Управление образования администрации МО «Баргузинский район» МОУ «Баргузинская средняя общеобразовательная школа»,

Управление образования администрации МО «Баргузинский район»
МОУ «Баргузинская средняя общеобразовательная школа»,
Баргузинский район, село Баргузин, улица Калинина, 51а
Учебно-исследовательская конференция школьников
Забытые способы умножения.
Работу выполнили: Посельская Катя,
Стельмашенко Катя
ученицы 5 «А» класса.
Руководитель:
Суровая Ольга Геннадьевна,
учитель математики
2014г.
1
Оглавление.
Введение………………………………………………………………………..3
Основная часть доклада. Умножение на пальцах…………………………..4
Графический способ умножения……………………………………………..5
Метод устного счета…………………………………………………………..6
Умножение «пирамидой»…………………………………………………….7
Умножение решеткой………………………………………………………….8
Русский, крестьянский способ………………………………………………..8
Метод разложения……………………………………………………………..8
Эксперимент…………………………………………………………………...9
Литература……………………………………………………………………..10
Приложение……………………………………………………………………11
2
Введение.
Что такое умножение?
Это действие – сложение.
Но не слишком-то приятное,
Потому что многократное.
/А.Усачев/
«Умножение — одно из четырёх основных арифметических действий, бинарная
математическая операция, в которой первый аргумент складывается столько раз, сколько
показывает второй. Результат умножения называется произведением, а умножаемые числа
— множителями или сомножителями. Существуют также «таблицы умножения.»
(Материал из Википедии — свободной энциклопедии )
Умножение – это краткая запись суммы одинаковых слагаемых. А процессу
сложения нас учили сначала с помощью пальцев собственной руки, затем с помощью
счетных палочек, после чего переходили на вычисление по числовому ряду обычной
линейки. И мне стало интересно можно ли с помощью этих же способов произвести
умножение натуральных чисел? Быть может, существуют другие способы умножения, не
похожие на тот, которым пользуемся сейчас? И почему именно метод «умножения
столбиком» используется на практике? Данный вопрос побудил к проведению
исследовательской работы и определил её проблему.
Целью данной работы является поиск других методов умножения чисел и
доказательство их эффективности или несовершенства.
Для достижения поставленной цели и решения возникшей проблемы были
поставлены задачи:
1. Изучить и проанализировать исторические справки по теме.
2. Провести анализ эффективности каждого из найденных методов, рассмотреть
недостатки.
3. Провести эксперимент, сравнительный анализ новых методов и классического
метода «вычисления в столбик».
Актуальность работы заключается в важности интересных методов умножения
чисел, которые могли бы экономить время и , быть может, являются наиболее
совершенным. Поиск методов, ушедших в прошлое, может послужить отличным
стимулом для создания собственного , уникального способа умножения.
3
Основная часть доклада.
« Кто хочет ограничиться настоящим,
без знания прошлого, тот
никогда
настоящего не поймёт »
Г.В. Лейбниц,
немецкий филосов и математик.
Изучив информацию, найденную в сети Интернета, установили, что умножить
натуральные числа можно с помощью счетных палочек. Такой метод называется
«графическим».
Очень интересен данный способ умножения своей красочностью и простотой.
Графическое конструирование всегда занимает лидирующие места в наглядной
демонстрации материала, но применить его при умножении – достаточно неожиданный
шаг. И так, предположим надо умножить 32 на 21.( см. приложение рис.3)
На листе бумаги поочередно раскладываем счетные палочки или рисуем линии,
количество которых определяется из данного примера.
Сначала 32: 3 красные линии и чуть ниже - 2 синие.
Затем 21: перпендикулярно уже нарисованным, рисуем сначала 2 зеленые, затем - 1
малиновую. ВАЖНО: линии первого числа рисуются в направлении из верхнего левого
угла в нижний правый, второго числа - из нижнего левого, в верхний правый. Затем
считаем количество точек пересечения в каждой из трех областей (на рисунке области
обозначены в виде окружностей). Итак, в первой области ( область сотен) - 6 точек, во
второй (область десятков) - 7 точек, в третьей (область единиц) - 2 точки. Следовательно
ответ: 672.
Разберем другой пример: 123х412=50676 (см. приложение рис.4)
Сначала 123: 1 красную линию и чуть ниже - 2 синие, и далее - 3 зеленые.
Затем 412: перпендикулярно уже нарисованным, рисуем сначала 4 фиолетовых,
затем 1 оранжевую и 2 бирюзовых. По аналогии с предыдущим примером, обводим
области пересечений окружностями. Всего их получилось 5, значит ответ - пятизначное
число. Найдем его: в первой области 4 точки пересечения, во второй - 10, в третьей - 16, в
четвертой - 7 и в пятой - 6. Те области, где количество точек получилось однозначное
сложности не вызывают, поэтому начнем разбирать третью область, где 16 точек
пересечения: от 16 в этой области оставляем только последнюю цифру, а значит 6, все
4
остальное (а значит - 1) переносим в соседнюю область справа налево, следовательно в
третьей области осталось число 6, а во второй теперь к имеющимся 9 точкам надо
добавить перенесенную единицу. Следовательно, во второй области теперь 10 точек, а это
опять не однозначное число, значит 0 оставим во второй области, а единицу перенесем в
первую - теперь в первой на одну точку больше, а значит 5. Составим ответ: 50676
Вывод : Данный метод весьма прост и увлекательный в применении, но
усложняется в построении при росте числа цифр, входящих в запись множителей. Я
считаю что данный метод может изучаться в школе при умножении одно-, дву-,
трехзначных чисел.
Как оказалось, умножать так же можно и с помощью линейки. Но для этого нужна
специальная логарифмическая линейка, с которой, как мне сказали, я познакомлюсь в
старших классах.
И так, процесс умножения, так же как и процесс сложения, можно выполнять с
помощью счетных палочек и с помощью линейки. Но существуют ли другие способы
умножения натуральных чисел?
Изучив исторические справки об умножении, было установлено, что существовало
множество способов осуществления данного алгебраического действия. В своем докладе
нам хотелось бы рассказать о некоторых, наиболее интересных методах умножения.
Метод устного счета
А) Данный метод является достаточно молодым. Он был разработан кандидатом
философских наук Василием Оконешниковым. Ученый утверждал, что человек способен
запоминать огромный объем информации, главное – как эту информацию расположить.
Выведенный им способ достаточно прост в исполнении. Рассмотрим его на примере,
умножим 2578 на 4. Для этого нарисуем таблицу.
2
5
6
8
08
20
24
32
*
4
Каждую разрядную единицы множимого умножаем на 4. Получился ряд
составленный из некоторых цифр: 08202432. Левую цифру оставляем без изменения, а
следующие складываете попарно: 8+2=10
0+2=2
4+3=7 Последнюю цифру также
оставляем без изменения. Если же при сложении двух цифр получается число,
превосходящее девять, то его первая цифра прибавляется к предыдущей цифре
5
результата, а вторая пишется на «свое» место. Запишем получившиеся результаты в
строчку : 010272.
В результате вычислений получаем число 10272.
Б) В предыдущем примере осуществлялось умножение на однозначное число.
Апробируем метод умножение на многозначное число. Например, умножим 2568 на 45.
2
5
6
8
90
225
270
360
0+2=2
2+5=7
2+7=9
0+3=3
*
4
5
6+????
В встретились с первой проблемой – отсутствие свободного слагаемого.
Предположим, что в таком случае можно без изменений оставить 2 последние цифры.
Тогда в результате умножения получим число : 9279360. А в результате проверки
результата калькулятором получаем число 115560. Наличие второй проблемы
демонстрирует несостоятельность данного метода для умножения чисел на могозначное
число.
Выводы:
Данный способ достаточно прост, но не может применяться для
умножения на двузначные и многозначные числа.
Умножение "пирамидой"
Этот способ иногда называют также общим способом сокращенного умножения.
Пример: 351 * 248.
1. Умножаем цифры, стоящие друг под другом, выделяя под каждой результат по 2 знака.
2. Умножаем накрест соседние цифры. Итог пишем со сдвигом на 1 знак влево под
результатом 1-го шага.
3. "Раздвигаем" шаг креста на одну позицию. Под него попадают только крайние цифры.
Записываем их произведение под результатом предыдущего шага со сдвигом на 1 знак
влево (см. приложение рис.5)
6
На практике промежуточные итоги, разумеется, суммируются, не дожидаясь
окончания вычислений после каждого шага. Для чисел большей значности схема
выглядит аналогично (см. приложение рис.6)
Вывод: На первом этапе знакомства данный метод может испугать, но при более
детальном разборе видна его эффективность и практичность.
Умножение решеткой.
Этот способ был разработан в Индии и получил применение в ряде стран Востока.
Лист чистой бумаги расчеркивают в виде сетки прямоугольников, разделенных
диагоналями. По сторонам сетки (сверху и справа) записывают сомножители, а
промежуточные произведения помещают в треугольники так, чтобы диагональ разделяла
единицы и десятки (единицы помещались в нижний треугольник, а десятки – в верхний).
Для получения произведений осуществляют суммирование «вдоль диагоналей», а
результат записывают снизу сетки (младшие разряды) и слева от сетки (старшие
разряды).
Шотландский математик Джон Непер, изучив данный метод умножения, изобрел прибор
для быстрого умножения, который назывался «Палочки Непера».
Эти палочки, как и сам метод умножения с их помощью, быстро получили
распространение в Европе и были одно время очень популярны (см. приложение рис.7)
Вывод: Данный метод весьма интересен и прост в применении. Применим для
множителей любого состава.
Русский, народный способ умножения.
Здесь необходимо лишь умение умножать и делить числа на два. Например, перемножим
два числа: 987 и 1998. Одно запишем слева, а второе - справа на одной строчке.
Левое число будем делить на 2, а правое - умножать на 2 и результаты записывать в
столбик. Если при делении возникнет остаток, то он отбрасывается. Операцию
продолжаем, пока слева не останется 1. Затем вычеркнем те строчки, в которых слева
стоят четные числа и сложим оставшиеся числа в правом столбце (см. приложение рис.8)
Вывод: Данный метод достаточно универсален, так как подходит для любых
натуральных чисел, но требует весьма продолжительных вычислений. На
последнем шаге, при суммировании большого числа слагаемых, можно допустить
ошибку.
7
Метод разложения .
Заключается в то, что бы больший множитель разложить на сумму разрядных единиц.
Затем каждое слагаемое умножить на второй (меньший) множитель.
34 х 821= 34 х (800 + 20 +1)=34 х 800 + 34 х 20 + 34 х 1 = 27200 + 680 + 34= 27914
Вывод: После изучения на уроках математики распределительного закона
относительно умножения, мне стало ясно, что данный метод не является забытым.
Но чаще его применяют для упрощения выражений. Он не является эффективным,
так как усложняется при увеличении количества цифр в записи числа.
II. Эксперимент.
Выявив несколько интересных и универсальных способов умножения, у меня возник
вопрос о применении их в современной практике, изучении в школе как метода
умножения. Но так как предпочтение отдается методу, способному сэкономить время при
его использовании, мне пришлось прибегнуть к эксперименту.
Эксперимент заключался в том, чтобы один и тот же пример решить всеми изученными
способами, которые были выявлены как «универсальные».
Эксперимент проходил в два этапа:
1 этап: Брал множители, в состав которых входили цифра, меньше 5. Быстрота их
умножения фиксировалась секундомером. На исходе первого этапа из числа исследуемых
методов убирал 3, на решение которых затратил наибольшее количество времени.
2 этап: Брал множители, в состав которых входили цифры, больше 5. В конце
эксперимента сравнил результаты и сделал вывод.
Метод
Метод устного
Графический
Метод
решетки
счета
метод
столбиком
25 х 31
35 сек
15 сек
35 сек
15 сек
96 х 87
35 сек
1мин 7 сек
3 мин 49 сек
25 сек
8
Вывод:
1. Метод устного счета и графический метод удобны для использования тем, кто
никак не может выучить таблицу умножения!
2. «Метод решетки» ничем не уступает современному способу умножения
столбиком. И мы думаем, он стал бы хорошим помощником школьникам при
умножении натуральных чисел.
3. Метод устного счета быстр при умножении часел, в состав которых входят цифры
меньше 5.
9
Литература:
1. Ресурсы Интернет:
www.it-n.ru
http://skillopedia.ru/material.php?id=163
http://schoolmathematics.ru/umnozenie-graficeskim-cpocobom
http://auth.mail.ru/cgi-bin
http://matematika.gym075.edusite.ru/zadachki/svoystva-chisel.html
http://www.zensh.ru/resources/files/10math2UM.pdf
2. Методическая газета для учителей «Математика» №10, май 2011 года.
10
Приложение
Рис.1
Рис.2
Рис. 3.
11
Рис.4
Рис. 5
Рис.6
Рис.7.
987
1998
493
3996
246
7992
123
15984
61
31968
30
63936
15
127872
12
7
255744
3
511488
1
1022976
Искомое произведение:
1972026
Рис 8.
13