Е = U/L

-43-
Лабораторная работа N4
ИЗУЧЕНИЕ ОСНОВНЫХ ЗАКОНОВ ЦЕПЕЙ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
1 Цель работы
Практическая проверка первого и второго правил Кирхгофа.
2 Теория вопроса
Упорядоченный перенос электрических зарядов называется электрическим током. Величина электрического тока, проходящего через
данную поверхность S ,называется силой тока i или просто током и определяется как количество электричества, переносимое через площадь S в
единицу времени, т.е.
i = dq/dt (А) .
(4.1)
За направление электрического тока условно принимается
направление перемещения положительных зарядов.
За единицу силы тока в системе СИ принят 1 ампер (А):
1А = 1Кл/1с .
Электрический ток можно также характеризовать плотностью
тока. Плотность тока — векторная физическая величина, измеряемая
количеством электричества, протекающим за единицу времени через
единицу площади,ориентированной перпендикулярно току:
j = di/ds (A/м2 ).
(4.2)
-44-
Направление вектора плотности тока совпадает с направлением
движения положительных зарядов. Различают электрический ток проводимости, связанный с движением электрических зарядов относительно тела, и
конвекционный ток — движение макроскопического заряженного тела как
целого. Электрический ток проводимости, в свою очередь, в зависимости от
физической природы электрических зарядов делят на три типа:
1) электронный,
2) ионный,
3) смешанный (когда принимают участие в токе как электроны,
так и ионы).
В настоящей работе будет исследоваться только электронный ток
проводимости — электрический ток в металлических проводниках. При
возникновении электрического тока в металлических проводниках основную роль играет их электропроводность. Электропроводность проводника характеризует упорядоченный перенос свободных электронов металла
под действием внешнего электрического поля. В изотропном проводнике,
когда приложеная к нему разность потенциалов U создает однородное
электрическое поле ,
Е = U/L
(L -расстояние между точками приложения U), электрический ток i и
плотность тока j совпадают по направлению с электрическим полем Е.
Зависимость j = f(E), различная для разных веществ и характерная для каждого данного вещества, называется вольт-амперной характеристикой данного вещества (рис.4.1).
Величина  = tg = dj / dE (Ом-1 м-1)
(4.3)
называется удельной дифференциальной электропроводностью (или просто электропроводностью) проводника. Обратная ей физическая величина
 = 1/ (Ом м)
(4.4)
называется удельным дифференциальным электрическим сопротивлением или просто удельным сопротивлением.
Вообще говоря, электропроводность проводников зависит от
электрического поля Е и в большинстве случаев dj / dE > 0 (см.рис. 4.1).
Но в случае металлического проводника и относительно малых плотностей тока, его вольтамперная характеристика изображается прямой лини-
-45-
ей (см. рис. 4.1, прямая 2), т.е. в этом случае электропроводность не зависит от электрического поля Е.
j
1
2


E
Рис.4.1
Металлические проводники,обладающие такой вольт-амперной характеристикой, подчиняются закону Ома (дифференциальная форма):
j= E.
(4.5)
Для проводников, подчиняющихся закону Ома, электропроводность
может быть определена как:
 = tg  = j / E
(4.6)
т.е. формулы (4.3) и (4.6) можно рассматривать как совпадающие. Плотность тока j связана с зарядом e носителей тока и полем Е соотношением:
j=neBE,
(4.7)
-46-
где n — концентрация носителей тока (в металлах свободных электронов); b — подвижность, численно равная средней скорости дрейфа (упорядоченного движения) заряженных частиц, параллельная (q>0) и антипараллельная (q<0) направлению электрического поля, при Е=1В/м.
Сравнивая формулы (4.7) и (4.5), получим соотношение, где
электропроводность связана с концентрацией и подвижностью носителей
тока, т.е.
 = n e b (Ом м).
(4.8)
В электростатике доказывается теорема о циркуляции вектора
напряженности электрического поля, которая может быть записана в
форме:

O Е1 dl

L
=0
(4.9)
Физический смысл этой теоремы состоит в том,что при перемещении электрического заряда по любому замкнутому контуру в электростатическом поле работа сил этого поля равна нулю.
Из этой теоремы вытекает следствие, что в замкнутой электрической цепи одни электростатические силы не могут поддерживать электрический ток, так как прохождение тока связано с выделением в проводниках джоулевой теплоты.
Для длительного поддержания тока необходим внешний по отношению к электрической цепи источник, забирающий энергию извне и
превращающий ее в энергию упорядоченного движения зарядов. Этот
источник должен порождать добавочное электрическое поле Е неэлектростатической природы, работа сил которого по замкнутому контуру не
равна нулю, т.е.
-47-

O Е1 dl  0 =  .

(4.10)
Величина  называется электродвижущей силой (эдс) и, как следует из (4.10), равна работе электростатических сил, производимой над
одним единичным зарядом при перемещении его по замкнутой электрической цепи. Электродвижущая сила, как и разность потенциалов, измеряется в вольтах (В). Источниками электрической энергии неэлектростатической природы, которые кратко называются источниками эдс или
источниками тока, могут быть гальванические элементы, аккумуляторы,
динамомашины, фотоэлементы, термобатареи и др.
На рис. 4.2 изображена электрическая цепь, содержащая источник тока с эдс=  (гальванический элемент) с внутренним сопротивлением R0, омическое сопротивление R, ключ К, вольтметр V, включенный
параллельно источнику тока и амперметру А. Известно, что вольтметр
измеряет только разность потенциалов (2 — 1); а амперметр — ток I. В
том случае, когда ключ К замкнут и в цепи течет ток I, измеренная вольтметром разность потенциалов называется падением напряжения U в цепи,
которое, как показывает опыт, выражается:
U = I R =  - I R0 .
(4.11)
Таким образом, величина падения напряжения в цепи тока равна
величине тока, умноженной на величину сопротивления цепи, или оно
равно действующей в цепи эдс без падения напряжения в источнике тока.
Если ключ К разомкнуть, т.е. ток в цепи будет отсутствовать, то
измеренная вольтметром разность потенциалов (2`— 1`) будет равна
эдс, т.е.
 = (2`- 1`) .
(4.12)
Сделав в (4.11) простые преобразования,получим:
1)закон Ома в интегральной форме для участка цепи:
I=U/R;
2)закон Ома для замкнутой полной цепи в интегральной форме:
(4.13)
-48-
I =  /(R + R) .

(4.14)
R0
— +
V
A
K
R
Рис.4.2
Закон Ома для полной цепи позволяет рассчитывать любую простую цепь, однако непосредственный расчет разветвленной цепи (см.,
например, рис.4.3) представляется сложным.
Рассмотрим элементы разветвленной цепи (см. рис.4.3). Узлом в
разветвленной цепи называется точка, где сходится более двух проводов
(точки 1,2,3,4).
Контуром в разветвленной цепи называется замкнутый участок
такой цепи (например, контуры 1-2-3-1 , 1-В-4-3-1 и т.д.). Ветвью называется участок цепи между соседними узлами (например, 3 4, две ветви 1 2
и т.д.).
При расчете разветвленных цепей удобно пользоваться правилами, установленными Кирхгофом.
Первое правило Кирхгофа
Алгебраическая сумма величины токов, сходящихся в узле, равна
нулю, если считать подходящие к узлу токи положительными и отходящие — отрицательными:
-49-
n
I
k
= 0.
(4.15)
k=1
Это правило является выражением условия стационарности тока в
цепи и вытекает из того, что в случае установившегося постоянного тока ни
на одном участке не должны накапливаться электрические заряды.
Второе правило Кирхгофа
В любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленой электрической цепи, алгебраическая сумма произведений токов Iк
на сопротивления Rк соответствующих участков этого контура равна
алгебраической сумме электродвижущих сил, действующих в этом контуре:
n
n
 R I = 
k k
k
k=1
.
(4.16)
k=1
Второе правило Кирхгофа является обобщением закона Ома на
разветвленные электрические цепи, но применяется к простому контуру,
выделенному из всей цепи.
I1
1
I5
A
B
R1
R3
2
R2
I2
1
R5
R6
III
I3 3
I
4
II
R4
D
R7
IV
C
I1
2
-50-
Рис.4.3
Так как произведение тока на сопротивление участка Iк Rк равно напряжению Uк, приложенному на этом участке, то второе правило Кирхгофа
можно выразить еще и так:
в замкнутом контуре алгебраическая сумма падений напряжений
на отдельных участках контура равна алгебраической сумме эдс, включенных в этот контур:
n
n
 U = 
k
k=1
k
.
(4.17)
k=1
Для правильного применения этих правил необходимо иметь в
виду следующее: если замкнутый контур обходят по часовой стрелке, то
все токи, совпадающие с направлением обхода, берут со знаком плюс, а
не совпадающие — со знаком минус.
ЭДС источников, находящихся в рассматриваемом контуре, берутся со знаком плюс, если при выбранном обходе контура осуществляется переход внутри источника от отрицательного полюcа к положительному. В противном случае ЭДС берется со знаком минус.
Если известны сопротивления и ЭДС, включенные в разветвленную цепь, то правила Кирхгофа позволяют составить систему алгебраических уравнений первой степени относительно неизвестных токов в ветвях
и найти все эти токи, решая систему. При составлении уравнений следует
избегать записывать уравнения для контуров, все элементы которых были
учтены. Например, если составлены уравнения для контуров 3 и 4, то уже
не следует составлять уравнение для контура 1ВС231 (см.рис.4.3).
Общие соображения, которыми следует руководствоваться при
составлении уравнений, таковы. Если сложная цепь состоит из n ветвей (в
нашем случае n = 7), которые образуют m узлов (в нашем случае m = 4),
то нужно составить (m - 1) уравнений, использующих первое правило
Кирхгофа [в нашем случае (m - 1)=3] и (n - m + 1) уравнений, использующих второе правило Кирхгофа [в нашем случае n-(m+1)=4]. Для независимости последних уравнений необходимо, чтобы в них входила по крайней мере один раз каждая ветвь.
Поскольку направления токов в процессе составления неизвестны, то следует произвольно расставить стрелки, указывающие направле-
-51-
ния этих токов. Однако надо проследить за тем,чтобы для каждого узла
обязательно имелись как подходящие к нему, так и отходящие от него
токи. Если после решения уравнений значение какого - либо из токов
получается отрицательным, это значит, что предположительное направление тока указано неверно. На самом деле ток здесь течет в противоположном направлении.
Целью работы является проверка справедливости обоих правил
Кирхгофа на конкретной электрической цепи.
3. Описание аппаратуры и метода измерений.
Для проверки правил Кирхгофа составляется сложная электрическая цепь, изображенная на рис. 4.3, где введены следующие обозначения:
1 и 2 — источники питания,
R1, R2 . . . R7, — сопротивления участков цепи,
R01, R02 — внутренние сопротивления источников питания,
1,2,3,4 — номера узлов разветвлений,
I ,II,III,IV — номера контуров.
Величины сопротивления даны на панели. Падение напряжения
на участках цепи измеряется вольтметром. Вольтметр должен иметь
большое сопротивление с тем, чтобы это подключение к участкам цепи
практически не изменяло распределение токов в цепях.
До начала измерений необходимо подготовить вольтметр к работе. Для этого необходимо:
1)подсоединить к гнездам два щупа;
2)включить в сеть 220 В;
3)дать прибору прогреться 2—3 минуты.
4. Порядок выполнения работы.
1.Присоединить источник питания к схеме (согласно рис.4.3),
смонтированной на панели.
-52-
2.Измерить вольтметром напряжения, действующие на всех сопротивлениях, определяя при этом направления тока в них. Результаты
измерений занести в таблицы измерений, а направление токов указать на
схеме, начерченной в отчете (направление определяется с "+" на "-").
3.Измерить ЭДС аккумуляторов (перед этим отключить тумблер
на схеме и сделать замеры на клеммах).
5. Обработка результатов измерений.
1. Из значений напряжений, действующих на сопротивлениях, и
величин самих сопротивлений по закону Ома для участка цепи определяют величины токов (I1,I2 ,....I7) в каждом участке цепи и результаты
занести в табл. 1 и 2.
2. Зная направление токов и их величины, проверяют справедливость (4.15) для различных узлов. Например, для узла 1 нашей цепи,
при условно поставленных направлениях токов в контуре, должно
быть:
I1 — I2 — I3 — I5 = 0 (табл.3)
3.Далее проверяют справедливость формулы (4.7), для контура
ДА12Д должно быть получено:
I1R1 + I2R2 + I1R01 = 1 (табл.4)
4.Из расчетов этого контура и контура 1В431 получить значения
R01 и R02. Проверку провести для контуров 1321; 234С2; ABCDA и 234С2.
5.Таблицы измерений.
Таблица 4.1.
Результаты измерений напряжения Ui, определения сил токов Ii
на участках цепи и расчет ошибок их определения.
Обозначения
участков
Сопротивление
участка
Верхний
предел
используемой
шкалы Uн, В
Ui,В
Ii ,
мА
Максимальные
абсолютные
ошибки
Ui,B
R1
...
R7
Ii,мА
-53-
Таблица 4.2.
Параметры источников тока, результаты однократных измерений
и расчетов
Номер
источника
тока
Падение напряжения
на внутренних
сопротивлениях
IiRок , В
ЭДС
к , В
Максимальные
абсолютные ошибки
к,В
IiRок ,В
Таблица 4.3.
Проверка выполнения первого правила Кирхгофа
Обозначение
узла
Уравнение
первого
правила
Кирхгофа
Экспериментальное значение
алгебраической суммы
сил токов в узле
Максимальная ошибка
определения
силы тока в узле
n
n
 I i (м А)
  I (м А)
i
i=1
i=1
Таблица 4.4.
Проверка выполнения второго правила Кирхгофа
Обозначение
контура
Уравнение
второго
правила
Кирхгофа
Отклонение
алгебраической суммы
U
i
 I iRо к
i
от значений к ,В
Максимальная ошибка
определения напряжения
и ЭДС в контуре
U
i
   к   I iRо к
i
6. Вычислить абсолютную погрешность в измерении:
а) для напряжения
U=Uн / 100 ,
где  — класс точности прибора, Uн — номинальное значение шкалы
прибора;
б) для тока =
I U R
;


I
U
R
I=I;
R=1Ом.
-54-
7. Сравнить результаты, полученные в пп.5 и 6 с расчетными
абсолютными погрешностями и написать вывод.
9. При работе с мультиметром ВР-11А основная погрешность
измерения определяется U=(0,5Ux +4)10-2 В, где Ux — показания прибора.
6. Контрольные вопросы
1.Что называется электрическим током?
2.Какими единицами измеряется сила тока и плотность тока?
3.Чем отличается ток проводимости от тока конвекционного?
4.На какие виды можно разделить ток проводимости?
5.Что такое электропроводность проводника?
6.Что такое удельная дифференциальная электропроводность
проводника и как она связана с его вольт-амперной характеристикой?
7.Что такое удельное сопротивление проводника и каковы единицы измерения его?
8.Для каких проводников и при каких условиях применим закон
Ома (дифференциальная форма)?
9.Какое соотношение связывает величину плотности тока с величиной заряда носителей тока и величиной электрического поля?
10.Что такое подвижность носителей тока ?
11.Какое соотношение связывает величину удельной электропроводности с величиной заряда носителей тока и их подвижностью?
12. Какой физический смысл содержится в теореме о циркуляции
вектора напряженности электростатического поля?
13. Почему в замкнутой цепи электрические силы не могут длительно поддерживать электрический ток?
14. Что такое ЭДС и как количественно она определяется?
15. Какими единицами измеряется ЭДС?
16. Что называется источником ЭДС или источником тока?
17. В каком случае вольтметр измеряет ЭДС, а в каком — падение напряжения во внешней цепи?
18. Напишите формулу, связывающую ЭДС с падением напряжения в цепи.
19. Напишите закон Ома для участка цепи в интегральной форме.
20. Напишите закон Ома для замкнутой цепи в интегральной
форме.
21. Что называется узлом в разветвленной цепи?
22. Что называется контуром в разветвленной цепи?
-55-
23. Что называется цепью в разветвленной цепи?
24. Сформулируйте и запишите в виде формулы первое правило
Кирхгофа.
25. Сформулируйте и запишите в виде формулы второе правило
Кирхгофа.
26. Сколько уравнений нужно составить для правильного применения правил Кирхгофа к разветвленным цепям, если ветвей в цепи n, а
узлов m?
27. Почему для измерения падения напряжения следует использовать вольтметр очень большого сопротивления?
Литература: [1], [2], [3].