тепловые свойства твердых тел

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Томский политехнический университет»
С.И. Кузнецов
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЯ
Сборник задач
Учебное пособие
Томск 2005
ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Молярная внутренняя энергия химически простых (состоящих из
одинаковых атомов) твердых тел в классической теории теплоемкости
выражается формулой:
U μ  3RT ,
где R – молярная газовая постоянная; T – термодинамическая температура.
Теплоемкость C системы (тела) при постоянном объеме определяется как
производная от внутренней энергии U по температуре, т.е.:
C  dU / dT .
Закон Дюлонга и Пти. Молярная теплоемкость Cμ химически простых
твердых тел:
Cμ  3R .
Закон Неймана-Коппа. Молярная теплоемкость химически сложных тел
(состоящих из различных атомов):
Cμ  n3R ,
где n – общее число частиц в химической формуле соединения.
Среднее значение энергии  E  квантового осциллятора, приходящейся
на одну степень свободы, в квантовой теории Эйнштейна выражается
формулой:
ω
,
 E   E0 
exp[ω /( kT )]  1
где E 0 – нулевая энергия ( E0  1 / 2ω );  – постоянная Планка; ω – круговая
частота колебаний осциллятора; k – постоянная Больцмана; T –
термодинамическая температура.
Молярная внутренняя энергия кристалла в квантовой теории теплоемкости
Эйнштейна определяется по формуле:
θE
,
U μ  U μ 0  3R
exp(θ E / T )  1
где U μ0  3 / 2 Rθ E – молярная нулевая энергия по Эйнштейну; θ E  ω / k –
характеристическая температура Эйнштейна.
Молярная теплоемкость кристалла в квантовой теории теплоемкости
Эйнштейна при низких температурах ( T  θ E ):
Cμ  3R(θ E / T ) exp(θ E / T ) .
Частотный спектр колебаний в квантовой теории теплоемкости Дебая
задается функцией распределения частот g (ω) . Число dZ собственных частот
тела, приходящихся на интервал частот от ω до ω  dω , определяется
выражением:
dZ  g (ω)dν .
Для трехмерного кристалла, содержащего N атомов,
gN 2
ω dω ,
ω3max
где ω max – максимальная частота, ограничивающая спектр колебаний.
Энергия U твердого тела связана со средней энергией  E  квантового
осциллятора и функцией распределения частот g (ω) соотношением:
dZ 
U
ωmax
  E  g (ω)dω .
0
Молярная внутренняя энергия кристалла по Дебаю
3
 T  θD / T
x3
U μ  U μ0  3RT 3  
dx ,
θ
exp(
x
)

1
 D 0
где U μ0  9 / 8Rθ D – молярная нулевая энергия кристалла по Дебаю; θ D  ω max
– характеристическая температура Дебая, ω max – наибольшая частота
колебаний.
Молярная теплоемкость кристалла по Дебаю, при низких температурах
( T  θ D ):
3
12 π 3  T 
Cμ 
R  ,
5
 θD 
при решении задач T  θ D , если T / θ D  0,1.
Теплоемкость электронного газа:
π2
T
Cμ э 
ZR ,
2
θф
где θ ф 
Eф
– характеристическая температура Ферми.
k
Фонон – квазичастица, являющаяся квантом поля колебаний
кристаллической решетки.
Энергия фонона E:
E  kθ D .
Квазиимпульс фонона
p  2π / λ.
Скорость фонона является групповой скоростью звуковых волн в
кристалле
u  dE / dp .
При малых значениях энергии фонона дисперсией волн можно пренебречь
и тогда групповая и фазовая скорости совпадут:
u  υ  E / p.
Скорости продольных ( υ l ) и поперечных ( υ t ) волн в кристалле
определяются по формулам:
υl  E / ρ ,
υt  G / ρ ,
где E и G – модули соответственно продольной и поперечной упругости.
Усредненное значение скорости звука υ связано с υ l и υ t соотношением
3
2
1
 3 3.
3
υ
υt υl
Закон Фурье. Количество теплоты dQ, перенесенное через поверхность
площадью S, перпендикулярную направлению теплового потока, за время dt,
равно:
dQ  λ(dT / dx) Sdt ,
где λ – теплопроводность; dT/dx – градиент температуры. Знак минус в формуле
показывает, что направление теплового потока противоположно вектору
градиента температуры.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ
ТЕЛ
Электроны в металле (по квантовой статистике)
Распределение Ферми-Дирака по энергиям для свободных электронов в
металле:
1
,
f ( ED ) 
exp[( Ei  Eф ) /( kT )]  1
где Ei – энергия электронов; Eф – уровень (или энергия) Ферми.
Распределение Бозе-Эйнштейна:
1
.
f ( EE ) 
exp[( Ei  Eф ) /( kT )]  1
Уровень Ферми в металле при Т = 0
2
Eф 
(3π 2 n) 2 / 3 .
2m
Температура вырождения TB :
2π 2 2 / 3
TB 
n .
km
Полупроводники
Удельное сопротивление собственных полупроводников:
1
ρ
,
enb
где е – заряд электрона; n – концентрация носителей заряда (электронов и
дырок); b – подвижность носителей заряда.
Удельная проводимость собственных полупроводников:
γ  en(bn  b p ) ,
где bn и bp – подвижности электронов и дырок.
Зависимость электропроводности полупроводника от температуры
σ  σ 0 exp( ΔE / 2kT ) .
Напряжение U H на гранях образца при эффекте Холла:
U H  RH BJl ,
где RH – постоянная Холла; В – индукция магнитного поля; l – ширина
пластины; J – плотность тока.
Постоянная Холла для полупроводников тип алмаза, кремния, германия и
др., обладающих носителями заряда одного вида (n и p),
3π 1
,
RH 
8 en
где n – концентрация носителей заряда.
КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
Молярный объем кристалла:
Vμ  M / ρ ,
где М – молярная масса вещества; ρ – плотность кристалла.
Объем V элементарной ячейки в кристаллах:
а) при кубической сингонии V  a 3 ;
б) при гексагональной сингонии V  3a 2c / 2 . Здесь а и с – параметры
решетки.
Если для гексагональной решетки принять теоретическое значение:
c  8 / 3a , то V  2a 3 .
Число элементарных ячеек в одном моле кристалла
Z μ  Vμ / V , или Z μ  kN A / n ,
где k – число одинаковых атомов в химической формуле соединения (например,
в кристалле AgBr число одинаковых атомов Ag или Br в химической формуле
соединения равно единице); NА – постоянная Авогадро; n – число одинаковых
атомов, приходящихся на элементарную ячейку. На рисунке 1 представлена
структура NaCl: аналогичную структуру имеют соединения KBr, AgBr, MnO и
др.
Рисунок 1
Число Z элементарных ячеек в единице объема кристалла:
Z  Z μ /Vμ ,
или в общем случае
k NA
;
n M
для кристалла, состоящего из одинаковых атомов (k = 1),
N
Z ρ A .
nM
Параметр а кубической решетки:
a  3 nM /(kρN A ) .
Расстояние d между соседними атомами в кубической решетке:
а) в гранецентричной d  a / 2 ;
б) в объемно-центрированной d  3a / 2 .
Z ρ
Электромагнитные свойства твердых тел
Задачи с решениями
1. Кусок металла V = 20 см3 находится при температуре Т = 0. Определить
число ΔN свободных электронов, импульсы которых отличаются от
максимального импульса pmax не более чем на 0,1pmax. Энергия Ферми
Eф  5 эВ .
Решение. Для того чтобы установить распределение свободных электронов
в металле по импульсам, воспользуемся распределением Ферми для свободных
электронов при Т = 0:
3/ 2
1  2m 
dn( E )  2  2  E1 / 2 dE .
(1)
2π   
Так как dn( E ) есть число электронов в единице объема, энергии которых
заключены в интервале значений от Е до E + dE (E < Eф), то оно должно быть
равно числу электронов dn(p) в единице объема, заключенных в интервале
значений импульса от p до p + dp, т.е. заключенных в интервале значений
импульса от p до p + dp, т.е.
dn( p)  dn( E ) .
(2)
При этом должно соблюдаться следующее условие. Данной энергии Е
соответствует определенный импульс p ( E  p 2 /( 2m)) и интервалу энергии dE
p 

отвечает, соответствующий ему интервал импульсов dp  dE  dp  . Заметив,
m 

что E1 / 2  p /( 2m)1 / 2 , подставим в правую часть равенства (2) вместо dn(E)
выражение (1) с заменой Е0 на р и dE на dp в соответствии с полученными
соотношениями, т.е.
3/ 2
1  2m 
p
p
dn( p)  2  2 
dp .
1/ 2
2 π    ( 2 m) m
После сокращений получим искомое распределение свободных электронов в
металле по импульсам при Т = 0:
1
dn( p)  2 3 p 2 dp .
π 
Число электронов в единице объема, импульсы которых заключены в
интервале от pmax – 0,1pmax до pmax, найдем интегрированием в соответствующих
пределах:
pmax
3
1
1
0,271 pmax
3
Δn  2 3  p 2 dp  2 3 pmax
[1  (0,9) 3 ] , или Δn 
.
π  0,9 pmax
3π 
3π 2  2
Учитывая, что максимальный импульс рmax и максимальная энергия Е
2
электронов в металле (при Т = 0) связаны соотношением pmax
 2mEф , найдем
искомое число ΔN свободных электронов в металле:
3/ 2
0,271  3mEф 
0,271
3/ 2

 V.
ΔN  2 3 (2mEф ) V , или ΔN 
3π 2   2 
3π 
Подставив значения величин π , m, Eф,  , и V и произведя вычисления
(5 эВ  8  10 10 Дж ) , получим ΔN  2,9  10 23 электронов.
2. Образец из германия n-типа в виде пластины длиной L = 10 см и шириной
l = 6 мм помещен в однородное магнитное поле (В = 0,1 Тл) перпендикулярно
линиям магнитной индукции. При напряжении U = 250 В, приложенном к
концам пластины, возникает холловская разность потенциалов UH = 8,8 мВ.
Определить: 1) постоянную Холла RH; 2) концентрацию nn носителей тока.
Удельную проводимость γ германия принять равной 80 См/м.
Решение. 1. При помещении полупроводника в магнитное поле (рисунок 2)
носители тока (в полупроводнике n-типа это электроны), перемещающиеся под
действием приложенной к нему разности потенциалов U, будут отклоняться в
поперечном направлении. Это отклонение, вызванное силой Лоренца, приведет
к «накоплению» заряда на боковых поверхностях образца, причем создаваемое
в результате этого напряжение UH (холловская разность потенциалов)
действием своим будет уравновешивать силу Лоренца.
Рисунок 2
Холловская разность потенциалов определяется соотношением
U H  RH BJl ,
откуда постоянная Холла
UH
.
BJl
воспользовавшись
RH 
(1)
Плотность тока J найдем,
законом Ома в
дифференциальной форме:
J  γE ,
где Е – напряженность поля в образце.
Считая поле в образце однородным, можно написать E  U / L и тогда
J  γ(U / L) .
Подставив плотность тока в выражение (1), получим
U L
(2)
RH  H .
BUγl
Убедимся в том, что правая часть равенства (2) дает единицу постоянной
Холла (м3/Кл):
[U H ][ L]
1 B 1 м
1м
1 А  1 м  1 м  1 В 1 Дж  1 м 2
м3




1 .
[ B][U ][ γ][l ] 1 Тл  1 В  1 См/м  1 м 1 Тл  1 См
1 Н 1 А
1 Н  1 Кл
Кл
Выразим все величины в единицах СИ (U  8,8  10 3 В , L = 0,1 м,
В = 0,1 Тл, U = 250 В, γ = 80 См/м, l  6  10 3 м ) и произведем вычисления:
8,8  10 3  0,1
RH 
м 3 /Кл  7,33  10  5 м 3 /Кл .
3
0,1  250  80  6  10
2. Концентрацию n носителей тока в полупроводнике одного типа (в нашем
случае n-типа) можно найти из соотношения
3π 1
,
RH 
8 en
где е – элементарный заряд. Отсюда
3π
.
n
8 RH e
Произведя вычисления, получим
n  10 23 электронов /м 3 .
3. Определить число n узлов, приходящихся на одну элементарную ячейку
в гранецентрированной кубической решетке.
Решение. Выделим элементарную ячейку в кубической решетке (рисунок
3) и определим, скольким соседним элементарным ячейкам принадлежит тот
или иной узел выделенной ячейки. В этой ячейке имеются узлы двух типов: А
(находящиеся в вершинах куба) и В (находящиеся на гранях куба в точке
пересечения диагоналей).
Рисунок 3
Узел А принадлежит одновременно восьми элементарным ячейкам.
Следовательно, в данную ячейку узел А входит с долей 1/8. Узел В входит
одновременно только в две ячейки и, следовательно, в данную ячейку узел В
входит с долей 1/2. Если учесть, что число узлов типа А в ячейке равно восьми,
а число узлов типа В равно шести, т.е. числу граней, то общее число узлов,
приходящихся на одну элементарную ячейку в гранецентрированной решетке,
n  (1 / 8)  8  (1 / 2)  6  1  3  4 узла.
Так как число узлов равно числу атомов, то в соответствующей структуре
на элементарную ячейку приходится четыре атома.
4. Определить параметр а решетки и расстояние d между ближайшими
соседними атомами кристалла кальция (решетка гранецентрированная
кубической сингонии). Плотность ρ кристалла кальция равна 1,55  103 кг/м3.
Решение. Параметр а кубической решетки связан с объемом элементарной
ячейки соотношением V  a 3 . С другой стороны, объем элементарной ячейки
равен отношению молярного объема к числу элементарных ячеек в одном моле
кристалла: V  Vμ / Z μ . Приравняв правые части приведенных выражений для V,
найдем
(1)
a 3  Vμ / Z μ .
Молярный объем кальция Vμ  M / ρ , где ρ – плотность кальция; Μ – его
молярная масса. Число элементарных ячеек в одном моле
Zμ  N A / n ,
где n – число атомов, приходящихся на одну ячейку. Подставив в формулу (1)
приведенные выражения для Vμ и Z μ , получим
a 3  nM /(ρN A ) .
Отсюда
a  3 nM /(ρN A ) .
(2)
Рисунок 4
Подставим значения величин n, Μ, ρ и ΝΑ в формулу (2), учитывая, что
n  4 (см. предыдущий пример). Произведя вычисления, найдем
a = 556 пм.
Расстояние d между ближайшими соседними атомами находится из
простых геометрических соображений, ясных из рисунка 4:
d  a/ 2.
Подставив в это выражение найденное ранее значение а, получим
d = 393 пм.
Задачи с решениями
1. Максимальная энергия фонона, который может возбудиться в кристалле,
равна Em  0,026 эВ . Фотон какой длины волны λ обладал бы такой же
энергией.
Дано:
Решение:
Em  0,026 эВ
Обозначим через E m максимальную энергию фонона,
  1,05  10 34 Дж  с который может возбудиться в кристалле. Наибольшая
частота колебаний этого фонона связана с температурой
c  3  108 м/с
Дебая соотношением ω m  kθ D ,
λ?
где k – постоянная Больцмана, ħ – постоянная Планка. Следовательно, E m
определится как: Em  kθ D  ω m .
c 2πc
Длина световой волны определяется по формуле: λ  
, где с – скорость
ν
ω
света. Отсюда, длину волны фотона с частотой ω m найдем как:
2πc 2πc 2πc
.
λ


ωm
kθ D
Em
2  3,14  3  10 8  1,05  10 34
 4,78  10 5 м .
21
4,14  10
Ответ: λ  4,78  10 5 м
2. Во сколько раз изменится при повышении температуры от 300 до 310 К
электропроводность σ собственного полупроводника, ширина запрещенной
зоны которого ΔE  0,3 эВ .
Дано:
Решение:
Зависимость
электропроводности
σ
собственного
T1  300 К
полупроводника
от
температуры
определяется
T2  310 К
следующим выражением: σ  σ 0 exp( ΔE / 2kT ) , где k –
ΔE  0,3 эВ
Δε – ширина запрещенной зоны
k  1,38  10 23 Дж/К постоянная Больцмана,
0,3 эВ  0,3  1,6  10 19 Дж . Отсюда запишем отношение
σ1
?
σ1
σ2
.
σ2
λ
 ΔE  1 1  
σ1 σ 0 exp(ΔE / 2kT1 )
    .

 exp
σ 2 σ 0 exp(ΔE / 2kT2 )
2
k
 T1 T2  

 0,3  1,6  10 19  1
σ1
1 
 exp


   1,21 .
23
σ2
300
310

 2  1,38  10 
Ответ:
σ1
 1,21
σ2
3. Определить температуру, при которой теплоемкость электронного газа
будет равна, теплоемкости кристаллической решетки лития. Энергия Ферми
для лития равна 4,72 эВ, характеристическая температура Дебая θ D  404 К .
Дано:
Решение:
По условию молярная теплоемкость электронного газа
Eф  4,72 эВ
равна теплоемкости кристаллической решетки лития:
θ D  404 К
Cμ e  Cμ .
z 3
12 π 4 R0 3
k  1,38  10 23 Дж/К
Cμ 
T .
5θ 3D
T ?
Eф
π2
T
Cμ e 
zR0
, Tф 
2
Tф
k
где z – атомный номер лития; Eф – энергия Ферми.
Согласно Cμ e  Cμ , получим:
5kzθ 3D
.
T
24 π 2 Eф
5  1,38  10  23  3  404 3
T
 4,8 К .
24  3,14 2  4,72
Ответ: T  4,8 К .
4. Вычислить удельное сопротивление собственного германия при
температуре 300 К, если известно, что концентрация электронов при этой
температуре 2,2  1013 см3 . Подвижность электронов 3,8  10 3 см2 / В  с ; дырок
1,8  10 3 см2 /В  с .
Дано:
Решение:
b p  1,8  10 3 см2 /В  с Удельное сопротивление металлов рассчитывается по
S
bn  3,8  10 3 см 2 / В  с формуле ρ  R . Для полупроводников, имеем
l
n  2,2  1013 см3
1
, где n – концентрация электронов, е – заряд
ρ
T  300 К
neb
e  1,6  10 19 Кл
электрона, b – подвижность электронов и дырок.
b  bn  b p .
ρ?
Окончательно
1
.
ρ
e  n(bn  b p )
ρ
1
 0,51 Ом  м
1,6  10 19  2,2  1013 (3,8  10 3  1,8  10 3 )
Ответ: ρ  0,51 Ом  м
5. Чему равно среднее число электронов проводимости в металле при 80 К в
состоянии с энергией в 6 эВ, если энергия Ферми для этого металла 9 эВ.
Дано:
Решение:
Обозначим, Eф – энергия Ферми,  ni  – среднее число
E  6 эВ
Eф  9 эВ
электронов проводимости.
Функция распределения электронов по состояниям:
T  80 К
 ni   ?
1
– распределение Ферми-Дирака.
 Ei  E ф 
  1
exp
kT


1
В общем случае  ni  
.
 Ei  Eф 
  1
exp
 kT 
Так в данных условиях kT  Eф , то можно использовать распределение
T  0 К.
E  Eф  n  1 

1
E  Eф   n   .
E  Eф  n  0
2

1
Ответ:  n  
2
6. Найти максимальную энергию E m фонона который может возбудиться в
кристалле, температура Дебая которого θD = 300 К.
Дано:
Решение:
θD = 300 К
Наибольшая частота колебаний, которые могут
23
k  1,38  10 Дж/К возбудиться в кристаллической решетке связана с
температурой Дебая θD соотношением ω m  kθ D ,
Em  ?
где k – постоянная Больцмана, ħ – постоянная Планка
Следовательно, E m определится как:
Em  ω m  kθ D .
f (E) 
Em  1,38  10 23  300  4,14  10 21 Дж  0,026 эВ
Ответ: Em  0,026 эВ
7. Определите отношение импульса фотона с энергией 5 МэВ к
среднеквадратичному импульсу атомов аргона при температуре
Дано:
Решение:
Обозначим: pф – импульс фотона; pAr – импульс аргона;
Eф  5 МэВ
μ Ar – молярная масса аргона μ Ar  40 .
k  1,38  10 23 Дж/К
hc
hс
h
; pф 
; pAr  mυ кв  3kTm ;
pф  ; λ 
c  3  108 м/с
E
E
λ
ф
ф
μ  40
Ar
μ
N A  6,02  10 23 моль 1
.
m
N
A
T  420 К .
pф
?
pAr
pф
Eф
5  10 6  1,6  10 19


 78,2
p Ar с 3kTm 3  108 3  1,38  10  23  420  1,67  10  27  40
pф
Ответ:
 78,2 .
pAr
8. Оцените давление электронного газа в некотором металле при абсолютном
нуле, энергия Ферми которого равна 13 эВ, если концентрация электронного
газа равна 287  10 26 м 1 . Ответ представьте в мегапаскалях.
Дано:
Решение:
Давление электронного газа определим по классической
Eф  13 МэВ
формуле, считая электронный газ идеальным:
n  287  10 26 м 3
2
P ?
P  n  E .
3
3
2
Средняя энергия электронов равна  E   Eф . Отсюда P  nEф
5
5
2
P  287  10 26  13  1,6  10 19  0,239  10 5 МПа.
5
Ответ: P  0,239  105 МПа .
9. Какова вероятность заполнения электронами в металле энергетического
уровня расположенного на 44 мэВ выше уровня Ферми при температуре
T  276 К .
Дано:
Решение:
ΔE  44 мэВ
Распределение Ферми-Дирака для электронов:
1
k  1,38  10 23 Дж/К
f (E) 
 ΔE 
T  276 К
exp
 1
f (E)  ?
 kT 
Это распределение и будет вероятностью заполнения электронами
определенного энергетического уровня:
f (E) 
1
 44  10 3  1,6  10 15 
  1
exp
23
1
,
38

10

276


 0,136 .
Ответ: f ( E )  0,136
10. Определите максимальную энергию, которой могут обладать свободные
электроны в металле при абсолютном нуле. Принять, что на каждый атом
металла приходится по одному электрону. Массовое число металла равно 67, а
плотность металла ρ  8737 кг/м 3 . Ответ представьте в электрон-вольтах.
Дано:
Решение:
34
Максимальная энергия, которой могут обладать
  1,05  10 Дж  с
свободные электроны в металле при абсолютном нуле
А = 67
равна энергии Ферми Eф .
ρ  8737 кг/м 3
Массовое число А; A  Z  N – число нуклонов.
N A  6,02  10 23 моль 1
Энергию Ферми определим по формуле:
Eф  ?
2
Eф 
(3π 2 n) 2 / 3 ,
2m
где n  ρ
NA
. Окончательно получим:
A
2/3
2  2 N A 
Eф 
 3π ρ

2m 
A 
2/3

(1,05  10 34 ) 2
6,02  10 23 
2
 3  (3,14)  8737
  6,63 эВ .
Eф 
2  9,1  10 31  1,6  10 19 
67  10 3 
Ответ: Eф  6,63 эВ
11. До какой температуры надо было бы нагреть классический электронный
газ, чтобы средняя энергия его электронов оказалась равной средней энергии
электронов в металле при Т = 0. Принять, что на каждый атом приходится один
электрон. Плотность металла ρ  8805 кг/м 3 , массовое число 58.
Дано:
Решение:
34
Средняя энергия электронов
  1,05  10 Дж  с
3
3
А = 58
 E   kT ; с другой стороны  E   Eф ;
5
2
ρ  8805 кг/м 3
3
3
2 Eф
N A  6,02  10 23 моль 1
.
kT  Eф ; T 
2
5
5 k
23
k  1,38  10 Дж/К
N

Eф 
(3π 2 n) 2 / 3 ; Концентрация n  ρ A ,
Tм  0 К
2m
A
T ?
N
N
m
т.к. N  N A ; n   ρ A .
V
A
A
Окончательно получим:
2 2  2 N A 
T
 3π ρ

5 2mk 
A 
2/3

2
(1,05  10  34 ) 2
6,02  10 23 
2


T
3

(
3
,
14
)

8805
5 2  9,1  10  31  1,38  10  23 
58

2/3
 0,341  105 К
Ответ: T  0,341  10 5 К
12. Найти среднее число фотонов в состоянии с энергией 77 мэВ, при
T  655 К .
Дано:
Решение:
34
Среднее число фотонов в состоянии с определенной
  1,05  10 Дж  с
энергией:
k  1,38  10 23 Дж/К
1
 ni  
Tм  0 К
E 
exp i   1
T ?
 kT 
1
 ni  
 0,344
 1,6  10 19  77  10 3 
  1
exp
23
1
,
38

10

655


Ответ:  ni   0,344
13. Определите температуру вырождения электронного газа в металле, если
концентрация электронов равна n  53  10 27 м 3 .
Дано:
Решение:
34
  1,05  10 Дж  с Обозначим температуру вырождения электронного газа TВ
Энергия Ферми для электронов: Eф  TВk , отсюда
k  1,38  10 23 Дж/К
Eф
2
n  53  10 27 м 3
TВ 

(3π 2 n) 2 / 3
k
k 2m
TВ  ?
(1,05  10 34 ) 2
TВ 
[3  (3,14) 2  53  10 27 ]2 / 3  5,924 К
23
31
1,38  10  2  9,1  10
Ответ: TВ  5,924 К
14. Определите число фотонов с частотой, заключенных в интервале 641 ТГц
до 648 ТГц в объеме V  330 см 3 при температуре T  302 К .
Дано:
Решение:
34
Число квантовых состояний излучения в объеме V
h  6,62  10 Дж  с
E
4πP 2dP
8πE 2dE
k  1,38  10 23 Дж/К
,
т.к.
;
P

dq  2
V
d
q

2
V;
3
3 3
c
3
h
h
c
V  330 см
E  hν ; dN  dq  f E ( ν ) ;
T  302 К
ν1  641 ТГц
ν 2  648 ТГц
dN  ?
1
.
h  ν 
exp
 1
 kT 
– функция распределения Бозе-Эйнштейна.
2
8πν ср
 Δν  V
dq
dN 

.
 hν 
  hν ср  
3
exp   1 c exp
 kT   1
 kT 
 
 
f E ( ν) 
ν1  ν 2
641  648
; ν ср 
 644,5 ТГц
2
2
Δν  ν 2  ν1 ; Δν  648  641  7 ТГц
ν ср 
8  3,14  (644,5  1012 ) 2  7  1012  330  10 6
 0,31  10 29
34
12
  6,62  10  644,5  10  
  1
(3  108 ) 3 exp
23
1
,
38

10

302
 
 
Ответ: dN  0,31  10 29
15. Уровень Ферми некоторого металла при температуре T  0 , равен 8 эВ.
Определите на сколько уровень Ферми при T  1280 К отличается от уровня
Ферми при абсолютном нуле. Ответ представьте в электрон-вольтах.
Дано:
Решение:
Еф( 0) – уровень Ферми при абсолютном нуле; Eф (T ) –
T  1280 К
T 0
уровень Ферми при температуре Т.
Eф(0)  8 эВ
 π 2  kT  2 

 
Eф ( Е )  Eф ( 0) 1 
k  1,38  10 23 Дж/К
 12  Eф ( 0)  
Eф(T )  ?


ΔEф  Еф(0)  Еф(Т )
dN 
ΔЕф  Еф ( 0)  Еф ( 0) 
π2
(kT ) 2 π 2 kT 2
Еф ( 0) 2 
12
Еф ( 0) 12 Еф ( 0)
3,14 2 (1,38  10 23  1280 ) 2
ΔЕф 
 0,125  10 2 эВ
19
12
8(1,6  10 )  2
Ответ: ΔЕф  0,125  10 2 эВ
Задачи для самостоятельного решения
Классическая теория теплоемкости
1. Вычислить удельные теплоемкости С кристаллов алюминия и меди по
классической теории теплоемкости.
2. Пользуясь классической теорией вычислить удельные теплоемкости С
кристаллов NaCl и CaCl2.
3. Вычислить по классической теории теплоемкости теплоемкость С
кристалла бромида алюминия AlBr 3 объемом V  1 м 3 . Плотность ρ кристалла
бромида алюминия равна 3,01  10 3 кг/м 3 .
4. Определить изменение ΔU внутренней энергии кристалла никеля при
нагревании его от t1  0 C до t 2  200  C . Масса m кристалла равна 20 г.
Теплоемкость С вычислить.
5. Вывести формулу для средней энергии  E  классического линейного
гармонического осциллятора при тепловом равновесии. Вычислить значение
 E  при Т = 300 К.
6. Определить энергию U и теплоемкость С системы, состоящей из N  10 25
классических трехмерных независимых гармонических осцилляторов.
Температура Т = 300 К.
Теория теплоемкости Эйнштейна
7. Определить: 1) среднюю энергию  E  линейного одномерного
квантового осциллятора при температуре T  θ E ( θ E  200 К ); 2) энергию U
системы, состоящей из N  10 25 квантовых трехмерных независимых
осцилляторов, при температуре T  θ E ( θ E  300 К ).
8. Найти частоту ν колебаний атомов серебра по теории теплоемкости
Эйнштейна, если характеристическая температура θ E серебра равна 165 К.
9. Во сколько раз изменится средняя энергия  E  квантового осциллятора,
приходящаяся на одну степень свободы, при повышении температуры от
T1  θ E / 2 до T2  θ E ? Учесть нулевую энергию.
10. Определить отношение  E  /  ET  средней энергии квантового
осциллятора к средней энергии теплового движения молекул идеального газа
при температуре T  θ E .
11. Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна, вычислить
изменение ΔU μ молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его на
ΔT  2 К от температуры T  θ E / 2 .
12. Пользуясь теорией теплоемкости Эйнштейна, определить изменение ΔU μ
молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его от нуля до
T1  0,1θ E . Характеристическую температуру θ E Эйнштейна принять для
данного кристалла равной 300 К.
13. Определить относительную погрешность, которая будет допущена, если
при вычислении теплоемкости С вместо значения, даваемого теорией
Эйнштейна (при T  θ E ), воспользоваться значением, даваемым законом
Дюлонга и Пти.
14. Вычислить по теории Эйнштейна молярную нулевую энергию U μ 0
кристалла цинка. Характеристическая температура θ E для цинка равна 230 К.
Теория теплоемкости Дебая
15. Рассматривая в дебаевском приближении твердое тело как систему из
продольных и поперечных стоячих волн, установить функцию распределения
частот g (ω) для кристалла с трехмерной кристаллической решеткой. При
выводе принять, что число собственных колебаний Ζ ограничено и равно 3Ν (Ν
– число атомов в рассматриваемом объеме).
9N
16. Зная функцию распределения частот g (ω)  3 ω 2 для трехмерной
ω max
кристаллической решетки, вывести формулу для энергии кристалла,
содержащего число N (равное постоянной Авогадро) атомов.
17. Используя
формулу
энергии
трехмерного
кристалла
3
 T  θ D / T x 3dx
U m  3RT  3   x
, получить выражение для молярной теплоемкости.
 θD  0 e 1
18. Молярная
теплоемкость
трехмерного
кристалла
θD / T

x 3dx 3(θ D / T ) 
3
Cμ  3R 12(T / θ D )  x
 θ /T
 . Найти предельное выражение
D
e

1
e

1


0
молярной теплоемкости при низких температурах ( Δ  θ D ).
19. Вычислить по теории Дебая молярную нулевую энергию U m0 кристалла
меди. Характеристическая температура θ D меди равна 320 К.
20. Определить максимальную частоту ω max собственных колебаний в
кристалле золота по теории Дебая. Характеристическая температура θ D равна
180 К.
21. Вычислить максимальную частоту ω max Дебая, если известно, что
молярная теплоемкость Cμ серебра при T  20 К равна 1,7 Дж/(моль  К) .
22. Найти соотношение изменения ΔU внутренней энергии кристалла при
нагревании его от нуля до Δ  0,1θ D к нулевой энергии U 0 . Считать T  θ D .
23. Пользуясь теорией теплоемкости Дебая, определить изменение ΔU m
молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его от нуля до
T1  0,1θ D . Характеристическую температуру θ D Дебая принять для данного
кристалла равной 300 К. Считать T  θ D .
24. Используя квантовую теорию теплоемкости Дебая, вычислить изменение
ΔU m молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его на ΔT  2 К
от температуры T  θ D / 2 .
25. При нагревании серебра массой m = 10 г от T1  10 К до T2  20 К было
подведено
теплоты.
Определить
характеристическую
ΔQ  0,71 Дж
температуру θ D Дебая серебра. Считать T  θ D .
26. Определить относительную погрешность, которая будет допущена, если
при вычислении теплоемкости кристалла если вместо значения, даваемого
теорией Дебая (при T  θ D ), воспользоваться значением, даваемым законом
Дюлонга и Пти.
27. Найти отношение θ E / θ D характеристических температур Эйнштейна и
Дебая.
Фононы. Теплопроводность неметаллов
28. Вода при температуре t1  0C покрыта слоем льда толщиной h = 50 см.
Температура t1 воздуха равна 30C . Определить количество теплоты Q,
переданное водой за время τ  1 ч через поверхность льда площадью S  1 м 2 .
Теплопроводность λ льда равна 2,2 Вт/(м  К) .
29. Какая мощность N требуется для того, чтобы поддерживать температуру
t1  100C в термостате, площадь S поверхности которого равна 1,5 м2,
толщина h изолирующего слоя равна 2 см и внешняя температура t  20C ?
30. Найти энергию E фонона, соответствующего максимальной частоте ω max
Дебая, если характеристическая температура θ D Дебая равна 250 К.
31. Определить квазиимпульс p фонона, соответствующего частоте
ω  0,1ω max . Усредненная скорость υ звука в кристалле равна 1380 м/с,
характеристическая температура θ D Дебая равна 100 К. Дисперсией звуковых
волн в кристалле пренебречь.
32. Длина волны λ фонона, соответствующего частоте ω  0,01ω max равна 52
нм. Пренебрегая дисперсией звуковых волн, определить характеристическую
температуру θ D Дебая, если усредненная скорость звука υ в кристалле равна
4,8 км/с.
33. Вычислить усредненную скорость υ фононов (скорость звука) в серебре.
Модули продольной Е и поперечной G упругости, а также плотность серебра ρ
считать известными.
34. Характеристическая температура θ D Дебая для вольфрама равна 310 К.
Определить длину волны λ фононов, соответствующих частоте ν  0,1ν max .
Усредненную скорость звука в вольфраме вычислить. Дисперсией волн в
кристалле пренебречь.
35. Период d решетки одномерного кристалла (кристалла, атомы которого
образуют цепи, не взаимодействующие друг с другом равен 0,3 нм. Определить
максимальную энергию E max фононов, распространяющихся вдоль этой
цепочки атомов. Усредненная скорость υ звука в кристалле равна 5 км/с.
Эффект Холла
36. Определить уровень Ферми Eф в собственном полупроводнике, если
энергия ΔE 0 активации равна 0,1 эВ. За нулевой уровень отсчета кинетической
энергии электронов принять низший уровень зоны проводимости.
37. Собственный полупроводник (германий) имеет при некоторой температуре
удельное сопротивление ρ  0,48 Ом  м . Определить концентрацию n
носителей заряда, если подвижности bn и bp электронов и дырок соответственно
равны 0,36 и 0,16 м 2 /(В  с) .
38. Удельная проводимость γ кремния с примесями равна 112 см/м.
Определить подвижность bp дырок и их концентрацию np, если постоянная
Холла RH  3,66  10 4 м 3 /Кл . Принять, что полупроводник обладает только
дырочной проводимостью.
39. В германии часть атомов замещена атомами сурьмы. Рассматривая
дополнительный электрон примесного атома по модели Бора, оценить его
энергию Ε связи и радиус r орбиты. Диэлектрическая проницаемость ε
германия равна 16.
40. Полупроводник в виде тонкой пластины шириной l = 1 см и длиной L = 10
см помещен в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,2 Тл. Вектор
магнитной индукции перпендикулярен плоскости пластины. К концам
пластины (по направлению L) приложено постоянное напряжение U = 300 В.
Определить холловскую разность потенциалов UH на гранях пластины, если
постоянная Холла RH = 0,1 м3/Кл, удельное сопротивление ρ  0,5 Ом  м .
41. Тонкая пластина из кремния шириной l = 2 см помещена перпендикулярно
линиям индукции однородного магнитного поля (В = 0,5 Тл). При плотности
тока J = 2 мкА/мм2, направленного вдоль пластины, холловская разность
потенциалов UH оказалась равной 2,8 В. Определить концентрацию n носителей
заряда.
Магнитный резонанс
42. Свободный электрон находится в постоянном магнитном поле (В0 = 1 Тл).
Определить частоту ν 0 переменного магнитного поля, при которой происходит
резонансное поглощение энергии электроном (g-фактор для свободного
электрона равен 2).
43. Определить отношение резонансной частоты электронного парамагнитного
резонанса к циклотронной частоте ωЭПР /ωцик (g-фактор равен 2,00232)/
44. Стандартные спектрометры для наблюдения электронного парамагнитного
резонанса (ЭПР) имеют на одном из диапазонов фиксированную частоту
ν 0  9,9 ГГц . Определить магнитную индукцию поля B0, при которой
происходит резонансное поглощение энергии радиочастотного поля свободным
электроном (g-фактор равен 2).
45. Определить гиромагнитное отношение γ для свободного протона.
46. Свободный протон находится в постоянном магнитном поле (В0 = 1 Тл).
Определить частоту ν 0 переменного магнитного поля, при которой происходит
резонансное поглощение энергии протоном (g-фактор равен 5,58).
47. В опытах по изучению магнитным резонансным методом магнитных
свойств атомов 25Mg в основном состоянии обнаружено резонансное
поглощение энергии при магнитной индукции B0 поля, равной 0,54 Тл, и
частоте ν 0 переменного магнитного поля, равной 1,4 МГц. Определить
ядерный g-фактор.
48. Методом магнитного резонанса определяют магнитный момент нейтрона.
Резонансное поглощение наблюдается при магнитной индукции B0 поля,
равной 0,682 Тл, и частоте ν 0 переменного магнитного поля, равной 19,9 МГц.
Вычислить ядерный g-фактор и магнитный момент μ n нейтрона. Известно, что
направления
спинового
механического
и
магнитного
моментов
противоположны. Спин нейтрона I = 1/2.
49. Для молекулы HD, находящейся в основном состоянии, ядерный
магнитный резонанс наблюдался: 1) для протонов (I = 1/2) в постоянном
магнитном поле (B0 = 94 мТл) при частоте ν 0 переменного магнитного поля,
равной 4 МГц; 2) для дейтонов (I = 1) соответственно при B0 = 0,37 Тл и
ν 0  2,42 МГц . Определить по этим данным (g-факторы и магнитные моменты
μ p и μ d протона и дейтона (в единицах μ N ).
50. При какой частоте ν 0 переменного магнитного поля будет наблюдаться
ЯМР ядер 19Р(I = 1/2; μ  2,63 μ N ), если магнитная индукция B0 постоянного
поля равна 2,35 Тл?
51. Ядра Li (I = 3/2 и g = 2,18) находятся в однородном магнитном поле
( B0  2 Тл ). Температура Т окружающей среды равна 80 К. Найти отношение
заселенностей каждого из возможных энергетических уровней к заселенности
уровня с наименьшей энергией.
Распределение Ферми-Дирака. Электроны в металле
52. Определить отношение концентраций n1 / n2 свободных электронов при
T  0 в литии и цезии, если известно, что уровни Ферми в этих металлах
соответственно равны Eф,1  4,72 эВ , Eф, 2  1,53 эВ .
53. Определить число свободных электронов, которое приходится на один
атом натрия при температуре Т = 0 К. Уровень Ферми Eф для натрия равен
3,12 эВ. Плотность ρ натрия равна 970 кг/м3.
54. Во сколько раз число свободных электронов, приходящихся на один атом
металла при Т = 0, больше в алюминии, чем в меди, если уровни Ферми
соответственно равны Eф,1  11,7 эВ , Eф, 2  7,0 эВ ?
55. Определить вероятность того, что электрон в металле займет
энергетическое состояние, находящееся в интервале ΔЕ = 0,05 эВ ниже уровня
Ферми и выше уровня Ферми, для двух температур: 1) T1 = 290 К; 2) T2 = 58 К.
56. Вычислить среднюю кинетическую энергию  E  электронов в металле
при температуре Т = 0 К, если уровень Ферми Eф  7 эВ .
57. Металл находится при температуре Т = 0 К. Определить, во сколько раз
число электронов с кинетической энергией от Eф / 2 до Eф больше числа
электронов с энергией от 0 до Eф / 2 .
58. Электроны в металле находятся при температуре Т = 0 К. Найти
относительное число ΔN / N свободных электронов, кинетическая энергия
которых отличается от энергии Ферми не более чем на 2 %.
59. Оценить температуру Ткр вырождения для калия, если принять, что на
каждый атом приходится по одному свободному электрону. Плотность ρ калия
860 кг/м3.
60. Определить отношение концентрации nmax электронов в металле (при
Т = 0 К), энергия которых отличается от максимальной не более чем на ΔE, к
концентрации nmin электронов, энергии которых не превышают значения E =
ΔE; ΔE принять равным 0,01Eф.
61. Зная распределение dn(E) электронов в металле по энергиям, установить
распределение dn(p) электронов по импульсам. Найти частный случай
распределения при Т = 0 К.
62. По функции распределения dn(p) электронов в металле по импульсам
установить распределение dn(v) по скоростям: 1) при любой температуре Т; 2)
при Т = 0 К.
63. Определить максимальную скорость υ max электронов в металле при Т = 0
К, если уровень Ферми Eф = 5 эВ.
64. Выразить среднюю скорость  υ  электронов в металле при Т = 0 К через
максимальную скорость υ max . Вычислить  υ  для металла, уровень Ферми Eф
которого при Т = 0 К равен 6 эВ.
Кристаллография
65. Определить относительную атомную массу Аr кристалла, если известно,
что расстояние d между ближайшими соседними атомами равно 0,304 нм.
Решетка объемно-центрированная кубической сингонии. Плотность ρ
кристалла равна 534 кг/м3.
66. Найти постоянную а решетки и расстояние d между ближайшими
соседними атомами кристалла: 1) алюминия (решетка гранецентрированная
кубической сингонии); 2) вольфрама (решетка объемно-центрированная
кубической сингонии).
67. Определить постоянное а к с решетки кристалла магния, который
представляет собой гексагональную структуру с плотной упаковкой.
Плотность ρ кристаллического магния равна 1,74  10 3 кг/м3.
68. Вычислить постоянную а решетки кристалла бериллия, который
представляет собой гексагональную структуру с плотной упаковкой. Параметр
а решетки равен 0,359 нм. Плотность ρ кристалла бериллия равна
1,82  10 3 кг/м 3 .
69. Найти плотность ρ кристалла гелия (при температуре Т = 2 К), который
представляет собой гексагональную структуру с плотной упаковкой.
Постоянная а решетки, определенная при той же температуре, равна 0,357 нм.
Ответы
1. 925 Дж/(кг·К); 390 Дж/(кг·К). 2. 825 Дж/(кг·К); 675 Дж/(кг·К). 3. 1,12 МДж/К.
4. 1,70 кДж. 5.  E   kT ;  E   4,11  10 21 Дж. 6. 124 кДж; 414 Дж/К.
7. 2,99  10 21 Дж; 134 кДж. 8. 3,44 ТГц. 9. В 3,74 раза. 10. 1,16. 11. 36 кДж/моль.
12. 340 Дж/моль. 13. 8,8 %. 14. 2,87 МДж/моль. 15. g (ω)  6 Nω 2 / ω3 . 16.
3
 T  θ D / T x 3dx
hω
U  3RT    x
,
где
17.
θ D  max .
k
 θD  0 e 1
3
  T 3 θ D / T x 3dx 3(θ / T ) 
12 4  T 
D
 . 18. C  π R  . 19. 2,99 МДж.
C  3R 12   x
 θ /T
D
5
θ
e

1
e

1
  D  0

 θD 
20. 2,36  1013 м 1 . 21. 2,75  1013 с 1 . 22. 5,2·10–3. 23. 14,6 кДж. 24.
ΔE  2,49RΔT  41,4 кДж. 25. 212 К. 26. 4,83%. 27. 3/4. 28. 475 кДж. 29. 600 Вт.
30. 3,45·10–21 Дж. 31. 10–25 Н·с. 32. 443 К. 33. 1,5 км/с. 34. 4,8 нм. 35. 1,1·10–21
Дж. 36. – 0,05. 37. 2,5·1019 м–3. 38. 3,5·10–2 м2/(В·с); 2·1022 м–3.. 39. 0,053 эВ;
0,85 нм. 40. 1,2 В. 41. 5,25·1016 м–3. 42. ν 0  gμ Б B0 /( 2π)  28 ГГц . 43.
ωЭПР g
2π
  1,00116 . 44. B0 
ν 0  0,353 Тл . 45. 2,68·108 (Тл·с). 46.
ωцикл 2
2μ Б
2πν 0
ν 0  γB0 /( 2π)  42,6 МГц . 47. g 
 0,34 . 48. –3,8; – 1,91µN. 49. Для
μ N B0
протона g = 5,58, µp = 2,79µN; для дейтона g = 0,8, µn = 0,86µN. 50.
N (m1 )
μ
 gμ B

 exp  N 0  ( I  mI ) ; 1 – 4·10–5
ν 0  I B0  94 МГц . 51.
N (I )
kT
2πI


5
(mI  1 / 2) ; 1 – 4·10 ( mI  1 / 2) ; 1 – 6·10–5 ( mI  3 / 2 ). 52. 5,41. 53. 0,9.
54. В 3 раза. 55. 1) 0,893 и – 0,119; 2) 0,999955 и 4,5·10–5. 56.
 E   3 / 5Eф  4,2 эВ . 57. В 1,83 раза. 58. 0,03. 59. 31,2 кК. 60. В 14,9 раза.
1
61. dn( p )  2 3
π 
p 2 dp
(при Т ≠ 0 К); dn( p) 
1
p (при Т = 0 К).
π 2 3
 p 2 / 2m  Eф 

exp


kT


2
m
υ dυ
m
62. dn( υ)  2 3
(при Т ≠ 0 К); dn( υ)  2 2 υ 2 dυ (при Т = 0 К).
2
 mυ  2 Eф 
π 
π 

exp


2kT


63. υ max  2 Eф / m  1,32 Мм/с. 64.  υ  3 / 4υ max  1,09 Мм/с. 65. 6,95 (литий).
66. 1) 0,404 нм; 0,286 нм; 2) 0,316 нм; 0,274 нм. 67. 0,320 нм, 0,521 нм. 68. 0,23
нм. 69. 207 кг/м3.