ТЕОРЕМЫ ЧЕВЫ И МЕНЕЛАЯ

Математика – 10 класс
Мендель Виктор Васильевич,
декан факультета естественных наук,
математики и информационных технологий ДВГГУ
ТЕОРЕМЫ ЧЕВЫ И МЕНЕЛАЯ
Особое место в планиметрии отведено двум замечательным теоремам:
теореме Чевы и теореме Менелая. Эти теоремы не включены в базовую
программу курса геометрии средней школы, но их изучение (и применение)
рекомендуется всем, кто интересуется математикой чуть больше, чем это
возможно в рамках школьной программы. Чем же интересны эти теоремы?
Сначала отметим, что при решении геометрических задач продуктивно
сочетаются два подхода:
- один основан на определении базовой конструкции (например:
треугольник – окружность; треугольник – секущая прямая; треугольник – три
прямых, проходящих через его вершины и пересекающиеся в одной точке;
четырехугольник с двумя параллельными сторонами и т.п.),
- а второй – метод опорных задач (простых геометрических задач, к
которым сводится процесс решения сложной задачи).
Так вот, теоремы Менелая и Чевы относятся к наиболее часто
встречающимся конструкциям: первая рассматривает треугольник, стороны
или продолжения сторон которого пересечены некоторой прямой (секущей),
во второй речь идет о треугольнике и трех прямых, проходящих через его
вершины, пересекающиеся в одной точке.
Теорема Менелая
Эта
теорема
наблюдающуюся
(вместе
для
с
обратной)
отношений
показывает
отрезков,
закономерность,
соединяющих
вершины
некоторого треугольника и точки пересечения секущей со сторонами
(продолжениями сторон) треугольника.
На
чертежах
приведены
два
возможных
случая
расположения
треугольника и секущей. В первом случае секущая пересекает две стороны
треугольника и продолжение третьей, во втором – продолжения всех трех
сторон треугольника.
Теорема 1. (Менелая) Пусть ABC пересечен прямой, не параллельной
стороне АВ и пересекающей две его стороны АС и ВС соответственно в
точках В1 и А1, а прямую АВ в точке С1 тогда
AB1 CA1 BC1


 1.
B1C A1B C1 A
Теорема 2. (обратная теореме Менелая) Пусть в треугольнике АВС точки
А1, В1, С1 принадлежит прямым ВС, АС, АВ соответственно, тогда, если
AB1 CA1 BC1


1
B1C A1B C1 A
,
то точки А1, В1, С1 лежат на одной прямой.
Доказательство первой теоремы можно провести так: на секущую
прямую опускают перпендикуляры из всех вершин треугольника. В
результате получают три пары подобных прямоугольных треугольников.
Фигурирующие в формулировке теоремы отношения отрезков заменяют на
отношения
перпендикуляров,
соответствующих
им
по
подобию.
Оказывается, что каждый отрезок – перпендикуляр в дробях будет
присутствовать дважды: один раз в одной дроби в числителе, второй раз, в
другой дроби, в знаменателе. Таким образом, произведение всех этих
отношений окажется равным единице.
Обратная
теорема
доказывается
методом
«от
противного».
Предполагается, что при выполнении условий теоремы 2 точки А1, В1, С1 не
лежат на одной прямой. Тогда прямая А1В1 пересечет сторону АВ в точке С2,
отличной от точки С1. При этом, в силу теоремы 1, для точек А1, В1, С2 будет
выполняться то же отношение, что и для точек А1, В1, С1. Из этого следует,
что точки С1 и С2 поделят отрезок AB в одинаковых отношениях. Тогда эти
точки совпадут – получили противоречие.
Рассмотрим примеры применения теоремы Менелая.
Пример 1. Доказать, что медианы треугольника в точке пересечения
делятся в отношении 2:1 считая от вершины.
Решение.
Запишем
полученное
в
теореме
соотношение,
Менелая
для
треугольника ABMb и прямой McM(C):
AM c BM M bC


 1.
M c B MM b CA
Первая
дробь
в
этом
произведении
очевидно равна 1, а третья второе
отношение
равно
1
. Поэтому
2
2:1,
что
и
требовалось доказать.
Пример 2. Секущая пересекает продолжение стороны AC треугольника
ABC в точке B1 так, что точка C является серединой отрезка AB1. Сторону
AB эта секущая делит пополам. Найдите, в каком отношении она делит
сторону BC?
Решение. Запишем для треугольника и секущей произведение трех
отношений из теоремы Менелая:
AB1 CA1 BC1


 1.
B1C A1B C1 A
Из условий задачи следует, что первое отношение равно единице, а третье
1
,
2
таким образом, второе отношение равно 2, т.е., секущая делит сторону BC в
отношении 2:1.
Следующий пример применения теоремы Менелая мы встретим, когда
будем рассматривать доказательство теоремы Чевы.
Теорема Чевы
Большинство замечательных точек треугольника могут быть получены
при помощи следующей процедуры. Пусть имеется некоторое правило,
согласно которому мы сможем выбрать определенную точку A1, на стороне
BC (или её продолжении) треугольника ABC (например, выберем середину
этой стороны). Затем построим аналогичные точки B1, C1 на двух других
сторонах треугольника (в нашем примере еще две середины сторон). Если
правило выбора удачное, то прямые AA1, BB1, CC1 пересекутся в некоторой
точке Z (выбор середин сторон в этом смысле, конечно, удачный, так как
медианы треугольника пересекаются в одной точке).
Хотелось бы иметь какой-нибудь общий метод, позволяющий по
положению точек на сторонах треугольника определять, пересекается ли
соответствующая тройка прямых в одной точке или нет.
Универсальное условие, «закрывшее» эту проблему, нашёл в 1678 г.
итальянский инженер Джованни Чева.
Определение. Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на
противолежащих сторонах (или их продолжениях), называют чевианами,
если они пересекаются в одной точке.
Возможны два варианта расположения чевиан. В одном варианте точка
пересечения – внутренняя, а концы чевиан лежат на сторонах треугольника.
Во втором варианте точка пересечения внешняя, конец одного чевиана лежит
на стороне, а у двух других чевиан концы лежат на продолжениях сторон
(смотри чертежи).
Теорема 3. (Прямая теорема Чевы) В произвольном треугольнике АВС на
сторонах ВС, СА, АВ или их продолжениях взяты соответственно точки А1,
В1, С1, такие, что прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в некоторой общей
точке, тогда
BA1 CB1 AC1


1
CA1 AB1 BC1
.
Доказательство: известно несколько оригинальных доказательств теоремы
Чевы,
мы
рассмотрим
доказательство,
основанное
на
двукратном
применении теоремы Менелая. Запишем соотношение теоремы Менелая
первый раз для треугольника ABB1 и секущей CC1 (точку пересечения чевиан
обозначим Z):
AC1 BZ B1C


 1,
C1B ZB1 CA
а второй раз для треугольника B1BC и секущей AA1:
B1Z BA1 CA


 1.
ZB A1C AB1
Перемножив два этих отношения, проведя необходимые сокращения
получим соотношение, содержащееся в утверждении теоремы.
Теорема 4. (Обратная теорема Чевы). Если для выбранных на сторонах
треугольника ABC или их продолжениях точек A1, В1 и C1 выполняется
условие Чевы:
BA1 CB1 AC1


1
CA1 AB1 BC1
,
то прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
Доказательство этой теоремы проводится методом от противного, также, как
доказательство теоремы Менелая.
Рассмотрим примеры применения прямой и обратной теорем Чевы.
Пример 3. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной
точке.
Решение. Рассмотрим соотношение
AC1 BA1 CB1


C1B A1C B1 A
для вершин треугольника и середин его сторон. Очевидно, что в каждой
дроби в числителе и знаменателе стоят равные отрезки, поэтому все эти
дроби равны единице. Следовательно, выполнено соотношение Чевы,
поэтому, по обратной теореме, медианы пересекаются в одной точке.
Задачи для самостоятельного решения
Предлагаемые здесь задачи являются контрольной работой №1 для учащихся
9 классов. Решите эти задачи, запишите решения в отдельную (от физики и
информатики) тетрадь. Укажите на обложке следующую информацию о себе:
1. Фамилия, имя, класс, профиль класса (например: Пупкин Василий,9 кл.,
математический)
2. Индекс, адрес места жительства, электронная почта (если есть), телефон
(домашний или мобильный)
3. Данные о школе (например: МБОУ №1 п. Бикин)
4. Фамилия, И. О. учителя математики (например: учитель математики
Петрова М.И.)
Рекомендуется решить не менее четырех задач.
М 9.1.1. Может ли секущая прямая из теоремы Менелая разрезать стороны
треугольника (или их продолжения) на отрезки длиной:
а) 3, 3, 5, 7,10, 14;
в) 3, 5, 6, 7, 7, 10,
Если такие варианты возможны, приведите примеры. Отрезки могут идти в
разном порядке.
М 9.1.2. Могут ли внутренние чевианы треугольника делить его стороны на
отрезки:
а) 3, 3, 5, 7,10, 14;
в) 3, 5, 6, 7, 7, 10,
Если такие варианты возможны, приведите примеры. Отрезки могут идти в
разном порядке.
Указание: придумывая примеры не забудьте проверить неваенство
треугольника.
М 9.1.3. Используя обратную теорему Чевы докажите, что:
а) биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке;
б)
отрезки,
соединяющие
вершины
треугольника
с
точками
на
противоположных сторонах, в которых эти стороны касаются вписанной
окружности, пересекаются в одной точке.
Указания:
а)
вспомните,
в
каком
отношении
биссектриса
делит
противоположную сторону; б) используйте свойство, что отрезки двух
касательных, проведенные из одной точки к некоторой окружности, равны.
М 9.1.4. Завершите доказательство теоремы Менелая, начатое в первой части
статьи.
М 9.1.5. Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке,
используя обратную теорему Чевы.
М 9.1.6. Докажите теорему Симпсона: из произвольной точки M, взятой на
описанной вокруг треугольника ABC окружности, на стороны или
продолжения сторон треугольника опущены перпендикуляры, докажите, что
основания этих перпендикуляров лежат на одной прямой.
Указание: используйте обратную теорему Менелая. Попробуйте выразить
длины отрезков, используемых в отношениях, через длины перпендикуляров,
проведенных их точки M. Также полезно вспомнить свойства углов
вписанного четырехугольника.