Киселев В.Н., Косенок В.В. 2012x

УДК 624
РАСЧЁТ ПОДКРЕПЛЕННОЙ ПЛАСТИНЫ В
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ СТАДИИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ
РАЗНОСТЕЙ
В.В. Косенок, магистрант
В.Н. Киселёв канд. техн. наук, доцент
(УО «ПГУ», г. Новополоцк)
В статье рассмотрена реализация метода конечных разностей при
расчёте
пластин
подкреплённых
рёбрами
жесткости
в
упругопластической стадии
Для многих задач строительной механики и теории упругости
невозможно получить решение в замкнутом виде. Это, в частности,
относится к таким конструкциям, как пластины сложной формы и
подкрепленные пластины, в материале которых появляются пластические
деформации. Для расчета конструкций такого типа часто применяют
численные методы, позволяющие широко применять вычислительную
технику. Одним из таких способов является метод конечных разностей
(МКР).
В данной работе производится расчет этим методом жесткой
прямоугольной
пластины,
подкрепленной
ребрами
жесткости
прямоугольного сечения (рис. 1). В процессе деформирования допускается
появление пластических деформаций в ребрах жесткости.
P(x,y)
q(y)
r'(y)
x
w
b
h
t1
y
t
xp
a
Рис. 1 Прямоугольная пластина с рёбрами жёсткости
прямоугольного сечения
Пластина имела следующие параметры:
a, b – размеры пластины в плане;
t; t1 – толщины пластины и ребра жесткости соответственно;
h – высота стенки ребра жесткости;
хр – параметр, определяющий положение ребер жесткости.
Как известно, дифференциальные уравнения изгиба подкрепленной
пластины в безразмерном виде в упругой области имеет вид
4
W
x
4
 22
 4W
2
x  y
2

 4W
y
4
 P   ( x k  x p )r k
(1)
Здесь
b
a
  ;W 
W
x
y
b4
Et 3
;x  ; y  ; p 
P( x; y ); D 
;
t
a
b
Dt
12(1   2 )
Е, µ - модуль Юнга и коэффициент Пуассона соответственно;
Р (х,у) – интенсивность равномерно-распределенной нормальной нагрузки;
1
(2)
rk  rk ( y ) ,
D
rк( y ) – нагрузка , распределенная вдоль линии соприкосанияk-го ребра
жесткости с пластиной, действующая со стороны этого ребра на пластину
Нагрузку rк ( y ) можно подсчитать по формуле:
rk ( y )  EJ k
d 4W
dy
4
.
(3)
Здесь
I k *  I k  Fk (c*) 2
(4)
где Jk ;Fk–собственный момент инерции и площадь поперечного сечения кго ребра жесткости соответственно;
c*  c  0,5t
c  0,5h
После проявления в ребрах жесткости пластических деформаций
задача решается так же, как и в случае, когда пластина подкрепляется
ребрами переменного сечения. В этом случае на упруго-пластических
участках в уравнении (1) выражение (2) примет вид:
rk ( y )  [Ô 2
 2 Âõ
ó
2
 Ô 7 (ñ *
 2ñ *
ó
2
2
Â
ñ *  2 ñ

ñ*)]  2[Ô 2 õ 
ó ó
ó
(5)
ñ * ñ  W
 4W
 Ô7ñ* (
 )] 3  B x  F (c*) 2 ] 4 .
ó ó y
y
3
Здесь
Ф2 
E
EF
; Ф7 
,
t
t
Вх – играющая роль момента инерции сечения ребра жесткости на
упругопластических участках, которую можно подсчитать по формуле
B x  t1 (
h2 1
  );
4 3
(6)
η – параметр , характеризующий глубину
пластических деформаций.
Величину в данном случае определяем по формуле
проникновения
ñ  2h  
(7)
Решение проводим «шаговым» методом, определяя на каждом шаге
необходимых параметров.
В качестве примера рассмотрим расчет пластины прямоугольной
формы, жестко заделанной по контуру, нагруженной нормальной
равномерно распределенной нагрузкой р(х,у), подкрепленной тремя
ребрами жесткости (рис.1) прямоугольного сечения с размерами:
а = b = 50 см; λ=0,5 см; t = 0,4 см; t1=0,5 см; h=1,5 см.
Характеристика материала:
Е = 2,1 * 106 кгс/см2 ;δТ = 2400 кгс/см2 ; µ = 0,3.
В качестве расчетного метода примем метод конечных разностей
(МКР). Для этого выберем прямоугольную сетку 10х10 и наносим ее на
пластину. Заменяем исходные дифференциальные уравнения (1) и (2) и
граничные условия системой разностных уравнений, которые записываем
для каждого узла сетки, нанесенной на пластину. При этом
аппроксимируем бигармонический оператор и все производные
симметричными разностными выражениями с погрешностью О(  2) ,
где  – относительный шаг сетки равный   a  b .
10
10
Производные функции прогиба W в граничных условиях аппроксимируем
с погрешностью О(  2). Ввиду симметрии пластины и нагрузки
рассматриваем только 1/4 часть пластины. Полученную систему
нелинейных алгебраических уравнений решаем методом общей итерации.
Результаты расчета приведены на рис.2, где приведены прогибы W в мм
для пластины при X  0,5 и Y  0,5 . Кривая 1 соответствует упругой работе
пластины и ребра, кривая 2 нагрузке, при которой в ребрах имеются
пластические деформации.
Y
0
1
2
P=6кг/ см2
0,4
0,8
P=12кг/ см2
1 2
W(мм)
а)
0
1
P=6кг/ см2
0,4
0,8
W(мм)
X
2
1
2
P=12кг/ см2
б)
Рис. 2. Результаты расчёта вдоль оси Y (a) и вдоль оси Х (б)
ЛИТЕРАТУРА
1. Ворожцов Е.В. Разностные методы решения задач механики
сплошных сред. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1998. - 86 с.
2. Лисейкин В.Д., Шокин Ю.И., Васева И.А., Лиханова Ю.В.
Технология построения разностных сеток. Новосибирск: Наука,
2009. — 414 с.
3. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные
методы. М.: Наука, 1981. - 416 с.
4. Романко В.К. Разностные уравнения. М.: БИНОМ, 2006, 112с