08-09-04

08-09-04. Арифметический корень n -й степени
1. Определение арифметического корня n-й степени из неотрицательного числа.
Рассмотренные понятия квадратного и кубического корней допускают обобщение на
случай корней четвертой степени, пятой степени, и так далее. При обобщении мы ограничимся изучением свойств арифметических корней.
Пусть a — неотрицательное число, и n — натуральное число, большее 1. Арифметическим корнем n -ой степени из числа a называется неотрицательное число b ,
n -я степень которого равна a , то есть b n  a .
Арифметический корень n -ой степени из числа a обозначается a при n  2 и n a
при n  2 . Для краткости n a будем называть корнем n -ой степени из числа a .
Число a называется основанием, а число n — показателем корня n -ой степени из
числа a .
По определению корня n -ой степени для неотрицательного числа a имеем равенство
( n a )  a
Пример 1.
3
64  4 потому что 4  0 и 43  64 .
Пример 2. 4 16  2 , потому что 2  0 и 2 4  16 .
Пример 3.
6
(1  2 2)6  2 2 1 , потому что 2 2 1  0 и (2 2  1)6   (1  2 2)6 .
Выражения вида n a , где a — выражение, принимающее неотрицательные значения и
n — натуральное число, большее 1, имеют общее название радикалы. Выражения, содержащие радикалы, называют иррациональными выражениями.
2. Доказательства свойств радикалов основываются на следующем важном свойстве
числовых неравенств.
Свойство 1. Пусть n — натуральное число. Для неотрицательных чисел x и y неравенство x  y равносильно неравенству x n  y n .
Доказательство. Разберем доказательство на примере n  6 .
Пусть x  y  0 . Тогда x  0 , а поэтому и x 5  0 . Запишем теперь равенство
x6  y 6  ( x  y)( x5  x 4 y  x3 y 2  x 2 y 3   xy 4  y 5 ) . В правой части второй множитель равен сумме неотрицательных чисел, из которых число x 5  0 . Поэтому второй множитель
положителен, и из записанного равенства следует:
а) если x  y  0 , то x6  y 6  0 ;
б) если x6  y 6  0 , то x  y  0 .
Тем самым равносильность неравенств x 6  y 6 и x  y доказана.
3. Из доказанной в предыдущем пункте равносильности неравенств x  y и x n  y n для
неотрицательных чисел можно получить новые важные свойства.
Свойство 2. Пусть n — натуральное число. Для неотрицательных чисел x и y из равенства x n  y n следует равенство x  y .
Доказательство. Пусть x n  y n . Если предположим, что x  y , то тогда либо y  x  0 ,
либо x  y  0 . Но из свойства 1 следует, что при y  x выполняется неравенство y n  x n ,
а при x  y выполняется неравенство x n  y n .
Следовательно, предположение о том, что x  y , приводит к противоречию с равенством x n  y n . Значит, для неотрицательных x и y из равенства x n  y n следует равенство x  y .
Свойство 3. Для каждого неотрицательного числа a существует единственное значение n a .
Доказательство. Доказывать существование корня n -й степени мы не будем. Единственность получаем из следующего рассуждения. Пусть для неотрицательных чисел x и
y выполняются равенства x n  a и y n  a , то есть каждое из чисел x и y является арифметическим корнем n - ой степени из числа a . Тогда x n  y n , и на основании свойства 2
получаем, что x  y .
Свойство 4. Если a  b , то n a  n b .
Доказательство. Обозначим n a   x , n b  y . Тогда x n  a , y n  b , и по, условию
x n  y n . Так как x и y неотрицательны, то по свойству 1 из предыдущего пункта имеем
x  y , то есть n a  n b .
4. Изученные правила действий с квадратными и кубическими корнями обобщаются на
случай корней n -й степени.
Правило 1. Корень n -й степени из произведения двух неотрицательных чисел равен
произведению корней n -й степени из этих чисел.
Доказательство. Рассмотрим выражения n ab и n a n b . Тогда ( n ab )  ab по определению
( n a n b ) n  ( n a ) n ( n b ) n  ab
Следовательно, ( n ab ) n  ( n a n b ) n , и на основании свойства 2 из пункта 3.3. получаем
нужное равенство
n
ab  n a n b 
Пример 4.
4




4
24  5 2  5 2  5 2  5 2  5 2   5 2  
Правило 2. Корень n -й степени из частного, у которого числитель неотрицательный, а
знаменатель положительный, равен частному корней n -й степени из этих чисел.
n
a
n


Доказательство. Рассмотрим выражения n ba и n ba . Тогда  n ab   по определению,


b
n
 n a  ( n a )n a
 n   n n  
b
 b  ( b)
Следовательно,


 n a 
 b 

  , и на основании свойства 2 из пункта 4.3 получаем нужное
n
n
a
b
n
равенство
n
a na


b nb
Пример 5.
5
23 
5
5
1
1
1

 5 3  ( 5 2) 3 
3
5
3
2
( 2)
2
Правило 3. Корень n -ой степени из неотрицательного числа a в степени n равен числу
a.
n
a n  a
Это правило доказывается аналогично доказательствам предыдущих правил.
5
Пример 6.
128  7 27  2 .
5.** Метод Феррари решения уравнения четвертой степени на примере уравнения ( x  2)  ( x 3  1)  0 .
Одним из корней уравнения четвертой степени вида
x4  a
при a  0 по определению является число x  4 a . Однако, решение такого уравнения нетрудно свести к решению двух квадратных уравнений. Действительно, многочлен x 4  a
разлагается на множители x 4  a  ( x 2  a )( x 2  a ) , а поэтому все корни уравнения
x 4  a  0 получаются как корни двух квадратных уравнений x 2  a  0 и x 2  a  0 .
Вскоре после того как была найдена формула Кардано для корней кубического уравнения, был найден и метод решения любого уравнения четвертой степени, известный как
метод Феррари.
Метод Феррари заключается в разложении многочлена P( x )  x 4  ax 3  bx 2  cx  d на
два квадратных множителя, для чего составляется вспомогательное кубическое уравнение.
Разберем метод Феррари на примере решения уравнения ( x  2)( x3  1)  0 или
x 4  2 x3  x  2  0 .
Введем параметр t и выделим у многочлена P( x)  x 4  2 x3  x  2 слагаемое вида
( x2  x  t )2  x 4  x 2  t 2  2 x3  2tx 2  2tx , где коэффициент при x выбирается равным половине коэффициента при x 3 у многочлена P ( x ) . Тогда получим
P( x)  x 4  2 x 3  x  2 
 ( x 4  x 2  t 2  2 x3  2tx 2  2tx) 
((1  2t ) x3  (1  2t ) x  (t 2  2))
Подберем теперь параметр t таким образом, чтобы многочлен Q( x)  (1  2t ) x3 
(1  2t ) x  (t 2  2) был квадратом линейного многочлена. Как известно, для этого нужно,
чтобы дискриминант многочлена Q ( x) был равен нулю, то есть
D  (1  2t )2  4(1  2t )(t 2  2) 
 8t 3  12t  9  0
В результате приходим к кубическому уравнению относительно параметра t . В данном
примере кубическое уравнение можно решить без общей формулы Кардано, так как оно
имеет рациональный корень t  32 .
Подставляя это значение t , приходим к равенству
P( x)  x 4  2 x 3  x  2 
3
1
 ( x 2  x  ) 2  (4 x 2  2 x  ) 
2
4
3
1
 ( x 2  x  ) 2  (2 x  ) 2 
2
2
 ( x 2  3x  2)( x 2  x  1)
Следовательно, уравнение P ( x )  0 можно записать в виде ( x 2  3x  2)( x 2  x  1)  0 , и
его решение сводится к решению двух квадратных уравнений x 2  3x  2  0 и
x2  x  1  0 .
В общем случае метод Феррари нахождения корней уравнения четвертой степени точно
такой же, как и в рассмотренном примере.
6. Решение биквадратного уравнения.
Уравнения четвертой степени вида
ax 4  bx 2  c  0
где a , b , c — фиксированные числа и a  0 , называют биквадратными.
С помощью замены неизвестных y  x 2 решение биквадратного уравнения сводится к
решению квадратного уравнения.
Пример 7. Решим уравнение x 4  13 x 2  36  0 .
Пусть x 2  y . Тогда уравнение относительно неизвестной y запишется в виде
y 2  13 y  36  0 . Следовательно,
2
y2  2 
2
13
 13   13 
 y        36 
2
2  2

169  144 25
 
4
4
2
2
13   5 

y    
2  2

откуда
y1 
y2 
13 5
 
2 2
13
5
 
2
2
y1 
13 5
  9
2 2
y2 
13 5
  4
2 2
Для нахождения неизвестных получаем два уравнения:
y  9 , x 2  9 , откуда x1  3 , x2   3 ;
y  4 , x 2  4 , откуда x1  2 , x2   2 .
В результате найдены четыре корня 3, 3 , 2, 2 исходного биквадратного уравнения.
7. ** Применение метода Феррари к биквадратному уравнению.
Рассмотрим биквадратное уравнение
ax 4  bx 2  c  0
Так как a  0 , то, поделив обе части на число a , получим биквадратное уравнение вида
x  px 2  q  0 , где p  ba , q  ac .
Покажем, что применение к этому уравнению общего метода Феррари приводит к та4
кому же результату, что и метод, рассмотренный в предыдущем пункте.
У многочлена P( x)  x 4  px 2  q коэффициент при x 3 равен нулю. Поэтому введем параметр t и выделим слагаемое вида ( x 2  t )2  x 4  2tx 2  t 2 :
P( x)  ( x 2  2tx  t )2  ((2t  p) x 2  (t 2  q))
Приравниваем теперь к нулю дискриминант квадратного трехчлена (2t  p) x 2 
(t 2  q) :
D  02  4(2t  p)(t 2  q)  0
Один из корней полученного кубического уравнения (2t  p)(t 2  q)  0 находится сразу: t  2p . Тогда

p   p2

P( x)   x 2    
 q 
2  4


2
2

2

p   p2

  x 2    
 q  
2   4









p
 x  
2
2


p2
p
 q   x 2  
4
2




p2
 q  
4


Следовательно, все корни биквадратного уравнения находятся как корни уравнений
x2  
p

2
p2
q
4
x2  
p

2
p2
 q
4
и
Нетрудно видеть, что при замене y  x 2 уравнение x 4  px 2  q  0 записывается в виде
квадратного уравнения y 2  py  q  0 , корни которого
p

2
p2
q
4
p
y2   
2
p2
 q
4
y1  
и
Поэтому дальнейшее решение биквадратного уравнения сводится к решению таких же
уравнений, которые были получены методом Феррари.
8. ** Открытие общих методов решения уравнений третьей и четвертой степени стимулировало поиск общих методов решения уравнений пятой и более высоких степеней. Однако, несмотря на усилия великих математиков своего времени, решить уравнение пятой
степени не удавалось. Как оказалось, никакой формулы, выражающей с помощью радикалов корни уравнения пятой степени через его коэффициенты, не существует. Это доказал
в 1824 году молодой норвежский математик Нильс Хенрик Абель. Доказательство неразрешимости уравнения пятой степени в радикалах является одним из выдающихся дости-
жений математики и привело к появлению новых направлений в математике, которые
продолжают развиваться и в наше время.
Контрольные вопросы
1. Какое число называется арифметическим корнем n -ой степени из неотрицательного
числа a ?
2. Как называются выражения вида n a ?
3. Как называются выражения, содержащие радикалы?
4. Чему равен корень n -ой степени из 0?
5. Пусть 0  x  y . Что можно сказать об арифметических корнях n x и n y ?
6. Что можно сказать о двух неотрицательных числах x и y , если арифметические
корни n -ой степени из этих чисел равны между собой?
7. Сколько существует значений арифметического корня n -ой степени из неотрицательного числа a ?
8. Существует ли арифметический корень n -ой степени из отрицательного числа?
9. Чему равен арифметический корень n -ой степени из произведения двух неотрицательных чисел?
10. Чему равен арифметический корень n -ой степени из частного двух неотрицательных чисел?
11. Чему равен арифметический корень n -ой степени из числа a n , где a — неотрицательное число?
12. Чему равно произведение n a  n b , где a и b — неотрицательные числа?
n
13. Чему равно частное n ba , где a – неотрицательное, а b — положительное число?
14. Какое уравнение называется биквадратным? Чему равна степень этого уравнения?
Задачи и упражнения
1. Запишите равенства с помощью радикалов:
3
27
  53  ;
а) 26  64 ; б) 125
в) (01)4  0 0001 ; г) 1024  210 ;
д) 1024  45 ; е) 0 00243  (0 3) 5 .
2. Найдите арифметический корень:
а) 4 16 ; б) 5 243 ; в) 5 1024 ;
г)
ж)
6
6
0 000064
; д) 5
; е) 7 214 ;
32
243
(8) 4 .
3. Вычислите:
 23 
а)
6
; б) 4 4 2
д)
4
a2b8
и)
5
1
m5
м)
5
322 a5
; в) x 4
; е) n y 3n
; к) 7
1
n14
; н) 3
; г) 3 x6 ;
; ж) 3 y 3n
; л) 4
125 a 6b3
64 c 12 d 3
64
a 2b2
;
.
4. Внесите множители под радикал:
; з) 3 8a3b6 ;
а) ab  7 ab
; б) xy  n
; в) a 1b  3 a 2  b 2 .
y
x
5.*Упростите выражения:
3  9 3 12  9 3 18 ;
а)
3
б)

6



9  4 5  2  5   3 2  5 .

6. Преобразуйте выражения:
3


3

2

8



3
;
16
6

;  3 4 
5 
;
6
16
22
;3a a
2 3




;  4 8 




6




4
;  6 8  ;
4
;  2 
25 ;
;
; 23 2 2 ;
; 2 2 2
; a a
;3 a a a .
7. Запишите в виде радикала:
а) a  3 a
; б) 2  3 3  4 4 .
8. Упростите:
а)
a3  3 a 4  4 a5
; б) a  3 a 2  4 a3 .
9. Преобразуйте выражения:
3
а) 2  3 3  5 16
; б) 168
; в)
г)
3
4
3
16
3
; д)
3
16

3
4
23 3
3 3 2
;
.
10. Какое из чисел больше:
а) 3 3 или 4 4
; б) 7 4 или 3 3 ;
в) 2 3 5 или 3 3 2 ; г) 12 12 или 15 3 .
11. Решите уравнение x 4  3x3  3x 2  5 x  6  0 .
12. Решите биквадратные уравнения:
а) x 4  6 x 2  5  0 ; б) x 4  4 x 2  5  0 .
Указания к решению наиболее трудных задач.
Задача 5. Указания. а) Выражение под корнем можно представить в виде
3
3  ( 3  3 2)3 .
б) Так как 9  4 5  (2  5) 2 , то
равно
6
9  4 5  3 2  5 . Поэтому заданное выражение
(3 2  5  2  5) 3 2  5  3 2  5 
 3 2  5  2  5  3 2  5  3 4  5  6 (2  5)3  6 (2  5) 2 
 1  6 ((2  5)  (2  5))2  (2  5)  6 2  5 1 .
Задача 10. Указания. а) Возвести оба числа в 12-ю степень; б) возвести оба числа в
21-ю степень; в) возвести оба числа в третью степень; г) возвести оба числа в 60-ю степень; эту задачу можно решить и по-другому, а именно, 12 12  15 12  15 3 .
Задача 11. Указание. С помощью теоремы Гаусса находится целый корень x  1 . Это
позволяет разложить левую часть уравнения на множители. В результате нахождение других корней сводится к решению кубического уравнения.