Автореферат диссертации (DOC-файл, 736 КB)

На правах рукописи
Хоанг Тхо Ши
ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ФИЛЬТРЫ
ДЛЯ ОПЕРАТИВНОЙ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ В
НЕЛИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Специальность 05.13.17 – Теоретические основы информатики
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата технических наук
Москва 2007
Диссертация выполнена в Московском
институте (государственном университете).
Научный руководитель –
физико–техническом
заслуженный деятель науки РФ,
доктор технических наук,
профессор Синицын Игорь Николаевич
Официальные оппоненты – доктор физико-математических наук,
профессор Морозов Андрей Николаевич
кандидат технических наук,
старший научный сотрудник
Ушмаев Олег Станиславович
Ведущая организация –
Институт проблем управления РАН (Москва)
Защита диссертации состоится 23 мая 2007 г. в 13 часов на заседании
диссертационного Совета Д002.073.01 при Институте проблем информатики
РАН по адресу: 119333, Москва, ул. Вавилова, 44, корп. 2.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем
информатики РАН.
Отзывы в одном экземпляре, с заверенной подписью, просим
направлять по адресу: 119333, Москва, ул. Вавилова, 44, корп. 2. в
диссертационный Совет.
Автореферат разослан «
» апреля 2007 г.
Председатель
диссертационного Совета Д002.073.01,
доктор технических наук
И.А. Соколов
Общая характеристика работы
Актуальность работы. Как известно 1–3, статистическая информатика
обладает обширным арсеналом эффективных статистических методов
анализа и оперативной (быстрой) обработки информации. Применение
методов статистической информатики сдерживается практически полным
отсутствием доступного для инженера и исследователя эффективного
алгоритмического и программного обеспечения. При этом требуются
нестандартные методы исследования, в первую очередь, одно- и
многомерных распределений процессов в нелинейных стохастических
системах (СтС).
В задачах стандартного анализа качества информационных
технологий
и
систем
обычно
ограничиваются
спектральнокорреляционными характеристиками, в то время как функционирование
систем в экстремальных условиях требует развития нестандартных методов
анализа, основанных на одно- и многомерных распределениях.
Для решения задачи анализа распределений в нелинейных СтС
применяют следующие три принципиально различных подхода.
Первый подход состоит в использовании прямого численного решения
уравнений СтС методом Монте-Карло. Часто этот метод называют методом
статистического моделирования (МСМ). В случае дифференциальных СтС
этот метод сводится к численному интегрированию дифференциальных
уравнений СтС со статистическим моделированием приращений
винеровского процесса и пуассоновских процессов на каждом шаге
интегрирования, а также к статистическому моделированию начальных
условий и последующей статистической обработке полученных реализаций.
При реализации МСМ для нелинейных и параметрических задач ключевой
проблемой является задача разработки стохастических аналогов формулы
Тейлора и специальных вычислительных методов аппроксимации повторных
Синицын И.Н. Из опыта преподавания статистических основ
информации в технических университетах // Системы и средства
информатики: Вып. 8. – М.: Наука. Физмалит. 1996. С.68–73.
2
Пугачев B.C., Синицын И.Н. Теория стохастических систем. – М.:
Изд-во «Логос».2000 (1-е изд.).[пер. на англ. яз. Stochastic Systems. Theory
and Applications. World Scientific, 2001. Singapore], 2004 (2-е изд.).
3
Синицын И.Н. Фильтры Калмана и Пугачева. – М.: Изд-во «Логос».
2006.
1
стохастических интегралов. Слабо развита теория многошаговых численных
схем. К недостаткам МСМ можно отнести необходимость проведения
большого количества моделирования реализаций для получения приемлемой
точности и сильный рост объёмов вычислительных экспериментов с
увеличением размерности вектора состояния, что затруднительно выполнить
оперативно в реальном масштабе времени. Широчайшее использование
МСМ обусловлено небольшой вычислительной трудоёмкостью исследования
СтС и простотой программной реализации МСМ. Кроме того, МСМ
позволяет включать в процесс моделирования некоторые реальные элементы
моделируемой систем или их действующие макеты, а также людей,
участвующих в работе системы. Развитие МСМ применительно к СтС
связано с именами: Авериной Т.А., Артемьева А.А., Вагнера В., Клойдена
П.Е., Платена Е., Кузнецова Д.Ф., Пугачева В.Н., Ньютона Н., Дзагнидзе З.А.
Читашвили Р.Я., Никитина Н.Н., Разевига В.Д., Шюртуа X., Чанга К.К., Райта
Д., Маруама Г., Мильштейна Г.Н., Карпенко А.П., Талая Д., Мачхсоди Я.,
Харриса К., Микулевичуса Р., Хофмана Н., Румелина В., Клаудера Д.
Второй подход состоит в непосредственном составлении и
интегрировании эволюционных функциональных уравнений, например,
уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова, Колмогорова-Феллера и их
обобщений, а также уравнений Пугачева для характеристических функций.
Этот подход позволил найти точные решения для ряда простых СтС. Для
многомерных СтС единственным путем решения эволюционных
функциональных уравнений является численное интегрирование на
высокопроизводительных средствах вычислительной техники (СВТ), в
первую очередь высокопроизводительных ЭВМ, и с использованием GRIDтехнологий. В настоящее время использование рассматриваемого подхода
для задач анализа многомерных СтС даже для высокопроизводительных СВТ
проблематично. Важный вклад внесли: Андронов А.А., Витт А.А., Понтрягин
Л.С, Колмогоров А.Н., Бернштейн С.Н., Пугачев B.C., Гихман И.И.,
Скороход А.В., Закаи М., Уонхэм В.М., Феллер В., Фридман А., Ито К.,
Баррет Р.Ф., Свешников А.А., Мерклингер К.Д., Ширяев А.Н., Лин И.К., Сойз
С., Семенов В.В., Синицын И.Н., Хасьминский Р.З., Арнольд Л., Кушнер
Г.Дж., Рискин X., Стратонович Р.Л., Строк Д.В., Ван-Камиен Р.Г.
Третий подход состоит в применении аналитических методов для
приближенного решения уравнений, определяющих параметры одно- и
многомерных распределений. К их числу относятся методы нормальной
аппроксимации и статистической линеаризации, методы эквивалентной
линеаризации, методы моментов, семиинвариантов, квазимоментов и их
модификации, методы ортогональных разложений и др. Эти методы
позволяют по исходной СтС получить детерминированные уравнения для
параметров распределений. Основной трудностью практического применения
упомянутых методов, особенно для многомерных СтС, является чрезвычайно
быстрый рост числа уравнений для параметров распределений с увеличением
размерности вектора состояния. Сокращение числа уравнений для
параметров распределений возможно только путем введения дополнительных
ограничений на структуру распределения. Существенный вклад в развитие
методов параметризации распределений внесли: Пугачев B.C., Казаков И.Е.,
Бутон Р.К., Богуславский И.А., Липцер Р.Ш., Кузнецов П.И., Малахов А.Н.,
Стратонович Р.Л., Синицын И.Н., Тихонов В.И., Мальчиков С.В.,
Первозванский А.А., Пупков К.А., Альберендт Н., Кемпе Ф., Фокс Р.Ф., Шин
В.И., Мощук Н.К.
Радикальным подходом к сокращению числа уравнений для параметров распределения является подход, основанный на параметризации
структуры распределения. Так, как обнаружено В.И. Синицыным,
радикального сокращения числа уравнений для параметров распределения
удается добиться для эллипсоидальной структуры распределения.
Прикладные статистические методы оперативной обработки
информации в сложных информационно-измерительных и информационных
системах как в условиях нормальной эксплуатации, так и в экстремальных
условиях, доказали свою практическую эффективность. Развитие
статистической информатики идет как в направлении всё большего
усложнения моделей и методов адекватного описания, так и путём создания
современных вычислительных стохастических информационных технологий.
Важнейшей причиной, затрудняющей использование оптимальных методов
оперативной обработки информации в СтС, является, во-первых, отсутствие
необходимой априорной информации и, во-вторых, требование к быстроте
реализации статистических вычислительных технологий. В настоящее время
сформировалось два основанных подхода к синтезу нелинейных фильтров
для оперативной обработки информации в нелинейных СтС: аналитический и
алгоритмический.
В рамках первого подхода, во-первых используются различные
приближённые методы, основанные на численном решении фильтрационных
уравнений (методы нормальной аппроксимации и статистической
линеаризации, методы эквивалентной линеаризации, методы моментов,
квазимоментов, семиинвариантов, ортогональных разложений, метод
эллипсоидальной структурной аппроксимации и др. [3]). Применение этих
методов для задач оперативной обработки информации (on-line оценивания)
практически невозможно. Во-вторых, во многих задачах практически
приемлемые результаты получаются на основе превращения формул для
стохастических дифференциалов оптимальной оценки Xˆ t и апостериорной
ковариационной матрицы ошибки R t в стохастические дифференциальные
уравнения для Xˆ t и R t путем разложения правых частей уравнений в
степенные ряды в окрестности Xˆ t отбрасывания остаточных членов. Этот
способ приводит к уравнениям обобщенного фильтра Калмана – Бьюси,
фильтров второго порядка и др. [3]. Такие фильтры также не полной мере
удобны для задач реального времени. Для задач реального времени В.С.
Пугачевым предложены так называемые условно оптимальные фильтры,
позволяющие проводить априорный синтез простых в реализации фильтров
без использования результатов измерений. Такие нелинейные фильтры
получили название фильтров Пугачева. Развитие теории условно
оптимальной фильтрации Пугачева В.С. для непрерывных стохастических
систем связано с именами Казакова И.Е., Мальчикова С.В., Дашевского М.Л.,
Синицына И.Н., Шина В.И., Силуяновой И.Д., Домбровского В.В., Руденко
Е.А., Rool J.R., Sinha N.K. и др., а для дискретных и непрерывно-дискретных
систем – Казакова И.Е., Синицына И.Н., Шина В.И., Домбровского В.В.,
Панкова А.Р., Борисова А.В., Rool J.R., Sinha N.K. и др.
В рамках алгоритмического подхода широкую известность получим
разнообразные, градиентные, поисковые, обучающиеся адаптивные и
комбинированные походы и технологии. Как правило, такие подходы
допускают применение в задачах реального времени только с учётом
специфики архитектуры высокопроизводительных СВТ и решаемых
функциональных задач.
Для комплесной обработки информации в нелинейных СтС научного и
промышленного назначения, функционирующих в экстремальных условиях и
отказах оборудования, важное значение имеют методы анализа и синтеза
нелинейных фильтров на основе априорной информации без использования
текущей информации. Здесь наряду с фильтрами Пугачева, как показано в
работах Пугачева В.С. и Синицына И.Н. Казакова И.Е. и Гладкова Д.И., О М.
и Шина В.И. [3], если вычислять коэффициенты эквивалентной линеаризации
на основе отрезка пира параметризованной плотности, возможно создание
эффективных квазилинейных фильтров для оперативной обработки
информации. М. О и В.И. Шином [3] разработан квазилинейный фильтр на
основе моментной аппроксимации апостериорного распределения.
Основываясь на работах по эллипсоидальной аппроксимации [2], продолжим
названные исследования для существенно негауссовских нелинейных СтС,
допускающих
эллипсоидальную
линеаризацию
и
статистическую
наблюдаемость. При этом особое внимание уделим разработке алгоритмов и
специального программного обеспечения в среде MATLAB для реализации
стохастической информационной технологии обработки информации.
Цели и задачи работы. Целью диссертации является разработка
методов, алгоритмов и программного обеспечения эллипсоидального анализа
информации в нелинейных стохастических системах.
Для достижения сформулированной цели ставятся следующие
основные задачи:
1) Построить теорию анализа распределений по априорным данным в
непрерывных (дискретных) негауссовских СтС на основе эллипсоидальной
линеаризации.
2) Разработать теорию синтеза квазилинейных фильтров для
оперативной обработки апостериорной информации в непрерывных
(дискретных) гауссовских СтС на основе эллипсоидальной линеаризации.
3) Разработать алгоритмы и экспериментальное программное
обеспечение для эллипсоидального анализа информации в нелинейных СтС.
Методы исследования. В работе использованы современные методы
теории вероятностей и математической статистики, стохастического анализа
и теории стохастических дифференциальных уравнений, теории
оптимального оценивания, вычислительные методы информатики.
Научная новизна. В работе получены новые теоретические результаты
в области статистической информатики, среди которых следует выделить
следующие:
1) Получены уравнения методов эллипсоидальной линеаризации в
непрерывных (дискретных) негауссовских СтС для анализа информации по
априорным данным.
2) Выведены фильтрационные уравнения для эллипсоидальной
обработки информации в непрерывных (дискретных) гауссовских СтС на
основе апостериорных данных.
Практическая ценность работы состоит в том, что она является
основой для создания современных информационных технологий
статистического анализа и синтеза сложных информационно-измерительных
и
информационных систем. На основе результатов исследования
разработаны:
1) Стохастические модели обработки информации в информационноизмерительных системах на основе интерферометра Фабри – Перо.
2) Стохастические модели флуктуаций чандлеровских колебаний
полюса Земли.
Реализация результатов работы. Результаты
диссертации
реализованы в 2-х НИР ИПИ РАН (2005–2007 гг.) и в проекте 1.5 Программы
ОИТВС РАН “Фундаментальные основы информационных технологий и
систем” (2005–2007 гг.).
Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих
международных и всероссийских конференциях:
1. X Международная конференция МАИ «Системный анализ,
управление и навигация», Москва, 2005;
2. XLIX Научная конференция МФТИ «Современные проблемы
фундаментальных и прикладных наук», Москва – Долгопрудный, 2006;
3. XLII Всероссийская конференция РУДН «Математика и
информатика», Москва, 2006;
4. XLIII
Всероссийская
конференция
РУДН
«Оптические,
математические и электронные методы обработки изображений и
сигналов», Москва, 2007.
Публикации. Список публикаций насчитывает 7 названий. Материалы
также опубликованы в 2-х научно-технических отчётах ИПИ РАН.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, шести
разделов, заключения и приложения. Содержание работы изложено на 220
страницах машинописного текста, иллюстрированного 9 рисунками. Список
использованных источников содержит 66 наименования.
Содержание работы
Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована ее
цель, определена научная новизна и практическая ценность работы. Изложены
основные результаты. Раздел 1 посвящен обзору работ и постановке основных
задач.
В разделе 2 приведены сведения, положенные в основу программного
обеспечения эллипсоидальной аппроксимации (ЭА) распределений
случайных векторов.
Предлагается
для
структурной
аппроксимации
плотностей
вероятности конечномерных случайных векторов можно использовать
плотности, имеющие эллипсоидальную структуру, т.е. плотности, у которых
поверхностями уровней равной вероятности являются подобные
концентрические эллипсоиды (эллипсы для двумерных векторов,
эллипсоиды для трехмерных векторов, гиперэллипсоиды для векторов
размерности больше трех). В частности, эллипсоидальную структуру имеет
нормальное (гауссовское) распределение в любом конечномерном
пространстве. Характерная особенность таких распределений состоит в том,
что их плотности вероятности являются функциями положительно
определенной квадратичной формы u = u (x ) = (x T - m T )C (x - m ), где m
– математическое ожидание случайного вектора X , C
положительно определенная матрица.
– некоторая
Для нахождения ЭА плотности вероятности r -мерного случайного
вектора будем пользоваться конечным отрезком разложения по
{p
биортонормальной системе полиномов
r ,n
(u (x )),
}
qr ,n (u (x )) , завися-
щих только от квадратичной формы u = u (x ) , весом для которых служит
некоторая плотность вероятности эллипсоидальной структуры w (u (x )).
Тогда плотность вероятности вектора X может быть приближенно
представлена выражением следующего вида:
é
f (x ) » f * (u ) = w (u ) ê1 +
ê
ë
Выбор системы полиномов
ù
(
)
c
p
u
å r ,n r ,n úú.
n= 2
û
N
{p
r ,n
(u (x )),
(1)
}
qr ,n (u (x )) , используемой
при ЭА плотностей (1), сводится к нахождению биортонормальной системы
полиномов, для которой с весом служит c 2 – распределение с r степенями
свободы. Если ввести систему полиномов, ортогональных по отношению к
c 2 – распределению с r степенями свободы:
n
S r ,n
(u ) =
å
m= 0
(- 1)n + m C nm
(r + 2n - 2)!! m
u ,
(r + 2m - 2)!!
то между полиномами S r ,n (u ) и системой полиномов
(2)
{p
r ,n
(u ),
}
qr , m (u )
имеют место следующие соотношения:
pr ,n (u ) = S r ,n (u ),
qr ,n (u ) =
(r - 2)!!
S r ,n (u ), r ³ 2.
(r + 2n - 2)!!(2n )!!
(3)
Для тестирования разработанного программного обеспечения
(приложение 1) приведены точные и приближенные формулы,
описывающие свойства S r ,n (u ), теоремы об средней квадратической (с.к.)
сходимости разложений плотностей векторов и их проекций по полиномам,
точные и приближенные (укороченные) рекуррентные формулы,
связывающие
старшие
и
младшие
вероятностные
моменты
эллипсоидальных распределений, а также приближенный метод оценки
точности ЭА по моментам четвёртого и шестого порядка.
В разделе 3 применительно к непрерывными (дискретным) СтС
приведены уравнения методов эллипсоидальной аппроксимации (МЭА) и
эллипсоидальной линеаризации (МЭЛ) для одно- и многомерных
распределений.
Предполагается, что эволюция состояния системы (в общем случае
расширенного
вектора
состояния
X ) описывается векторным
стохастическим дифференциальным уравнением Ито вида:
dX = j (X , t )dt + y ¢(X , t )dW 0 +
òR
q
0
y ¢¢(X , t , u )P 0 (t , d u ).
(4)
Здесь j = j (x , t ) и y ¢ = y ¢(x , t )– известные (p ´ 1)– мерная и
(p ´ m )– мерная функции вектора X и времени t ; W 0 = W 0 (t ) - m мерный винеровский случайный процесс интенсивности n 0 = n 0 (t );
y ¢¢(x , t , u ) - (p ´ 1)– мерная функция x , t и вспомогательного (q ´ 1) –
мерного параметра u ;
ò dP
0
(t , A ) – центрированная пауссоновская мера:
D
ò dP
D
где
ò dP (t , A )
0
(t , A ) =
ò dP (t, A) - ò nP (t, A) dt,
D
D
– число скачков пуассоновского процесса в интервале
D
времени D ; nP (t , A )– интенсивность пуассоновского процесса P (t , A ); A
– некоторое борелевское множество пространства R 0q с выколотым началом
координат. Интеграл (4) в общем случае распространяется на все
пространство R 0q с выколотым началом координат. Начальное значение X 0
вектора X представляет собой случайную величину, не зависящую от
приращений винеровского процесса W 0 (t ) и пуассоновского процесса
P (t , A ) на интервалах времени D = (t1, t 2 ], следующих за
t 0 , t 0 £ t 1 £ t 2 , для любого множества A .
Предполагается, что (4) удовлетворяют известным достаточным
условиям Пугачева–Синицына существования многомерных распределений
в терминах характеристических функций [2].
В том случае, когда функции j , y ¢, y ¢¢ в уравнениях (4) зависят
от случайных параметров Q с известным распределением, то путем
T
расширения вектора состояния éX T QT ù , придем к уравнениям вида (4).
ë
û
В основу разработанного при участии диссертанта программного
обеспечения “СтС–фильтр ЭА” положены основанные теоремы об ЭА
одно- и многомерных распределений [2]. В частности, если применить
ЭА (4) для нахождения одномерной плотности вероятности f1 (x ; t ) p мерного случайного процесса X (t ) , определяемого стохастическим
дифференциальным уравнением Ито (4) и принять, что нам известно
распределение начального значения X 0 = X (t 0 ) случайного процесса
X (t ),то одномерную плотность можно представить в виде отрезка
ортогонального разложения по полиномам, зависящим от
квадратичной формы u (x ) = (x T - m T )C (x - m ), где m и K = C - 1
– неизвестное математическое ожидание и ковариационная матрица
случайного процесса X (t ):
ù
(
)
c
p
u
(5)
å p,n p,n úú.
n= 2
û
Здесь w1 (u ) – нормальная плотность p -мерного случайного
вектора. Оптимальные неизвестные коэффициенты разложения c p,n
f1 (x ; t ) @ f1ЭА
é
(u (x )) = w1 (u ) ê1 +
ê
ë
N
определяются
¥
c p, n =
ò f1 (x ; t )qp,n (u )dx =
Mqp,n (U ), (n = 1,..., N ).
(6)
- ¥
Для неизвестных m , K и c p,n при полиномиальных правых частях (4)
на основе типовых интегралов [2] или рекуррентных формул, связывающих
старшие и младшие, моменты составляются автоматически обыкновенные
дифференциальные уравнения. Общее количество уравнений МЭА равно
Q МЭА = Q1MHA + N / 2 - 1 .
Система
полиномов
{p
r ,n
(u ),
}
qr , m (u )
строится
на
основе
ортогональной системы полиномов {S r ,n (u )} согласно формулам (3).
В основу разработанного автором программного обеспечения “СтС–
фильтр ЭЛ” положены следующие теоретические и практические
результаты.
Рассмотрим нелинейную дифференциальную СтС (4) при
следующих условиях:
1) y ¢(X , t ) = y 0¢(t ), y ¢¢(X , t , u ) = y ¢¢(u ), где логарифмическая
производная по времени от нормального (гауссовского) белого шума
V 0 = W&0 и пуассоновского белого шума V P = W&P , определяются
формулами:
c (m; t ) = -
1 T
m n 0 (t )m,
2
ée il T y ¢¢(u ) - 1 - i mT y ¢¢(u )ùn (t , u )d u.
ú
òq êë
ûP
c P (m; t ) =
(7)
R0
Здесь n 0 = n 0 (t ) — интенсивность нормального (гауссовского)
nP = nP (t , u ) = éê¶ m(t , u ) ¶ t ù
d u — интенсивность
ú
ë
û
пуассоновского потока скачков, равных y ¢¢(u ).
j (X , t )
2)
Нелинейная
векторная
функция
допускает
белого шума V 0 , a
эллипсоидальную линеаризацию (ЭЛ) согласно:
j (X , t ) » a 0j (m , K , c1 , t) + a 1j (m, K , c1 , t)( X - m) .
(8)
Здесь a 0j (m , K , c1, t ) и a 1j (m , K , c1, t ) называются соответственно
вектором смещения нуля и матричным коэффициентом усиления ЭЛ.
3) Одномерная плотность f1 (x ; t ) существует и имеет эллипсоидальную структуру вида (5) причём структурные коэффициенты
одномерного эллипсоидального распределения c1 = {cp,n (m , K )} известны,
а первые и вторые моменты m и K неизвестны, причём
f1ЭЛ
(x ; t ) = w1
é
ê
ë
(u ) ê1 +
N
å
n= 2
c p, n p p, n
ù
ú
û
(u )ú,
1
w1 (u ) =
p
(2p ) K
e - u / 2,
c p,n = M ЭЛqp,n (u ), U = (X - m ) K - 1 (X - m ).
T
(9)
Тогда имеет место утверждение.
Теорема 1. Пусть нелинейная нестационарная система (4)
удовлетворяет условиям 1)-3), тогда в основе МЭЛ для одномерной
плотности
с
известными
структурными
коэффициентами
c1 = {cp,n (m , K )} лежат уравнения
m&= a 0j (m , K , c1, t ), m (t 0 ) = m 0 ,
(10)
X&0 = a 1j (m , K , c1, t )X 0 + V , X 0 (t 0 ) = X 00,
(11)
где
N
a 0j
(m , K , c1, t ) = m10 (m , K , t ) +
¥
m1n (m , K , t ) =
cp ,n m1n (m , K , t ),
n= 2
¥
m10 (m , K , t ) =
å
òj
(x , t )w1 (u )dx ,
- ¥
òj
(x , t )p p,n (u )w1 (u )dx ;
(12)
- ¥
N
a 1j
(m , K , c1, t ) = a 10 (m , K , t ) +
òj
¥
a 1, p,n (m , K , t ) =
c p, n a 1, p, n (m , K , t ),
n= 2
¥
a 10 (m , K , t ) =
å
(x , t )(x - m )T K - 1w1 (u )dx ,
- ¥
òj
(x , t )(x - m )T K - 1pp,n (u )w1 (u )dx ;
- ¥
s 0 (t ) = s 0 (t ) +
ò y ¢¢(u )y ¢¢(u )T nP (t )d u,
R 0q
s 0 (t ) = y 0¢(t )n 0 (t )y 0¢(t )T .
(13)
Количество уравнений для параметров n -мерного распределения
QnМЭЛ
= np (np + 3)/ 2.
В основе нелинейной спектрально-корреляционной теории процессов в
стационарной нелинейной системе (4), основанной на
МЭЛ,
лежат уравнения
T
j
%
%
%
%
%
a 1j (m%, K%, c%
K
+
K
a
m
,
K
,
c
1)
1 (
1 ) + s 0 = 0,
- 1
F (s, a 1j ) = - (a 1j - I ps ) .
(14)
(15)
*
sx (w, a 1j ) = F (i w, a 1j )sV F (i w, a 1j )
(16)
при условии асимптотической устойчивости описывающей функции (15).
Получены уравнения МЭЛ для дискретных СтС.
В разделе 4 приведены уравнения квазилинейного фильтра,
основанного на МЭЛ для непрерывных (дискретных) СтС.
Рассмотрим сначала непрерывную нестационарную динамическую
систему, определенную стохастическим дифференциальным уравнением
Ито:
X&t = j 0 (X t , t ) + y (t )V 1, t ³ t 0,
(17)
Наблюдаемый процесс Z t = Z (t ) определен следующим видом:
Z t = Y&
t = j 1 (X t , t ) + V 2 ,
(18)
где X t Î ¡ n X – вектор состояния системы; Z t Î ¡ n Z – вектор
наблюдаемого случайного процесса; j 0 = j 0 (X t , t ) и j 1 = j 1 (X t , t ) –
известные
векторные
функции,
отображающие
пространство
nX
nZ
nZ
nX
¡ ´ ¡ ´ ¡ соответственно в пространства ¡
и ¡ ; y = y (t ) –
(n X ´
nV 1 ) матричная функция; V 1 Î ¡
nV1
, V 1 = dW 1 / dt , V 2 Î ¡
nV 2
,
V 2 = dW 2 / dt , V 1 и V 2 – независимые нормальные белые шумы с матрицами
интенсивностей n1 и n2 соответственно.
Требуется найти оценку X̂ (t ) вектора состояния X = X (t ) системы
в любой момент t > t 0 по результатам непрерывного наблюдения процесса
Z (t ) в интервале времени éêt 0 , t ù
, Z tt0 = {Z (t ) : t 0 £ t £ t }.
ú
ë
û
Для дискретных нелинейных стохастических систем уравнения
состояния (17) и наблюдения (18), описываются следующими
стохастическими разностными уравнениями вида:
X l + 1 = j l (X l ) + y lV 1,l ,
Yl = j
1,l
(19)
(X l ) + V 2,l , l > 1.
(20)
Для непрерывной СтС (17) и (18) имеют место следующие
теоремы.
Теорема 2. Пусть уравнения стохастической дифференциальной
системы (17) и (18) допускают применение МЭЛ т. е. эквивалентны
следующей нелинейной системе уравнений для математических ожиданий
m&x = a 0j 0 (m x , K x , c1, t ),
m z = a 0j 1 (m x , K x , c1, t ),
и
X t0
линейных
уравнений
= X t - mx и
Z t0
для
= Zt - m z :
(21)
центрированных
составляющих
X&t0 @ a 1j 0 (m x , K x , c1, t )X t0 + y (t )V 1,
Z t0 @ a 1j 1 (m x , K x , c1, t )X t0 + V 2
(22)
и стохастически наблюдаемы [3].
Предположим, что апостериорная плотность распределения имеет
эллипсоидальную
структуру
вида
(9),
а
коэффициенты
ЭЛ
j0
j0
j1
j1
j0
j0
a 0 = a 0 (m x , K x , c1, t ), a 0 = a 0 (m x , K x , c1, t ), a 1 = a 1 (m x , K x , c1, t )
и a 1j 1 = a 1j 1 (m x , K x , c1, t )
соответственно
определяются
формулами
(12)
–
(13)
N
a 0j 0
=
j0
m10
(m x , K x , c1, t ) +
¥
j0
m10
(m x , K x , c1, t ) =
¥
m1j n0 (m x , K x , c1, t ) =
å
c p, n m1j n0 (m x , K x , c1, t ),
n= 2
ò j 0 (x, t )w1 (u )dx,
- ¥
ò j 0 (x , t )pp,n (u )w1 (u )dx ;
- ¥
(23)
N
a 0j 1
=
j1
m10
(m x , K x , c1, t ) +
å
c p,n m1j n1 (m x , K x , c1, t ),
n= 2
¥
j1
m10
(m x , K x , c1, t ) =
ò j 1 (x, t )w1 (u )dx,
- ¥
¥
ò j 1 (x , t )pp,n (u )w1 (u )dx ;
m1j n1 (m x , K x , c1, t ) =
(24)
- ¥
N
a 1j 0
=
j0
a 10
(m x , K x , c1, t ) +
ò
(m x , K x , c1, t ) =
T
j 0 (x , t )(x - m x ) K x- 1w1 (u )dx ,
- ¥
¥
a 1,j p0 ,n
c p,n a 1,j p0 ,n (m x , K x , c1, t ),
n= 2
¥
j0
a 10
(m x , K x , c1, t ) =
å
ò j 0 (x , t )(x -
T
m x ) K x- 1p p, n (u )w1 (u )dx ; (25)
- ¥
N
a 1j 1
=
j1
a 10
(m x , K x , c1, t ) +
¥
j1
a 10
(m x , K x , c1, t ) =
¥
a 1,j 1p,n
(m x , K x , c1, t ) =
ò
ò
å
c p, n a 1,j 1p, n (m x , K x , c1, t ),
n= 2
T
j 1 (x , t )(x - m x ) K x- 1w1 (u )dx ,
- ¥
T
j 1 (x , t )(x - m x ) K x- 1p p, n (u )w1 (u )dx . (26)
- ¥
Тогда фильтрационные уравнения эллипсоидального квазилинейного
фильтра (ЭКЛФ) для системы (21) – (22) относительно центрированных
переменных имеют следующий вид:
&
Xˆ t0 = a 1j 0 Xˆ t0 + bt (Z t - a 1j 1 Xˆ t0 ),
(27)
где матричный коэффициент усиления определяется формулой
bt = R t a 1j 1T n2- 1,
(28)
а ковариационная матрица ошибки удовлетворяет дифференциальному
уравнению Риккати
R&t = a 1j 0 R t + R t a 1j 0T + y n1y T - R t a 1j 1T n2- 1a 1j 1 R t
(29)
при начальных условиях
Xˆ (t 0 ) = Xˆ 0 = M МЭЛ [X 0 | Z 0 ],
R (t 0 ) = R 0 = M МЭЛ éê(X 0 - Xˆ 0 )(X 0T - Xˆ 0T ) | Z 0 ù
.
ú
ë
û
(30)
Теорема 3. В условиях теоремы 2 фильтрационные уравнения
эллипсоидального квазилинейного фильтра (ЭКЛФ) для нецентрированных
переменных X t = X t0 + m x , Z t = Z t0 + m z имеют следующий вид:
&
Xˆ t = (a 1j 0 Xˆ t - a 1j 0 m x + a 0j 0 ) + bt (Z t - a 1j 1 Xˆ t + a 1j 1m x - a 0j 1 ),
(31)
где bt и R t определяются уравнениями (28) и (29) при начальных условиях
(30).
Замечание. В случае стационарной системы (17) и (18) в
установившемся режиме уравнение Риккати (29) переходит в
алгебраическое уравнение Риккати, если положить R&
t = 0.
Для дискретной СтС (19) и (20) справедлива теорема 4.
Теорема 4. Пусть уравнения дискретной СтС (19) и (20) допускают
применение МЭЛ и эквивалентны следующей системе уравнений для
математических ожиданий
m x ,l + 1 = aˆ 0,j 0l = m x ,l + a 0,j 0l (m x ,l , K x ,l , c1,l ),
m y ,l = a 0,j 1l (m x ,l , K x ,l , c1,l )
(32)
и уравнения для центрированных составляющих X l0 = X l - m x ,l :
X l0+ 1 @F l + 1,l (m x ,l , K x ,l , c1,l )X l0 + y lV 1,l ,
Y l 0 @a 1,j l1 (m x ,l , K x ,l , c1,l )X l0 + V 2,l ,
(33)
где F l + 1,l = I + a 1,j l0 , I – единичная матрица.
Предположим, что апостериорная плотность распределения имеет
эллипсоидальную структуру вида
f1ЭЛ
é
(x l ) » w1 (ul ) êê1 +
ë
ù
å cp,n,l pp,n (ul )úú,
n= 2
û
N
(34)
где c p,n,l – известные параметры, определяющие эллипсоидальную
структуру негауссовского распределения, w1 (u )– эталонное нормальное
распределение
w1 (ul ) =
При
этом
1
p
(2p ) K x ,l
коэффициенты
a 0,j 1l = a 0,j 1l (m x ,l , K x ,l , c1,l ),
exp (- ul / 2).
(35)
a 0,j 0l = a 0,j 0l (m x ,l , K x ,l , c1,l ),
ЭЛ
a 1,j l0 = a 1,j l0 (m x ,l , K x ,l , c1,l )
и
a 1,j l1 = a 1,j l1 (m x ,l , K x ,l , c1,l ) имеют следующий вид:
N
a 0,j 0l
(m x ,l , K x ,l , c1,l ) + å
j0
m10,
l
=
c p, n,l m1j n0,l (m x ,l , K x ,l , c1,l ),
n= 2
j0
m10,
l (m x ,l , K x ,l , c1,l ) = Mw1 j
m1j n0,l (m x ,l , K x ,l , c1,l ) = Mw1 éëj
0,l
0,l
(xl ),
(xl )pp,n (ul )ùû;
(36)
N
a 0,j 1l
j1
m10,
l
=
(m x ,l , K x ,l , c1,l ) + å
cp, n,l m1j n1,l (m x ,l , K x ,l , c1,l ),
n= 2
j1
m10,
l (m x ,l , K x ,l , c1,l ) = Mw1 j
1,l
(xl ),
m1j n1,l (m x ,l , K x ,l , c1,l ) = Mw1 éëj 1,l (xl )pp,n (ul )ù
û;
(37)
N
a 1,j l0
=
j0
a 10,
l
(m x ,l , K x ,l , c1,l ) + å
c p,n,l a 1,j p0 ,n,l (m x ,l , K x ,l , c1,l ),
n= 2
j0
éj (x ) x - m T K - 1 ù,
a 10,
m
,
K
,
c
=
M
(
)
l
x ,l
x ,l 1,l
w1 ê 0,l
l ( l
x ,l )
x ,l ú
ë
û
T
a 1,j p0 ,n,l (m x ,l , K x ,l , c1,l ) = Mw1 éêj 0,l (xl )(xl - m x ,l ) K x-,l1pp, n (ul )ù
;
ú
ë
û
N
a 1,j l1
=
j1
a 10,
l
(m x ,l , K x ,l , c1,l ) + å
n= 2
c p, n,l a 1,j 1p, n,l (m x ,l , K x ,l , c1,l ),
(38)
j1
éj (x ) x - m T K - 1 ù,
a 10,
m
,
K
,
c
=
M
(
)
l
x ,l
x ,l 1,l
w1 ê 1,l
l ( l
x ,l )
x ,l ú
ë
û
T
a 1,j 1p,n,l (m x ,l , K x ,l , c1,l ) = Mw1 éêj 1,l (xl )(x l - m x ,l ) K x- ,l1pp,n (ul )ù
. (39)
ú
ë
û
Здесь символ Mw1 обозначает вычисление математического
ожидания при эталонном нормальном распределении w1 (ul ).
Тогда уравнения дискретного ЭКЛФ для дискретной линейной СтС
(32) – (33) относительно центрированных переменных имеют следующий
вид:
Xˆ l0+ 1|l = Fl + 1,l Xˆ l0|l =
= Fl + 1,l Xˆ l0|l - 1 + Fl + 1,l Rl|l - 1a 1,j l1T ´
- 1
´ (a 1,j l1 Rl|l - 1a 1,j l1T + n2,l )
a 1,j l1 Xˆ l0|l - 1 ),
(Y l 0 -
Xˆ l0|l = Xˆ l0|l - 1 + bl (Y l 0 - a 1,j l1 Xˆ l0|l - 1 ),
(40)
(41)
Xˆ l00|- 1 = Xˆ l00 = 0.
(42)
Здесь введены следующие обозначения:
- 1
bl = Rl|l - 1a 1,j l1T (a 1,j l1 Rl|l - 1a 1,j l1T + n2,l ) ,
(43)
Rl + 1|l = Fl + 1,l Rl|l F Tl + 1,l + y l n1,l y lT =
= Fl + 1,l Rl|l - 1F Tl + 1,l - Fl + 1,l Rl|l - 1a 1,j l1T ´
- 1
´ (a 1,j l1 Rl|l - 1a 1,j l1T + n2,l ) a 1,j l1 Rl|l - 1F Tl + 1,l + y l n1,l y lT ,
(44)
T
Rl|l = (I - bl a 1,j l1 )Rl|l - 1 (I - bl a 1,j l1 ) + bl n1,l blT a 1,j l1T =
= Rl|l - 1 - bl a 1,j l1 Rl|l - 1,
(45)
0
Rl0|- 1 = Rl0 = K X 0 ,
где
(46)
Rl|l = MX%l0|l X%l0|lT , Rl|l - 1 = MX%l0|l - 1X%l0|lT- 1,
X%l0|i = X l0 - Xˆ l0|i .
(47)
(48)
В разделе 5 дано решение задачи анализа и фильтрации для
нелинейных процессов в интерферометре Фабри – Перо.
Построены квазилинейные стохастические модели обработки
информации по априорным данным в нелинейном интерферометре Фабри –
Перо на основе МСЛ и МЭЛ. Показано, что точность расчётов по МЭЛ по
сравнению с МСЛ повышается в 1,5 – 2 раза и составляет 1– 2%.
Получены аналитические выражения для эффективных собственных
частот регулярных колебаний и статистических характеристик флуктуаций.
Эти выражения использованы для выбора оптимальных параметров
интерферометра. Они позволяют избежать вычисления сложных
эллиптических интегралов.
Построены гауссовские и эллипсоидальные квазилинейные фильтры
для обработки информации по апостериорным данным.
Проведена оценка точности эллипсоидальных фильтров с помощью
обобщенного фильтра Калмана – Бьюси (ОФКБ) и фильтра второго порядка.
Эллипсоидальные фильтры целесообразно использовать только при
больших коэффициентах негауссовости (свыше 30%).
В последнем разделе 6 разработаны стохастические модели
флуктуаций чандлеровских автоколебаний полюса Земли на основе
априорных данных для нелинейного обобщенного релеевского механизма
диссипации с учётом трехчленной полиномиальной модели диссипации.
Изучены основные вопросы статистической динамики автоколебаний
полюса Земли.
Разработаны квазилинейные стохастические модели флуктуаций
полюса Земли на основе апостериорной информации. Оценена точность
квазилинейных моделей с помощью моделей ОФКБ и фильтра второго
порядка.
Заключение содержит основные выводы и положения, выносимые на
защиту.
В приложения вынесен поясняющий вспомогательный материал.
Заключение
На защиту выносятся следующие основные результаты:
1) Метод эллипсоидальной линеаризации (МЭЛ) одно- и
многомерных распределений в непрерывных и дискретных нелинейных
негауссовских стохастических системах.
2) Теория синтеза квазилинейных фильтров на основе эллипсоидальной линеаризации для оперативной обработки апостериорной
информации в непрерывных и дискретных гауссовских стохастических
системах.
3) Стохастические модели обработки информации в измерительных
системах на основе интерферометра Фабри – Перо.
4) Стохастические модели флуктуаций чандлеровских автоколебаний полюса Земли на основе априорных данных для обобщенного
релеевского механизма диссипации с учётом трехчленной полиномиальной
модели диссипации.
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1. Синицын И.Н., Синицын В.И., Чумин Ю.В., Хоанг Тхо Ши.
Аналитическое моделирование выбросов в нелинейных стохастических
системах, допускающих эллипсоидальную аппроксимацию распределений
// Тезисы докладов 10-й международной конференции “Системный анализ,
управление и навигация”. – М.: Изд. МАИ. 2005. С. 149. (Результаты по
аналитическому моделированию на основе метода эллипсоидальной
линеаризации).
2. Синицын И.Н., Синицын В.И., Корепанов Э.Р., Хоанг Тхо Ши. Методы
эквивалентной
параметрической
линеаризации
нелинейных
стохастических систем и их применение // Ежегодник ИПИ РАН.
Специальный выпуск. “Математические модели и методы информатики,
стохастические технологии и системы”. – М.: Изд. ИПИ РАН. 2005.
С.5–30. (Метод эквивалентной эллипсоидальной параметрической
линеаризации нелинейных непрерывных стохастических систем).
3. Хоанг Тхо Ши. Эллипсоидальный анализ одномерных распределений в
многолучевом интерферометре Фабри – Перо // Сборник научных трудов
XLIX научной конференции МФТИ – Факультет радиотехники и
кибернетики “Современные проблемы фундаментальных и прикладных
наук”. Москва – Долгопрудный, 24–25 ноября 2006. С. 108–109.
4. Синицын И.Н., Корепанов Э.Р., Белоусов В.В., Хоанг Тхо Ши. Методы
эквивалентной линеаризации нелинейных стохастических систем
высокой добротности // Тезисы докладов XLII всероссийской
конференции “Математика и информатика”. – М.: Изд. РУДН. 2006.
С.18. (Комбинированный метод эквивалентной эллипсоидальной
линеаризации нелинейных непрерывных стохастических систем и метод
осреднения).
5. Синицын И.Н., Синицын В.И., Хоанг Тхо Ши. Теория квазилинейной
эллипсоидальной фильтрации в стохастических системах // Тезисы
докладов
XLIII
всероссийской
конференции
“Оптические,
математические и электронные методы обработки изображений и
сигналов”. – М.: Изд. РУДН. 2007. С.21. (Теория дискретной
квазилинейной
эллипсоидальной
фильтрации
в
нелинейных
непрерывных стохастических системах).
6. Марков Ю.Г., Перепёлкин В.В., Синицын И.Н., Корепанов Э.Р., Хоанг
Тхо Ши. Амплитудно-частотный анализ чандлеровских колебаний
полюса Земли // Космические исследования. 2007. Т.45. №3. С.52–68.
(Амплитудно-частотный анализ чандлеровских автоколебаний для
трехчленной обобщенной релеевской модели диссипации).
7. Синицын И.Н., Синицын В.И., Хоанг Тхо Ши. Эллипсоидальные
квазилинейные фильтры для оперативной обработки информации в
стохастических системах // Наукоемкие технологии. 2007 (в печати).
(Теория квазилинейных эллипсоидальных фильтров на основе метода
эллипсоидальной линеаризации).