого уравнения выразим i1 (0)  i2 (0)  i3 (0) и подставим его во
второе уравнение, получим
Отсюда
i2 (0) 
R1i2 (0)  R1i3 (0)  R2i2 (0)  E .
E  R1i3 (0) 100  50

 2,5 A ;
R1  R2
20
С учетом этого i1 (0)  2,5  5  7,5A ;
uL (0)  R2i2 (0)  R3i3 (0)  25B
2.3.4 Операторный метод расчета переходных процессов
2.3.4.1 Математические основы метода. Алгоритм расчета
переходного процесса операторным методом
Сущность
операторного
метода
анализа
переходных
процессов
заключается в том, что при расчётах действительные функции времени f(t),
описывающие процессы в электрических цепях и называемые оригиналами,
заменяют их операторными изображениями F(p)с помощью преобразования
(интеграла) Лапласа
+
F(p) =
 f(t)e
- pt
 dt ,
(2.40)
0
где p =  + jw - комплексное число.
Взаимное соответствие между оригиналом и операторным изображением
сокращенно записывается с помощью знака
. То есть выражение f(t)
F(p)
означает, что оригиналу f(t) соответствует операторное изображение F(p).
Для тока напряжения и ЭДС будем иметь:
- оригиналу u t  соответствует изображение U  p  ;
- оригиналу i t  соответствует изображение I  p  .
- оригиналу et  соответствует изображение E  p  .
37
Использование преобразования Лапласа приводит к замене операций
дифференцирования и интегрирования оригиналов в дифференциальных
уравнениях на алгебраические операции умножения и деления изображений. В
результате такой замены дифференциальные уравнения, составленные для
электрической схемы по любому известному методу, превращаются в
алгебраические.
Это
дифференциальных
сильно
уравнений
упрощает
для
расчет,
временных
так
как
функций,
вместо
решаются
алгебраические уравнения для изображений.
Найденные
из
искомых величин
решения
алгебраических уравнений
изображения
затем любым способом преобразуются в оригиналы
(функции времени). Переход от изображений к оригиналам можно осуществить
по формуле обратного преобразования Лапласа, по справочным таблицам, по
теореме разложения, а также, используя функции обратного преобразования в
различных математических пакетах, например, в Mathcad.
Алгоритм
расчета
переходного
процесса
операторным
методом
следующий:
1) Из расчета установившегося режима цепи до коммутации определяют
независимые начальные условия i L (0), u C (0) .
2) Составляют операторную схему замещения цепи, учитывая найденные
в п. 1 начальные условия.
3) Из расчета операторной схемы любым методом находят изображения
искомых токов и напряжений I  p, U  p .
4) Любым способом переходят от изображений искомых токов и
напряжений к их оригиналам i t , ut  .
Рассмотрим отдельные пункты алгоритма подробнее.
38
2.3.4.2 Операторная схема замещения
Операторная схема замещения строится для цепи после коммутации, все
токи, напряжения и ЭДС в ней заменяются их операторными изображениями,
она учитывает независимые начальные условия – токи через катушки
индуктивности и напряжения на емкостях в момент коммутации.
При составлении операторной схемы замещения следует руководствоваться
следующими соответствиями между оригиналами и изображениями (таблица
2.4).
Таблица 2.4 – Операторные схемы замещения элементов цепи
Элемент
Операторное изображение элемента
Источник постоянного напряжения
E
p
E
Источник постоянного тока
J
p
J
Источник синусоидального
напряжения
e(t )  Em sin( wt  )
u R t   R  it 
E ( p )  Em
p sin   w cos
p2  w2
U R  p  R  I  p
L  i0 - дополнительная ЭДС
i 0 - ток через индуктивность до коммутации
u L t   L 
di
dt
U L  p  Lp  I  p  L  i0
39
uC 0
- дополнительная ЭДС
p
uC 0  - напряжение на емкости до коммутации
t
UC  p   I  p 
1
uC t    i t dt  uC 0 
C

1
u 0
 C
C p
p
0
Пример: составить операторную схему замещения участка цепи (рисунок
2.11). Записать операторное сопротивление и напряжение на участке цепи в
операторной форме записи
R
L
C
it
()
u
(
t)
Рисунок 2.11
В соответствии с таблицей 2.4 операторная схема замещения будет иметь
вид:
R
pL
L i(0)
p1
C
uC (0)
p
I(p)
U(p)
Рисунок 2.12
Операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи:
z p   R  p  L 
1
.
p C
Приложенное напряжение складывается из суммы напряжений на каждом
элементе схемы u t   u R t   u L t   uC t  . Для операторной схемы замещения
40
U  p   U R  p   U L  p   U C  p   R  I  p   L  p  I  p   L  i 0 
u 0
1
 I  p  C

C p
p
u 0

1 
 I  p    R  p  L 
  L  i 0  C
.
p C 
p

Где i 0  и uС 0 - начальные условия. Если, начальные условия равны
нулю, то: U  p   I  p   z  p  – закон Ома в операторной форме записи.
Законы Кирхгофа в операторной форме записи:
n
 I k  p   0 – первый закон Кирхгофа.
k 1
n
n
k 1
k 1
 I k  p   z  p    Ek  p  - второй закон Кирхгофа.
2.3.4.3 Переход от изображения к оригиналу
Для перехода от изображения к оригиналу можно воспользоваться
формулой обратного преобразования Лапласа f t  
таблицами
соответствия,
приведенными
в
1
 0  j 
2  p  j 
0
справочниках
j 
F  p   e pt dp ,
по
высшей
математике. Однако наиболее используемым способом является переход от
изображений к оригиналам по формулам теоремы разложения.
Как правило, решение для изображения тока или напряжения имеет вид
правильной рациональной дроби:
F  p 
где m < n, причем дробь
F1  p  a m p m  a m1 p m1     a0

,
F2  p  bm p m  bm1 p m1    b0
-
F1  p 
F2  p 
(2.41)
несократимая, а коэффициенты a k , bk -
действительные числа.
Алгоритм перехода от изображению к оригиналу по формулам теоремы
разложения следующий.
41
1) Знаменатель дроби (2.41) приравнивают к нулю и находят корни p К
уравнения F2  p   0 .
3) В общем виде находят производную знаменателя F ' 2  p 
4) В зависимости от характера корней записывают решение для
оригинала (таблица 2.8).
В зависимости от вида корней оригинал может быть определён и по
другим выражениям теоремы разложения.
Пример 1. Найти закон изменения тока во времени по его операторному
изображению I  p  
F ( p)
100
 1
.
p  10  0,1 p  F2 ( p )
1) Приравняем к нулю знаменатель и найдем корни p  10  0,1p   0 .
p1  0;
p2  100
2) Запишем производную знаменателя F ' 2 ( p)  10  0,2 p
3) Так как корни получились вещественные разные решение для оригинала
n
запишется в виде
i t   
k 1
F1  pk  pk t
F p 
F p 
 e  1' 1  e p1t  1' 2  e p2t .
'
F2  pk 
F2  p2 
F2  p2 
После подстановки численных значений получим оригинал тока
i t   10  10  e 100t А .
42
Таблица 2.8 - Характеристическое уравнение второй степени
№
Выражение для
Наименование
Вид корней
свободных
режима
составляющих
1
2
3
4
1
Корни
вещественные
разные
Апериодический
A1e p1t  A2e p2t
p1  0, p2  0
Производная для
свободных
составляющих
5
Корни
вещественные
равные
p1  0, p2  0
Критический
режим
( A1  A2t )e pt
pA1e p1t  p2 A2e p2t
A2e pt  ( A1  A2t ) pe pt
 xсв (0)  A1

 dxсв
 A2  A1 p
 dt
t 0

p1  p2  p
3
Корни
комплексно
сопряженные
p1,2    jw0
Затухающий
колебательный
режим
Ae t sin( w0t   )
6
 xсв (0)  A1  A2

 dxсв
 p1 A1  p2 A2
 dt
t 0

p1  p2
2
Система для определения
постоянного интегрирования
Aet [ w0 cos(w0t   ) 
  sin( w0t   )]
 xсв (0)  A sin j

 dxсв
 A( w0 cos j  S sin j )
 dt
t 0

 0
43
44