Примеры решения экзаменационного диктанта Численное интегрирование 1. Записать численную схему нахождения значения определенного интеграла методом прямоугольников слева 10 1 1 x coscx dx Решение: В данном интеграле пределы интегрирования а=1, b=10. Возьмем число разбиений n=100. Тогда номера точек i=0..100. Шаг численного интегрирования b a 10 1 h 0.09 и xi a i h 1 0.09i n 100 Подынтегральная функция: 1 1 yi y ( xi ) cosc xi cosc 1 0,09i xi 1 0,09i В методе прямоугольников слева искомый интеграл рассчитывается по формуле n 1 I h y i i 0 Окончательно записываем численную схему для вычисления данного интеграла методом прямоугольников слева: 10 99 1 1 cos cx dx 0 , 09 cosc (1 0,09i ) 1 x i 0 1 0,09i 2. Записать формулу метода прямоугольников справа для интеграла 2 x a a 3 x 3 dx 1 Решение: В данном интеграле пределы интегрирования а=-1, b=2. Возьмем число разбиений n=100. Тогда номера точек i=0..100. Шаг численного интегрирования b a 2 1 h 0.03 и xi a i h 1 0.03i n 100 Подынтегральная функция yi f ( xi ) xia (a 3 x 3i ) (1 0.03i) a (a 3 (1 0.03i) 3 ) 2 x 1 a n 100 i 1 i 1 (a x )dx h yi 0.03 (1 0.03i) a (a 3 (1 0.03i) 3 ) 3 3 3. Записать формулу метода трапеций для интеграла 0.7 x a dx 0.5 Решение: 1 В данном интеграле пределы интегрирования а=0.5, b=0.7. Возмем число разбиений n=100. Тогда номера точек i=0..100. Шаг численного интегрирования b a 0.7 0.5 h 0.002 и xi a i h 0.5 0.002i n 100 Подынтегральная функция yi f ( xi ) ( xi a) (0.5 0.002i a) yi1 f ( xi1 ) ( xi1 a ) (0.5 0.002(i 1) a) n1 h ( x a ) dx ( yi yi1 ) 0.5 i 0 2 0.7 99 0.001 (0.5 0.002i a) (0.5 0.002(i 1) a) i 0 4. Записать численную схему нахождения значения определенного интеграла методом прямоугольников справа 2с 1 с x cosxdx Решение: Шаг h=(2с-с)/n=с/n=0,01с (n-число разбиений, например, n=100). Переменная интегрирования xi с 0,01с i . Значение хi используется для вычисления значения функции: 1 1 yi y ( xi ) cosxi cosc 0.01c i xi c 0.01c i Численная схема для вычисления данного интеграла методом прямоугольников справа: 2c 100 1 1 cos x dx 0 , 01 с cosc 0.01c i c x i 1 c 0.01c i Обыкновенные дифференциальные уравнения 1. Написать, что является решением данного дифференциального уравнения. Выбрать начальные условия для задачи Коши. Записать схему Эйлера для данного ОДУ х+yх’=y. Найти значения искомой функции в точках с номерами 0 и 1. Решение : Решением является функция x(y). Задача Коши, x(2)=1. Для записи схемы Эйлера, выразим производную yx x y Схема Эйлера yi1 yi h xi1 xi h ( yi xi ) / yi y0=2, x0=1 (из задачи Коши). Из схемы Эйлера для i=0: y1=2+h; x1=1+h(2-1)/2=1+0.5h 2 2. Написать, что является решением данного дифференциального уравнения. Выбрать начальные условия для задачи Коши. Записать схему Эйлера для данного ОДУ z'=-(z+y)y Найти значения искомой функции в точках с номерами 0 и 1. Решение : z'=(z+2)cos(z) Так как зависимость функции z от какой-то переменной неявная (второй буквы в ОДУ нет), в качестве независимой переменной выбираем любую букву, например, у. Тода решением является функция z(y). Задача Коши, z(1)=4. Схема Эйлера yi1 yi h zi1 zi h ( zi 2) cos zi y0=1, z0=4 (из задачи Коши). Из схемы Эйлера для i=0: y1=1+h; z1=4+6h*сos(4) 3. Написать, что является решением данного дифференциального уравнения. Выбрать начальные условия для задачи Коши. Записать схему Эйлера для данного ОДУ xy”=y’cos(y). Найти значения искомой функции в точках с номерами 0 и 1. Решение : Решением является функция y(x). Задача Коши: у(1)=3; y’(1)=2; Выразим старшую производную у”=(y’-cos(y))/x. Делаем замену y’=z, получаем систему y' z z ' ( z cos( y )) / x Схема Эйлера xi 1 xi h yi 1 yi h zi zi 1 zi h ( zi cos( yi )) / xi x0=1, y0=3, z0=2 (из задачи Коши). Из схемы Эйлера для i=0: x1=1+h; y1=3+2h; z1=2+h(2-cos(3))/1; 4. Написать, что является решением данного дифференциального уравнения. Выбрать начальные условия для задачи Коши. Записать схему Эйлера для данного ОДУ z”+yz’=y-z Найти значения искомой функции в точках с номерами 0 и 1. Решение: Решением является функция z(y). Задача Коши: z(0)=1; z’(0)=2; Выразим старшую производную z”=y-z-yz’. Делаем замену z’=t, получаем систему z' t t ' y z yt Схема Эйлера yi1 yi h zi1 zi h ti ti1 ti h ( yi zi yi ti ) y0=0, z0=1, t0=2 (из задачи Коши). Из схемы Эйлера для i=0: y1=h; z1=1+2h; t1=2+h(0-1-0*2)=2-h; 3 Интерполяция полиномом Лагранжа 1. Даны узлы интерполяции (-1,2),(2,3),(3,6),(4,7),(5,6). Записать формулу интерполяционного полинома Лагранжа, проходящий через 5 точек. Чему равно значение полинома при х=4? Решение: ( x 2)( x 3)( x 4)( x 5) ( x 1)( x 3)( x 4)( x 5) ( x 1)( x 2)( x 4)( x 5) 3 6 (1 2)( 1 3)( 1 4)( 1 5) (2 1)( 2 3)( 2 4)( 2 5) (3 1)(3 2)(3 4)(3 5) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 5) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) 7 6 (4 1)( 4 2)( 4 3)( 4 5) (5 1)(5 2)(5 3)(5 4) L5 ( x) 2 при x=х3=4: 0 0 0 (4 2)( 4 3)( 4 4)( 4 5) (4 1)( 4 3)( 4 4)( 4 5) (4 1)( 4 2)( 4 4)( 4 5) L5 (4) 2 3 6 (1 2)( 1 3)( 1 4)( 1 5) (2 1)( 2 3)( 2 4)( 2 5) (3 1)(3 2)(3 4)(3 5) (4 1)( 4 2)( 4 3)( 4 5) (4 1)( 4 2)( 4 3)( 4 4) 7 6 7 y3 (4 1)( 4 2)( 4 3)( 4 5) (5 1)(5 2)(5 3)(5 4) 0 2. Даны узлы интерполяции (-2,4),(3,6),(4,7),(5,8). Записать интерполяционную формулу полнома Лагранжа, являющегося параболой. Указать, через какие точки проходит этот полином. Решение: Параболой (полиномом второго порядка ~х2 )является полином, проходящий через 3 точки, например: L3 ( x) 4 ( x 3)( x 4) ( x 2)( x 4) ( x 2)( x 3) 6 7 (2 3)( 2 4) (3 2)(3 4) (4 2)( 4 3) Он проходит через точки (-2,4),(3,6),(4,7). Например, для x=x1=3: L3 (3) 4 (3 3)(3 4) (3 2)(3 4) (3 2)(3 3) 6 7 6 y1 (2 3)( 2 4) (3 2)(3 4) (4 2)( 4 3) 3. Даны узлы интерполяции (-1,2),(2,3),(3,6). Записать формулы интерполяционных полиномов Лагранжа, проходящих через 2 первые и через 3 точки. Какова степень этих полиномов? Решение: Полином, проходящий через 2 точки, является полиномом 1-й степени (прямой): L2 ( x) 2 ( x 2) ( x 1) 3 (1 2) (2 1) Полином, проходящий через 3 точки, является полиномом 2-й степени (параболой): L3 ( x) 2 ( x 2)( x 3) ( x 1)( x 3) ( x 1)( x 2) 3 6 (1 2)( 1 3) (2 1)( 2 3) (3 1)(3 2) 4. Даны узлы интерполяции (-1,2),(0,1),(2,3),(4,4),(5,7). Записать интерполяционную формулу полиномов Лагранжа, проходящих через 3 и 4 первые точки. Будут ли оба полинома проходить через точку (4,4)? Решение: Полином, проходящий через 3 точки: L3 ( x) 2 ( x 0)( x 2) ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 0) 1 3 (1 0)( 1 2) (0 1)(0 2) (2 1)( 2 0) Полином, проходящий через 4 точки: L4 ( x) 2 ( x 0)( x 2)( x 4) ( x 1)( x 2)( x 4) ( x 1)( x 0)( x 4) ( x 1)( x 0)( x 2) при 1 3 4 (1 0)( 1 2)( 1 4) (0 1)(0 2)(0 4) (2 1)( 2 0)( 2 4) (4 1)( 4 0)( 4 2) x=х3=4: L3 (4) 2 (4 0)( 4 2) (4 1)( 4 2) (4 1)( 4 0) 31 1 3 y3 (1 0)( 1 2) (0 1)(0 2) (2 1)( 2 0) 3 4 Значит, этот полином не проходит через точку (4,4). L4 (4) 2 (4 0)( 4 2)( 4 4) (4 1)( 4 2)( 4 4) (4 1)( 4 0)( 4 4) (4 1)( 4 0)( 4 2) 1 3 4 4 (1 0)( 1 2)( 1 4) (0 1)(0 2)(0 4) (2 1)( 2 0)( 2 4) (4 1)( 4 0)( 4 2) Значит, этот полином проходит через точку (4,4). Аппроксимация Пример задания: Постановка задачи аппроксимации. Даны точки (1,3), (3,6), (4,4). Найти коэффициенты линейной аппроксимации Решение: Данные точки обозначим (х1,у1), (х2,у2), (х3,у3), аппроксимирующую прямую F(x)=a0+a1x. Нужно найти коэффициенты прямой а0,а1 такие что сумма квадратов отклонений n R= (yi -( a0+a1xi ))2 была минимальной . i 1 Сумма квадратов отклонений будет минимальна, если R R 0 a 0 a1 R 2 ( y i (a1 xi a 0 )) 2 ( y i a1 xi a 0 ) 0 a 0 R 2 2 ( y i (a1 xi a 0 )) xi 2 ( y i xi a1 xi a 0 xi ) 0 a1 y x a x a x y a x a n 0 2 i i i 1 1 i i 0 i 0 0 Обозначим M x xi , M y y i ,M xy xi y i , M xx xi 2 Везде суммирование ведется по всем точкам i=1..n. Тогда для определения a0 и a1 получается a1 M xx a0 M x M xy a1 M x a0 n M y система уравнений : Выражения для параметров имеют вид (приводим вывод) a1 M xy n M x M y M xx n M x M x , a0 M xx M y M x M xy M xx n M x M x Найдем значения параметров для данных точек. Mx=1+3+4=8; Mxx=12+33+42=26; My=3+6+4=13; Mxy=1*3+3*6+4*4=37; n=3 5 a1 37 3 8 13 0.5 26 3 8 8 a0 26 13 8 37 3 26 3 8 8 Решение СЛАУ методом Гаусса 1. Записать решение СЛАУ методом Гаусса: 2 x1 3x 2 x3 9 x1 x 2 2 x3 5 4 x 2 x 4 x 12 2 3 1 Решение: Прямой ход метода Гаусса Преобразуем 2 и 3 уравнения так, чтобы коэффициенты при х 1 стали равны 0. Для этого будем использовать 1 уравнение. 1 уравнение разделим на а11, умножим на а21 и вычтем из второго уравнения. Т.е. (2)-(1)* а21/ а11 : x1 x 2 2 x3 5 3 1 9 x 2 x3 2 2 2 __________________ 1 3 1 x 2 x3 2 2 2 1 уравнение разделим на а11, умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения. Т.е. (3)-(1)* а31/ а11 : 4 x1 2 x 2 4 x3 12 x1 4 x1 6 x 2 2 x3 18 __________________ 4 x 2 2 x 3 6 Перепишем систему в преобразованном виде: 2 x1 3x 2 x3 9 1 3 1 x 2 x3 2 2 2 4 x 2 x 6 2 3 Преобразуем 3 уравнение так, чтобы коэффициент при х2 стал равен 0. Для этого будем использовать 2 уравнение. 2 уравнение разделим на а22, умножим на а32 и вычтем из третьего уравнения. Т.е. (3)-(2)* а32/ а22 : 4 x 2 2 x 3 6 4 x 2 12 x3 4 __________________ 10 x3 10 Перепишем систему в преобразованном виде: 6 2 x1 3x 2 x3 9 1 3 1 x 2 x3 2 2 2 10 x 10 3 Матрица коэффициентов приведена к треугольному виду. Прямой ход метода Гаусса закончен. Обратный ход метода Гаусса. Найдем значения неизвестных: x3 10 / 10 1 1 3 x 2 1 / 1 / 2 2 2 2 x1 (9 3 2 1) / 2 1 2. Записать решение СЛАУ методом Гаусса: 2 x1 3x 2 x3 6 x1 x 2 2 x3 4 x 2x 2x 5 2 3 1 3. Записать решение СЛАУ методом Гаусса: 2 x1 3x 2 x3 3 x1 x 2 2 x3 3 4 x 2 x 4 x 8 2 3 1 4. Записать решение СЛАУ методом Гаусса: 2 x1 2 x 2 x3 5 2 x1 x 2 3x3 7 4 x 3x x 9 2 3 1 7