Теорема Безу

Программа курса по алгебре и началам анализа для учащихся
10-11 классов
1. Теорема Безу. Схема Горнера. Разложение на множители
2. Однородные уравнения. Системы однородных уравнений. Симметрические
уравнения. Системы симметрических уравнений. Возвратные уравнения.
3. Уравнения высших степеней.
Теорема Безу. Схема Горнера. Разложение на
множители.
Разложение на множители.
В курсе алгебры 7-9 класса вы познакомились с различными приемами разложения
многочлена на множители:
1. Вынесение общего множителя за скобки.
Оно основано на распределительном законе умножения. Только при разложении на
множители оно прочитывается «справа налево»:
ас +вс = с(а+в).
2. Способ группировки.
Законы сложения (переместительный, сочетательный) позволяют группировать члены
многочлена любым способом.
3. Использование формул сокращенного умножения.
1) (а-b)(а+b)=а 2 b 2
2) (a+b) 2  a 2  2ab  b 2
3) (a-b) 2  a 2  2ab  b 2
4) (a+b)(a 2 ab  b 2 )  a 3  b 3
5) (a-b)(a 2 ab  b 2 )  a 3  b 3
6) (a-b) 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3
7) (a+b) 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3
8) a n  b n  (a  b)( a n1  a n2 b  a n2 b 2  ...  ab n2  b n1 ) , n –натуральное число
9) a 2 n1  b 2 n1  (a  b)( a 2 n  a 2 n1b  a 2 n2 b 2  a 2 n3b 3  ...a 2 b 2n2  ab 2 n1  b 2 n ), n- натур.
число
4. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.
Если х 1 и х 2 - корни квадратного трехчлена ах 2 + вх + с, то
ах 2 +вх + с = а(х-х 1 )(х-х 2 )
Отметим любопытную теорему, которая не раз позволит нам пользоваться указанным
приемом разложения на множители.
Теорема: Пусть все коэффициенты многочлена р(х) = целые числа. Если целое число а
является корнем многочлена р(ж), то а – делитель свободного члена многочлена р(х).
Для разложения многочленов от одной переменной на множители отметим еще одну
важную алгебраическую теорему:
Теорема: Любой многочлен р(х) степени n  3 разлагается в произведение многочленов
первой и второй степени.
Теорема Безу. Схема Горнера
Для разложения на множители используется деление многочлена на многочлен. Говорят,
что многочлен р(х) делится на многочлен g(x), если существует такой многочлен s(x), что
выполняется тождество р(х)=g(x)s(x).
Для многочленов рассматривается деление с остатком, возможность которого вытекает из
теоремы: Для любых двух многочленов ненулевой степени р(х) и s(x) cуществует пара
многочленов g(x) и r(x) такая, что степень многочлена r(x) меньше степени многочлена
s(x) и выполняется тождество p(x) =s(x)g(x)+r(x).
Для деления многочлена на многочлен можно применять правило деления «уголком»,
похожее на правило деления многозначных чисел.
Особую значимость имеет случай деления многочлена на двучлен (х-а)
Теорема: Остаток от деления многочлена р(х) ненулевой степени на двучлен (х-а) равен
р(а) (т.е. значению многочлена р(х) при х=а).
Эту теорему обычно называют теоремой Безу в честь французского математика Этьена
Безу (1730-1783).
Следствие: Если число а является корнем многочлена р(х), то р(х) делится на двучлен
(х-а).
Для деления многочлена на двучлен можно использовать специальный прием, который
обычно называют схемой Горнера.
Пусть р(х)=bx 4 cx 3  dx 2  ex  f . Разделим p(x) на (x-a), получим p(x)=(x-a)g(x)+r,
Где g(x) – некоторый многочлен третьей степени, коэффициенты которого нам пока
неизвестны: g(x)=kx 3  mx 2  nx  s . Итак,
bx 4  cx 3  dx 2  ex  f  (kx3  mx 2  nx  s)( x  a)  r
Раскрыв скобки в правой части, получаем
bx 4  cx 3  dx 2  ex  f  kx4  (m  ka) x 3  (n  ma) x 2  (s  na) x  r  sa
Воспользовавшись теоремой о тождественности двух многочленов, приходим к
следующей системе равенств: b=k, c=m-ka, d=n-ma, e=s-na, f=r-sa.
Это значит, что неопределенные коэффициенты k, m, n, s, r связаны с известными
коэффициентами a, b, c, d, e, f следующими соотношениями:
k=b;
m=ka+с;
n=ma+в;
s=na+e;
r=sa+f.
Эти соотношения удобно записывать в виде следующей таблицы.
b
c
d
e
f
a
k=b
m=ka+c
n=ma+d
s=na+e
r=sa+f
Контрольная работа № 1
1. Выполните деление «уголком»:
а) x 3  2 x 2  3x  5 на x 2  3x  1 ;
б) 2x 5 3 x 3  x  2 на x-2.
2. Используя схему Горнера, выполните деление многочлена f(x) на двучлен (х-а)
а) f(x) = x 5  2 x 4  3x 3  7 x 2  2 x , а=2;
б) f(x) = 2x 4 7 x 2  21x  30 , а=-1.
3. Найдите остаток от деления многочлен f(x) а на двучлен (х-а) и значение f(x)
в точке х=а:
f(x) = х 7 3x 6  x 3  12 x 2  1 , а=-2.
4. Используя схему Горнера, найдите все такие значения параметра а, при которых
для многочлена р(х) = х 7 2 x 6  3x 5  x 3  x 2  5 x  a выполняется условие р(-3)=5.
5. Разложите многочлен на линейные множители:
а) х 4 6 x 3  13x 2  12 x  4 ;
б) х 8  x 7 5 x 6  3x 5  9 x 4  3x 3  7 x 2  x  2 .
6. Найдите многочлен р(х) второй степени, если р(0)=-1, р(1)=2, р(2)=3.
7. Найдите приведенный многочлен р(х) третьей степени, если р(0)=р(1)=р(4)=0.