Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный
реклама
Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и человека «Дубна» (университет «Дубна») УТВЕРЖДАЮ проректор по учебной работе ____________ С.В. Моржухина «_____»___________2013 г. ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Теория вероятностей (наименование дисциплины) по направлению (специальности) 081100 Государственное и муниципальное управление (№, наименование направления, специальности) Форма обучения: очная Уровень подготовки: бакалавр Курс (семестр): 2 курс (3 семестр) г. Дубна, 2013г. 1.Цель освоения дисциплины Изучение курса «Теория вероятностей и математическая статистика» предназначено: для формирования и усвоения знаний, умений, навыков в области экономической теории и практики, которые необходимы для работы в государственных и частных структурах, а также развития профессиональных для выполнения функциональных необходимых качеств, компетенций, обязанностей в сфере государственного и муниципального управления. 2.Основные задачи преподавания дисциплины: • ознакомление студентов с основными концепциями теории вероятностей и прикладной статистики, • раскрытие роли вероятностно-статистического инструментария в экономических исследованиях, • изучение основных понятий вероятностного анализа, таких как случайные события и вероятности их осуществления, случайные величины и распределения, а также основных теорем теории вероятностей; изучение основ статистического описания данных, постановок и методов решения фундаментальных задач математической статистики, таких как задача оценивания, задача проверки гипотез; изучение основ анализа парных зависимостей, • формирование вероятностной интуиции, опирающейся на теоретические знания, развитие навыков постановки и решения прикладных задач статистического анализа, • демонстрация математической обоснованности ряда процедур вероятностного и статистического анализа и понимание границ их применимости, • привитие практических навыков в использовании математических методов вероятностного и статистического анализа к постановке и решению задач, возникающих из экономической практики. 2.Место дисциплины в структуре ООП: Дисциплина «Теория вероятностей» (Б2.Б.3)является обязательным курсом базового компонента математического и естественнонаучного цикла учебного плана специальности 081100 «Государственное и муниципальное управление» для студентов, обучающихся на кафедре «Государственное и муниципальное управление» по образовательным программам бакалавра. Дисциплина является студентами кафедры модельным прикладным аппаратом для изучения государственного и муниципального управления математической компоненты своего профессионального образования. Дисциплина «Теория вероятностей» содержит базовый материал многих математических методов, знание которых необходимо при освоении технологий принятия управленческих решений. Перечень дисциплин, усвоение которых студентами необходимо для изучения дисциплины «Теория вероятностей»: Математический анализ Линейная алгебра Изучение дисциплины «Теория вероятностей»: дает основу для изучения последующих курсов управленческого профиля: Сатистика Методы принятия управленческих решений Основы математического моделирования социально-экономических процессов Прогнозирование и планирование Планирование и проектирование организаций Региональное управление и территориальное планирование 3.Требования к результатам освоения дисциплины В результате изучения курса студенты должны ЗНАТЬ: основные определения и понятия теории вероятностей и математической статистики; основы методики применения вероятностных и статистических методов; содержание теоретико-вероятностного способа рассуждений в прикладной статистике и эконометрике; основные типы распределений вероятностей, используемых в статистическом анализе; прикладные аспекты предельных теорем теории вероятностей, в том числе :применительно к теории оптимального оценивания и оптимальной проверки гипотез. УМЕТЬ: свободно производить аналитические действия со случайными событиями и вероятностями их осуществления; свободно производить аналитические действия со случайными величинами и их характеристиками; интерпретировать аналитические результаты вероятностного анализа в терминах качественного поведения случайных величин, статистических критериев и статистических оценок; рассчитывать численные значения теоретически обоснованных процедур, в том числе : применять методы статистического и вероятностного анализа в задачах, возникающих из экономической практики. ВЛАДЕТЬ: основными аналитическими приемами вероятностного и статистического анализа; методиками проведения расчетов, включая применение асимптотических методов; навыками численного расчета основных характеристик, возникающих при проведении вероятностного и статистического анализа в задачах, возникающих из практики. ИМЕТЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ: об основах применения математико-статистического инструментария в исследовании социально-экономических объектов, в анализе реальных стати- стических данных, возникающих при наблюдении за социально- экономическим объектом о предмете и методах аналитической теории вероятностей, включая закономерности, возникающие при взаимодействии большого числа зависимых и независимых случайных факторов. Требования к результатам освоения содержания дисциплины: В результате освоения дисциплины студент должен обладать следующим комплексом компетенций в соответствии с ФГОС ВПО и ООП ВПО по данному направлению подготовки (специальности): а) общекультурных (ОК): ОК-4 ОК-8 б) профессиональных (ПК): ПК-5 ПК-17 ПК-18 ПК-23 ПК-26 ПК-27 ПК-31 Компетенции студента, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля) Результат обучения Знать: основные определения и понятия теории вероятностей и математической статистики основы методики применения вероятностных и статистических методов содержание теоретиковероятностного способа рассуждений в прикладной статистике и эконометрике основные типы распределений вероятностей, используемых в статистическом компетенция Образовательная технология Вид задания ОК-4 ПК-5 ПК-17 Л1,С1,ДЗ,КР,экзамен ДЗ,КР,экзамен ОК-8 ПК-5 ПК-17 Л1,Л6,С1,С6,ДЗ, КР,ПР, экзамен ДЗ,КР,ПР,экзаме н ОК-4 ПК-17 Л8,С9,ДЗ,КР,ПР , экзамен ДЗ,КР,ПР,экзаме н ОК-4 ПК-5 Л4,С3,С4,ДЗ,КР,ПР, экзамен ДЗ,КР,ПР,экзаме н анализе прикладные аспекты предельных теорем теории вероятностей, в том числе: ОК-8 ПК-5 ПК-17 ПК-18 С8,Л8,ДЗ,КР,ПР, экзамен ДЗ,КР,ПР,экзаме н ОК-8 ПК-23 ПК-26 Л1-Л5,С1-С4,ДЗ,КР,ПР, экзамен ДЗ,КР,ПР,экзаме н ОК-8 ПК-23 ПК-31 ПК-27 С1-С9,ДЗ,КР,ПР, экзамен ДЗ,КР,ПР,экзаме н ОК-8 ПК-17 ПК-23 ПК-31 Л2,Л4,Л7,Л8,С7,С8,ДЗ,КР,ПР,, экзамен ДЗ,КР,ПР,экзаме н ОК-8 ПК-5 ПК-17 ПК-23 С8,ДЗ,КР,ПР,экзамен ДЗ,КР,ПР,экзаме н применительно к теории оптимального оценивания и оптимальной проверки гипотез. Уметь: свободно производить аналитические действия со случайными событиями и вероятностями их осуществления свободно производить аналитические действия со случайными величинами и их характеристиками, уметь оперировать с наиболее употребимыми в практике статистических исследований законами распределений интерпретировать аналитические результаты вероятностного анализа в терминах качественного поведения случайных величин, статистических критериев и статистических оценок рассчитывать численные значения теоретически обоснованных процедур, в том числе — уметь рассчитать численно значения статистических оценок при заданных выборочных значениях применять методы статистического и вероятностного анализа в задачах, возникающих из экономической практики ОК-8 ОК-4 ПК-23 ПК-26 ПК-27 ПК-31 С9,ДЗ,КР,ПР,экзамен ДЗ,КР,ПР,экзаме н ОК-8 ПК-5 ПК-17 ПК-27 Л1-Л8,ДЗ,КР,ПР, экзамен ДЗ,КР,ПР,экзаме н ОК-8 ПК-18 С1-С9,ДЗ,КР,ПР, экзамен ДЗ,КР,ПР,экзаме н ОК-8 ПК-18 ПК-23 Л6,Л7,Л8,Л9,С3,С5,С6,С7,КР,П Р,ДЗ, экзамен ДЗ,КР,ПР,экзаме н ОК-4 ОК-8 ПК-5 С1,С2,С3,Л1,Л4,ДЗ, экзамен ДЗ,экзамен Владеть: основными аналитическими приемами вероятностного и статистического анализа методиками проведения расчетов, включая применение асимптотических методов навыками численного расчета основных характеристик, возникающих при проведении вероятностного и статистического анализа в задачах, возникающих из экономической практики Иметь представление: о предмете и методах аналитической теории вероятностей, включая закономерности, возникающие при взаимодействии большого числа зависимых и независимых случайных факторов ОК-4 ОК-8 ПК-17 ПК-18 ПК-23 об основах применения математикостатистического инструментария в исследовании социальноэкономических объектов, в анализе реальных статистических данных, возникающих при наблюдении за социальноэкономическим объектом. Л1,Л4,ДЗ, экзамен ДЗ,экзамен 4.4 Содержание и структура дисциплины В подразделе «Содержание разделов дисциплины» в табличной форме (таблица 1) приводится описание содержания дисциплины, структурированное по разделам, с указанием по каждому разделу формы текущего контроля: семинар (С), защита практической работы (ПР), расчетно-графического задания (РГЗ), домашнего задания (ДЗ), написание реферата (Р), эссе (Э), коллоквиум (К), рубежный контроль (РК). Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы 108 учебных часов. № Наименование раздела раздела 1 2 1 Теория вероятностей Содержание раздела Форма текущего контроля 3 Введение в курс: теория вероятностей, математическая 4 С, ,КР,ПР,ДЗ статистика, теория риска, случайные процессы, эконометрика и многомерный статистический анализ, их взаимосвязь и роль в экономических исследованиях. Правила действий со случайными событиями и вероятностями их осуществления. Случайные величины, распределения вероятностей и основные числовые характеристики (включая многомерный случай). Распределения вероятностей, наиболее распространенные в социально-экономических исследованиях. Основные результаты ТВ: преобразования случайных величин, неравенство Чебышева, закон больших чисел, центральная предельная теорема. 2 Основы Основы статистического математической описания: генеральная статистики совокупность, выборка, основные выборочные характеристики и анализ их поведения, статистика нормального закона, вариационный ряд и порядковые статистики. Статистическое оценивание параметров, статистики, статистические оценки и их свойства. Функция правдоподобия наблюдений: количество информации, содержащейся в n наблюдениях относительно неизвестного значения параметра. Статистическое оценивание параметров: неравенство С,ДЗ,КР,ПР информации, методы оценивания, построение интервальных оценок. Статистическая проверка гипотез: основные типы статистических критериев, их общая логическая схема, лемма Неймана-Пирсона о наиболее мощном критерии, критерии согласия, однородности и др. Статистический анализ парных зависимостей. Распределение трудоемкости в часах по всем видам аудиторной и самостоятельной работы студента в семестре Вид работы Общая трудоемкость Аудиторная работа: Лекции (Л) Практические занятия (ПЗ) Самостоятельная работа: Реферат (Р) Эссе (Э) Самостоятельное изучение разделов Самоподготовка (проработка и повторение лекционного материала и материала учебников и учебных пособий, подготовка к семинарам, практическим занятиям, рубежному контролю и т.д.) Подготовка и сдача экзамена1 Вид промежуточного контроля Трудоемкость, часов 3 Всего семестр 108 108 34 34 17 17 17 17 21 21 54 экзамен 4.1. Структура преподавания дисциплины 1 При наличии экзамена по дисциплине 54 1. Теория вероятностей 2. Математическая статистика Промежуточная аттестация Л1-Л8,С160 % С4,ДЗ,КР,П Р Л9-Л16,С5- 60 % С8,ДЗ,КР, ПР 1-8 8 7 2 10 9-16 9 7 1 11 17 Тематический план освоения дисциплины «Теория вероятностей»: Раздел 1.Теория вероятностей Тема 1.Введение в курс: теория вероятностей, математическая статистика, теория риска, случайные процессы, эконометрика и многомерный статистический анализ, их взаимосвязь и роль в экономических исследованиях. Тема 2.Правила действий со случайными событиями и вероятностями их осуществления. Тема3.Случайные величины, распределения вероятностей и основные числовые характеристики (включая многомерный случай). Тема 4.Распределения вероятностей, наиболее распространенные в социально-экономических исследованиях. Тема5.Основные результаты ТВ: преобразования случайных величин, неравенство Чебышева, закон больших чисел, центральная предельная теорема. Раздел 2.Основы математической статистики Тема 6.Основы статистического описания: генеральная совокупность, выборка, основные выборочные характеристики и анализ их поведения, статистика нормального закона, вариационный ряд и порядковые статистики. Тема 7.Статистическое оценивание параметров, статистики, статистические оценки и их свойства. Функция правдоподобия наблюдений: количество информации, содержащейся в n наблюдениях относительно неизвестного значения параметра. Статистическое оценивание параметров: неравенство информации, методы оценивания, построение интервальных оценок. Тема 8.Статистическая проверка гипотез: основные типы статистических критериев, их общая логическая схема, лемма Неймана-Пирсона о наиболее мощном критерии, критерии согласия, однородности и др. Статистический анализ парных зависимостей. Самостоятель ная раб студ Лекции Семинары Практические работы Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах) Объем учебной работы с применением интерактивных методов (в %) Неделя семестра Содержание раздела Форма текущего контроля № п / п 5 Образовательные технологии В учебном процессе, помимо чтения лекций широко используются активные и интерактивные формы (обсуждение отдельных разделов дисциплины, защита курсовых работ). В сочетании с внеаудиторной работой это способствует формированию и развитию профессиональных навыков обучающихся. Для закрепления знаний студентов, по всем разделам курса проводятся практические занятия, целью которых является формирование первых навыков самостоятельной работы. Формы работы студентов: программа курса предусматривает лекционные и активные формы и семинарские занятия. Широкое использование в учебном процессе активных и интерактивных форм занятий в сочетании с внеаудиторной работой проводится с целью формирования и развития требуемых компетенций обучающихся. К самостоятельной работе студента относится подготовка к семинарам, контрольным работам в форме практических аудиторных и домашних заданий. Перечень обязательных видов работы студента: посещение лекционных занятий; ответы на теоретические вопросы на семинаре; решение практических задач и заданий на семинаре; выполнение контрольных работ; выполнение домашних работ: выполнение домашних практических работ; коллоквиумы по отдельным темам; Интерактивные образовательные технологии, используемые в аудиторных занятиях Вид занятия Количество Используемые интерактивные Семестр образовательные технологии (Л, ПР, часов ЛР) 5 Л Видеопрезентация 95 % С, ПР Работа по индивидуальному заданию, подготовка докладов, коллоквиумы, практические работы, подготовка к семинарским занятиям 50% Л видеопрезентация 95 % С, ПР Работа по индивидуальному заданию, подготовка докладов, практические работы, подготовка к семинарским занятиям, работа в группах. 50% 100 % 100 % При изучении теоретического курса на лекциях предусматривается заложение материала в виде презентации. Некоторые разделы теоретического курса изучаются с использованием опережающей самостоятельной работы: студенты получают задания на ознакомление с новым материалом до его изложения на лекциях Семинарские занятия призваны закрепить теоретические знания студентов и познакомить их с методами решения конкретных задач. Семинарские занятия проводятся в специализированном кабинете. Темы семинарских занятий: № семинарских занятий Название темы семинарского занятия С1 Случайные события и правила действий с ними. Вероятности и правила действий с ними. Вероятностное пространство. Условная вероятность. Независимость событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Непрерывное вероятностное пространство. Аксиоматика Колмогорова. Понятие о случайных величинах, примеры случайных величин. Типы случайных величин. Законы распределения случайных величин и способы их задания. Одномерный случай. Законы распределения случайных величин и способы их задания. Многомерный случай. Независимость случайных величин. Формула свертки. Основные числовые характеристики одномерных случайных величин (математическое ожидание и моменты, мода, медиана, дисперсия, среднеквадратическое отклонение, квантили и процентные точки распределения, асимметрия и эксцесс). Примеры. Основные числовые характеристики многомерных случайных величин. Примеры. С2 С3 неделя 1 3 4 С4 С5 Дискретные одномерные и многомерные распределения (Бернулли, биномиальное, отрицательно биномиальное, гипергеометрическое, Пуассона, мультиномиальное). Непрерывные одномерные и многомерные распределения (нормальное одномерное и многомерное, логнормальное, равномерное, распределения Вейбулла, показательное, Парето и Коши). Распределения вероятностей, представляющие наибольший интерес для статистического анализа (Хи-квадрат, Стьюдента, распределение, Гаммараспределение, Бета-распределение). Неравенство Чебышева. Доказательство. Примеры применения. Закон больших чисел. Примеры применения. Центральная предельная теорема. Примеры применения. Примеры неприменимости (в связи с нарушением условий). № семинарских Название темы семинарского занятия занятий С6 С7 Генеральная совокупность, выборка, основные выборочные характеристики. Анализ поведения основных выборочных характеристик. Статистика нормального закона. Вариационный ряд и порядковые статистики. Статистическое оценивание параметров, статистики, точечные оценки и их основные свойства (состоятельность, несмещенность, эффективность). Функция правдоподобия. Количество информации, содержащейся в п наблюдениях относительно неизвестного значения параметра. Примеры. Неравенство Рао-Крамера (неравенство информации) и эффективность оценок. Метод максимального правдоподобия. Метод моментов. Примеры построения оценок по методу максимального правдоподобия и по методу моментов. Понятие о свойствах оценок максимального правдоподобия. Понятие об интервальных оценках. Построение интервальных оценок (доверительных областей). 4 6 неделя 8 10 С8 С9 Статистическая проверка гипотез: основные типы статистических критериев, их общая логическая схема, лемма Неймана-Пирсона о наиболее мощном критерии. Критерии согласия и однородности. Постановка задачи статистического анализа парных зависимостей. Основные цели и инструментарий статистического исследования зависимостей. Элементы регрессионного анализа. Примеры. 12 15 Планы семинарских занятий и активных форм обучения Семинар 1.Случайные события и правила действий с ними. Вероятности и правила действий с ними. Вероятностное пространство. Условная вероятность. Независимость событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. ДЗ Семинар 2.Непрерывное вероятностное пространство. Аксиоматика Колмогорова. Понятие о случайных величинах, примеры случайных величин. Типы случайных величин. Законы распределения случайных величин и способы их задания. Одномерный случай. Законы распределения случайных величин и способы их задания. Многомерный случай. Независимость случайных величин. Формула свертки. Основные числовые характеристики одномерных случайных величин (математическое ожидание и моменты, мода, медиана, дисперсия, среднеквадратическое отклонение, квантили и процентные точки распределения, асимметрия и эксцесс). Примеры. ДЗ,ПР Семинар 3.Основные числовые характеристики многомерных случайных величин Примеры. ДЗ,КР Семинар4.Дискретные одномерные и многомерные распределения (Бернулли, биномиальное, отрицательно биномиальное, гипергеометрическое, Пуассона, мультиномиальное). Непрерывные одномерные и многомерные распределения (нормальное одномерное и многомерное, логнормальное, равномерное, распределения Вейбулла, показательное, Парето и Коши). Распределения вероятностей, представляющие наибольший интерес для статистического анализа (Хи-квадрат, Стьюдента, распределение, Гаммараспределение, Бета-распределение). ДЗ ,ПР Семинар 5.Неравенство Чебышева. Доказательство. Примеры применения. Закон больших чисел. Примеры применения. Центральная предельная теорема. Примеры применения. Примеры неприменимости (в связи с нарушением условий). ДЗ ДЗ,КР Семинар6.Генеральная совокупность, выборка, основные выборочные характеристики. Анализ поведения основных выборочных характеристик. Статистика нормального закона. Вариационный ряд и порядковые статистики. Статистическое оценивание параметров, статистики, точечные оценки и их основные свойства. Основные цели и инструментарий статистического исследования зависимостей. Элементы регрессионного анализа. Примеры Статистическая проверка гипотез: основные типы статистических критериев, их общая логическая схема, лемма Неймана-Пирсона о наиболее мощном критерии. Критерии согласия и однородности. Постановка задачи статистического анализа парных зависимостей. ДЗ ДЗ,ПЗ, Семинар7.Функция правдоподобия. Количество информации, содержащейся в п наблюдениях относительно неизвестного значения параметра. Примеры. Неравенство Рао-Крамера (неравенство информации) и эффективность оценок. Метод максимального правдоподобия. Метод моментов. Примеры построения оценок по методу максимального правдоподобия и по методу моментов. Понятие о свойствах оценок максимального правдоподобия. Понятие об интервальных оценках. Построение интервальных оценок (доверительных областей). ДЗ ДЗ Семинар8. Статистическая проверка гипотез: основные типы статистических критериев, их общая логическая схема, лемма Неймана-Пирсона о наиболее мощном критерии. Критерии согласия и однородности. Постановка задачи статистического анализа парных зависимостей. ДЗ,Пр Семинар 9. Основные цели и инструментарий статистического исследования зависимостей. Элементы регрессионного анализа. Примеры. ДЗ,КР Пример домашнего задания: Домашнее задание состоит из решения двух заданий. 1. Обработка генеральной совокупности и построение случайной выборки. Построение доверительного интервала для генеральной средней и генеральной дисперсии. 2. Проверка гипотез о законе распределения генеральной совокупности и проверка гипотезы о равенстве средних двух однородных групп, выбранных из генеральной совокупности. Типовые вопросы для контрольных работ и домашних заданий: 1. Из 20 студентов 8 отличников. По списку выбраны 12. Какова вероятность, что среди них 5 отличников. 2. Три раза бросают монету. Событие Аk - выпадение герба при k –ом броске. Пусть А – хотя бы один герб, В - три цифры, С – не меньше двух гербов, D – герб после первого броска. Выразить А, В, С, D через Аk 3. На отрезке ОА длины L наудачу брошены две точки В(х) и С(у). Найти вероятность, что длина отрезка ВС в два раза меньше расстояния от точки О до ближайшей к ней точки. 4. Три стрелка стреляют в мишень. Первый попадает с вероятностью 0.6, второй с вероятностью 0.4, третий с вероятностью 0.7 Какова вероятность, что в мишень попадут только двое 5. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность брака для 1 станка 0.1, для 2-го 0.3, для 3-го - 0.2. Полученные типовые детали складывают в один ящик. Производительность 3-го станка в два раза меньше, чем первого, а 2-го в три раза больше, чем третьего. Какова вероятность, что взятая наугад деталь с браком. 6. Событие наступает с вероятностью р = 0.3. Какова вероятность, что в серии из 4-х независимых испытаний событие произойдет не менее 2-х раз. 7. В ящике из 11 шаров 4 красных и 7 белых. Наудачу берут 3.Что вероятнее: среди них 1 красный или 3 белых 8. Производят 3 выстрела. Пусть событие Аk – попадание при k-ом выстреле. Пусть: А – 1 попадание и 2 промаха, В – число попаданий меньше числа промахов, С – при первом выстреле попадание, при остальных промахи. Выразить А, В, С через Аk 9. На отрезке ОА длины L наудачу брошены две точки В(х) и С(у). Найти вероятность, что длина отрезка ВС меньше, чем L / 3. 10. Вероятность, что в одном испытании появятся события А и В равна 0.6. Вероятность того, что в одном испытании событие А появится, а событие В не появится, 0.2. Найти вероятность появления события А. 11. Трое выстрелили в мишень, причем двое попали. Найти вероятность того, что первый стрелок не попал, если вероятности попадания стрелков р1=0.8, р2 =0.7, р3 = 0.6 12. Два равных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть не менее 2х партий из 4-х или не менее 3-х партий из 5.( ничьи не принимаются ) 13. В ящике 8 шаров с номерами от 1 до 8. Наудачу берут 6. Найти вероятность, что среди них шары с номерами 3, 5 и 7. 14. Три раза бросают монету. Событие Аk - выпадение герба при k –ом броске. Пусть A – три герба, B– хотя бы одна цифра, C – не более одного герба. Выразить А, В, С через Аk 15. На отрезке ОА длины L наудачу брошены две точки В(х) и С(у). Найти вероятность, что длина отрезка ВС в три раза больше расстояния от точки О до ближайшей к ней точки. 16. Три стрелка стреляют в мишень. Первый попадает с вероятностью 0.5, второй с вероятностью 0.7, третий с вероятностью 0.8 Какова вероятность, что в мишень попадет только один. 17. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность брака для 1 станка 0.2, для 2-го 0.4, для 3-го - 0.3. Полученные типовые детали складывают в один ящик. Производительность 3- го станка в два раза больше, чем второго, а 1-го в два раза меньше, чем третьего. Какова вероятность, что взятая наугад деталь будет без брака. 18. Метод лечения приводит к выздоровлению в 80 % случаях. Какова вероятность, что из 5 больных поправятся не менее 4. 19. Из слова «колонка» берут 5 букв и складывают в ряд. Какова вероятность сложить слово «локон» ? 20. Производят 3 выстрела. Пусть событие Аk – попадание при k-ом выстреле. Выразить через А1, А2, А3 следующие события: А – не более 1 попадания, B– хотя бы два попадания, C – при первом выстрела промах и в двух других хотя бы одно попадание 21. Наудачу взяты два числа x и y, каждое из которых не превышает числа 4. Какова вероятность, что в выбранной паре (x, y) y не превышает 2x и удовлетворяет условию y > 2x – 4.. 22. Вероятность, что в одном испытании появятся события А и В равна 0.7. Вероятность того, что в одном испытании событие А не появится, а событие В появится, 0.2. Найти вероятность появления события В. 23. Трое студентов сдавали экзамены, причем только один сдал успешно . Найти вероятность того, что второй студент сдал, если вероятности успешной сдачи экзамена были: р1=0.8, р2 =0.6, р3 = 0.7. 24. Вероятность рождения девочек равна 0.6. Какова вероятность, что в семье из 6 детей не менее 2-х и не более 4-х девочек. 25. Два игрока поочередно бросают мяч в корзину до первого попадания одного из игроков. Вероятность попадания 1-го игрока 0.4, 2-го 0.5. Начинает бросать первый. Составить первые 4 члена закона распределения числа бросков, совершенным первым игроком. 26. Задана функция плотности f(x) = a ( 2х + х2), 0 < x 1, f (x) = 0 при х 0, х > 1. Найти значение параметра а, интегральную функцию с.в. Х, ее математическое ожидание и дисперсию. 27. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (-/2, /2). Найти плотность распределения g(y) с.в. Y = cosX 28. Вероятность, что при испытании событие появится, равна 0.8. Испытание ведут до первого появления события. Составить закон распределения с.в. Х - появление события при 4-х испытаниях. 29. Задана функция плотности f(x) = a (х2 + x ), 0 < x 2, f (x) = 0 при х 0, х > 2. Найти значение параметра а, интегральную функцию с.в. Х , ее математическое ожидание и дисперсию. 30. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной с.в. (X,Y): f (x, y ) = a(x + y) , где х(0,2], y ( 0,1} Найти: 1) Плотность распределения составляющих. 2) Условные плотности распределения составляющих 3) Условное математическое ожидание M (YX) 31. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (0, /2). Найти плотность распределения g(y) с.в. Y = sin X 32. Два игрока поочередно бросают мяч в корзину до первого попадания одного из игроков. Вероятность попадания первого игрока 0.7, второго 0.6. Начинает бросать первый. Составить первые 4 члена закона распределения числа бросков вторым игроком. 33. Задана функция плотности f(x) = a ( х2 - х ), 1 <x 2, f (x) = 0 при х 1, х > 2. Найти значение параметра а, интегральную функцию с.в. Х , ее математическое ожидание и дисперсию. 34. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (- , ). Найти 2 2 плотность распределения g(y) с.в. Y = tg Х 35. Два стрелка поочередно стреляют в цель до первого попадания. Вероятность попадания 1-м стрелком 0.7, вторым 0.8 Стрельбу начинает первый стрелок. Составить первые 4 члена закона распределения с.в. Х - число выстрелов, совершенных двумя стрелками ( т.е Х : 1, 2, 3, 4 ). 36. Задана функция плотности f(x) = a ( х2/2 + х/3 ), 0 <x 1, f (x) = 0 при х 0, х > 1. Найти значение параметра а, интегральную функцию с.в. Х, ее математическое ожидание и дисперсию. 37. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной с.в. (X,Y): f(x,y) = a (2x + 0.5y) , где х ( 0, 1], y ( 0,2} Найти: 1) Плотность распределения составляющих. 2) Условные плотности распределения составляющих 3) Условное математическое ожидание M (ХY) Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (0, 3). Найти плотность 38. распределения g(y) с.в. Y = Ln X. Примерный перечень практических заданий 1.Решение задач на расчёт количества выборок. 2.Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности. 3.Вычисление вероятностей сложных событий. 4.Вычисление вероятностей событий в схеме Бернулли. 5.Решение задач на запись распределения ДСВ. 6. Вычисление характеристик ДСВ; вычисление (с помощью свойств) характеристик функций от ДСВ. 7. Решение задач на формулу геометрического определения вероятности (для одномерного случая, для двумерного случая, для простейших функций от двух независимых равномерно распределённых величин). 8.Вычисление вероятностей и нахождение характеристик для НСВ с помощью функции плотности и интегральной функции распределения. 9.Вычисление вероятностей для нормально распределенной величины (или суммы нескольких нормально-распределенных величин); вычисление вероятностей и нахождение характеристик для показательно распределенной величины. 10.Построение для заданной выборки ее графической диаграммы; расчёт по заданной выборке её числовых характеристик. 11.Интервальное оценивание математического ожидания нормального распределения; интервальное оценивание вероятности события. 12.Моделирование случайных величин; моделирование случайной точки, равномерно распределённой в прямоугольнике; моделирование сложных испытаний и их результатов. Примерный перечень самостоятельных работ: 1. Расчет количества выборок заданного типа в заданных условиях. 2. Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности. 3. Нахождение условных вероятностей. 4. Вычисление вероятностей сложных событий с помощью теорем умножения и сложения вероятностей. 5. Вычисление вероятностей сложных событий с помощью формулы полной вероятности и формулы Байеса. 6. Вычисление вероятностей событий с помощью формулы Бернулли. 7. Вычисление вероятностей событий с помощью локальной и интегральной формул Муавра-Лапласа. 8. Запись распределения ДСВ, заданной содержательным образом. 9. Запись распределения функции от одной ДСВ и функции от двух независимых ДСВ. 10. Вычисление характеристик ДСВ, заданной своим распределением. 11. Вычисление (с помощью свойств) характеристик для функций от одной или нескольких ДСВ. 12. Запись распределений и вычисление характеристик для биномиальных и геометрических ДСВ. 13. Вычисление вероятностей для равномерно распределенной НСВ и для случайной точки, равномерно распределенной в плоской фигуре. 14. Вычисление вероятностей для простейших функций от двух независимых равномерно-распределенных величин X и Y методом перехода к точке M(X,Y) в соответствующем прямоугольнике. 15. Вычисление вероятностей и нахождение характеристик для НСВ с помощью функции плотности. 16. Вычисление вероятностей и нахождение характеристик для НСВ с помощью интегральной функции распределения. 17. Вычисление вероятностей для нормально распределенной величины (или суммы нескольких нормально распределённых величин). 18. Вычисление вероятностей распределенной величины. и нахождение характеристик для показательно 19. Построение для заданной выборки ее графической диаграммы. 20. Расчет по заданной выборке ее числовых характеристик. 21. Интервальное оценивание математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии. 22. Интервальное оценивание математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии. 23. 24. 25. Интервальное оценивание вероятности события Моделирование случайных величин. Моделирование случайной точки, равномерно распределённой в прямоугольнике. 26. Моделирование сложных испытаний и их результатов. 6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов Вид контроля Текущий Форма учебной работы Групповой практикум Домашние работы Контрольные работы Обобщающий Домашние практические работы Коллоквиум Итоговый Устный экзамен Итого Промежуточный контроль осуществляется в процессе обучения, преимущественно на семинарских занятиях, а также путем заслушивания кратких сообщений студентов при проведении консультаций. По результатам промежуточного контроля проставляются текущие оценки ив учетных ведомостях, которые ведет преподаватель. Итоговый контроль проводится в форме предварительного анализа суммы промежуточных оценок и выведения результирующей оценки путем проведения экзамена Итоговая оценка по дисциплине формируется на основе результатов работы на семинаре, оценок за контрольные и домашние работы и на основании ответа на экзамене. Контрольные вопросы для подготовки к экзамену: В Разделе I «Теория вероятностей»: 1. Понятие о случайном эксперименте и о его исходах. 2. Пространство элементарных событий (исходов). Примеры пространств элементарных событий в дискретном случае. 3. Элементы комбинаторики (число выборок при выборе с возвращением и без возвращения из генеральной совокупности, число перестановок, число сочетаний). 4. Случайное событие. Объединение (сумма), пересечение (произведение), разность, дополнение событий, достоверное и невозможное событие. 5. Полная система событий. Примеры. 6. Понятие вероятности события. Вероятностное пространство. Примеры. 7. Сложение вероятностей (аддитивность). 8. Умножение вероятностей. Условная вероятность. Примеры. 9. Независимость двух событий. Взаимная независимость многих событий. 10. Формула полной вероятности. 11. Формула Байеса. 12. Понятие о случайной величине. Типы случайных величин. Понятие о законе распределения вероятностей случайной величины. Закон распределения вероятностей многомерной случайной величины. Маргинальные распределения. 15. Функция распределения одномерной случайной величины и способы ее задания в дискретном и непрерывном случаях. 16. Функция плотности вероятности одномерной случайной величины. 17. Многомерные функции распределения и плотности. 18. Независимость и формула свертки в дискретном и в непрерывном случаях. 19. Математическое ожидание. Числовые (моментные) характеристики распределения вероятностей. 20. Основные числовые (моментные) характеристики многомерных распределений вероятностей. 21. Свойства основных дискретных распределений (Бернулли, геометрического, биномиального, Пуассона). 22. Свойства основных непрерывных распределений (равномерного, Симпсо- на, тругольного, нормального, %2-распределения, показательного, Гамма- распределения, Коши, Лапласа). 23. Неравенство Чебышева (с доказательством). Примеры применения. 24. Закон больших чисел (с доказательством). Примеры применения. 25. Центральная предельная теорема. Примеры применения. 26. Многомерная центральная предельная теорема. 1. Понятие о генеральной совокупности и выборке. Распределение простой случайной выборки. 2. Вариационный ряд и его члены: порядковые (ранговые) статистики. Распределение максимального и минимального члена вариационного ряда. 3. Распределение т-ого члена вариационного ряда. 4. Эмпирическая функция распределения. Два эквивалентных определения эмпирической функции распределения. 5. Эмпирическая функция распределения при росте объема выборки. Теорема Гливенко. Теорема Колмогорова. 6. Математическое ожидание и дисперсия эмпирической функция распределения. 7. Распределение эмпирической функции распределения и его связь с биномиальным распределением. 8. Основные выборочные (эмпирические) характеристики: выборочное среднее, выборочная дисперсия, выборочные степенные моменты. 9. Понятие о статистической устойчивости выборочных характеристик. Понятие об асимптотической нормальности. 10. Распределение выборочных характеристик нормальной совокупности. 11. Постановка задачи статистического (точечного) оценивания в параметрическом семействе. Понятие о статистических (точечных) оценках. Функция потерь, риск оценки. 12. Состоятельность статистических (точечных) оценок. Примеры. 13. Несмещенность и асимптотическая несмещенность статистических (точечных) оценок. Примеры. 14. Функция правдоподобия. Количество информации Фишера. Примеры. 15. Неравенство Рао-Крамера (с доказательством). 16. Эффективность несмещенных (точечных) оценок. Примеры. 17. Принцип максимального правдоподобия. Построение точечных оценок по методу максимального правдоподобия. Примеры. 18. Построение точечных оценок по методу моментов. Примеры. 13. 14. Понятие об интервальном оценивании и 7-доверительных интервалах. Интервальная оценка среднего нормальной совокупности при известной и неизвестной дисперсии. 21. Интервальная оценка дисперсии нормальной совокупности при известном и неизвестном среднем. 22. Постановка задачи проверки гипотез в параметрическом семействе. Примеры простых и сложных гипотез в статистике. 23. Понятие о статистическом критерии. Ошибка первого и второго рода. Размер и мощность критерия. 24. Отношение правдоподобия (логарифм отношения правдоподобия). Критерии отношения правдоподобия для различных гипотез. Их свойства. 25. Критерии проверки гипотез (простых и сложных) о среднем нормального закона. 26. Критерии проверки гипотез (простых и сложных) о дисперсии нормального закона. 27. Критерии согласия и критерии однородности. Понятие о задаче статистического исследования зависимостей. Понятие о регрессионном анализе. Примеры. 19. 20. Учебно – методическое обеспечение дисциплины Основная литература: Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов / Кремер Наум Шевелевич. - 3-е изд.,перераб.и доп. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2009. - 551с.: ил. (Золотой фонд российских учебников)(гриф: Министерство Образования РФ) Дополнительная литература: 1.Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов / Вентцель Елена Сергеевна. - 7-е изд.,стер. - М.: Высшая школа, 2001. - 576с.: ил. - Прил.:с.561.-Лит.:с.573. 2.Горелова Г.В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel: Учебное пособие для вузов / Горелова Галина Викторовна, Кацко Игорь Александрович; Рец. И.О.Иванов и др. - 4-е изд. - Ростов н/Д: Феникс, 2006. 475с. 3.Теория вероятностей и математическая статистика в задачах: Учебное пособие для вузов / Ватутин Владимир Алексеевич, Ивченко Григорий Иванович, Медведев Юрий Иванович, Чистяков Владимир Павлович. - 2-е изд.,испр. - М.: Дрофа, 2003. - 328с. 4.Теория вероятностей и математическая статистика в задачах: Учебное пособие для вузов / Ватутин Владимир Алексеевич, Ивченко Григорий Иванович, Медведев Юрий Иванович, Чистяков Владимир Павлович. - 2-е изд.,испр. - М.: Дрофа, 2003. - 328с. Программное обеспечение современных информационно-коммуникационных технологий Для проведения практических и лекционных занятий используется программное обеспечение MS OFFICE: PowerPoint, Word, Exсel. Материально-техническое обеспечение дисциплины: В целях обеспечения качественного современного учебного процесса аудитории для проведения занятий должны быть оборудованы следующими техническими средствами обучения: 1. Персональный компьютер (ноутбук) 2. Мультимедийный проектор 3. Экран проекционный 4. Стенд для графических работ с комплектом цветных маркеров. Используются коллекции слайдов и видеофильмов по отдельным разделам дисциплины. Для самостоятельной работы используются компьютерные классы с доступом к ресурсу Интернет. Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПООП ВПО по направлению и профилю подготовки 081100 муниципальное управление» «Государственное и
