9x - LanCats

9 Определение степени с действительным показателем и её свойства.
Степень с действительным показателем окончательно вводится в 10 кл. При ответе на
вопрос: «Что такое степень с действительным показателем?», нужно говорить:
«определение степени с действительным показателем состоит из нескольких определений,
перечислим их: Опр. 1 – Опр. 8».
Опр 1. Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение
n множителей, каждый из которых равен а.
an= a∙a∙… ∙a,
Опр. 2. Степенью числа а с показателем 1 называется само число а. а1 = а
Опр. 3. Если
, то:
Опр. 4. Если
, то
Опр 5. Арифметическим корнем натуральной степени
из неотрицательного числа а
называется неотрицательное число, n-ая степень которого равна а.
.
Опр. 6. Корень нечётной степени из отрицательного числа:
.
Опр. 7.
Подробнее поговорим, как вводится степень с иррациональным показателем. Вспоминаем,
что кроме рациональных чисел нам известны иррациональные число:
, 0,123… бесконечная непериодическая десятичная дробь.
Поэтому необходимо ввести понятие степени с иррациональным показателем. Рассмотрим,
как можно определить
.
Десятичным приближением числа
по недостатку являются числа:
Т.е. имеет место последовательность . Эта последовательность монотонно возрастает и
ограничена, например, отрезком [1, 2]. Тогда (по теореме Вейерштрасса) существует
. Числа
- рациональные, поэтому для них определены степени Имеем
последовательность . В курсе высшей математики доказывается, что эта последовательность
имеет предел и естественно его считать равным
.
.
.
Т.е. можно определить степень с любым иррациональным показателем.
Вообще, пусть a > 0 и α – произвольное иррациональное число. Рассмотрим
последовательность
десятичных приближений числа α. Эта последовательность
имеет предел
. Можно показать, что последовательность
также имеет
предел. Этот предел обозначают и называют степенью число а с показателем α.
,a>0
Опр. 8.
,
,
. Можно понятнее посмотреть по листочку со степенями
который огурцова каждому раздовала
Свойства степени с иррациональным показателем (
):
10.
20.
30.
40.
50.
Переходим к изучению свойств степени с действительным показателем.
Свойства 10 и 20 не доказываются в рамках школьного курса математики. Свойство 10
достаточно очевидно, а свойство 20 можно открыть рассматривая различные примеры.
Отметим, что для степени с действительным показателем сохраняются все известные ранее
свойства. Другие свойства доказываются.
Следует подчеркнуть, что рассматриваемые свойства выполняются для степени с любым
действительным показателем, а значит, с натуральным, целым, рациональным. Эти свойства
будут составлять базу для выявления свойств степенной и показательной функции, для
решения степенных и показательных уравнений и неравенств.
Свойства степени с действительным показателем (a>0, a1>0, a2>0,
):
0
1.
20.
;
30.
40.
50.
60.
70.