Тема: «Упрощение логических выражений, составление таблиц истинности». Цель работы:

Тема: «Упрощение логических выражений, составление таблиц истинности».
Цель работы:
1. Изучить логические операции с высказываниями:
конъюнкция,дизъюнкция, инверсия.
2. Научиться составлять таблицы истинности на основе логических
операций: конъюнкция, дизъюнкция, инверсия.
Оборудование:
ПК Pentium IV
Программное
Windows-7, Word, методическое пособие
обеспечение:
Ход работы.
Законы логических операций
Правила преобразования логических выражений
Логические выражения называются равносильными, если их
истинностные значения совпадают при любых значениях, входящих в них
логических переменных.
В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить
равносильные преобразования логических выражений. Приведем
соотношения, отражающие эти законы.
1. Закон двойного отрицания:
А= А
Двойное отрицание исключает отрицание.
2.
Переместительный (коммутативный) закон:
— для логического сложения:
AB = BA
— для логического умножения:
А&В = В&А
Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком
порядке берутся эти высказывания.
В обычной алгебре а + b = b + a, a xb = bха.
3.
Сочетательный (ассоциативный) закон:
— для логического сложения:
(A  B)  C=  A  (B  C)
— для логического умножения:
(А&В)&С = А&(В&С)
При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или
вообще опускать. В обычной алгебре (а + b) + с = а + (b + с) = а + b
+ с, а х (b х с) = а х (b х с) = а х b x с.
4.
Распределительный (дистрибутивный) закон:
— для логического сложения:
(A  B)&C = (A&C)  (B&C);
— для логического
умножения:
(А&В)  C =
1
(A  C)&(B  C).
Определяет правило выноса общего высказывания за скобку. В
обычной алгебре (а + b) хс = ахс + bхс.
5.
Закон общей инверсии
(законы де Моргана):
— для логического сложения
A  В = A & B ; для
логического умножения:
A& B =A  B
6.
Закон равносильности
— для логического сложения:
A  A=A;
— для логического умножения:
А&А =А. Закон означает
отсутствие показателей степени.
7.
Законы исключения констант:
— для логического сложения:
— для логического умножения:
A  l=l, A  O = A;
A&1 = А, А&О = 0.
8.
Закон противоречия: А& A =0
Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были
одновременно истинными.
9.
Закон исключения третьего:
A  A= 1
Из двух противоречащих высказываний об одном и том же предмете одно
всегда истинно, а второе — ложно, третьего не дано.
10. Закон поглощения:
— для логического сложения:
— для логического умножения:
A  (A&B) =А;
A&(A  B)= A.
11. Закон исключения (склеивания):
— для логического сложения:
(A&B)  ( A &B) = В
— для логического умножения:
(A  B)&( A  B) =B
Справедливость приведенных законов можно доказать табличным
способом: выписать все наборы значений А и В, вычислить на них значения
левой и правой частей доказываемого выражения и убедиться, что
результирующие столбцы совпадут.
Самостоятельная работа
Задание 1
1. Какие из следующих предложений являются логическими
высказываниями, а какие — нет (объясните почему):
1. "Солнце есть спутник Земли";
2. "2+3*4";
3. "Сегодня отличная погода";
2
4. "В романе Л.Н. Толстого "Война и мир" 3 432 536 слов";
5. "Санкт-Петербург расположен на Неве";
6. "Музыка Баха слишком сложна";
7. "Первая космическая скорость равна 7.8 км/сек";
8. "Железо — металл";
9. "Если один угол в треугольнике прямой, то треугольник будет
тупоугольным";
10. "Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату
третьей, то он прямоугольный".
2. Определите значения истинности высказываний:
1. "Наличия аттестата о среднем образовании достаточно для
поступления в институт";
2. "Наличие аттестата о среднем образовании необходимо для
поступления в институт";
3. "Если целое число делится на 6, то оно делится на 3";
4. "Подобие треугольников является необходимым условием их
равенства";
5. "Подобие треугольников является необходимым и достаточным
условием их
равенства";
6. "Треугольники подобны только в случае их равенства";
7. "Треугольники равны только в случае их подобия";
8. "Равенство треугольников является достаточным условием их
подобия";
9. "Для того, чтобы треугольники были неравны, достаточно, чтобы они
были не подобны";
10. "Для того, чтобы четырёхугольник был квадратом, достаточно, чтобы
его диагонали были равны и перпендикулярны"
1. Построить таблицу истинности для логических функций:
F (А, В, С) = (А  В)  (В  А)
2. Построить таблицу истинности для логических функций:
F (А, В, С) = А  (  С  В)
3. Построить таблицу истинности для логических функций:
F (А, В) =  (А  В)  (А  В)
4. Построить таблицу истинности для логических функций:
F (А, В, С) =  (А  В)  (  А =  С)
Задание 2
1.
Какое тождество записано не верно:
l) X   X=l;
2) X  X  X  X  X  X=l;
3)
Х&Х&Х&Х&Х=Х;
2. Определите, каким законом алгебры чисел (сочетательному,
переместительному, распределительному, аналога нет) соответствуют
следующие логические тождества:
а) A  B=B  A;
б) (А&В)&С=А&(В&С);
в) A  (B&C)=(A  B)&(A  C);
3
г) (A  C)&C=(A&C)  (B&C);
3. Логическое выражение называется тождественно-ложным, если оно
принимает значение О на всех наборах входящих в него простых
высказываний. Упростите следующее выражение и покажите, что оно
тождественно-ложное.
(A&B&  B)  (A&  A)  (B&C&  C).
4. Логическое выражение называется тождественно-истинным, если оно
принимает значение 1 на всех наборах входящих в него простых
высказываний. Упростите следующее выражение и покажите, что оно
тождественно-истинное.
(A&B&  C)  (A&B&C)   (A&B).
5. Упростите логические выражения. Правильность упрощения проверьте с
помощью таблиц истинности для исходных и полученных логических
формул.
a) A  (  A&B);
6)A&(  A  B);
в) (A  B)&(  B  A)&(
r)(l  (A  B))  ((A  C)&l).
Выводы по работе
4