Шапошников Н.А. Учебник алгебры применимы к программам

Шапошников Н.А. Учебник алгебры применимы к программам
средних учебных заведений, в 2-х частях. Часть 2. Курсы старших
классов гимназий и реальных училищ. – М.: Типография
Императорского Московского Университета, 1908.
Общая теория логарифмов начинается с введения понятия
(определения) логарифма.
1. Дается обобщение «попарно противоположных действий» и
вводится обозначение для «обобщённого возведения в степень»:
«устраняются различия действий, попарно противоположных, и
каждая пара действий приводится к одному из них. Таким образом,
сложение и вычитание сводятся к одному сложению, потому что
вычитание всякого количества можно рассматривать как
прибавление количества равнопротивоположного; подобно этому
умножение и деление сводятся к одному умножению, потому что
деление на всякое количество можно рассматривать как
умножение на количество обратное.
Совершенно также два действия – возведение в степень и
извлечение корня – сливаются в одно действие возведения в степень,
потому что извлечение корня с каким-либо показателем можно
рассматривать как возведение в степень с обратным показателем.
Для дальнейшего изучения обобщенного возведения в степень, будем
обозначать результат его выражением ах».
2. Указывается, что для рациональных чисел возведение в
степень было определено ранее и распространяется данное
определение на «несоизмеримые», то есть иррациональные числа.
Подчёркивается, что свойства степеней сохраняются и для
несоизмеримых показателей.
3. Ставится проблемная задача: «Возьмём равенство Х = а х. По
поводу его можно предложить два вопроса: как вычислять Х при
данном а и при изменяющемся х и наоборот, как вычислять х при
данном а и при изменяющемся Х».
4. Вводятся определения показательной и логарифмической
функций: «Если одно число или количество изменяется в
зависимости от другого так, что каждому значению независимого
переменного соответствует определённое значение зависимого, то
независимое переменное называется аргументом, а зависимое
функцией аргумента. В нашем равенстве [Х = а х] Х называется
показательной функцией аргумента х, а х называется
Современный курс алгебры и начал математического анализа для
учащихся общеобразовательных школ
Изучение темы «Показательная и логарифмическая функции» в
курсе алгебры и начала анализа предусматривает знакомство
учащихся с вопросами:
– обобщение понятия о степени; понятие о степени с
иррациональным показателем;
– решение иррациональных уравнений и их систем;
– показательная функция, ее свойства и график;
– основные показательные тождества; тождественные
преобразования показательных выражений;
– решение показательных уравнений, неравенств и систем;
– понятие об обратной функции; логарифмическая функция, ее
свойства и график;
– основные логарифмические тождества; тождественные
преобразования логарифмических выражений;
– решение логарифмических уравнений, неравенств и систем;
– производная показательной функции;
– число е и натуральный логарифм;
– производная степенной функции;
– дифференциальное уравнение радиоактивного распада.
Функцию вида у = ах, где а > 0 и а  1, называют показательной
функцией.
Функцию вида у = log а х, где а > 0 и а  1, х  (0; +) называют
логарифмической функцией.
логарифмической функцией аргумента Х».
5. Вводятся определения новых действий потенцирования и
логарифмирования, указывается их взаимосвязь: «Вычисление
показательной функции есть обобщённое возведение в степень и
называется иначе потенцированием.
Потенцировать данное основание данным показателем значит
возвести основание в степень, указываемую показателем.
Вычисление логарифмической функции или логарифма есть новое
действие, которое называется логарифмированием.
Потенцирование и логарифмирование суть два взаимно
обратных действия; первое из них есть прямое, а второе
обратное».
6. Определяется логарифм: «Когда в равенстве Х = а х
Логарифмом положительного числа b по положительному и
рассматривается потенцирование, то х называется как прежде,
отличному от 1 основанию а называют показатель степени, в
показателем или экспонентом, Х – степенью или потенцом, а
которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.
постоянное число а – основание системы степеней.
Например, log28 = 3, так как 23 = 8;
Когда в том же равенстве рассматривается логарифмирование,
log3(1/27) = –3, так как 3–3 = 1/27;
то Х просто называется числом, х – логарифмом числа Х при
log1/525 = –2, так как (1/5)–2 = 25;
основании а и постоянное а – основанием системы логарифмов.
log42 = 1/2, так как 41/2 = 2.
Логарифм данного числа при данном основании есть показатель
той степени, в которую нужно возвести основание, чтобы
получить число. Например, логарифм восьми при основании 2 есть 3,
потому что 23=8. логарифм 1/25 при основании 5 есть (–2), потому
что 5–2=1/25.
Вся теория логарифмов вытекает из указанного определения».
и т.д.
Вывод (по проанализированному материалу). При изучении
Вывод. При изучении логарифмов характерны:
логарифмов характерны:
– функциональный подход,
– функциональный подход,
– средняя степень обобщённости материала,
– высокая степень обобщённости материала,
– высокий уровень структурирования математического текста,
– средний уровень структурирования математического текста,
– последовательное изучение показательной и логарифмической
– параллельное изучение показательной и логарифмической
функций.
функций.
Общий вывод. По структуре и содержанию анализируемые учебники близки друг другу.