Краткие теоретические сведения и решение типовых задач по теме «Логика предикатов» Необходимо расширение языка высказываний. Поэтому определим логику предикатов (логику первого порядка). х больше y: Больше (х, y), Джон любит Мери: Любит (Джон, Мери). х больше 3: больше(х, 3), где х – переменная, 3 – константа, больше – предикатный символ. x+y: плюс (х, y), где «плюс» - функциональный символ. Предикат обобщает высказывание и, при этом имеет структуру и может содержать переменные и даже функции, определенные над некоторой областью. Больше (плюс(х, 1), 3) – истина если x > 2, ложь в остальных случаях. Построение языка Для построения языка воспользуемся следующими четырьмя типами символов: 1. константы – это обычно имена объектов такие, как Мери, 3 и так далее, то есть константы из некоторых областей. 2. предметные переменные – малые латинские буквы: x, y, x1, x … - принимают значения из области. 3. функциональные символы – будем использовать малые латинские буквы: s, g, h…, а так же такие слова, как плюс, минус и другие. 4. предикатные символы – большие латинские буквы или слова типа «любит», «больше». 5. (,). Всякая функция будет использовать помимо функциональных символов определенное число аргументов: f(x,y), плюс(x,y), f – двухместный функциональный символ. Всякий предикат будет использовать помимо предикатных символов- аргументы: P (x, плюс (x, y)) –двухместный предикат. Замечание Допускаются двухместные предикаты Q, R – аналог пропозиционнальных переменных, то есть принимающих значения истина или ложь. Функциям и предикатам будут сопоставляться отображения. Определим конструкции языка формул. Введем понятие терма Определение: 1. константа – терм; 2. переменная – терм; 3. если f – n-мерный функциональный символ и t1, t2, …, tn - термы, то f (t1, t2, …, tn) терм. 4. других термов нет. Пример. Плюс (х, 1) – двухместный; плюс(Плюс (х, 1),y). Предикат – это отображение списка констант в И и Л. Определим атом логики предикатов. Определение. Если P – n-местный предикат символов и t1, t2, …, tn - термы, то P(t1, t2, …, tn) атом. Теперь можно воспользоваться пятью логическими связками для построения формул: , , , , , а так же двумя новыми для переменных: - квантор общности (все); - квантор существования (существует для некоторых). (х) – для всех х, для каждого х, для всякого х. (х) – существует х, для некоторых х, по крайней мере для одного х. Примеры формул. Каждое рациональное число есть вещественное: (х)(Q(x)R(x)) Существует число, являющееся простым: (х)P(x). Для каждого числа х существует такое число y, что x<y: (x)(y) меньше(x, y). Область действия квантора входящего в формулу – это подформула, к которой он применяется. (x)(y) МЕНЬШЕ (x, y). , - область действия МЕНЬШЕ(х, у). (х) Р (х)Q(x): Р (х) – область действия; (х) (Р(х)Q(x)): - (Р(х)Q(x)) – область действия. Определение. Вхождение переменной х в формулу называется связанным, если x является переменной входящего в эту формулу квантора или находится в некоторой области действия этого квантора. Иначе вхождение называется свободным. Например. (х)Р(х, у) х – связанное вхождение; у – свободное вхождение. (х) Р (х, у)(у) Q (у) свободная связанная Определение: Формулой логики предикатов(логики второго порядка) называется 1.атом (атомная формула); 2.если F и G формулы, то F , GF, GF, GF, FG – формулы; 3.если F формула и х свободная переменная, то (х)F и (х)F – формулы; формулы только конечные. Пример. 1. Каждый человек смертен. Конфуций человек. Следовательно, Конфуций смертен. (х)(ЧЕЛОВЕК(х)СМЕРТЕН(х)ЧЕЛОВЕК(Конфуций) СМЕРТЕН (Конфуций)). Аксиомы натуральных чисел. (х)(у)((у, f(x))(z)(E(z ,f(x))E(y, z))) Для каждого числа существует одно и только одно число, f(x) – следующее; g(x) – предыдущее. - ( x E0, f x ) – нет числа, за которым непосредственно следует ноль. (х)( Ex,0 ((y)(E(y,g(x))(z)(E(z, g(x))E(y, z))))) – для каждого числа, отличного от нуля, существует одно и только одно непосредственно предшествующее ему число. Определение: вхождение переменной х в формулу называется связанным тогда и только тогда, когда на нее навешен квантор. . Иначе вхождение называется свободным. (х) Р(х,у), где х – связанное вхождение, а у – свободное вхождение; (х) Р(х,у) (у) Q(у), где в первом случае у – свободное вхождение, а во втором – связанное Определение: переменная свободная в формуле, если хотя бы одно её вхождение в эту формулу свободно. Переменная связана в формуле, если хотя бы одно её вхождение в эту формулу связано. Определение:формулойлогики предикатов (логики II порядка) называется: 1) атом. (атомарная формула {P, Q(x),…} 2) если F и G – формулы, то F , FG, FG, FG, FG,…тоже формулы. 3) Если F – формула и х – свободная переменная, то (х) F и (х) F – формулы. 4) Формулы только конечные. Пример: 1) Каждый человек смертен. Конфуций – человек. Следовательно, Конфуций смертен. (х) (ЧЕЛОВЕК (х) СМЕРТЕН (х)) ЧЕЛОВЕК (Конфуций) СМЕРТЕН (Конфуций). 2) Аксиомы натуральных чисел. (х) (у) (Е(у, f(x)) (z) (E(z, f(x)) E(y, z))), где f(x) – следующее число g(x) – предыдущее. Для каждого числа существует одно и только одно число, непосредственно следующее за ним. ((x) E(0, f(x))) - нет числа, за которым непосредственно следует ноль. (х) ( E(x,0) ((у) (Е(у, g (х)) (х) (Е(z, g(x)) E(y, z))) – для каждого числа, отличного от нуля, существует одно и только одно непосредственно предшествующее ему число.