13.3 Ядро сечения

Лекция №13
Внецентренное растяжение и сжатие
13.1 Нормальные напряжения
13.2 Уравнение нейтральной линии
13.3 Ядро сечения
13.1 Нормальные напряжения
Многие элементы строительных конструкций (колонны, стойки,
опоры) находятся под воздействием сжимающих сил, приложенных не в
центре тяжести сечения. На рис. 13.1 показана колонна, на которую
опирается балка перекрытия. Как видно, сила действует по отношению к оси
колонны с эксцентриситетом e , и таким образом, в произвольном сечении
a  a колонны наряду с продольной силой N  F возникает изгибающий
момент, величина которого равна Fe .
Рис.13.2 Внецентренное сжатие
Рис. 13.1 Внецентренное
стержня
сжатие колонны
Внецентренное растяжение (сжатие) стержня представляет такой
вид деформирования,
при котором равнодействующие внешних сил
действуют вдоль прямой, параллельной оси стержня.
Пусть стержень произвольного поперечного сечения (рис. 13.2)
нагружен на торце, приложенной внецентренно сжимающей силой F ,
направленной параллельно оси x . Выберем положительные направления
главных центральных осей инерции Oz , Oy таким образом, чтобы точка
приложения силы F находилась в первой четверти осей координат.
Обозначим координаты точки приложения силы F через z F , y F (координаты
центра давления - полюс). Внутренние усилия в произвольном сечении
стержня равны:
M y   Fz F .
M z  FyF ,
(13.1)
N  F ,
Знаки минус у изгибающих моментов обусловлены тем, что в первой
четверти осей координат эти моменты вызывают сжатие. Величины
внутренних усилий по длине стержня не меняются и поэтому в сечениях
достаточно удаленных от места приложения нагрузки, распределение
напряжений в точках сечения будет одинаковым. Ранее нами была получена
трехчленная формула для нормальных напряжений  x 
My
N Mz
y+
z (см.

A
Jy
Jz
формулу (8.13)) . С учетом выражений (13.1) будем иметь
x  
(13.2)
Fz
F Fy F

y F z
A
Jz
Jy .
Формулу (13.2) удобно записать в виде
x  
(13.3)
y
z
F
(1  F2 y  F2 z )
A
iz
iy
,
где iz , i y -главные радиусы инерции поперечного сечения стержня. При этом
iz 
2
Jz
,
A
iy 
2
(13.4)
Jy
.
A
13.2 Уравнение нейтральной линии
Найдем множество точек поперечного сечения, в которых нормальные
напряжения  x  0 . В результате получим уравнение нейтральной линии n  n
(нулевой линии):
1
yF
iz
2
y
zF
iy
2
(13.5)
z  0.
Полагая в уравнении (13.5) y  0 найдем отрезок a z , который отсекает
нейтральная линия на оси z . Пологая z  0 , найдем отрезок a y , который
нейтральная линия отсекает на оси y . В результате получим (рис.13.2)
az  
iy
2
zF
2
ay  
iz
yF
(13.6)
Пример 13.1 Построим эпюру нормальных напряжений в произвольном
сечении внецентренно сжатой колонны прямоугольного сечения с размерами
b  h (рис 13.3,a).
Рис. 13.3 Внецентренное сжатие стержня прямоугольного сечения
Определяем отрезки, отсекаемые нейтральной линии на главных
центральных осях по формулам (13.6):
b
h
zF  , yF  ,
4
4
(hb 3 / 12)
iy
b
bh
az  


zF
b/4
3
2
(bh 3 / 12)
2
i
h
bh
ay   z 

yF
h/4
3
(13.7)
Подставляя в (13.3) координаты наиболее удаленных от нейтральной линии
b
2
h
2
b
2
h
2
точек C ( z C   , yC   ) и B ( z B  , y B  ) с учетом (13.7) получим:
(hb 3 / 12) b 2

,
bh
12
(bh 3 / 12) h 2


.
bh
12
i2 y 
i2z
 xC  
F
(h / 4)
h
(b / 4)
2F
(1  2
( )  2
(b / 2)) 
A
A
(h / 12) 2 (b / 12)
(13.8)
Для точки B будем иметь
 xB  
F
(h / 4) h
(b / 4)
F
3 3
4F
(1  2
( ) 2
(b / 2))   (1   )  
A
A
2 2
A
(h / 12) 2 (b / 12)
(13.9)
Эпюра нормальных напряжений представлена на рис 13.3,б.
Наибольшие сжимающие напряжения в четыре раза превосходят (по
модулю) значения напряжений, которые имеют место при центральном
сжатии. Кроме того в сечении появились значительные растягивающие
напряжения. Вдоль прямой параллельной нейтральной линии и проходящей
через центр тяжести напряжения равны  x  ( F / A) .
13.3 Ядро сечения.
Многие строительные материалы (бетон, кирпичная кладка и др.)
плохо сопротивляются растяжению. Их прочность на растяжение во много
раз меньше чем на сжатие. Поэтому в элементах конструкций из таких
материалов нежелательно появление растягивающих напряжений. Для этого
необходимо чтобы нейтральная линия (нулевая линия) находилась вне
сечения. Если нейтральная линия касается точки контура сечения, то
положение точки приложения силы (центра давления) является предельным.
В поперечном сечении в окрестности центра тяжести существует
выпуклая область, обладающая следующими свойствами: если точка
приложения силы принадлежит этой области, то напряжения во всех
точках поперечного сечения имеют один и тот же знак. Эта область
называется ядром сечения.
Геометрическое место точек приложения силы (центров давления),
для которых соответствующая нейтральная линия касается контура сечения,
называется контуром ядра сечения.
На рис.13.4 показана трансформация эпюры
напряжений при
удалении точки приложения силы F от центра вдоль оси y .
Рис.13.4 Эпюры напряжений при удалении точки приложения силы от ц.т.
Ядро сечения строят, последовательно задаваясь положением
нейтральных линий n  n как касательных к контуру сечения. При заданных
отрезках
( a z , a y ), отсекаемых касательной на координатных осях,
координаты точки приложения силы (центра давления) определяют по
формулам (см. (13.6)):
zF  
iy
2
2
yF  
az
iz
ay
(13.10)
Соединив, найденные таким образом ряд точек получают очертание ядра
сечений.
Установим характерные свойства взаимного расположения нейтральной
линии и центра давления:
1) центр давления и нейтральная линия расположены в противоположных
квадрантах (рис. 13.5);
Рис. 13.5 Взаимное расположение нейтральной линии и центра давления
2) если центр давления приближается к центру тяжести по прямой, то
нейтральная линия удаляется от него, оставаясь параллельной самой
себе (при z F =0, yF =0  x
F
, (n  n) 
  );
A
3) если центр давления лежит на одной из главных осей инерции, то
нейтральная линия параллельна другой оси;
Рис. 13.6 Центр давления перемещается вдоль центральной прямой или
расположен на главной оси инерции
4)если центр давления перемещается по прямой не проходящей через центр
тяжести, то нейтральная линия поворачивается вокруг некоторой точки.
Рис. 13.7 Центр давления перемещается вдоль прямой, не проходящей через
центр тяжести, n-n поворачивается вокруг точки D
Пример 13.1 Построим ядро сечения для прямоугольника (рис.13.8)
Рис.13.8 Ядро сечения прямоугольника
Квадраты радиусов инерции: i 2 y 
(hb 3 / 12) b 2 2
(bh 3 / 12) h 2


,i z 
bh
12
bh
12
2
iy
b
b
 , y F  0 . Для касательной
Для касательной 1-1 a z  , a y   и z F  
2
az 6
2
i
h
h
2-2 a z  , a y  и z F  0, y F   z   . Когда нейтральная линия
2
ay
6
поворачивается вокруг точки 2 центр давления перемещается по прямой 1-2
(свойство 4). Прямые 2-3, 3-4,4-1 строятся аналогично.
Пример 13.2 Построим ядро сечения для круга (рис.13.9)
Рис.13.9 Ядро сечения круга, эллипса
Для
круга
имеем: i
2
y
(R 4 / 4) R 2
,


4
R 2
касательную a z  R, a y   , тогда z F  
iy
2
az

i
2
z
(R 4 / 4) R 2
,


4
R 2
Проведем
R
, y F  0 . Таким образом, ядро
4
сечения для круга представляет собой круг радиуса
R
.
4
Огибающей сечения будем называть выпуклую кривую или ломанную,
которая получается охватом сечения гибкой нитью. Ядро сечения является
выпуклой фигурой, поскольку нейтральные линии должны касаться
огибающей контура сечения, а не пересекать его. Раннее в рассмотренных
сечениях огибающая совпадала с контуром сечения.
Через точку A (рис.13.10) можно провести бесконечное множество
касательных (нейтральных линий) при этом только касательная AC является
касательной к огибающей и ей соответствует только одна точка ядра
сечения. Все другие касательные, например AB, пересекают контур.
Рис. 13.10 Огибающая и контур фигуры не совпадают
На рис 13.11 a,b показаны ядра сечения для двутавра и швеллера.
Рис. 13.11 Ядра сечения двутавра и швеллера
Наличие четырех угловых точек ядра сечения в каждом из этих
примеров обусловлено тем, что огибающая контура и у двутавра и у
швеллера совпадает с контуром прямоугольника.
Примеры ядер сечения.
Рис. 13.12 Тавр, ядро и огибающая сечения
Рис. 13.13 Контур сечения не является выпуклым
Рис. 13.14 Ядро сечения внутри эллипса инерции