2.8. Пассивные электрические фильтры

Подставив в это равенство значения 1, 2 и 3 из (2.86), определим частоты, на которых достигаются экстремумы функции K
2
2
k св
d2
kсв
d2
(2.88)
.
1  0 , 2  0 1 
, 3  0 1 
2
2
Частотные характеристики связанных контуров в зависимости от соотношения между параметрами kсв и d представлены на рис. 2.22.
Можно показать, что при криK
тической связи, когда kсв=d
K0
(кривая 2), относительная по1
лоса пропускания системы
3
двух контуров в 2 раз боль2
ше, чем у одиночного контура.
1
В случае же сильной связи когда kсв>d и одновременно имеет место оптимальная связь,

0
0
k max
Рис. 2.22. Частотные характеристики: 1 –
т. е. когда k min 
, полоса
2
одиночного контура; 2 – связанных контупропускания втрое шире, чем ров при критической связи (kсв=d); 3 – связанных контуров при сильной связи (kсв>d)
в одиночном контуре.
2.8. Пассивные электрические фильтры
Пассивным электрическим фильтром называется электрическая
цепь, предназначенная для выделения определенной полосы частот из
сигнала, поступающего на его вход. В отличие от колебательных контуров, фильтры позволяют выделять более широкую полосу частот.
Область частот, пропускаемых фильтром, называется полосой пропускания, или полосой прозрачности. Область частот, задерживаемых
фильтром, называется полосой задержки, или полосой непрозрачности.
По виду амплитудно-частотных характеристик фильтры делятся на
фильтры нижних частот (ФНЧ), фильтры верхних частот (ФВЧ), полосовые фильтры (ПФ) и заградительные фильтры (ЗФ) или режекторные
фильтры (РФ). Идеальные АЧХ этих фильтров приведены на рис. 2.23.
Частота с, разделяющая обе эти полосы, называется частотой среза. Реальная АЧХ (для ФНЧ см. рис. 2.23 а) всегда имеет плавный переход от полосы прозрачности к полосе задержки. В этом случае частота среза с определяется по уровню 1 2  0,7 от максимального
значения величины коэффициента передачи фильтра K. Для получе45
K()
K()
1
1

1/2
Полоса
прозрачности
с
а
Полоса
прозрачности
Полоса
задержки
Полоса
задержки
с
б


K()
K()
Полоса задержки
Полоса прозрачности
1
1
Полоса
задержки
Полоса
задержки
с1
с2
Полоса
прозрачности
Полоса
прозрачности
с1 с2


в
г
Рис. 2.23. Частотные характеристики фильтров: а – идеального и реального
(пунктирная кривая) ФНЧ; б – ФВЧ; в – ПФ; г – ЗФ
ния идеальной характеристики фильтра необходимо, чтобы в полосе
прозрачности он не вносил потерь энергии, что возможно в случае,
когда фильтр образован только чисто реактивными элементами. В полосе задержки энергия источника сигнала должна полностью отражаться фильтром.
Пассивный фильтр можно трактовать как электрическую цепь, состоящую из последовательных и параллельных элементов. На
рис. 2.24 приведены структурные схемы простейших фильтров. Последовательные элементы на этом рисунке обозначены, как X 1 , а параллельные – как X 2 . В общем случае – это реактивные элементы.
Использование половинных и удвоенных значений обозначенных
элементов упрощает вычисления при анализе таких цепей. Более
сложные схемы пассивных фильтров очень часто представляют собой
каскадное последовательное, или так называемое «лестничное», соединение простых Т- и П-образных звеньев.
46
.
X1
X1
.
.
X2
Вх
Вых

Вх X2
Вых


а


X2

.
2X2
.
2X2
Вых

Вых

в
.
Error!
X1
X1
.
Error!
X1
.
Вх
б
.
Вх
.
Error!
X1
.
.
Error!
X1
.
X2



г
д
Рис. 2.24. Структурные схемы простейших фильтров: а, б – Г-образные;
в – Т-образный; г – П-образный; д – Т-образный, входное сопротивление
и нагрузка которого равны 
Если произведение X 1 X 2 есть величина постоянная, то такие фильтры являются фильтрами типа k, поскольку для них справедливо равенство X 1 X 2  k 2 =const, где k – произвольное число. Из фильтров
типа k путем перераспределения реактивных сопротивлений в плечах
лестничных цепей могут быть получены фильтры типа m, обладающие более резким спадом АЧХ вблизи частот среза.
Получим далее условие полосы прозрачности Т-образного фильтра,
работающего на согласованную нагрузку, равную характеристическому сопротивлению . Найдем полное входное сопротивление такого
фильтра и приравняем его к величине , что необходимо для выполнения условия согласования фильтра по входу (рис. 2.24 д). В результате этого получим
1   
1
1


1

X 2  X 1   
X 1  X 2  X 1    X 2  X 1   
1 
2
2
 2 

2
  ,
X1 
1
1
2
1

X 2  X 1  
X 2  X 1  
X 2   X 1   
2
2
2

1
откуда находим X 1 X 2  X 12  2 .
4
47
Тогда полное входное сопротивление рассматриваемого фильтра,
обозначенное как т, будет равно
1
т  X 1 X 2  X 12 .
4
(2.89)
границе полосы прозрачности т=0 и, следовательно,
1
X 1 X 2  X 12  0 . Отсюда вытекают два условия: X 1  0 и
4
X
1
X 2  X 1  0 или X 1  4X 2 , т. е. 1  1 . Это означает, что полоса
4X2
4
прозрачности фильтра определяется неравенством
X
(2.90)
1  1  0 .
4 X 2
На
Для П-фильтра (рис. 2.24 г) можно получить аналогичное соотношение для входного сопротивления п
п 
X 1 X 2
.
X 1
1
4 X 2
(2.91)
Ниже рассмотрим несколько конкретных примеров, касающихся
простых LC-фильтров.
П р и м е р 1. LC-фильтр нижних частот (рис. 2.25).
Error!
L
Вх
. .
X1, X2
Error!
L
0
Вых
C

.
X1
.
– 4X2
c


.
4X2
а
б
Рис. 2.25. LC-фильтр нижних частот: а – принципиальная схема фильтра; б – графическое определение частоты среза
48
Для
такого
фильтра
в
области
НЧ
L L
X 1  j    jL ,
2 2
1
, X 1 X 2  2 . Для полосы прозрачности имеем два условия:
X 2 
jC
. При этом сопротивление фильтра
X 1  0 0 , X 1   4 X 2
 c
1 2
L 2 L2


. Из последнего выражения следует,
т  X1 X 2  X1 

4
C
4
L 2 L2
что на частоте среза с сопротивление т=0, и тогда  c  0 , отC
4
куда получаем
2
(2.92)
c 
.
LC
При =0 сопротивление фильтра т  L C . Таким образом, в полосе
прозрачности сопротивление рассматриваемого фильтра т активно и
изменяется от L C до 0 (рис. 2.26). Зная величину сопротивления
Rн, на которое нагружен рассматриваемый фильтр Rн    L C , и
2
частоту среза c 
, можно определить элементы фильтра:
LC
2R
2
.
L н и C
т
c
c Rн
П р и м е р 2. LC-фильтр верхних частот L/C
(рис. 2.27).
Для этого фильтра в области высоких ча1
1
стот X 1 
, X 2  jL , а

j 2C 2C
jC
0
с 
2C  2C
2
X 1 X 2   . Для полосы прозрачности име- Рис. 2.26. Зависимость сопротивления LC-фильтра нижних



X


4
X
ем: X  0
и 1
. Сопро- частот в полосе прозрачности
2
1

 c
тивление фильтра
1
L
1
т  X 1 X 2  X 12 
 2 2.
4
C 4 C
49
от частоты
2C
. .
X1, X2
2C
Вх
L

Вых
.
4X2
c
0

.
X1
а

.
– 4X2
б
Рис. 2.27. LC-фильтр верхних частот: а – принципиальная схема
фильтра; б – графическое определение частоты среза
На частоте среза т=0, следовательно,
L
1
 2 2  0 , откуда получаем
C 4 C
значение частоты среза
1
.
(2.93)
2 LC
L/C
При 
т  L C , а при
=с т=0 (рис. 2.28). Поэтому в
полосе прозрачности сопротивление фильтра т активно и изменя
с
ется от 0 до L C .
Рис. 2.28. Зависимость сопротивления
П р и м е р 3. Полосовой LCLC-фильтра верхних частот в полосе
фильтр (рис. 2.29 а).
прозрачности от частоты
Для такого фильтра в полосе
прозрачности, т. е. когда сопротивления L2 и C2 велики, имеем
 2 
1

X 1  jL1 
 jL1 1  2  ,
jC1
 0 
1
jL2
j C 2
jL2
jL2
jL2
X 2 



.
2
2
1
j

L
j

C

1
1


L
C

2
2
2 2
jL2 
1 2
j C 2

c 
т
0
Из условия полосы прозрачности X 1  0
  0
и X 1   4 X 2
   c1,
  с 2
.
Очевидно, что точка, соответствующая значению X 1  0 , лежит внут-
50
.
Вх
2C1
2С1
С2
–4X2
4X2
X1, X2
L1
2
.
.
.
L1
2
c1
Вых
L2

c2
0


.
.
–4X2
4X2
а
б
Рис. 2.29. Полосовой LC-фильтр: а – принципиальная схема; б – графическое
определение частот среза
ри полосы прозрачности. Значения же частот с1 и с2 можно найти,
 02 
jL2
решив уравнение jL1 1  2   4
.
02
  
1 2

П р и м е р 4 . Заградительный LC-фильтр (рис. 2.30).
Для этого фильтра в полосе прозрачности, т. е. когда сопротивления L2 и C2 велики, справедливо

02 
1


X 2  jL2 
 jL2 1  2  ,
jC2
 

.
.
.
X1
X1, X2
Вх

L1
2
L1
2
2C1
2C1
L2
С2
.
4X2
0
Вых
c1
c2
0
.
–4X2

.
X1
а
б
Рис. 2.30. Заградительный LC-фильтр: а – принципиальная схема;
б – графическое определение частот среза
51

L1 1
2 j2C1
jL1
jL1
X 1  2


.
2
2
L1
1
1


L
C

1 1
j 
1 2
2
j2C1
0
Для полосы прозрачности X 1  0   0, , X 1   4 X 2   c1 , Точки, соj
 
  с 2.
ответствующие значению X 1  0 лежат внутри полосы прозрачности,
а значения с1 и с2 можно найти, решив уравнение
 02 
jL1
 4 jL2  1  2  .
2

  
1 2
0
П р и м е р 5 . Полосовой RC-фильтр (рис. 2.31).
Рассмотрим далее некоторые примеры пассивных электрических
фильтров, построенных из элементов R и C , т. е. RC-фильтров. Схемами простейших RC-фильтров нижних и верхних частот являются
соответственно интегрирующая и дифференцирующая цепи. Их частотные и фазовые характеристики были приведены в п. 2.2 и 2.3. Более сложными типами RC-фильтров являются полосовой и заградительный.
Полосовой RC-фильтр может быть образован путем последовательного соединения RC-фильтров нижних и верхних частот (рис. 2.31 а).
Векторная диаграмма такого фильтра показана на рис. 2.31 б.
В полосовом фильтре первое звено (ФНЧ) не пропускает колебаний
высоких частот, а второе звено (ФВЧ) не пропускает колебаний низ
R1
Uвх

UR1

UC2
C2
C1
Uвых
R2

Uвх

UC1
 
UR2=Uвых
а
б
Рис. 2.31. Полосовой RC-фильтр: а – принципиальная схема; б – векторная диаграмма
52
K
1

1/2
1
2
3
1/3
fp
f
Рис. 2.32. АЧХ фильтров: 1 – нижних частот; 2 – верхних
частот; 3 – полосового фильтра
ких частот. Где-то в области перехода от полосы прозрачности к полосе задержки обоих звеньев и лежит максимальное значение коэффициента передачи фильтра (рис. 2.32).
Выражение для коэффициента передачи по напряжению для полосового фильтра при значении элементов R1=R2=R и C1=C2=C имеет вид
U
1
К  вых 
.
1 
(2.94)
U вх

3  j  RC 

RC 

Модуль коэффициента передачи, т. е. АЧХ полосового фильтра согласно соотношению (2.94) дается выражением
1
K
.
2
(2.95)
1 

9   RC 

RC 

Максимальная величина модуля коэффициента передачи выраже1
ния (2.95) достигается при выполнении равенства p RC 
0 и
p RC
принимает значение
Kp=1/3.
(2.96)
График зависимости (2.95) показан на рис. 2.32. Как видно на данном рисунке, АЧХ полосового фильтра напоминает резонансную кривую колебательного контура. Поэтому соответствующую частоту
называют квазирезонансной. Ее значение может быть получено из выражения (2.95) с учетом соотношения (2.96):
53
p 
1
1
1
или f p 
.

RC
2RC 2
(2.97)
П р и м е р 6 . Заградительный RC-фильтр (рис. 2.33).
Заградительный RC-фильтр часто называют двойным Т-образным
мостом. Он представляет собой параллельное соединение Т-образных
фильтров верхних и нижних частот (рис. 2.33 а). Качественно работу
заградительного фильтра можно объяснить, перерисовав схему более
наглядно, как это показано на рис. 2.33 б. В данном случае считаем,
R1
R2
C2
C1
Uвх
R3
C3
Uвых
Uвх
R2
R1
C3
а
C2
R3
Rн
C1
Uвх
б
Рис. 2.33. Заградительный RC-фильтр: а – принципиальная схема;
б – видоизмененная принципиальная схема
что сопротивление нагрузки Rн не влияет на работу фильтра, т. е. что
Rн имеет достаточно большую величину. Слева и справа подведено
переменное входное напряжение от одного и того же источника сигнала. В этом случае можно заметить, что при 0 K1, а при 
K1. Это означает, что в области нулевой частоты и бесконечно больших частот коэффициент передачи фильтра равен 1.
Векторные диаграммы для левой и правой части преобразованной
схемы приведены на рис. 2.34 а, б. Если направить векторы напряже



ний U Rн  U вых и U Rн  U вых из одной точки (рис. 2.34 в), то видно,
что они при определенной частоте сигнала могут быть равны друг
другу по величине и противоположны по фазе. На этой частоте, называемой также, как и в случае полосового фильтра, квазирезонансной,
коэффициент передачи фильтра будет равен нулю, а фаза меняется
скачком на . Графики зависимостей K(f) и (f) представлены на
рис. 2.35. Если в рассматриваемом заградительном фильтре положить,
54
что R1=R2=R, C1=C2=C, R3=R/2, и C3=2C, то выражения для его АЧХ и
ФЧХ будут иметь соответственно вид
1  RC 2
K
,   arctg
2
1  RC 2   16RC 2


4RC
RC 2  1
,
(2.98)
а значение для квазирезонансной частоты будет равно
1
1
1
(2.99)
или f p 
p 

.
RC
2RC 2
В заключение данного раздела отметим, что помимо k-фильтров на
практике широко используются так называемые m-фильтры, которые
могут быть построены из прототипов (k-фильтров) путем перераспределения реактивных сопротивлений в последовательных и параллельных ветвях. В этом случае коэффициент m изменяется от 0 до 1.
Основным преимуществом фильтров типа m по сравнению с фильтрами типа k является то, что их сопротивление активно и близко к

Uвх

UC3  

URн=Uвых

UR2

UR1
 
UC2 Uвх


UR3
UC3

Uвых
 

URн=Uвых


Uвых
а
б


Uвых
в
Рис. 2.34. Векторная диаграмма заградительного фильтра: а – левой части
рис. 2.33 б; б – правой части рис. 2.33 б; в – выходных напряжений правой
и левой частей рис. 2.33 б

K
1
fp
fp
f
а
б
Рис. 2.35. Характеристики заградительного фильтра: а – АЧХ; б – ФЧХ
55
f
mL
2
mL
2
mL
L
C
L
Вх
Вых Вх



mC
2
mC
2
Вых Вх


C
2
C
2
Вых

mC
а
б
в
Рис. 2.36. Низкочастотные LC-фильтры типа m: а – Т-образный; б – П-образный;
в – k-протопип П-фильтра
значению   L C почти во всем диапазоне полосы прозрачности,
что позволяет обеспечить более резкий спад их АЧХ в области частот
среза. На рис. 2.36 в качестве примеров показаны простейшие варианты Т и П-образных НЧ LC-фильтров типа m (рис.2.36 а, сравните с
рис. 2.25 а).
2.9. Четырехполюсники
Любой четырехполюсник характеризуется четырьмя параметрами:
входным и выходным напряжениями U1 и U2, а также входным и выходным токами I1 и I2 (см. выше рис. 2.1). Если два из этих параметров
заданы, то два других определяются однозначно. Если, например, заданы токи I1 и I2, то можно записать
U1=f1(I1, I2),
U2=f2(I1, I2),
(2.100)
где f1(I1, I2) и f2(I1, I2) – некоторые дифференцируемые функции токов
I1 и I2.
Для малых приращений напряжений U1 и U2 будем иметь
f
f
U1
U
dU1  1 dI1  1 dI 2 
dI1  1 dI 2  Z11 dI1  Z12 dI 2 и аналоI1
I 2
I1
I 2
гично для dU 2  Z 21 dI1  Z 22 dI 2 . На основании этого приходим к следующей системе уравнений:
dU1  Z11dI1  Z12 dI 2 ,
dU 2  Z 21dI1  Z 22 dI 2 .
(2.101)
Роль малых приращений dI1, dI2, dU1 и dU2 могут играть малые переменные токи и напряжения. Поэтому для линейного четырехполюс56
ника и гармонического сигнала систему уравнений (2.101) можно переписать в комплексном виде
U 1  Z11 I1  Z12 I2 ,
(2.102)
U 2  Z 21 I1  Z 22 I2 .
Система (2.102) носит название системы Z-параметров. Наибольшее
распространение для описания свойств и параметров четырехполюсников получили, помимо системы Z-параметров, также системы уравнений, в которых в качестве независимых переменных берутся входное и выходное напряжения (система Y-параметров)
I1  Y11U 1  Y12U 2 ,
I2  Y21U 1  Y22U 2 .
(2.103)
а также входной ток и выходное напряжение (система H-параметров)
U 1  H 11 I1  H 12U 2 ,
I2  H 21 I1  H 22U 2 .
(2.104)
Z-, Y- и Н-параметры могут быть определены по результатам эксперимента в режимах «холостого хода» и «короткого замыкания» соответственно по переменному току и напряжению на входе и выходе четырехполюсника. Их физический смысл следует непосредственно из
вида уравнений (2.101)(2.104) Так, для Z-параметров (параметров
«холостого хода») имеем:
U
Входное сопротивление четырехполюсника при
Z11  1
–
I1 
«холостом ходе» для переменного тока на выходе;
I 2 0
U
Z12  1
I2 I
–
сопротивление обратной связи (обратной передачи)
при «холостом ходе» для переменного тока на входе;
–
сопротивление прямой передачи (сопротивление
усиления) при «холостом ходе» для переменного
тока на выходе;
–
выходное сопротивление при «холостом ходе» для
переменного тока на входе.
1 0
U
Z 21  2
I1
U
Z 22  2
I2
I2  0
I1  0
Физический смысл Y-параметров (параметров «короткого замыкания») заключается в следующем:
57
I
Y11  1
U 1 U
2 0
–
I
Y12  1
U 2 U
–
I
Y21  2
U1 U
–
1 0
2 0
I
Y22  2
U 2 U
–
1 0
Входная проводимость при «коротком замыкании»
выхода для переменного напряжения;
проводимость обратной связи (обратной передачи)
при «коротком замыкании входа» для переменного
напряжения;
проводимость прямой передачи (усиления) при
«коротком замыкании» выхода для переменного
напряжения;
выходная проводимость при «коротком замыкании» входа для переменного напряжения.
Физический смысл Н-параметров (гибридная или смешанная
система) состоит в следующем:
U
входное сопротивление в режиме «короткого замыН 11  1
–
I1 
кания» выхода для переменного напряжения;
U 2 0
U
Н 12  1
U 2
I
Н 21  2
I1
I1  0
U 2  0
I
Н 22  2
U 2
I1  0
–
–
–
коэффициент внутренней обратной связи по
напряжению при «холостом ходе» для переменного
тока на входе;
коэффициент передачи по току (коэффициент усиления) при «коротком замыкании» выхода для переменного напряжения;
выходная проводимость при «холостом ходе» для
переменного тока на входе.
Параметры любой из систем можно выразить через параметры
другой системы. В качестве примера выразим H-параметры четырехполюсника через его Z-параметры. Для этого из второго уравнения
системы (2.102) найдем ток I2 и подставим в первое уравнение. Тогда




I 2  1 U 2  Z 21 I1 и U 1  Z11 I1  Z12  1 U 2  Z 21 I1   Z I1  Z12 U 2 , где
 Z
Z 22
Z 22
Z 22  Z 22
Z 22
 22
Z  Z11Z 22  Z12 Z 21 . С учетом выполненных преобразований перепишем
систему уравнений (2.102) в следующем виде:
58
Z  Z12 
U 1 
I1 
U2
Z 22
Z 22
Z
1 
I2   21 I1 
U2
Z 22
Z 22
(2.105)
Сравнивая коэффициенты системы уравнений (2.105) с соответствующими коэффициентами системы уравнений (2.104), можно записать
Z
Z
Z
1
.
H 11 
, H 12  12 , H 21   21 , H 22 
Z 22
Z 22
Z 22
Z 22
Аналогичные соотношения можно получить и для любых других
параметров. Результаты вычислений, позволяющие совершать переход от одной системы параметров к другой, сведены в табл. 2.1.
Если Z-, Y- и H-параметры имеют активный характер, то при записи
этот факт подчеркивается заменой Z на r, Y на y, H на h.
Т а б л и ц а 2.1.
Y 
Z 
Z 
Y 
H 
Z11
Z12
Z 21
Z 22
Z 22
Z
Z
 21
Z
Z
Z 22
Z
 21
Z 22
Z12
Z
Z11
Z
Z12
Z 22
–
1
Z 22
Y22
Y
Y
 21
Y
H 
Y
– 12
Y
Y11
Y
Y11
Y12
Y21
Y22
1
Y11
Y21
Y11
Y
– 12
Y11
Y
Y
H
H 22
H
 21
H 22
1
H 11
H 21
H
1
H 22
H
– 12
H 11
H
H 11
H 11
H 12
H 21
H 22
11
11
H 12
H 22

В принципе безразлично, какой из систем уравнений четырехполюсника пользоваться, так как они в определенном смысле равноправны и взаимосвязаны. Однако чаще всего для транзисторных схем используется система H-параметров, так как их достаточно просто и с необходимой степенью точности можно определить экспериментально.
59
К виду систем уравнений (2.102) – (2.104) можно привести любую
электронную цепь, имеющую две клеммы на входе и две на выходе. По
этим уравнениям можно составить различные эквивалентные схемы четырехполюсников ( т. е. построить так называемые формализованные модели). Эквивалентность в данном случае заключается в том, что все
внешние токи и напряжения в реальной схеме, и схеме, соответствующей
формализованной модели четырехполюсника, будут одинаковы.
На рис. 2.37 представлено три примера таких моделей: модель, соответствующая рис. 2.37 а описывается уравнениями (2.102); соответствующая рис. 2.37 б – уравнениями (2.103) и рис. 2.37 в – уравнениями (2.104). При этом направления токов на эквивалентных схемах выбраны произвольно и в различных случаях могут быть изменены, что
определяется конкретными схемами рассматриваемых четырехполюсников.
Наиболее простыми пассивными симметричными схемами четырехполюсников являются Т- и П-образные схемы (рис. 2.38). Установим связь между параметрами цепей, представленных на рис. 2.37 а и
рис. 2.38 а, а также соответствующих им цепей, приведенных на
.
I1
.
I2
.
Z11
.
I2
.
U2
.
U1
1
.
Y11
.
. .
Iг oc=Y12U2
а
1
.
Y
. . .22
Iг=Y21U1
<<
. . .
Eг=Z21I1
<<
>
.
Z22
>
.
U1 E. =Z. I.
г oc
12 2
.
I1
. б
I2
.
I1
.
H11
1
.
. . H
. 22
Iг=H21I1
<<
>
.
U1
.
. .
Eг oc=H12U2
.
U2
в
Рис. 2.37. Эквивалентные схемы четырехполюсников: а – схема, построенная
в Z–параметрах; б – в Y–параметрах; в – в H-параметрах
60
.
U2
рис. 2.37 б и 2.38 б. Для схемы рис. 2.37 а можно записать
U
Z11  1
 Z1  Z3 ,
I1 
(2.106)
I 2 0
U 1

Z12 
I2 I
 Z3 ,
(2.107)
U
Z 21  2
I1
 Z3 ,
(2.108)
 Z 2  Z 3 .
(2.109)
1 0
U
Z 22  2
I2
I2  0
I1  0
Подставим значение Z 3 из формулы (2.107) в соотношение (2.106).
Тогда получим Z11  Z1  Z12 , откуда Z1  Z11  Z12 . И, наконец, непосредственно из (2.107) и (2.108) следует, что Z 3  Z12  Z 21 .
Далее согласно определению Y-параметров можно записать
I
Z  Z B
I
1
Y11  1
 A
, Y12  1

,
U1 U  0
Z A Z B
U 2 U  0
Z B
2
1
2
2
Z  Z C
I
I
1
Y21 

,
Y22 
 B
.
U1 
Z B
U 2 
Z B Z C
U 2 0
U1  0
По аналогии с приведенными выше рассуждениями относительно
1
Z-параметров для Y-параметров можно получить: Z A 
,
Y11  Y12
1
1 
1
, ZC 
.
Z B  

Y12
Y21
Y12  Y22
.
I1
.
U1
.
I2
.
Z1
.
Z3
.
Z2
.
I1
.
U2
.
U1
.
I2
.
Z
. B .
ZC
ZA
.
U2
а
б
Рис. 2.38. Схемы пассивных четырехполюсников: а – Т-образного;
б – П-образного
61
Контрольные вопросы
1. Как классифицируются элементы, входящие в состав электрических цепей?
2. Какие электрические цепи являются линейными?
3. Сформулируйте основные свойства линейных радиотехнических цепей.
4. В чем сущность анализа цепей методом суперпозиции, и к каким цепям он
применим?
5. Какие цепи являются дифференцирующими (интегрирующими)?
6. Как дифференцирующая (интегрирующая) цепь влияет на прохождение через нее сигнала в виде прямоугольного импульса?
7. Какая цепь является переходной? Для каких целей применяют переходные
цепи?
8. Что такое переходная характеристика цепи?
9. Какими основными параметрами характеризуется одиночный колебательный контур?
10. Какую форму имеют колебания в одиночном контуре с затуханием (без затухания?)
11. В чем состоят основные отличия последовательного колебательного контура
от параллельного?
12. Изобразите вид АЧХ двух индуктивно связанных колебательных контуров в
зависимости от параметров kсв и d?
13. Для каких целей используются электрические фильтры?
14. Изобразите АЧХ и ФЧХ основных типов фильтров.
15. Сформулируйте условие полосы прозрачности фильтра.
16. Дайте определение четырехполюсника.
17. Как можно классифицировать четырехполюсники?
18. Каков физический смысл параметров четырехполюсников?
19. Как связаны между собой параметры четырехполюсника, выраженные в
Z-, Y-, H-системах?
62