ГЛАВА 3. Функции нескольких переменных

ГЛАВА 3. Функции нескольких переменных
§ 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
1. Определение функции нескольких переменных.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X  ( x1, x2 ,, xn ) | xi  X i , X i  ℝ } . Функция, заданная на множестве X и имеющая областью значений множество U  ℝ, называется функцией n переменных.
При этом x1 , x2 ,  , xn называются независимыми переменными (аргументами), переменная u  U называется зависимой переменной или
функцией, множество X – областью определения функции, множество
U – областью значений функции.
Область определения функции u мы будем обозначать символом
D(u) , а множество ее значений – символом E(u) .
Тот факт, что переменная u
является функцией переменных
x1 , x2 ,  , x n , обычно записывают в виде
u  f ( x1 , x2 ,  , xn ) .
Буква f используется здесь для обозначения закона, по которому осуществляется
соответствие
между
независимыми
переменными
x1 , x2 ,  , x n и зависимой переменной u . Частное значение функции
u  f ( x1 , x2 ,  , xn ) при x1  x01 , x2  x02 ,  , xn  x0n обычно записывают в виде
u  f ( x01 , x02 ,  , x0n ) или u x  x , x  x ,, x  x .
1
01 2
02
n
0n
Закон соответствия f может быть задан
a) словесно;
b) таблично;
c) аналитически (т.е. с помощью формулы, выражающей u через
x1 , x2 ,  , x n (явное задание функции) или с помощью уравнения, связывающего u и x1 , x2 ,  , xn (неявное задание функции)).
Функцию двух переменных z  f ( x, y ) можно также задать графически. Пусть в пространстве задана декартова система координат XYZ .
Графиком функции z  f ( x, y ) в пространстве XYZ называется поверхность, которая представляет собой геометрическое место точек
( x, y, f ( x, y )) , когда точка ( x, y) пробегает всю область определения
функции.
1
Математический анализ изучает преимущественно аналитически заданные функции. Для геометрической иллюстрации используется график
функции (если он может быть построен).
Кроме графика функции, для функции двух переменных есть еще
один способ геометрической иллюстрации. Будем называть линией уровня функции z  f ( x, y ) геометрическое место точек ( x, y) плоскости, в
которых функция принимает одно и то же значение C .
Линию уровня можно построить, спроектировав на плоскость XOY
линию, являющуюся пересечением графика функции z  f ( x, y ) и плоскости z  C .
Уравнение линии уровня имеет вид: f ( x, y )  C . Изменяя C , мы
будем получать различные линии уровня для данной функции. А если положить C равным C1 , C1  h, C1  2h,  , C1  nh , то мы получим ряд линий уровня, по взаимному расположению которых можно судить о характере изменения функции. В частности, там, где линии гуще, функция изменяется быстрее (поверхность, изображающая функцию, идет круче), а
там где линии располагаются реже, функция изменяется медленнее (соответствующая поверхность будет более пологой). Выбирая h достаточно
малым, можно таким образом получить довольно точное представление о
поведении функции.
z
y
x
Для геометрической иллюстрации функции трех переменных используются так называемые поверхности уровня. Поверхностью уровня функции u  f ( x, y, z) называют геометрическое место точек пространства
XYZ , в которых функция принимает одно и то же значение C . Уравнение поверхности уровня: f ( x, y, z)  C . Изменяя C , получаем различные
поверхности уровня. По их взаимному расположению можно судить о характере поведения функции.
2
2. Предел функции нескольких переменных.
Любую пару чисел можно рассматривать как декартовы координаты
некоторой точки плоскости XOY . Следовательно, функция двух переменных есть функция точки на плоскости.
Любую тройку чисел можно рассматривать как декартовы координаты
некоторой точки в пространстве XYZ , и значит, можно считать функцию
трех переменных функцией точки в пространстве.
По аналогии с плоскостью и пространством, упорядоченную совокупность n чисел ( x1 , x2 ,  , xn ) будем считать декартовыми координатами
точки n -мерного пространства и рассматривать функцию n переменных
как функцию точки этого пространства. В дальнейшем n –мерное пространство будем обозначать R n , а для функции n переменных использовать также запись u  f (M ) , где M ( x1 , x2 ,  , xn ) – точка пространства R n .
Одна из характеристик взаимного расположения точек на прямой, на
плоскости, в пространстве – расстояние между ними. Если известны декартовы координаты точек, то его легко найти. Так, для точек M 1 и M 2
прямой Ox это можно сделать по формуле
M 1 M 2  x2  x1  ( x2  x1 ) 2 ,
где x1 , x 2 – координаты точек M 1 и M 2 соответственно. Если M 1 и
M 2 – точки плоскости XOY с координатами ( x1 , y1 ) , ( x2 , y 2 ) соответM 1 M 2  ( x2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2 .
ственно, то
И, наконец, для точек M 1 ( x1 , y1 , z1 ) и M 2 ( x2 , y 2 , z2 ) пространства XYZ
M 1 M 2  ( x2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  ( z2  z1 ) 2 .
Обобщая эти формулы, будем считать, что расстояние между точками
n -мерного пространства M 1 ( x1 , x2 ,  , xn ) и M 2 ( y1 , y 2 ,  , y n ) равно
M 1 M 2  ( y1  x1 ) 2  ( y 2  x2 ) 2    ( y n  xn ) 2 .
Теперь, когда мы ввели понятие расстояния между точками в R n , мы
можем перенести на функцию n переменных многие из тех понятий, которые ранее ввели для функции одной переменной. В частности, мы можем теперь ввести понятие предела функции n переменных.
Пусть M 0 ( x01 , x02 ,  , x0n ) – точка n -мерного пространства R n .
Множество точек пространства R n , находящихся от точки M 0 на расстоянии меньшем  , будем называть ε -окрестностью точки M 0 и
обозначать U ( M 0 ,  ) .
Иначе говоря,  -окрестность точки M 0 ( x01 , x02 ,  , x0n ) состоит из
3
таких точек M ( x1 , x2 ,  , xn ), для которых имеет место неравенство
M 0 M  ( x1  x01 ) 2  ( x2  x02 ) 2    ( xn  x0n ) 2   .
В частности, при n  1  -окрестность точки M 0 ( x0 ) будет состоять из
точек M (x) , для которых
M 0 M  x  x0   ,
т.е. будет представлять собой интервал ( x0   , x0   ) . При n  2 это
будет множество точек M ( x, y) , для которых
M 0 M  ( x  x0 ) 2  ( y  y 0 ) 2   ,
т.е. это будет область ограниченная окружностью с центром в точке M 0 и
радиуса  и т.д.
 -окрестность точки M 0 без самой точки M 0 будем называть проколотой и обозначать U * ( M 0 ,  )
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть u  f (M ) – функция n переменных. Число
A называется пределом функции u  f (M ) при стремлении точки M
к точке M 0 , если для любого   0 существует   0 такое, что
f ( M )  U ( A,  ) для любой точки M  U * ( M 0 ,  ) .
Если A является пределом функции u  f (M ) при M , стремящемся к M 0 1, то пишут
lim f ( M )  A .
M M 0
Если речь идет о функции двух переменных u  f ( x, y) , то требование
M ( x, y )  M 0 ( x0 , y0 ) означает, что x  x0 и y  y 0 . Поэтому в этом
случае используют также запись
lim f ( x, y )  A .
x  x0
y  y0
Если
lim f ( M )  0 , то функция u  f (M ) называется бесконечно
M M 0
малой при M  M 0 .
Можно доказать, что все утверждения, которые ранее были получены
о пределах функции одной переменной и в которых не используется упорядоченность точек числовой прямой, остаются верными и для предела
функции n переменных. Например, остаются верными все свойства бесконечно малых, теоремы об арифметических операциях над пределами,
теорема о связи бесконечно малой с пределом функции. Этого и следовало
ожидать, так как формально определение предела функции n переменных
ничем не отличается от определения предела функции одной переменной.
1
Кратко записывают: при M  M 0 .
4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция n переменных u  f (M ) называется
бесконечно большой при стремлении точки M к точке M 0 , если для
любого Q  0 существует   0 такое, что f ( M )  Q для любой
точки M  U * ( M 0 ,  ) .
Если функции u  f (M ) является бесконечно большой при M ,
стремящемся к M 0 , то пишут
lim f ( M )   .
M M 0
Отметим, что в дальнейшем, говоря о пределах, мы всегда будем
иметь в виду конечный предел.
3. Непрерывность функции нескольких переменных.
Для функций одной переменной непрерывность являлась очень важным свойством, причем определить функцию непрерывную в точке можно
было несколькими, эквивалентными между собой, способами. Например,
можно было сделать это, используя понятие предела: функция y  f (x) ,
определенная в некоторой окрестности точки x0 , называется непрерывной в этой точке если
lim f ( x )  f ( x0 ) .
x  x0
Обобщая это определение, будем называть функцию n переменных
u  f (M ) , определенную в некоторой окрестности точки M 0 , непрерывной в этой точке если
lim f ( M )  f ( M 0 ) ,
M M 0
или, другими словами, если для любого   0 существует   0 такое,
что f ( M ) U ( f ( M 0 ),  ) для любой точки M  U ( M 0 ,  ) .
Так же как и для функции одной переменной можно доказать, что
арифметические операции над непрерывными в точке M 0 функциями
приводят к непрерывным в этой точке функциям (при условии, что деление производится на функцию, не обращающуюся в ноль). Непрерывной в
точке M 0 будет и сложная функция, составленная из нескольких непрерывных в этой точке функций.
Если функция определена в некоторой окрестности точки M 0 (за исключением, может быть, самой точки M 0 ) но не является в этой точке непрерывной, то ее называют разрывной в точке M 0 , а саму точку – точкой разрыва.
5
1
разрывна в точке (0,0) ,
x  y2
так как она определена всюду, кроме этой точки.
2
 2
2) Функция  ( x, y )   x  y ,  всюду, кроме точки (1;2)
 в точке (1;2)
 7,
в точке (1;2) разрывна, так как lim  ( x, y )  5 , а  (1;2)  7 .
НАПРИМЕР. 1) Функция f ( x, y ) 
2
x 1
x 2
Важным классом непрерывных функций одной переменной являются
функции, непрерывные на отрезках. Они обладают рядом замечательных
свойств. Аналогичные свойства имеют место и для непрерывных функций
n переменных, если их рассматривать в областях некоторого специального вида. Для того чтобы сформулировать эти свойства, нам сначала необходимо ввести ряд определений.
Пусть G – некоторое множество точек в n -мерном пространстве R n
и M 0  G . Точка M 0 называется внутренней точкой множества G ,
если найдется такая ее  -окрестность, которая целиком лежит в G . Множество, каждая точка которого – внутренняя, называется открытым.
Точка M 0 называется граничной точкой множества G , если в любой ее  -окрестности есть как точки из G , так и точки, не принадлежащие
G . Множество всех граничных точек множества G называется его границей. Множество, содержащее свою границу, называется замкнутым.
Множество G называется связным, если любые две точки этого
множества можно соединить непрерывной кривой, состоящей из точек
этого множества.
Замечание. Непрерывной кривой в n -мерном пространстве называется
геометрическое место точек M ( x1 , x2 ,  , xn ) , координаты которых
удовлетворяют уравнениям x1  x1 (t ) , x2  x2 (t ) ,  , xn  xn (t ) ,
где x1 (t ) , x 2 (t ) , , x n (t ) – непрерывные функции параметра t , изменяющегося в некоторых пределах.
НАПРИМЕР. Круг x 2  y 2  4 – связное множество на плоскости. А
множество точек, принадлежащих двум непересекающимся кругам
x 2  y 2  1 и ( x  3) 2  y 2  1 , не будет связным.
Связное открытое множество называется областью. Связное замкнутое множество называется замкнутой областью.
Область, целиком лежащая в некоторой  -окрестности точки
O(0,0,,0) , называется ограниченной.
Пусть функция u  f (M ) определена в некоторой области D (замкнутой или незамкнутой) Будем называть ее непрерывной в области
6
D , если она непрерывна в каждой ее точке. При этом непрерывность в
любой граничной точке области D определяется следующим образом:
функция u  f (M ) непрерывна в граничной точке M 0 если для любого
  0 существует   0 такое, что f ( M ) U ( f ( M 0 ),  ) для любой точки
M  U * (M 0 ,  )  D .
Функция n переменных u  f (M ) , непрерывная в замкнутой ограниченной области D , обладает теми же свойствами, что и функция одной
переменной, непрерывная на отрезке. А именно, в этой области функция
u  f (M ) будет
1) ограничена;
2) достигать своего наибольшего и наименьшего значения;
3) принимать все промежуточные значения между любыми двумя
своими значениями.
7