Закон полного тока или теорема о циркуляции магнитного поля. Найдем интегральную и дифференциальную форму законов для магнитного поля, как это было сделано для электрического поля. Для электрического поля это было сделано исходя из закона Кулона и принципа суперпозиции, как экспериментальных положений. Для магнитного поля будем исходить из закона Био-Савара и принципа суперпозиции для магнитного поля. Их формулировка называется законом полного тока. Индукция магнитного поля, создаваемая системой токов, равна сумме индукции полей каждого тока в отдельности при отсутствии всех других: B Bi 11.1 Интегральная формулировка закона полного тока. I B B r dl d dl dl1 r dl Рассмотрим магнитное поле прямого тока: I B 0 e 11.2 2 r Вычислим циркуляцию вектора B по замкнутому контуру L : 0 I dl1 0 I B d l Bdl cos B d l Bdl dL 0 I 1 L L L 2 L r 2 2 dL Итак: B dl 0 I dl 11.3 L d Если контур не охватывает ток, то циркуляция равна нулю. Обобщим закон на произвольное количество токов в контуре. Согласно принципу суперпозиции: B Bi i B d l B d l B i i i dl 0 I k 0 I , где I I k алгебраическая сумма токов, охватываемых k k контуром. Итак, циркуляция магнитного поля по замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемой им ,умноженной на 0 : B dl 0 I Закон полного тока является интегральной формулировкой закона Био-Савара и входит в систему уравнений Максвелла. Знак I n зависит от направления тока и обхода контура L . Если j и dl составляют правовинтовую систему, то ток считается положительным: I 0 . I 0 Bdl I 0 0 L L L L Ротор вектора. Формула Стокса. n L S Пусть задано векторное поле A . Выберем направление вектора нормали к плоскости n и ограничим малую площадь S контуром L в плоскости n . Направление обхода L связано с n правым винтом. Ротором вектора называется вектор, проекция, которого на n равна rot n A lim S 0 A dl S 10.4 Ротор (вихрь) характеризует “завихрение” вектора. Вводя оператор «набла» можно записать (в декартовых координатах): i rotA A x Ax j y Ay k z Az 10.5 Формула Стокса связывает циркуляцию вектора A по контуру с потоком его ротора rotA через поверхность: A d l rot A dS L 10.6 S Запоминать формулу Стокса, конечно, лучше словами: «циркуляция вектора A равна потоку его ротора rotA …» Дифференциальная форма закона полного тока. Для объемного тока с плотностью j: I j dS B d l 0 j dS rot B j dS 0 0 L S B d l I B d l rot B d S 0 L S S произвольн а rot B 0 j 10.7 Таким образом, мы получили дифференциальное соотношение. Это значит, что его вид не зависит от того, как ведет себя плотность тока j в других точках. Поэтому, хоть оно и выведено для прямолинейных токов, оно справедливо для произвольных токов. Так как магнитное поле B создается не только током проводимости, но и током смещения j см , причем, величина поля от тока смещения равна полю от тока проводимости, то естественным обобщением (10,7) является его применение и для токов смещения. Только под током I следует понимать сумму токов I I см , а под j j jсм . Поэтому: E L B dl S 0 j 0 0 t dS E rot B 0 j 0 0 0 j jсм 11.8 t Введем еще одну характеристику магнитного поля в вакууменапряженность магнитного поля H связанную с индукцией поля B соотношением: B 0 H , где вектор H называется вектором напряженности магнитного поля. Тогда, закон полного тока можно представить в виде: H dl j j dS см L S E где jсм 0 t или rot H j jсм 11.9 Вывод дифференциальной формы закона полного тока из закона Био-Савара. 0 j r rot B dV 4 V r 3 0 j r r rotB dV j 3 dV 4 V r 3 r V Распишем двойное векторное произведение : A B r j 3 B A A B A B B A , т.е. r r r r r j j 3 j div 3 3 divj и т.д. 3 r r r r 0 0 0 ix j y k z j x jy jz y z x x2 y2 z2 …. j x x i x jy kz x 2 y2 z2 3 2 1 j x i x2 y2 z 2 1 3x 2 i jx 3 1 2 ... r r 3 2 и т. д. 3 2 ix 5 2 2 2 2 x y z2 3 2x 2