д-р техн. наук, профессор канд. техн. наук, доцент

УДК 621.3
ПЕТРОВ Ю.С., д-р техн. наук, профессор
ЧУМБУРИДЗЕ Д.С., канд. техн. наук, доцент
МАСКОВ С.П., канд. техн. наук, доцент
РАСШИРЕНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ СИМВОЛИЧЕСКОГО МЕТОДА ДЛЯ
РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ И ОБЪЕКТОВ
Рассмотрена возможность применения обобщенного экспоненциального
воздействия и его частных случаев для расчета электрических цепей и
объектов на основе преобразования исходных функций в функции комплексной
частоты.
Символический метод нашел повсеместное распространение для расчета
электрических цепей при воздействии источников синусоидального напряжения и
тока [1, 2]. Однако идею метода можно распространить и на другие типы воздействий
(напряжений): экспоненциальное, синусоидальное с изменяющейся по экспоненте
амплитудой, постоянное [3]. Причем, можно использовать такое воздействие, из
которого будут получаться другие, как частные случаи.
Воспользуемся функцией:
u(t )  U m et sin( t   ) .
(1)
Функция (1) представляет собой синусоиду с изменяющейся по экспоненте
амплитудой. Из нее могут быть получены, как частные случаи, постоянные,
экспоненциальные и синусоидальные напряжения.
При этом, для упрощения расчетов по аналогии с символическим методом,
можно ввести преобразование:
u (t ) ≓ U m ( s )  U m e st
(2)
где U (s ) - преобразованное в функцию от s напряжение u (t ) , U m  U m e j комплексная амплитуда, s – комплексная частота s=σ+jω.
Между u (t ) и U (s ) можно записать следующее соотношение






u (t )  U met sin( t  )  Im U me st  Im U me  jt  U met Im e  t  j 
 ImU met 


1   t  j
e
 e   t  j .
2
(3)
1
*
*
1 

Т.е. u (t )  Im  U m e st  U m e s t  ,

2 
(4)
*
где: U  U m e  j - сопряженный комплекс напряжения;
*
s    j - сопряженная комплексная частота.
Напряжение u (t ) можно определить как:


u (t )  Im U me j  e  jt  Im etU m cos  t   j sin   t   U met sin   t  .
При
использовании
преобразования
(2)
вводят
понятия
(5)
обобщённого
сопротивления k-ой ветви Z k (s) :
Z k ( s )  Rk  sLk 
Применение
1
.
sC k
преобразования
(6)
(2)
рассмотрим
для
анализа
уравнений
четырехполюсника, так как многие электротехнические объекты (например,
трансформаторы, фильтры и т.п.) можно представить как четырехполюсники.
Уравнение
четырёхполюсника
можно
записать
для
обобщённого
экспоненциального воздействия (1) и для получаемых из него частных случаев.
Например, уравнения в А-форме для обобщённого воздействия.
U 1 ( s)  AU 2 ( s)  BI 2 ( s)

 .
I1 ( s)  CU 2 ( s)  DI 2 ( s) 
(7)
Из (7) можно получить частный случай уравнения четырёхполюсника для
постоянного напряжения если принять s  0 . Тогда U   U ( s ) s 0 , z ( s)  R. Причём
надо отметить, что в исходной схеме индуктивность закорачивается, а ёмкость
разрывается.
Для
экспоненциального
z( )  R  L  1/ C .
Для
напряжения
синусоидального
s  , U Э  U ( s ) s   U ( ) ,
напряжения
  0,
U ~  U ( s) 0  U ( j )  U , Z  R  jL  1 / jC. Для обобщенного воздействия типа
(1) сопротивление определяется формулой (6), а общий вид преобразования –
функцией (2).
Рассмотрим пример анализа уравнений четырёхполюсника для схемы рис.1 при
действии на входе цепи напряжений разного типа, используя преобразование (2).
2
Рис. 1. Т-образный четырёхполюсник с нагрузкой (Rн)
Уравнения четырехполюсника в А-форме были записаны ранее в (7).
Коэффициенты А(s), В(s), С(s), D(s), определим, например, по законам Кирхгофа:
I1 ( s )  I 2 ( s )  I 3 ( s )  I 2 ( s ) 
I 2 ( s)  Z 2 ( s)
Z ( s)
1

U 2 ( s)  (1  2 I 2 ( s) (8)
Z 3 ( s)
Z 2 ( s)
Z 3 ( s)
U 1 ( s )  I 1 ( s ) Z1 ( s )  I 2 ( s )  U 2 ( s ) 



Z ( s) 
Z (s)Z 2 ( s)
 1  1 U 2 ( s )   Z1 ( s )  Z 2 ( s)  1
 I 2 ( s) 
Z 3 (s) 
Z 3 (s)



(9)
Сопоставляя (8) и (9) с системой (7), получим:
A( s)  1 
C ( s) 
Z1 ( s )
, (10) ;
Z 3 ( s)
1
,
Z 3 ( s)
(12);
B ( s )  Z1 ( s )  Z 2 ( s ) 
D( s )  1 
Z1 ( s ) Z 2 ( s )
,
Z 3 ( s)
(11)
Z 2 ( s)
. (13)
Z 3 ( s)
Причем A( s)  D( s)  B( s)  C ( s)  1 .
(14)
Далее проанализируем работу четырехполюсника при следующих типах
воздействий: постоянная ЭДС, синусоидальная, экспоненциальная и синусоидальная
с изменяющейся по экспоненте амплитудой; параметры элементов примем равными:
R=3 Ом, Rн=2 Ом, L=1 Гн, C=0,01 Ф, σ=±2 с-1, Um=10 В, ω=20 с-1, α =30° .
1. Постоянный ток. В этом случае параметры обобщенного воздействия:
s=0, ω=0, α=0, В, σ=0, t=0; примем Um=U=10 B. Найдем U(s)
U ( s )  U m e (  j )t  U m  U  10 , т.е. U(s)=10 В.
Используя выражения (10) – (13) определим коэффициенты четырехполюсника:
A(S)=1, B(S)=3, C(S)=0, D(S)=1.
3
Уравнения четырехполюсника в А-форме:
U1  1  U 2  3  I 2
I1  0  U 2  1  I 2 .
2. Экспоненциальное воздействие, σ >0.
σ=2, ω=0, s=σ+jω, s=2, t=0, ψ=0, U=U1=10B.
U ( s )  U m e (  j )t    0  U 0 e t  10e 2t .
Определим
Z ( )  R  L 
коэффициенты
четырехполюсника,
имея
в
виду,
что
1
: А(σ)=10,6; В(σ)=5,12; D(σ)=1,04; С(σ)=0,02.
 C
Уравнения четырехполюсников в А-форме:
U 01 ( )  1,06U 02 ( )  5,12 I 02 ( )
(8)
I 01 ( )  0,02U 02 ( )  1,04 I 02 ( )
В системе (8) токи и напряжения представляют собой начальные значения
соответствующих экспонент. Вычисленные для заданной схемы токи и напряжения
равны:
I1(σ)=1,492e2t A, I2(σ)=1,381e2t A, I3(σ)=0,11e2t A, U2(σ)=2,762e2t B,
Их подстановка в (8) даёт тождества.
3. Гармоническое воздействие (синусоидальная форма):
σ=0, ω=20 c-1, s=σ+jω, s=j20,  =30o, U1m=10 В

0
(  j ) t
U ( s )  U m e 0
 U m e jt  U m e j e jt  10e j 30 e j 20t .
В результате расчетов получено:
A  1  j 0,6 , B  9  j 20 Ом, C  j 0,2 Ом-1, D  3 .
Уравнения четырехполюсников в А-форме:
U 1 ( j )  1,06U 2 ( j )  5,12 I 2 ( j )
(9)
I 1 ( j )  0,02U 2 ( j )  1,04 I 2 ( j )
В системе (9) токи и напряжения представляют собой комплексные величины.
4. Обобщенное экспоненциальное воздействие,   0 .
Конкретные значения сопротивлений для заданной
схемы:
0
Z 1 ( s)  R  2 , Z 2 ( s)  s  L  (2  j 20)  1  2  j 20  20,1e j 84,3 ,
4
Z 3 ( s) 
0
1
1

 0,495  j 4,95  4,975e j 84,3 .
sC (2  j 20)  0,01
Определим коэффициенты четырехполюсника:
0
2
 1,218  e j 29,5
(2  j 20)  0,01
0
0
2  (2  j 20)
1
B( s)  2  (2  j 20) 
 23,433e j107,1 C ( s) 
 0,201e j 84,3
0,495  j 4,95
0,495  j 4,95
0
2  j 20
, D( s )  1 
 3,066e j164,9
0,495  j 4,95
A( s)  1 
Проверим соотношение: A(s)  D( s)  B(s)  C (s)  1 .
0
0
0
0
1,218e j 29,5  3,066e j164,9  23,433e j107,1  0,201e j 29,5  1, выполняется.
Окончательно, уравнения 4-х полюсника в обобщенной форме будут иметь вид:
0
0
U 1 ( s)  1,218e j 29,5  U 2 ( s)  23,4  e j107,1 I 2 ( s)
0
0
I 1 ( s)  0,201e j 84,3  U 2 ( s)  3,06e j164,9  I 2 ( s)
(10)
Запишем уравнения (10) для конкретного воздействия и конкретных токов и
напряжений 4-х полюсника, для чего примем U1m=10 В,   30 0 т.е в обобщенном
.
виде: U 1 ( s )  U 1m e st  10e j 30 e ( 2 j 20)t и определим токи и напряжения обычным
0
способом.
1  Rн  sC  Ls2C
I1 (s)  U1 (s)  YBX (s)  U1m e 

R  Rн  sL  R  Rн sC  RLCs2
.
 10e j 30 e( 2  j 20 )t 
st
1  2  ( 2  j 20)  0,01  1( 2  j 20) 2  0.01

3  2  ( 2  j 20)  1  3  2( 2  j 20)  0,01  3  1 0,01( 2  j 20)
 (0,086  j1,308 )e
( 2  j 20 ) t
j 86,30 ( 2  j 20 ) t
.
 I1m  e( 2  j 20 )t
 1,311e
e
.


j 30 ( 2 j 20 ) t
( 2 j 20 ) t
I 3 ( s)  U1 ( s)  I1 ( s )  R   sC  10e e
 I1m  e
 2 (2  j 20)  0,01 


.
 1,703e j 91,6  e ( 2 j 20)t  I 3m e ( 2 j 20)t
0
.
.
I 2 ( s)  I1 ( s)  I 3 ( s)  I1m e ( 2 j 20)t  I3m e ( 2 j 20)t 
 (0,086  j1,308)e ( 2 j 20)t  (0,47   j1,702)e ( 2 j 20)t
5
Напряжение нагрузки:
.
U 2 ( s )  I 2 ( s )  R Н  I 2 m e ( 2 j 20)t  R Н  0,415e  j 71, 4 e ( 2 J 20)t  2 
0
;
.
 0,83e  j 71, 4 e ( 2 j 20)t  U 2 m e ( 2 j 20)t
0
Подставим найденные значения в уравнения 4-х полюсника (18) и сократим на
e ( 2 j 20)t . Для напряжения U 1m :
общий множитель
10e j 30  1,218e j 29,5  0,83e  j 71, 4  23,433e j107,1  0,415e j 71, 4  10e j 30
0
0
0
0
0
т.е левая часть равна правой. Для тока I1m
1,311e j86,3  0,201e j 84,3  0,83e  j 71,4  3,066e j164,9  0,415e  j 71,4  1,311e j 86,3
0
0
0
0
0
0
т.е левая часть равно правой части.
Полученные равенства подтверждают правильность проделанных вычислений и
методики применения, обобщенных экспоненциальных воздействий.
Проведенный
анализ
показывает
универсальность
применения
метода
обобщенных экспонент, который, как это видно из приведенных соотношений,
расширяет возможности символического метода, сохраняя все его преимущества.
Литература.
1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи.
«Юрайт». 2013. – 701 с.
2. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники. Линейные электрические
цепи. «Лань». 2009. – 592 с.
3. Толстов Ю.Г., Теврюков А.А. Теория электрических цепей. Учеб. пособие для
электротехнич. и радиотехн. специальностей вузов. М., «Высшая школа», 1971.
– 296 с.
6