Лекция по Оптике на 16 апреля 2

Естественный и поляризованный свет.
Поляризованным называется свет, в котором направления
колебаний светового вектора упорядочены каким-либо образом. В
естественном свете колебания различных направлений быстро и
беспорядочно сменяют друг друга.
Рассмотрим два взаимно перпендикулярных электрических
колебания, совершающихся вдоль осей x и у и различающихся по
фазе на :
(1)
Результирующая напряженность Е является векторной суммой
напряженностей Ez и Еу (рис. 6.1). Угол  между направлениями
векторов Е и Ех определяется выражением
(2)
Если
разность
фаз

претерпевает
случайные
хаотические
изменения, то и угол , т. е. направление светового вектора Е, будет
испытывать
скачкообразные
неупорядоченные
изменения.
В
соответствии с этим естественный свет можно представить как
наложение
двух
некогерентных
электромагнитных
волн,
поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях и
имеющих одинаковую интенсивность. Такое представление намного
упрощает рассмотрение прохождения естественного света через
поляризационные устройства.
Допустим, что световые волны Ех и Еу когерентны, причем  равно
нулю или тт. Тогда согласно (2)
Следовательно,
результирующее
1
колебание
совершается
в
фиксированном направлении волна оказывается плоскополяризованной. Естественный и поляризованный свет В случае, когда А1 =
А2 и  = /2,
Отсюда вытекает, что плоскость колебаний поворачивается вокруг
направления луча с угловой скоростью, равной частоте колебания ш.
Свет в этом случае будет поляризованным по кругу.
Чтобы выяснить характер результирующего колебания в
случае произвольного постоянного значения , примем во внимание,
рис.1
что
величины
(1)
рис.2
представляют
собой
координаты
конца
результирующего вектора Е (рис. 2). Нам известно, что два взаимно
перпендикулярных гармонических колебания одинаковой частоты
при сложении дают в общем случае движение по эллипсу (в
частности, может получиться движение по прямой или по
окружности). Аналогично точка с координатами, определяемыми
выражениями (1), т. е. конец вектора Е, движется по эллипсу.
Следовательно, две когерентные плоскополяризованные световые
волны, плоскости колебаний которых взаимно перпендикулярны,
при наложении друг на друга дают эллиптически поляризованную
световую волну. При разности фаз , равной нулю или , эллипс
вырождается в прямую и получается плоскополяризованный свет.
При  = /2 и равенстве амплитуд складываемых волн эллипс
2
превращается в окружность — получается свет, поляризованный по
кругу.
Плоскополяризованный
свет
можно
получить
из
есте-
ственного с помощью приборов, называемых поляризаторами.
Поляризатор, задерживающий перпендикулярные к его плоскости
колебания только частично, мы будем называть несовершенным.
На выходе из несовершенного поляризатора получается свет, в
котором
колебания
одного
направления
преобладают
над
колебаниями других направлений. Такой свет называется частично
поляризованным. Его можно рассматривать как смесь естественного
и плоскополяризованного света. Частично поляризованный свет, как
и естественный, можно представить в виде наложения двух
некогерентных
плоскополяризованных
волн
с
взаимно
перпендикулярными плоскостями колебаний. Отличие заключается
в том, что в случае естественного света интенсивность этих волн
одинакова, а в случае частично поляризованного — разная.
Если
пропустить частично
поляризованный
свет через
поляризатор, то при вращении прибора вокруг направления луча
интенсивность прошедшего света будет изменяться в пределах от
Imах до Imin, причем переход от одного из этих значений к другому
будет совершаться при повороте на угол, равный /2 (за один
полный поворот два раза будет достигаться максимальное и два раза
минимальное значения интенсивности). Выражение
(3)
называется степенью поляризации. Для плоского поляризован-ного
света Imin = 0 и Р = 1; для естественого света Imax=Imin и
Р = 0 . K эллиптически поляризованному свету понятие степени
3
поляризации не применимо (у такого света колебания полностью
упорядочены.
Колебание
амплитуды
А,
совершается
в
плоскости,
образующей с плоскостью поляризатора угол , можно разложить на
два колебания с амплитудами
и
(рис.3; луч
перпендикулярен к плоскости рисунка). Первое колебание пройдет
через прибор, второе будет задержано. Интенсивность прошедшей
волны пропорциональна
т. е. равна
,
где I - интенсивность колебания с амплитудой А. Следовательно,
колебание, параллельное плоскости поляризатора, несет с собой
долю интенсивности, равную cos2. В естественном свете все
значения  равновероятны. Поэтому доля света, прошедшего через
поляризатор, будет равна сред-
рис. 3
рис. 4
нему значению cos2 , т. е. 1/2. При вращении поляризатора вокруг
направления естественного луча интенсивность прошедшего света
остается одной и той же, изменяется лишь ориентация плоскости
колебаний света, выходящего из прибора.
Пусть на поляризатор падает плоскополяризованный свет
амплитуды А0 и интенсивности I0 (4). Сквозь прибор пройдет
составляющая колебания с амплитудой А = А0cos, где  — угол
4
между плоскостью колебаний падающего света и плоскостью
поляризатора. Следовательно, интенсивность прошедшего света I
определяется выражением
(4)
Соотношение (4) носит название закона Малюса.
Поляризация при отражении и преломлении света
Формулы Френеля.
При выводе и анализе этих формул будем пoпрежнему рассматривать неполяризованный свет как сумму двух монохроматических плоских волн, распространяющихся в одном направлении с
одной фазовой скоростью и, но поляризованных в двух
взаимно перпендикулярных направлениях, причем фазы этих двух
колебаний никак не скоррелированы. Таким способом можно
моделировать хаотическую суперпозицию различных эллиптически
поляризованных электромагнитных волн, обусловленную обрывами
монохроматических колебаний.
рис.5
Для каждого момента времени нетрудно вычислить величину
суммарной напряженности электрического поля |Е|, если известны
две ее проекции на границу раздела (Е и E). В самом деле,
И наоборот, зная |Е|, можно разложить его на две взаимно
E 
E  E|| .
5
перпендикулярные компоненты. В качестве направлений таких
компонент |Е| удобно выбрать следующие: первая компонента
вектора |Е| лежит в плоскости падения — будем обозначать ее через
E, тогда как вторая компонента E колеблется перпендикулярно к
этой плоскости. Запись граничных условий для амплитуд и
последующий вывод формул Френеля будем проводить отдельно
для этих двух взаимно перпендикулярных направлений колебаний
вектора напряженности электрического поля.
1. Вектор Е лежит в плоскости падения электромагнитной
волны. Направления векторов Е, E1 и Е2 для какого-то момента
времени показаны на рис. 5. Для дальнейшего вывода выбор этих
направлений более или менее безразличен. Мы останавливаемся на
такой их ориентации лишь по аналогии с рассмотренным выше
случаем n2>n1 при нормальном падении. Направление векторов H,H1
и H2 уже детерминировано выбором направления для Е, Е1 и Е2. В
данном случае векторы Н, H1 и Н2 направлены одинаково —
перпендикулярно к плоскости чертежа по направлению к читателю.
Для проекций амплитуд векторов Е и Н имеем
рис.6
Направления векторов E и H на
границе
раздела
вектор
Е
перпендикулярен плоскости падения
6
Учитывая, что H00 = n1Е00, H10 = n1E10, H20 = n2Е20, а также n2/n1= =
sin 1/sin2, находим
(5)
Тогда
(6)
Складывая уравнения (5) получаем
откуда
(6а)
2. Вектор Е перпендикулярен к плоскости падения волны.
В этом случае выберем направление векторов Н, H1, H2 согласно
рис. 6. На нем векторы Е, Е1 и Е2 направлены от читателя перпендикулярно к плоскости чертежа. Для проекций амплитуд
исследуемых векторов на оси получим соотношения:
Последнее условие можно переписать в виде
(7)
Займемся анализом найденных соотношений. Прежде всего рассмотрим относительные интенсивности отраженной и преломленной
воли. Для энергетического описания процессов на границе двух сред
ранее были введены коэффициент отражения
и коэффициент пропускания
7
Проанализируем зависимость коэффициента отражения R от угла
падения.
Рассмотрение формул Френеля показывает, что компоненты
(E1) и (E1) по-разному изменяются с увеличением угла 1. Вопервых, сразу видно, что если 1 + 2 = /2, то tg(1 + 2) ∞ и,
следовательно, (R) = 0. Вместе с тем коэффициент отражения
(R) не обращается в нуль при 1 + 2 = /2, так как знаменатель
выражения (7) sin(1 + 2) 1. Таким образом, получается, что при
некотором значении угла падения от границы раздела отразится
только
электромагнитная
волна
с
вполне
определенной
поляризацией. Волна, в которой колебания вектора Е параллельны
плоскости падения, вообще не отразится при
1 + 2 = /2. Вектор Е в отраженной волне при выполнении условия
1 + 2 = /2 будет колебаться перпендикулярно к плоскости
падения.
В
рассматриваемом
случае
будем
говорить,
что
отраженный свет поляризован в плоскости падения. Отсюда видно,
что
плоскость
поляризации
света
соответствует
плоскости,
перпендикулярной к направлению колебаний вектора Е.
Для данного случая, впервые экспериментально обнаруженного
Малю, очевидны следующие соотношения: если 1 + 2= /2, то
sin1 = cos2 и, значит,
Эта
зависимость
угла,
при
котором
наблюдается
плоская
поляризация отраженной волны, от отношения показателей преломления двух исследуемых диэлектриков носит название закона
Брюстера, а соответствующий угол часто называют углом Брюстера
(ФБР). В этих обозначениях
tg бр 
8
n2
n1
Для перехода световой волны (видимая область спектра)
из
воздуха в стекло tgбр  1,5/1, что соответствует углу бр  57.
Оптическая анизотропия кристаллов.
Оптические явления в анизотропных телах мы начнем
рассматривать с распространения в них плоских электромагнитных
волн.
Предварительно
выясним
основные
особенности
анизотропной среды.
В изотропных телах электрические, а следовательно, и оптические свойства вещества одинаковы по всем направлениям. К изотропным телам относятся газы, большинство жидкостей и аморфные
твердые тела. Наоборот, в кристаллах наблюдается различие в
свойствах для различных направлений. В частности, электрические
свойства кристаллов для различных направлений электрического
поля оказываются различными. Такие вещества, у которых свойства
зависят от направления, называются анизотропными.
Основное оптическое явление, которое имеет место при распространении света в кристаллах, Для изотропных веществ между
вектором электрической индукции D и вектором напряженности
электрического поля Е существует связь:
(9)
где  — диэлектрическая проницаемость среды. Соответственно
компоненты вектора D по осям координат х, у, z запишутся в виде:
(10)
Для анизотропного вещества зависимость оказывается более
сложной, так как диэлектрическая проницаемость для различных
направлений
электрического
поля
9
в
кристалле
различна.
Компоненты вектора D по осям являются функциями всех трех
компонентов вектора Е:
(11)
В формулах (11) диэлектрическая проницаемость представлена уже
девятью значениями, которые определяются тем, в каком на
правлении действует электрическое поле E и в каком направлении
наблюдаются компоненты D. Но так как шесть значений E равны (xy
= yx , xz = zx , yz = zy ), то фактически остается только шесть
независимых значений . Анализ несколько упрощается еще
благодаря тому, что во всех кристаллах имеются три главных направления — так называемые главные электрические оси кристалла.
Если выбрать эти оси в качестве осей координат, то связь между D и
E может быть записана в более простом виде:
(12)
где x , y , z - значения диэлектрической проницаемости соответственно для случаев действия электрического поля по выбранным таким образом осям х, у, г.
Из соотношений (12) следует, что D и Е в отличие от изотропной
среды имеют разные направления.
Перейдем теперь к вопросам, связанным с распространением в
кристаллах плоских электромагнитных волн. Мы знаем связь между
направлением векторов Е и Н в плоской электромагнитной волне:
(13)
где  , - магнитная проницаемость; n нормаль к поверхности волны.
В случае световых волн  = 1.
Умножая обе части равенства (13) на
10
где n - показатель преломления, получим:
(14)
Нетрудно показать, что имеет место и обратная зависимость:
(15)
Таким образом, из формул (41.5) и (41.6) следует, что векторы H, n и
E взаимно перпендикулярны. Равным образом D, n и Н также
взаимно перпендикулярны. Но в кристаллах D не совпадает по
направлению с Е.
Поток энергии электромагнитных волн определяется вектором
Умова - Пойнтинга:
(16)
откуда следует, что ЕS, НS.
Геометрические соотношения между векторами D, Е, Н, n и S
в кристалле, разобранные здесь, изображены на рисунке 7, из
которого видно, что направления вектора скорости распространения
фазы волны v и вектора скорости распространения энергии vs не
совпадают между собой.
рис. 7
Рассмотрим теперь следствия, которые вытекают из уравнений
11
(14) и (15) при распространении света в кристаллах. Подставим Н из
(15) в выражение (14), тогда будем иметь:
(17)
По правилам векторного исчисления тройное векторное произведение может быть раскрыто следующим образом:
(18)
Учитывая, что n2 = 1, получим:
(19)
где (Еn) — скалярное произведение векторов Е и n.
Напишем теперь выражение (19) в компонентах по осям х, y, z,
заменив n2 = :
(20)
где , ,  — направляющие косинусы вектора n. Заменяя в (20) Ex,
Ey, Ez, через Dx, Dy, Dz, в соответствии с (12), получим:
(21)
Умножая соответственно Dxна , Dy на , Dz на  и складывая, будем
иметь:
(22)
12
Так как векторы D и n ортогональны, то
(23)
Следовательно,
(24)
Если сделаем замену x = пх2, y = п 2, z = nz2 , то (24) можно
представить в виде:
(25)
В формуле (25) пх, пу, nz — показатели преломления для случаев,
когда поле волны действует соответственно по осям х, у, г. Умножим
знаменатели во всех трех членах уравнения (25) на квадрат скорости
света в вакууме с2 и введем обозначения:
тогда (25) примет вид:
(26)
Полученное уравнение называется законом Френеля для скорости
света в кристалле.
В уравнении (26) А, В, С — это скорости света в случае,
когда колебания вектора D совершаются по главным электрическим
осям кристалла. Их называют главными скоростями света в
кристалле; v — скорость световой волны для произвольного направления (скорость фазы волны для вектора D). Она направлена по
нормали п к фронту волны вектора D.
Из уравнения (26) следует, что для любого заданного направления распространения волны в кристалле, даваемого
13
вектором
нормали к волне п (,,), скорость волны имеет два значения v1 и v2,
которые меняются в зависимости от направления распространения.
Это означает, что при распространении света в кристалле имеет
место распространение одновременно двух волн с разными
скоростями. Каждому направлению распространения соответствует
свой показатель преломления. Явление раздвоения волн (лучей) при
прохождении кристаллов .называют двойным лучепреломлением.
Приведем уравнение (26) к общему знаменателю:
(27)
Рассмотрим некоторые частные случаи:
1) Если  = О, = 0, то  = 1, т. е. волна идет в направлении оси х и v
имеет два значения:
(28)
2) При =0, =0, =1, т.е. волна идет в направлении оси y; скорость
света имеет значения:
(28а)
3) =0, =0, =1; в этом случае волна распространяется в
направлении оси z и скорость имеет значения:
(28б)
Чтобы наглядно представить, как распространяются плоские
световые волны в кристалле и как меняется скорость световой волны
в зависимости от изменения направления нормали к волне, из какойлибо точки в кристалле откладывают фазовую скорость света в виде
радиус-векторов по всем возможным направлениям нормали к
волне. Проведенную через концы нормальных скоростей поверхность называют поверхностью нормалей. Равенства (28) и (28б)
14
помогают осуществить такое построение. На рисунке 8 такая
поверхность нормалей построена.
рис.8
Она имеет двухполостный характер. Пересечение радиус-вектора с
поверхностью нормалей дает два значения скорости v1 и v2, что
соответствует одновременному распространению
произвольном направлении двух
в
заданном
плоских световых волн. Скорости
по осям х, у, г соответственно равны В и С, А и С, В и А.
рис.9
Одноосные и двухосные кристаллы.
В кристалле имеются два направления, представляющие собой
две оптические оси, ориентированные относительно электрических
осей кристалла под определенным для данного вещества углом а
(рис.9). Существуют однако такие кристаллы, у которых угол  = 0,
т. е. обе оптические оси сливаются и при этом совпадают с одной из
15
электрических осей. Кристаллы, обладающие одной оптической
осью, называются одноосными. В одноосном кристалле один из
лучей испытывает такое же преломление, как и луч света на границе
раздела двух изотропных сред. Для него показатель преломления не
зависит от направления распространения света в кристалле. Этот луч
называется обыкновенным лучом (L0).
рис. 10
Ему соответствует поверхность нормалей в виде сферы. Для
другого луча преломление происходит так, что его показатель
преломления не зависит от направления распространения света в
кристалле. Он называется необыкновенным лучом (Le). Для
поверхности лучей получается соответственно сфера и эллипсоид. В
двухосных кристаллах оба луча необыкновенные. Плоскость,
проходящая через обе оптические оси двухосного кристалла,
называют главным сечением кристалла.
16
Главным сечением одноосного кристалла называют плоскость,
проходящую через направление луча и направление оптической оси
кристалла. Таким образом, в двухосных кристаллах плоскости
главного сечения имеют определенную ориентацию, задаваемую
обеими оптическими осями.
В одноосном кристалле имеется бесчисленное множество ориентации главного сечения в зависимости от направления падающего
на кристалл светового луча.
Если n0 < ne, 0 > e, то кристалл называется положительным, и,
наоборот, если n0 > ne, 0 < e то кристалл называется
отрицательным.
Явления в одноосных кристаллах позволяют наглядным образом
уяснить
вопрос
с
поляризацией
в
каждом
из
двух
распространяющихся в них лучей.
В двухосных кристаллах оба луча света также поляризованы и
колебания электрического вектора D в каждой из волн совершаются
во взаимно перпендикулярных плоскостях. Вообще говоря, все
поляризационные явления в двухосных кристаллах значительно
сложнее, чем в одноосных. Рассмотрим теперь различные случаи
преломления света в одноосных кристаллах. Анализ будем проводить на основе принципа Гюйгенса об элементарных волнах.
Схема преломления световых лучей на границе воздух — кристалл, когда оптическая ось кристалла 00 лежит в плоскости падения, образуя угол с преломляющей поверхностью, приведена на
рисунке 11.
17
рис. 11
Параллельный пучок лучей L1, L2,L 3 (фронт волны DF) падает
на поверхность раздела SS под углом i к нормали АN. Из всех точек
поверхности
кристалла
SS
распространяются
элементарные
гюйгенсовы волны (на рисунке показаны только две из них): 1 и 1
- сферы для обыкновенной волны, и 2 и 2 - эллипсоиды для
необыкновенной волны. Огибающие плоскости Е0 и Еe образуют
соответственно
обыкновенную
и
необыкновенную
волны
в
кристалле. Линии, проведенные из центров элементарных волн в
точки касания, дают обыкновенный 0 и необыкновенный e лучи.
Обыкновенные лучи поляризованы так, что колебания совершаются
перпендикулярно плоскости падения (что показано черными
кружочками), у необыкновенных лучей колебания происходят в
плоскости падения (отмечено стрелочками, перпендикулярными
лучу).
18
На рисунке 12 изображен случай нормального падения параллельного пучка лучей на такую же поверхность кристалла, как и в
случае рисунка 11. Но если здесь обыкновенные лучи не испытывают преломления, то необыкновенные лучи преломляются и
при нормальном падении.
рис. 12
Схема нормального падения лучей на поверхность кристалла
SS, когда оптическая ось параллельна этой поверхности, изображена
на рисунке 13. Оба луча не испытывают здесь преломления, но идут
с разной скоростью. Скорость распространения обыкновенной
волны больше скорости распространения необыкновенной волны.
Косое падение на поверхность кристалла, когда оптическая ось
параллельна этой поверхности, рассмотрено на рисунке 15. Наконец,
рисунок 16 относится к случаю косого падения света на кристалл с
оптической осью, перпендикулярной плоскости падения (плоскости
чертежа). Здесь колебания в необыкновенном луче совершаются
перпендикулярно плоскости падения. Следует отметить, что для
19
этого частного случая закон преломления для обыкновенного и
необыкновенного лучей имеет обычный характер с тем лишь
различием, что показатели преломления обоих лучей неодинаковы.
рис. 13
рис. 14
Разобранные выше случаи соответствуют преломлению света
в
положительном
кристалле.
В
20
отрицательном
кристалле
преломление происходит аналогично с той лишь разницей, что там,
рис. 15
где у положительного кристалла сильнее преломлялся необыкновенный луч, у отрицательного будет сильнее преломляться обыкновенный луч, и наоборот.
21
Жидкие кристаллы.
Жидкие
кристаллы.
Таким
образом,
жидкость
имеет
определенную структуру, хотя и не так ярко выраженную, как
кристаллическая структура твердого тела. Однако возможны случаи,
когда жидкость имеет еще более ярко выраженную структуру, чем
просто наличие структуры ближнего порядка. Оказывается, для
многих веществ, особенно для органических материалов, вообще
нельзя говорить о переходе из твердого состояния в жидкое как об
одном переходе. У них переход из твердого состояния в жидкое
состоит из последовательности переходов, при каждом из которых
изменяются состояние и строение вещества, и нельзя сказать, что
оно находится либо в жидком, либо в твёрдом состоянии.
Механические свойства и структура веществ в этих промежуточных
состояниях
являются
промежуточными
между
жидким
и
кристаллическим состояниями. Вещество в таких промежуточных
состояниях называется жидким кристаллом.
Виды
жидких
кристаллов.
Особенностью
жидкостей
является отсутствие какого-либо пространственного упорядочения и
изотропия
их
свойств.
Наиболее
существенной
чертой
кристаллической структуры твердых тел является наличие трехмерного
упорядочения.
упорядоченность,
которая
Жидкие
кристаллы
проявляют
является
промежуточной
между
упорядоченностью жидкости и твердых тел, приводящей к соответствующей анизотропии их свойств. В соответствии с этим жидкие
кристаллы делятся на две группы. Первая группа жидких
кристаллов, называемых смектиками, характеризуется одномерной
пространственной упорядоченностью. Жидкость представляется
состоящей из параллельных жидких слоев, регулярно следующих
друг за другом и отличающихся друг от друга упорядоченностью
22
структуры.
Вторая
группа
жидких
кристаллов,
называемых
нематиками, не имеет пространственной упорядоченности, а
характеризуется ориентационной упорядоченностью их молекул.
Они сильно вытянуты, и ориентационная упорядоченность возникает из-за преимущественной ориентации этих длинных молекул. У
смектиков молекулы также сильно вытянуты. Поэтому можно
сказать, что особенностью жидких кристаллов с молекулярной точки
;зрения является вытянутая структура их молекул, приводящая к
анизотропии свойств.
Смектики. Смектики делятся на три типа. Обозначим их А, В,
С. У смектиков типов А и С слои жидкости ведут себя как
двумерная жидкость, центры масс молекул которой в слое
описываются бинарной функцией распределения. У смектиков типа
В слои жидкости по своим свойствам ближе к двумерному твердому
телу. В пределах слоев имеются периодичность и жесткость, характерные
для
твердого
тела.
Благодаря
этому,
в
частности,
наблюдается дифракция рентгеновских лучей на твердотельной
упорядоченности внутри каждого слоя. В отличие от смектиков
типов А и С, у которых слои, как правило, искривлены, слои
смектиков типа В являются плоскими.
Толщина слоев смектика типа А близка к длине молекул, направленных в среднем перпендикулярно поверхности раздела между
слоями (рис. 16).
23
рис. 16
Локальные
свойства
системы
слоев
аксиально-симметричны
относительно оси вращения, перпендикулярной поверхности раздела
между слоями, причем оба направления вдоль перпендикуляра
эквивалентны. Отсюда следует, что в оптическом отношении
смектики типа А проявляют свойства одноосного кристалла.
Толщина слоев смектика типа С меньше длины молекул, и
естественным является предположение, что молекулы у него
направлены под углом к поверхности раздела (рис. 17). Благодаря
этому локальные свойства не являются аксиально-симметричными
относительно оси, перпендикулярной поверхности раздела.
рис. 17
24
рис. 18
Смектики типа С обладают типичными свойствами двуосных
кристаллов. Если длинные молекулы, образующие смектик типа С,
оптически активны, причем правые и левые формы молекул
присутствуют не в одинаковом количестве, то его структура усложняется. В этом случае при переходе от слоя к слою направление
наклона осей молекулы прецессирует вокруг перпендикуляра к
поверхности раздела между слоями (рис. 18).
Кроме смектиков типов А, В и С существуют также смектики
других типов (Н, D, Е, ...), которые здесь не рассматриваются.
Нематики.
Они
не
обладают
пространственной
упорядоченностью. Анизотропия их свойств возникает из-за
ориентационной упорядоченности их длинных молекул (рис. 19) а
дальний порядок в расположении центров масс молекул отсутствует,
как это характерно для бинарной функции распределения жидкости.
25
рис. 19
Выделенным
направлением
служит
линия
ориентации
молекул нематика. Эта линия является осью симметрии свойств
нематика, причем оба направления вдоль линии являются эквивалентными. Если молекулы обладают дипольным моментом, то
ориентация
диполей
в
обоих
направлениях
равновероятна:
дипольные моменты одной половины молекул ориентированы в
одном направлении, а у другой половины - в противоположном.
Поэтому в оптическом отношении нематик является одноосным
кристаллом, причем оптическая ось совпадает с выделенным
направлением. Нематики встречаются лишь среди веществ, у
которых правые и левые формы молекул совпадают. Если они
различны, то присутствуют в одинаковом количестве (рацемическая
система).
Холестерики. Если в нематике создать избыток правых или
левых молекул, то структура нематической фазы искажается, а
именно появляется спиральное искажение. Оно наблюдается, в
частности, у чистого эфира холестерина. Поэтому возникающая при
этом спиральная фаза называется холестерической. Распределение
центров масс молекул при этом, так же как и в нематической фазе,
26
не обнаруживает дальнего порядка, а локальные свойства в каждой
области характеризуются направлением ориентации молекул в ней.
Однако в отличие от нематиков при переходе от одной области к
другой направление преимущественного ориентирования молекул
изменяется, в результате чего возникает спиральная структура (рис.
20).
рис. 20
Спирали могут быть как правого, так и левого вращения в зависимости от того, какие молекулы присутствуют в избытке. Ясно,
что холестерики могут существовать лишь у веществ, правые и
левые формы молекул которых различны и присутствуют в разных
пропорциях (нерацемические системы).
Свойства и применение жидких кристаллов. Жидкие
кристаллы обладают очень важными оптическими свойствами,
которые обеспечили их многочисленное применение и большой
интерес к их изучению. Как нематики, так и смектики типа А
27
являются одноосными кристаллами, свойства которых легко и в широких
пределах
изменяются
внешними
воздействиями.
Это
открывает широкие возможности управления световыми потоками с
помощью жидких кристаллов.
Холестерики
вследствие
спиральной
периодичности
их
структуры проявляют дифракционные свойства в видимой части
спектра. Поскольку шаг спирали изменяется под влиянием внешних
воздействий, например температуры, то с помощью этих внешних
воздействий также можно управлять световым потоком.
На свойства жидких кристаллов большое влияние оказывают
электрические и магнитные поля. Изучение этих влияний является в
настоящее время предметом интенсивных научных исследований, а
получаемые результаты используются в практике. Широко известны
цифровые указатели на жидких кристаллах, дисплеи. Разработан
метод визуализации изображений в ультрафиолетовом излучении.
Большими преимуществами жидкокристаллических пленок являются их сравнительная дешевизна и малая величина используемых
мощностей и электрических напряжений.
Прохождение плоскополяризованного света через
кристаллическую пластинку.
Рассмотрим
кристаллическую
пластинку,
вырезанную
параллельно оптической оси. При падении на такую пластинку плоскополяризованного света обыкновенный и необыкновенный лучи
оказываются когерентными. На входе в пластинку разность фаз 
этих лучей равна нулю, на выходе из пластинки
(30)
т.к. =(n0 - ne)d
Вырезанная параллельно оптической оси пластинка, для
28
которой:
(n0-ne)d = m0 + 0/4
(т — любое целое число либо нуль), называется пластинкой в
четверть
волны.
При
прохождении
через
такую
пластинку
обыкновенный и необыкновенный лучи приобретают разность фаз,
равную /2 (напомним, что разность фаз определяется с точностью
до 2m). Пластинка, для которой
(32)
называется пластинкой в полволны, и т. д.
Рассмотрим прохождение плоскополяризованного света через
пластинку
в
полволны.
Колебание
Е
в
падающем
луче,
совершающееся в плоскости Р, возбудит при входе в кристалл
колебание Е0 обыкновенного луча и колебание Ее необыкновенного
луча (рис. 21). За время прохождения через пластинку разность фаз
между колебаниями Е0 и Ее изменяется на . Поэтому на выходе из
пластинки фазовое соотношение между обыкновенным и необыкновенным лучами будет соответствовать взаимному расположению
векторов Ее и Е0 (на входе в пластинку оно соответствовало
взаимному расположению векторов Ее и Е0).
рис.21
рис. 22
Следовательно, свет, вышедший из пластинки, будет поляризован в
плоскости Р'. Плоскости Р и Р' расположены симметрично
29
относительно оптической оси пластинки О. Таким образом,
пластинка
в
полволны
поворачивает
плоскость
колебаний
прошедшего через нее света на угол 2 ( — угол между
плоскостью колебаний в падающем луче и осью пластинки).
Теперь
пропустим
плоскополяризованный
свет
через
пластинку в четверть волны (рис. 22). Если расположить пластинку
так, чтобы угол  между плоскостью колебаний Р в падающем луче
и осью пластинки О равнялся 45°, амплитуды обоих лучей,
вышедших из пластинки, будут одинаковы (предполагается, что
дихроизма нет). Сдвиг по фазе между колебаниями в этих лучах
составит /2. Следовательно, свет, вышедший из пластинки, будет
поляризован по кругу. При ином значении угла  амплитуды
вышедших из пластинки лучей будут неодинаковыми. Поэтому при
наложении эти лучи образуют свет, поляризованный по эллипсу,
одна из осей которого совпадает с осью пластинки О.
При
пропускании
плоскополяризованного
света
через
пластинку в не совпадающее с m + 1/4 или т +1/2 дробное число
волн из пластинки выйдут две когерентные, поляризованные во
взаимно перпендикулярных плоскостях световые волны, разность
фаз которых отличается от /2 и от . Следовательно, при любом
отношении амплитуд этих волн, зависящем от угла  (рис. 22), на
выходе из пластинки получится эллиптически поляризованный свет,
причем ни одна из осей эллипса не будет совпадать с осью
пластинки О. Ориентация осей эллипса относительно оси О
определяется разностью фаз , а также отношением амплитуд, т. е.
углом  между плоскостью колебаний в падающей волне и осью
пластинки О.
Отметим, что, независимо от толщины пластинки, при ,
30
равном нулю или /2, в пластинке будет распространяться только
один луч (в первом случае необыкновенный, во втором обыкновенный), так что на выходе из пластинки свет останется
плоскополяризованным с плоскостью колебаний, совпадающей с Р.
Если на пути эллиптически поляризованного света поставить
пластинку в четверть волны, расположив ее оптической осью вдоль
одной из осей эллипса, то пластинка внесет дополнительную
разность фаз, равную /2. В результате разность фаз двух
плоскополяризованных волн, дающих в сумме эллиптически
поляризованную волну, станет равной нулю или , так что
наложение
этих
волн
даст
плоскополяризованную
волну.
Следовательно, надлежащим образом повернутая пластинка в
четверть волны превращает эллиптически поляризованный свет в
плоскополяризованный. На этом основывается метод, с помощью
которого можно отличить эллиптически поляризованный свет от
частично поляризованного или свет, поляризованный по кругу, от
естественного. Исследуемый свет пропускается через пластинку в
четверть
волны
и
помещенный
за
ней
поляризатор.
Если
исследуемый луч является эллиптически поляризованным (или
поляризованным по кругу), то, вращая пластинку и поляризатор
вокруг направления луча, удается добиться полного затемнения поля
зрения. Если же свет является частично поляризованным (или
естественным),
то
ни
при
каком
положении
пластинки
и
поляризатора невозможно получить погашения исследуемого луча.
Кристаллическая, пластинка между двумя
поляризаторами.
Поместим между поляризаторами
Р и Р' пластинку из
одноосного кристалла, вырезанную параллельно оптической оси О
(рис. 23). Из поляризатора Р выйдет плоскополяризованный свет
31
интенсивности I. Пройдя через пластинку, свет станет в общем
случае эллиптически поляризованным. По выходе из поляризатора Р'
свет снова будет плоскополяризованным. Его интенсивность /' зависит от взаимной ориентации плоскостей поляризаторов
рис. 23
Р и Р' и оптической оси пластинки, а также от разности фаз ,
приобретаемой обыкновенным и необыкновенными лучами при
прохождении через пластинку.
Предположим, что угол  между плоскостью поляризатора Р и осью
пластинки
О
равен
/4.
Рассмотрим
два
частных
случая:
поляризаторы параллельны (рис. 24а) и поляризаторы скрещены
(рис. 24б). Световое колебание, вышедшее из поляризатора Р,
изобразится вектором
рис.24
Е, лежащим в плоскости Р. При входе в пластинку колебание Е
возбудит два колебания — перпендикулярное к оптической оси
колебание Е0 (обыкновенный луч) и параллельное оси колебание Ее
32
(необыкновенный луч). Эти колебания будут когерентными;
проходя через пластинку, они приобретут разность фаз , которая
определяется
толщиной
пластинки
и
разностью
показателей
преломления обыкновенного и необыкновенного лучей. Амплитуды
этих колебаний одинаковы и равны
(33)
где Е — амплитуда волны, вышедшей из первого поляризатора.
Через второй поляризатор пройдут составляющие колебаний
Е0
и
Ее
по
составляющих
направлению
в
обоих
плоскости
случаях
Р'.
равны
Амплитуды
этих
амплитудам
(33),
умноженным на cos(/4), т. е.
(34)
В случае параллельных поляризаторов (рис. 24а) разность фаз
волн, вышедших из поляризатора Р', равна , т. е. разности фаз,
приобретенной при прохождении через пластинку. В случае
скрещенных поляризаторов (рис. 24б) проекции векторов Е0 и Ее на
направление Р' имеют разные знаки. Это означает, что в дополнение
к разности фаз  возникает дополнительная разность фаз, равная .
Волны, вышедшие из второго поляризатора, будут интерферировать. Амплитуда Е результирующей волны в случае
параллельных поляризаторов определяется соотношением
а в случае скрещенных поляризаторов — соотношением
Приняв во внимание (34), можно написать, что
33
Интенсивность
пропорциональна
квадрату
амплитуды.
Следовательно,
(35)
Здесь I — интенсивность света, вышедшего из второго
поляризатора в случае, когда поляризаторы параллельны, I — та
же интенсивность в случае, когда поляризаторы скрещены, I —
интенсивность света, прошедшего через первый поляризатор.
Из формул (35) следует, что интенсивности I
оказываются
«дополнительными»
—
в
сумме
они
и I
дают
интенсивность I. В частности, при
(36)
интенсивность I, будет равна I, а интенсивность I обращается в
нуль. При значениях же
(37)
интенсивность I , становится равной нулю, а интенсивность I
достигает значения I.
Разность показателей преломления n0 - пе зависит от длины
волны света 0 - Кроме того, 0 входит непосредственно в выражение
:
Пусть свет, падающий на поляризатор Р, состоит из излучения
двух длин волн 1 и 2, таких, что  для 1 удовлетворяет условию
(36), а для 2 - условию (37). В этом случае при параллельных
поляризаторах через систему, изображенную на рис. 23, пройдет
беспрепятственно свет с длиной волны 1 и полностью будет
задержан свет с длиной волны 2. При скрещенных поляризаторах
пройдет беспрепятственно свет с длиной волны 2 и полностью
34
будет задержан свет с длиной волны 1. Следовательно, при одном
расположении поляризаторов окраска прошедшего через систему
света
будет
соответствовать
длине
волны
1, при
другом
расположении — длине волны 2. Такие две окраски называются
дополнительными. При вращении одного из поляризаторов окраска
непрерывно меняется, переходя за каждую четверть оборота от
одного дополнительного цвета к другому. Смена окраски наблюдается и при , отличном от /4 (но не равном нулю или /2), только
цвета оказываются менее насыщенными.
Разность фаз  зависит от толщины пластинки. Поэтому, если
двоякопреломляющая прозрачная пластинка, помещенная между
поляризаторами, имеет в разных местах неодинаковую толщину, эти
места при наблюдении со стороны поляризатора Р'
будут
представляться окрашенными в различные цвета. При вращении
поляризатора Р' эти цвета изменяются, причем каждый из них
переходит в дополнительный цвет. Поясним это следующим
примером.
На
рис.
25а
изображена
помещенная
между
поляризаторами пластинка, у которой нижняя половина толще
верхней. Пусть свет, проходящий через пластину, содержит
излучение только двух длин волн: 1 и 2 . На рис. 25б дан «вид» со
стороны поляризатора Р.
рис. 25
По выходе из кристаллической пластинки каждая из со35
ставляющих излучения будет, вообще говоря, поляризована по
эллипсу. Ориентация и эксцентриситет эллипсов для длин волн 1 и
2, а также для разных половин пластинки будут различны. При
установке плоскости поляризатора Р' в положение Р1 в излучении,
прошедшем через Р', будет преобладать в верхней половине
пластинки длина волны 1, в нижней половине - 2 . Поэтому обе
половины будут иметь разную окраску. При установке поляризатора
Р' в положение Р2 окраска верхней половины будет определяться
излучением с длиной волны 2, нижней половины — излучением с
длиной волны 1. Таким образом, при повороте поляризатора Р' на
90° обе половины пластинки как бы обмениваются окраской. Разумеется,
так
будет
обстоять
дело
лишь
при
определенном
соотношении толщины обеих частей пластинки.
Искусственная анизотропия.
Рассмотрим два наиболее характерных способа получения
искусственного двойного лучепреломления.
Анизотропия при деформациях. При одностороннем сжатий
или растяжении направление деформации становится выделенным и
играет роль оптической оси. Тело становится анизотропным и
двупреломляющим, разность показателей преломлений которого
(38)
где  — напряжение (Па = Н/м2), k — коэффициент, зависящий от
свойств вещества.
Для наблюдения двойного лучепреломления исследуемое тело
помещали
между
скрещенными
поляризаторами,
плоскости
пропускания которых составляют угол 45° с направлением деформации (рис. 26).
36
рис. 26
Если тело имеет вид пластинки или кубика, то при увеличении
напряжения наблюдают усиление и ослабление прошедшего света.
Если же тело имеет вид клина или другой более сложной формы, то
в проходящем свете наблюдается картина в виде системы так или
иначе расположенных полос с максимумами и минимумами
освещенности. При изменении напряжения картина меняется. Этим
пользуются
сложных
подобную
при
телах
исследовании
распределения
напряжений
в
(конструкциях): изготавливают геометрически
модель
из
подходящего
прозрачного
материала,
подвергают ее нагрузке и по наблюдаемой между скрещенными
поляризаторами
картине
судят
о
распределении
внутренних
напряжений. Этот метод значительно
упрощает весьма трудоемкую работу по расчету напряжений в
новых конструкциях.
Заметим, что целлофановая пленка является двупреломляющей.
Полиэтиленовые же пленки становятся двупреломляющими только в
результате растяжения. Это можно легко проверить на опыте.
Анизотропия в электрическом поле. Возникновение двойного
лучепреломления в жидкости и в аморфных телах под воздействием
электрического поля — эффект Керра — нашел широкое
применение как в науке, так и в технике эксперимента.
рис. 27
37
Схема установки для наблюдения этого эффекта показана на рис. 27.
Между двумя скрещенными поляризаторами Р и P' помещают
ячейку Керра — исследуемую жидкость между обкладками
конденсатора в кювете.
При создании электрического поля, напряженность Е которого
составляет угол 45° с плоскостями пропускания поляризаторов,
среда становится оптически анизотропной, двупреломляющей,
оптическая ось которой совпадает с направлением вектора Е.
Возникающая разность показателей преломления обыкновенной и необыкновенной волн оказывается при этом равной
следующему выражению:
(39)
где  — длина волны света, В — постоянная Керра, имеющая
особенно большое значение у нитробензола (2,2-10~10 см/В2).
На пути l в конденсаторе между обыкновенной и необыкновенной волнами возникает разность фаз  = 2/, или с учетом (39)
выражение для  принимает следующий вид:
(40)
Изменение напряженности Е электрического поля приводит к
последовательным просветлениям и затемнениям поля зрения.
Эффект Керра объясняется тем, что при включении электрического поля происходит поляризация молекул того же нитробензола и их выстраивание по полю. Это и создает анизотропию
вещества с преимущественным направлением — оптической осью
— вдоль электрического поля.
Наиболее важной особенностью эффекта Керра, обусловливающей его широкое применение, является весьма малая инерционность (до 10-12 с). Это, в частности, позволяет осуществить
38
практически безинерционный оптический затвор, с помощью
которого изучают весьма быстро протекающие процессы. Такой
затвор представляет собой по существу «лупу времени».
Кроме того, данный эффект используют для создания сверхкоротких световых импульсов, что позволяет определять, например,
скорость света на базе лабораторного стола (~ 3 м). Этот эффект
используют для управления режимом работы лазеров с целью
получения сверхкоротких импульсов огромной мощности и во
многих других весьма тонких физических экспериментах.
Вращение плоскости поляризации.
В кристаллических типах, а также в некоторых изотропных
жидкостях, кроме двойного лучепреломления, наблюдается ещё
одно явление, которое получило название вращение плоскости
поляризации. Явление это было открыто и впервые изучено
французскими физиками Араго и Френелем (1816гг.)
Естественное вращение. Многие вещества, называемые
оптически активными, обладают способностью поворачивать направление поляризации проходящего через них линейно-поляризованного света. Это кристаллические тела (кварц и др.), чистые
жидкости (скипидар, никотин и др.) и растворы оптически активных
веществ в неактивных растворителях (водные растворы сахара,
винной кислоты и др.).
Если на оптически активное вещество падает плоскополяризованный свет, то прошедший через него свет оказывается тоже
плоскополяризованным:
поворотом
анализатора
его
можно
полностью погасить и установить при этом угол ф поворота
плоскости поляризации.
В качестве примера возьмем кварцевую пластинку К, выре39
занную перпендикулярно оптической оси, и поместим ее между
двумя скрещенными поляризаторами Р и Р' (рис. 28).
рис. 28
Система будет пропускать свет (чего не было бы в отсутствие
пластинки К). Повернув анализатор Р' на некоторый угол ,
обнаруживаем, что система перестала
пропускать свет. Это означает, что в кристалле вектор Е повернулся
на
тот
же
угол
и
оказался
перпендикулярным
плоскости
пропускания анализатора Р'.
Опыт показывает, что все оптически активные вещества поворачивают плоскость поляризации падающего на них света на угол
(41)
где l — толщина оптически активного слоя,  — постоянная
вращения. Эта постоянная имеет различное значение для разных
веществ и, кроме того, сильно зависит от длины волны света. Так
для кварцевой пластинки толщиной в 1 мм углы поворота желтого и
фиолетового света равны соответственно 20° и 50°. В ультрафиолете
еще больше: при  = 215 нм угол  = 236°. Таким образом, поворот
плоскости поляризации света кварцем — это сильный эффект, и его
можно легко обнаружить.
В зависимости от направления вращения плоскости поляризации, оптически активные вещества подразделяют на право- и
левовращающие, т. е. вращающие по или против часовой стрелки,
если смотреть навстречу световому пучку.
Заметим, что все оптически активные вещества существуют в
двух разновидностях - право- и левовращающие.
40
Вращательная способность кварца связана с его кристаллической структурой, так как плавленый кварц не обладает оптической
активностью. Для оптически же активных жидкостей и аморфных
тел эффект вращения обусловлен асимметрическим строением
самих молекул.
Опыт показывает, что при изменении направления распространения
света
на
противоположное
поворот
плоскости
поляризации происходит в обратную сторону (рис. 29). Другими
словами, направление вращения (правое или левое) «привязано» к
направлению луча. Поэтому при прохождении света сквозь активную среду, отражении его от зеркала и вторичного прохождения
через ту же среду назад направление линейной поляризации
восстанавливается.
рис. 29
Измерение угла поворота плоскости поляризации лежит в
основе методов определения концентрации оптически активных
веществ.
Этим
пользуются,
в
частности,
для
определения
концентрации сахара в производственных растворах и биологических объектах (кровь, моча).
Магнитное вращение. Способность поворачивать плоскость
поляризации приобретают даже оптически неактивные вещества,
если их поместить в продольное магнитное поле (эффект Фарадея).
Это явление было обнаружено Фарадеем и поэтому иногда
называется эффектом Фарадея. Схема установки для наблюдения
этого эффекта состоит из соленоида с исследуемым веществом,
41
который помещен между двумя скрещенными поляризаторами P и
Р'. Создание магнитного поля приводит к просветлению поля зрения.
Поворотом плоскости пропускания анализатора P' добиваются
затемнения, и таким образом находят угол поворота плоскости
поляризации:
(42)
где V — постоянная Верде (или магнитная вращательная способность), l — длина пути света в веществе, В — магнитная индукция. Постоянная Верде зависит от рода вещества, его физического состояния и длины волны света. Приведем значения этой
постоянной для двух веществ при разных длинах волн:
Вещество
V, угл. Град/(м*мТл)
656 нм
589 нм
486 нм
Вода
0,17
0,22
0,33
Сероуглерод
0,53
0,69
1,11
Направление вращения связано только с направлением магнитного поля В. От направления луча направление вращения не
зависит. Поэтому при отражении луча зеркалом и возвращении его в
исходную точку поворот плоскости поляризации удваивается (в
отличие от естественного вращения). Это свойство позволяет
увеличить угол поворота удлинением пути света в образце за счет
многократных отражений от посеребренных поверхностей образца.
Знак вращения условно считают, если смотреть вдоль магнитного поля (вдоль вектора В). Для подавляющего большинства
веществ
вращение происходит вправо (т. е. правый винт от-
носительно вектора В). Такие вещества называют положительными.
Встречаются однако и отрицательные вещества, вращающие влево
42
(т. е. левый винт относительно вектора В).
Тот факт, что направление вращения в магнитном поле
связано только с направлением вектора В, позволяет осуществить
так называемый оптический вентиль, который способен пропускать
свет только в одном направлении. Сказанное поясняет (рис. 30).
Свет,
прошедший
после
поляризатора
P
магнитное
поле,
поворачивает плоскость поляризации на  = 45° и проходит через
поляризатор P'. А обратно, пройдя P' и повернувшись в ту же
сторону на , оказывается задержанным поляризатором P.
рис. 30
Малая инерционность эффекта Фарадея (~ 10
9
с) позволяет
использовать его для модуляции света, для создания оптического
затвора и т. п.
43