Анализ манипулируемости правила коллективного выбора

Анализ манипулируемости
правила коллективного выбора Нансона
и обратной процедуры Борда
Иванов А.А. (НИУ ВШЭ, ИПУ РАН)
ivanovalexalex@mail.ru
Введение
Проблема манипулирования заключается в том, что избиратель на выборах может
исказить свои истинные предпочтения и добиться тем самым лучшего для себя
результата. Теоретические исследования манипулирования были начаты в Gibbard (1973),
Satterthwaite (1975). В Kelly (1993) был предложен способы измерения степени
манипулируемости коллективного выбора – индекс Келли, который является отношением
количества ситуаций, при которых манипулирование может иметь место, к общему числу
возможных ситуаций.
В Aleskerov, Kurbanov (1999) были посчитаны индексы Келли для большого
количества различных правил коллективного выбора. Было замечено, что два правила
коллективного выбора – обратная процедура Борда и правило Нансона показывают
одинаковые или почти одинаковые значения индекса Келли. При расчетах в той работе
использовался метод Монте-Карло, и отклонения значений индекса Келли для двух
правил были меньше погрешности расчетов. Поэтому вопрос о равноценности с точки
зрения манипулируемости этих двух правил оставался открытым.
Предметом данного исследования является сравнение этих двух правил
коллективного выбора и попытка ответить на вопрос, являются ли правила идентичными
или нет. С точки зрения манипулируемости, требуется либо доказать, что при голосовании
не может быть ситуации, что при коллективном выборе по одному из двух правил
возможно манипулирование, а по другому правилу – невозможно, либо привести пример
такой ситуации.
Основные определения и обозначения
Пусть в голосовании принимают участие n участников. На голосование выносится
m альтернатив. У каждого участника есть предпочтение на множестве альтернатив –
линейный порядок. Совокупность предпочтений всех участников называется профилем.
Теперь приведем определения обратной процедуры Борда и правила Нансона.
Введем понятие ранг Борда для некоторой альтернативы. Для этого в предпочтении
каждого участника посчитаем количество альтернатив, худших, чем заданная
альтернатива. Просуммировав эти числа для каждого из участников, получим ранг Борда
для выбранной альтернативы.
Обратная процедура Борда: для каждой альтернативы подсчитывается ранг Борда.
Далее альтернатива с наименьшим рангом выбывает. Ранги Борда пересчитываются для
множества альтернатив без выбывшей альтернативы. Процедура повторяется, пока выбор
непустой.
Правило Нансона: для каждой альтернативы подсчитывается ранг Борда.
Подсчитывается средний ранг Борда, как среднее арифметическое всех рангов Борда.
Далее из процедуры выбора выпадают альтернативы, чей ранг Борда меньше, чем средний
ранг Борда. Ранги Борда пересчитываются для множества альтернатив без выбывших
альтернатив. Процедура повторяется, пока выбор непустой.
Сравнение правил
Для сравнения двух правил в терминах манипулируемости мы будем использовать
индекс Келли, который показывает долю манипулируемых профилей в общей
совокупности всех возможных профилей.
Приведем формулу для расчета индекса Келли. Общее количество линейных
порядков на множестве из m альтернатив равно m!. Количество различных профилей для
n участников равно, соответственно, (m!)n. Тогда если за d0 обозначить количество
профилей, в которых манипулирование может быть проведено, то формула индекса Келли
будет иметь вид:
𝐾=
𝑑0
(𝑚!)𝑛
С помощью компьютерного моделирования были посчитаны индексы Келли для
случаев с 3 альтернативами и количеством участников от 3 до 7 включительно методом
полного перебора для получения точных результатов. Расчеты проводились для четырех
расширений предпочтений, описанных в Алескеров, Карабекян, Санвер и Якуба (2009).
1. Индекс Келли для 3 альтернатив
Количество альтернатив
3
4
5
6
7
Обратное правило Борда,
0,0556
0,2361
0,0694
0,2521
0,072
0,0556
0,2361
0,0694
0,2521
0,072
расширение Лексимин
Правило Нансона,
расширение Лексимин
Обратное правило Борда,
0,1667
0,2778
0,2778
0,2469
0,2641
0,1667
0,2778
0,2778
0,2469
0,2641
0,0556
0,2778
0,0694
0,2508
0,072
0,0556
0,2778
0,0694
0,2508
0,072
0,1667
0,2361
0,2778
0,2482
0,2641
0,1667
0,2361
0,2778
0,2482
0,2641
расширение Лексимакс
Правило Нансона,
расширение Лексимакс
Обратное правило Борда,
расширение Рискофоб
Правило Нансона,
расширение Рискофоб
Обратное правило Борда,
расширение Рискофил
Правило Нансона,
расширение Рискофил
По результатам видно, что обратная процедура Борда и правило Нансона
показывают одинаковые результаты, если количество альтернатив в голосовании равно 3,
а количество участников – от 3 до 7. Дополнительно проверялось, существуют ли
профили, в которых манипулирование по одному правилу имеет место, а по другому
правилу невозможно. Расчеты показали, что таких профилей по указанным количествам
участников и альтернатив не существует.
Следующий важный этап – понять, являются ли полученные результаты
совпадением, или процедуры Нансона и обратную процедуру Борда можно отождествлять
в терминах манипулируемости. Для ответа на данный вопрос осуществлялся поиск
профилей для ситуаций с тремя альтернативами, которые манипулируются по одному
правилу и не манипулируются по-другому. Если такие профили существовали, то
необходимо было найти схему их генерации.
Отметим, что единственный случай для трех альтернатив, когда возможен случай
наличия манипулируемости по одному правилу и отсутствия по другому, это случай, при
котором на первом этапе по правилу Нансона будет исключено ровно 2 альтернативы.
Действительно, если будет исключено по одной альтернативе обоими правилами, то
останется 2 альтернативы, и на следующем шаге коллективный выбор по обеим
рассматриваемым процедурам совпадет. Таким образом, после сообщения агентом своих
неискренних предпочтений две альтернативы должны иметь ранг Борда строго меньше n.
Более того, две альтернативы с наименьшим рангом Борда должны иметь различные
ранги Борда, в противном случае, они обе будут исключены и по правилу Нансона и по
обратной процедуре Борда.
Предположим, что до манипулирования альтернативы имели ранги Борда n+k, n, nk при некотором натуральном k. Тогда в силу предыдущего утверждения, после
изменения предпочтения ранг второй альтернативы должен быть понижен.
Пусть предпочтения манипулирующего агента были 𝑎 ≻ 𝑏 ≻ 𝑐, а ранги Борда были
равны n+k, n, n-k для a, b и c, соответственно. Тогда при изменении предпочтений в 𝑎 ≻
𝑐 ≻ 𝑏 ранги Борда будут равны n+k, n-1, n-k+1. Таким образом, альтернативы b и c будут
отсеяны после первого этапа процедуры Нансона, и выиграет альтернатива a. Очевидно,
что выбор {a} лучше выбора {a,b} при любом расширении предпочтений. При этом
заметим, что если k>2, то по обратной процедуре Борда манипулирование произойти не
может, т.к. на первом этапе всегда будет исключена альтернатива с рангом n-k, т.к. за
одно изменение предпочтений у одного агента нельзя изменить ранг одной альтернативы
больше, чем на 2.
Приведем пример профиля для указанного выше случая для 10 участников и 3
альтернатив. Профиль манипулируется по правилу Нансона и не манипулируется по
обратной процедуре Борда.
2. Пример профиля, манипулируемого по правилу Нансона, и не манипулируемого по обратному правилу Борда
Номер
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
a
a
a
a
c
b
b
b
c
b
c
c
c
b
b
a
a
a
a
a
b
b
b
c
a
c
c
c
b
c
агента
Первая
лучшая
альтернатива
для агента
Вторая
лучшая
альтернатива
для агента
Худшая
альтернатива
для агента
В данной ситуации манипулирует четвертый участник, предъявляя вместо своих
искренних предпочтений (a, b, c) предпочтения (a, c, b). В результате коллективный выбор
меняется с {a, b} на {a}.
Приведем схему генерации профилей, которые манипулируются по правилу
Нансона и не манипулируются по обратной процедуре Борда. В данной схеме
предполагается, что n четное и n/2>k.
В профиль должны входить:
1. 1 агент с предпочтениями (a, b, c) – манипулирующий агент
2. k агентов с предпочтениями (a, c, b)
3. k агентов с предпочтениями (b, a, c)
4. 1 агент с предпочтениями (c, b, a)
5. (n-2k-2)/2 профилей (с, a, b)
6. (n-2k-2)/2 профилей (b, a, c)
Нетрудно убедиться, что ранги Борда для альтернатив будут равны n+k, n и n-k,
соответственно. Манипулировать будет первый агент, меняя предпочтения с (a, b, c) в (a,
c, b).
Таким образом, правило Нансона и обратную процедуру Борда нельзя
отождествлять с точки зрения манипулируемости, т.к. существуют профили, которые
манипулируются по одному из правил и не манипулируются по другому правилу.
Автор выражает благодарность Ф.Т. Алескерову за постановку задачи, а также
Международной лаборатории анализа и выбора решений (ЛАВР) и ЦФИ НИУ ВШЭ
(проекты 53.0 и 55.0) за частичную финансовую поддержку.
Литература
1. Алескеров Ф.Т., Карабекян Д.С., Санвер Р.М., Якуба В.И., Оценка степени
манипулируемости известных схем агрегирования в условиях множественного
выбора // Журнал Новой Экономической Ассоциации, 2009. Т. 1. № 1. C. 37—61
2. Aleskerov F., Kurbanov E. (1999). Degree of manipulability of social choice procedures
// Alkan et al. (eds.). Current Trends in Economics. Berlin: Springer.
3. Gibbard A. (1973). Manipulation of voting schemes // Econometrica N41. P. 587-601.
4. Kelly J. (1993). Almost all social choice rules are highly manipulable, but few aren»t //
Social Choice and Welfare N10. P. 161–175
5. Satterthwaite, M.A. (1975) 'Starategy-proofness and Arrow's Conditions: Existence and
Correspondence Theorems for Voting Procedures and Social Welfare Functions'.- Journal
of Economic Theory, v.10.