Перспектива - Ya

Министерство образования Пензенской области
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
Пензенской области
«Каменский техникум промышленных технологий и предпринимательства»
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ
РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ
«Геометрия в
искусстве»
Подготовил студент 1-го курса
группы 70-ТПО
Володин Павел
Руководитель Чамина Л.М.
Каменка, 2014г.
Введение
Перспектива – геометрия живописи.
§1. «Меланхолия» Альбрехта Дюрер
§2. «Поклонение волхвов» Леонардо да Винчи.
§3. Леонардо да Винчи «Тайная вечеря»
§4. «Тайная вечеря» Сальвадор Дали
§5. Нарушение правил перспективы. А. Мантенья «Мертвый Христос».
Заключение и выводы
Список литературы
Введение
Почему торжественно вокруг?
Слышите, как быстро смолкла речь?
Это о царице всех наук
Начинаем мы сегодня речь.
Есть о математике молва,
Что она в порядок ум приводит,
Почему хорошие слова,
Часто говорят о ней в народе.
Ты нам, математика, даешь,
Для победы трудности закалку.
Учится с тобою молодежь,
Развивать и волю и смекалку
В
любой
научно-исследовательской
работе
применяются
инновационные технологии, в основе которых лежит информационнокомпьютерная
грамотность,
компьютерных
знаний
и
под
которой
умений,
понимается
обеспечивающая
система
необходимый
уровень получения, переработки, передачи, хранения и представления
профессионально значимой информации.
При подготовке данной работы используется текстовый редактор
Microsoft
Word.
Новые
информационные
технологии
позволили
использовать сканер для отбора необходимых материалов.
В своей работе я использую
презентацию как одну из форм
представления исследовательской работы.
Большую
помощь в
работе
оказал
Интернет, предоставив для
исследования различную научную литературу, изучив которую я пришел к
выводу, что «перспектива» перестали быть сокровищем одной лишь
геометрии.
Таким образом, предметом моего исследования
форма и строение предметов, которые описывает «перспектива».
становится
Новизна
исследования: раскрытие выше приведенной
темы
в
окружающей нас действительности. Красота скульптуры, красота храма,
красота человеческого тела, окружающей природы…Что между ними
общего? Разве можно сравнивать красоту храма с красотой человеческого
тела? Оказывается можно, если будут найдены
единые критерии
прекрасного, если будут открыты общие формулы красоты, объединяющие
понятие прекрасного самых различных объектов.
Данная работа представляет собой теоретическое и практическое
исследования, где в качестве объекта рассматривается всестороннее
применение
«перспективы»
и
доказывается
ее
универсальность.
Теоретическая значимость работы заключается в том, что в процессе
работы была изучена научно-популярная литература по данной теме,
выяснено, что во многих гениальных творениях можно найти элементы этих
тем. Практическая значимость работы заключается в применении
«перспективы» и др. на уроках математики, биологии, физики, искусства. Не
только я увидел большое применение «перспективы» и др. , но им уже давно
пользуются известные архитекторы, писатели, художники, фотографы и
многие другие.
Методы исследования обеспечиваются обоснованностью исходных
теоретических и практических данных с опорой на результаты наблюдения,
измерения
мною.
и доказательства практических экспериментов, проведенных
Цель работы: Развитие интереса к математике, расширение кругозора, эстетическое
воспитание.
Задачи:
обучающие:

актуализация знаний в области математики;

определение сферы практического использования знаний;
развивающие:

развитие мыслительных операций (проведение аналогии, анализ,
синтез);

развитие логического мышления;
воспитывающие:

эстетическое воспитание, развитие чувства к прекрасному ;

развитие
чувства
коллективизма,
товарищей;

привитие интереса к предмету
умения
выслушивать
ответы
«Творчество и математика в такой же степени есть создание прекрасного, как
творчество живописца или поэта, - совокупность идей, подобно совокупности красок
и слов, должна обладать внутренней гармонией».
Годфри Харди, английский математик и философ
Пути науки и искусства на примере геометрии и живописи переплетались
на протяжении столетий. Геометрия давала живописи новые изобразительные возможности, обогащала ее язык, а живопись, в свою очередь,
стимулировала геометрические исследования, дав начало проективной
геометрии.
Мы сегодня рассмотрим вопросы о взаимосвязи законов геометрии с
восприятием
человеком
рассмотрим
влияние
художественных
геометрических
произведений.
пропорций
на
Для
этого
воздействие
произведений искусства на зрителя. В качестве примера проанализируем
геометрические свойства некоторых картин.
Перспектива – геометрия живописи.
Три геометрических метода отображения трехмерного пространства на
двумерную плоскость
Существуют три принципиальных геометрических метода отображения
трехмерного пространства на двумерную плоскость картины:
1. Метод ортогональных проекций
2. Аксонометрия
3. Перспектива (прямая и обратная)
Метод ортогональных проекций не передавал глубину реального
пространства, поэтому уже в искусстве Древнего Египта появились попытки
использования аксонометрии.
Аксонометрия при надлежащем выборе точки зрения передавала без
искажений фронтальную плоскость изображаемого предмета; она давала
представление о глубине пространства, хотя и трудно было понять, сколь
протяженна эта глубина. Однако как нестрогий метод изображения пространства
на
плоскости
аксонометрия,
именуемая
тогда вольной
перспективой, известна давно. Недостатки аксонометрии в передаче
глубины пространства вместе с «вольностями» вольной перспективы были
исправлены в ренессансной системе перспективы. Эта система имела
единые правила, основанные на математических доказательствах, отчего за
ней закрепилось название научной системы перспективы.
Перспектива – это система изображения пространства и объемных тел
на плоскости. Из этого следует, что она имеет чисто геометрический
принцип строения. Но, к сожалению, не каждый сможет стать художником,
овладев геометрией перспективы. Математически точная перспектива - это
еще не живопись, а только чертеж, хотя и напоминающий ее. Это только
геометрическая основа живописи, остающаяся такой до тех пор, пока
художник не вложит в нее частичку своей души и не сделает ее живописью.
При этом художники часто поступаются принципами геометрии во имя
интересов искусства.
1. «Меланхолия» Альбрехта Дюрер
Помимо высочайших художественных достоинств этот шедевр великого
мастера Возрождения является и своеобразным учебником перспективы и
геометрии живописи.
На гравюре решена сложная геометрическая задача - построение
перспективы додекаэдра, решению которой много сил отдал Пьеро делла
Франческа.
На рисунке
показана перспектива круглого жернова, который
изображается в виде эллипса. Перекладины лестницы параллельны линии
горизонта, поскольку лестница прислонена к плоскости, параллельной
плоскости картины. Математическая основа «Меланхолии» выражена ясно: в
правом верхнем углу гравюры изображен магический квадрат — квадрат,
составленный из первых чисел натурального ряда, сумма которых по любой
строке, столбцу или диагонали одна и та же. Любопытно, что из 880
магических квадратов размером 4x4 выбран тот, у которого средние числа в
последней строке изображают 1514 — год создания гравюры.
Очарование этого магического квадрата не только в постоянстве сумм,
которое является основным его свойством. Подобно тому, как в истинно
художественном
произведении
находишь
тем
больше
новых
привлекательных сторон, чем больше в него вглядываешься, так и в этом
математическом произведении искусства таится немало интересных свойств,
помимо основного:
Во–первых - сумма чисел, расположенных по углам магического
квадрата, равна 34, то есть тому же числу, что и сумма чисел вдоль каждого
ряда квадрата.
Во–вторых - сумма чисел в каждом из маленьких квадратов (в 4 клетки),
примыкающих к вершинам данного квадрата, и в таком же центральном
квадрате тоже равна 34.
В-третьих - в каждой его строке есть пара рядом стоящих чисел, сумма
которых 15, и ещё пара сумма которых 19.
В-четвертых - сумма квадратов чисел отдельно в двух крайних строках
и в двух средних - суммы вторых степеней чисел в симметрично
расположенных строках, а также и в столбцах квадрата попарно равны.
На гравюре Дюрера инструменты науки и плотницких ремёсел в
праздном беспорядке лежат у ног погруженной в глубокое раздумье фигуры
Меланхолии. Пусты чаши весов, никто не взбирается по лестнице, спящая
борзая полумертва от голода, крылатый херувим приготовился записывать,
но Меланхолия безмолвствует, а время, отмеряемое песочными часами, всё
бежит. Астрологи эпохи Возрождения связывали магические квадраты
четвёртого порядка с Юпитером. Такие квадраты считались действенным
средством от меланхолии. Поэтому на гравюре Дюрера изображён
магический
квадрат
именно
четвёртого
порядка.
Дюреровский квадрат симметричен, так как сумма любых двух входящих в
него чисел, расположенных симметрично, относительно его центра, равна 17
(то есть, половине константы квадрата).
Шар на гравюре изображен в виде геометрического шара, хотя по
правилам перспективы его следовало бы изобразить в виде эллипсоида. Здесь
проявляют себя закономерности работы не только глаза, но и мозга при
восприятии формы, которые стали известны только в XX в., но которые и в
начале XVI в. угадывались гением Дюрера.
Во времена Возрождения меланхолический темперамент отождествляли
с творческим началом. На гравюре Дюрера Меланхолия окружена
атрибутами зодчества и геометрии, отчего математики любят считать этот
шедевр
графического
искусства
олицетворением
творческого
духа
математика, а саму Меланхолию – представительницей математики в мире
прекрасного.
Построение перспективных изображений довольно затруднительно на
практике. Поэтому наряду с разработкой строгих математических основ
теории перспективы художники Возрождения старались создать простые
практические методы построения перспектив.
Дюрер, в своем трактате «Руководство к измерению», описывает
устройство для построения перспективы. На стене (рис.) закреплена
проушина, через которую продет шнур, идущий последовательно от точки к
точке предмета. Шнур проходит через раму, которая закрывается дверцей с
натянутой на ней бумагой. Рама имеет подвижные нити: горизонтальную и
вертикальную, позволяющие фиксировать координаты точки пересечения
«луча зрения» с открытой рамой и переносить их на бумагу (для этого шнур
убирают, закрывают дверцу с бумагой и отмечают на ней соответствующую
точку).
2. «Поклонение волхвов» Леонардо да Винчи.
Композиция
картины
«Поклонение
волхвов»
была
решена
в
соответствии с правилами линейной перспективы, как видно из приведенного
рисунка, хранящегося во Флоренции, в Кабинете гравюры и рисунка в
Уффици
(рис.)
Заказанная
у
Леонардо да Винчи в 1481 году
монахами–августинцами
монастыря
Сан
из
Донато
в
Скопето эта картина, осталась
незавершенной
из-за
отъезда
художника в Милан в 1482 году.
Видя,
что
пребывание
в
Ломбардии затягивается, монахи
были
вынуждены
заказать
картину Рис. 4 на тот же сюжет
Филиппино
Липпи,
-
который написал свое «Поклонение волхвов», придерживаясь схемы
Леонардо.
Несомненно, картина да Винчи, пусть даже не законченная, поражала
современников новизной формы и иконографии и была в их глазах
бесспорным шедевром. Целый ряд энергичных набросков свидетельствует о
том, как непросто было прийти к такой трактовке сюжета, выглядящей
поистине
революционной
по
сравнению
с
традиционными
позднеготическими «кавалькадами волхвов».
Фигура Мадонны с Младенцем располагается у Леонардо в центре
композиции и образует своего рода ось, вокруг которой вращается
многоликая толпа, увлеченная единым порывом поклонения, тогда как на
заднем плане слева мы видим суетящиеся в пролетах архитектурного
сооружения фигуры, а справа сражающихся всадников. Возможно, этот
явный контраст следует интерпретировать как исторический и духовный
разрыв между дохристианским миром, еще не затронутым Благодатью, и
миром, приведенным в движение Рождеством Христовым, предвещающим
новую жизнь и примирение.
3. Леонардо да Винчи «Тайная вечеря»
«Тайная
вечеря»
повествовательное
—
величайшее
произведение
живописи,
рассказ в контурах и красках, где каждая из
тринадцати фигур живет своей глубочайшей
внутренней
и
внешней
жизнью,
во
всем
разнообразии душевной полноты и физической
выразительности, и где общая композиции,
строго
замкнутая
в
форму
абстрактной
пирамиды, собирает все части воедино в простой
и
ясной
архитектонике. Все,
что
написал
Леонардо раньше, о чем думал в тиши своих
уединений, получило завершение в этой вершине его творчества. В «Тайной
вечере», написанной на излюбленный евангельский мотив, все, кроме
сюжета, было ново: от новых композиционных формул до новых живопис-
ных приемов и техники. Композиция картины математически строга и
проста.
В центре ее, на фоне светлого пятна окна, расположена фигура Христа.
Главная точка картины, куда ведут образы параллельных линий стен и
потолка, приходится на правый глаз Христа, который в наклоне головы
расположен чуть выше и ближе к зрителю. Таким образом, геометрический
центр картины и ее смысловой центры строго совпадают, а лучи, сходящиеся
в главной точке, еще более нацеливают зрителя в этот центр. Впрочем, порой
кажется наоборот: будто из центра картины, из глаз Христа, расходятся во
все стороны эти лучи, словно потоки мысли.
Такова геометрия «Тайной вечери». Она очень проста и крайне строга,
что наполняет фреску сдержанной внутренней динамикой. «Тайная вечеря»
— это и наука, и искусство, которые для Леонардо были слиты в живописи
воедино.
Линия
горизонта
и
главная
точка
картины
стали
важнейшим
инструментом в руках художника-перспективистa, скрытыми пружинами
механизма построения композиции. Главная точка картины стала и главной
точкой композиции, ее смысловым центром, а образы параллельных линий,
сходящиеся к главной точке, приводили зрителя к этому центру
4. «Тайная вечеря» Сальвадор Дали
В 1955 году Дали создает одну из самых знаменитых картин — свою
"Тайную вечерю". Это большое полотно — подлинный шедевр живописи.
Геометрический рационализм свидетельствует о неодолимой вере в
сакральную силу числа, спасительную совершенную форму, которая для
художника олицетворяла духовную гармонию, нравственную чистоту и
величие.
Представляется
интересной
трактовка
этого
произведения
Завадской: «В нем воплощено философско-религиозное и эстетическое кредо
Дали. Здесь и воздух, и свет, и конструкция, и сон, и явь, и надежда, и
сомнение».
В центре большого горизонтального полотна (167х288) изображен
Христос в трех ипостасях. Как сын, сошедший на Землю, он сидит за столом
со своими учениками, но потом мы замечаем, что он вовсе и не сидит за
столом, а погружен по пояс в воду — то есть крестится водой, или «духом
святым», тем самым, воплощая вторую ипостась троицы. При этом над ним
призрачно высится мужской торс, словно часть композиции "Вознесение" —
возвращение к Богу Отцу. Апостолы изображены низко склонившими головы
на стол — они словно поклоняются Христу (или… спят!) — в этом случае
есть аллюзия на евангельский текст, содержащий просьбу Христа не спать,
пока он молит Бога: "Чашу мимо пронеси". К этому необходимо лишь
присовокупить идеи, высказанные академиком Б. Раушенбахом в статье «О
логике триединости»: «…непостижимой является вовсе не логическая
структура Троицы (она вполне разумна), а кардинальное качество Троицы,
жизнь Бога в Самом Себе».
Холст, на котором написана "Тайная вечеря" Сальвадора Дали, имеет
форму золотого прямоугольника, само действие картины разворачивается
внутри огромного додекаэдра, но святой дух Христа выходит за его пределы,
олицетворяя несгибаемую духовную мощь. Золотые прямоугольники
меньших размеров использованы художником при размещении фигур
двенадцати апостолов.
5. Нарушение правил перспективы. А. Мантенья «Мертвый
Христос».
Очень скоро живописцы начинают убеждаться в том, что прямая
перспектива
хороша
лишь
тогда, когда действие картины
происходит
на
большом
расстоянии
(например,
в
глубине площади или храма), а
по мере приближения предмета,
когда
не
учитывается
бинокулярность
и
боковое
зрение, неизбежно искажение. И
художники,
едва
открывшие
прямую перспективу, стали тут
же ее нарушать. Приведем в качестве примера творчество замечательного
мастера падуанской школы Андреа Мантеньи (1431-1506).
В ранний период своего творчества придерживался принципов прямой
перспективы. Такова роспись брачной комнаты герцогов Гонзаго в Мантуе.
Плафон свода, где на фоне уходящего в бесконечность неба изображены в
смелых ракурсах фигуры, смотрящие через круговые перила вниз, - одна из
ранних попыток создать иллюзию пространства на основе знаний
перспективы.
Вскоре Мантенья ставит перед собой смелую задачу изобразить мертвого
Христа, лежащего пятками вперед. И если следовать законам прямой
перспективы, то ноги, и, прежде всего пятки, должны быть колоссальными, а
голова маленькой.
Ничего подобного не видно на знаменитой картине «Мертвый Христос»
(датируется около 1500 г. и находится в миланской пинакотеке Брера). Здесь
у Мантеньи происходит борьба с перспективой и ее сокращениями (рис.10).
Без этих нарушений были бы невозможны тот суровый драматизм и экспрессия, которые так потрясают в этом произведении. На картине не
заметно, что тело Христа слегка приподнято в ракурсном сокращении.
Заключение
На основе рассмотренных работ можно сделать вывод, что геометрия
тесно связана с живописью. В наших выступлениях были рассмотрены
геометрические составляющие живописи, выявлены их свойства, влияющие
на восприятие картин.
Также выяснилось, что картины великих художников, как эпохи
Возрождения, так и современности, имеют четкую, важную для восприятия,
геометрическую основу.
Нами рассмотрена перспектива, являющаяся одной из геометрических
основ живописи. Описана история ее открытия, значение для живописи.
Также рассмотрены намеренные нарушения перспективы, использовавшиеся
художниками эпохи Возрождения для большей наглядности и лучшего
восприятия картин.
Список литературы
1) Аксенов Ю. Т. «Рисунок и живопись» - М.: «Искусство» 1961 г.
2) Баткин Л. М. «Леонардо да Винчи» - М.: «Искусство» 1990 г.
3) Брокгауз Ф. А., Ефрона Н. А. «Энциклопедический словарь Ф. А.
Брокгауза и Н. А. Ефрона в 86 томах» «АО Ф. А. Брокгауз - Н. А. Ефрон»
1890-1897 гг.
4) Васюткинский Н. А. «Золотая пропорция» - М.: «Молодая гвардия» 1990 г.
5) Волошинов А. В. «Математика и искусство» - М.: «Просвещение» 2000 г.
6) Голованов Я. «Этюды об ученых» 1976 г.
7) Журнал «Математика в школе» №2, №3 1994 г.
8) Ресурсы Интернета
9) Кулебякин Т. И. «Рисунок и основы композиции» - Москва «Высшая
школа» 1988 г.
10) Мочалов Л. «Пространство мира и пространство картины»
11) «Научно-популярный физико-математический журнал» «Бюро Квантум»
№3 1994 г.
12) Пидоу Д. «Геометрия и искусство» «Мир» 1989 г.
13) Ростовцев Н. Н. «История методов обучения рисованию» - М.:
«Просвещение» 1982 г.
14) Смирнова Е. С., Леонидова Н. А. «Математическое путешествие в мир
гармонии» - М.
15) Физико-математический журнал для школьников и студентов «Квант»
№8 1973 г.; №9 1993 г.; №10 1993 г.;
№3 1994 г.; №1 1994 г.
16) Филиппова М. М. Леонардо да Винчи, который художник, ученый и
философ. Биографический очерк - Санкт-Петербург 1995 г. (1892 г.)
17) Чанки М. «Леонардо» - М.: «Белый город» 2000 г.
18) Энциклопедия для детей. Том 7