Свойства логарифмов

ГБОУ СПО Пензенской области
«Нижнеломовский многопрофильный техникум»
Тема: «Свойства
логарифмов».
Разработала и провела:
Пестрожукова Е.А.
Цели:
изучение свойств логарифмов и формирование навыков их
применения при решении задач;
развитие логического мышления и внимания;
воспитание отзывчивости и аккуратности.
Ход урока.
1.Орг. момент.
Учитель: Сегодня на уроке мы должны познакомиться со свойствами логарифмов и их
использованием при решении задач. На память приходят слова Лейбница(слайд1) : «Если
человек хочет ограничиться настоящим, не зная прошлого, он никогда его не поймет».
(слайд2)
И поэтому я хочу начать наш урок с обращения к прошлому, к истории логарифмов. А
провести этот экскурс в историю я попрошу студента …
. Пожалуйста.
2.Актуализация знаний.
Учитель: А теперь после общения с прошлым, возвращаемся в настоящее.
1) 2 ученика вызываются к доске (на ней задания).
1 ученик. Запишите основное логарифмическое тождество. Сравните выражения:
а)3log35 + 2 * 3log35 +2;
б)log5 81/ log5 9 * log1/5 9/ log1/5 81
2 ученик Найдите х.
1) logх 1/25=-2; х=5.
Учитель : Сейчас нам с тобой предстоит поменяться
2) 3х=9; х=2.
ролями. Я выполнила задание на доске. А тебе предстоит
1
3) log2 2 2 =х; х=2 .
2
х
4) 2 =11; х= log11 2.
выступить в роли учителя и проверить решение.
1
5) log6 х= ; х=6.
2
6) logх 1=0; х >0.
2) Индивидуальная работа учеников на месте на карточках.
Карточка1.
Карточка2.
Запишите без знака логарифма
Найдите логарифмы чисел по основанию 2:
равенства: log2 1/8=-3,
а) 32; б)1/2; в) 1; г) 2 ; д)1/16; е) -4.
log5 625=4, log0,7 1=0,
log4/3 27/64=-3, log4 4=1.
3) Фронтальный опрос.
Задание на (слайде3).
log0,2 0,04, lg 1000, log5 1/25, log7х, logу 10.
Вопросы:
1.Прочитайте выражения.
2.Что в буквальном смысле означает логарифм?
3.Дайте определение логарифма.
4.Какие значения могут принимать переменные х и у в записи логарифмов?
5.Верно ли утверждение о том, что любое действительное число можно представить в
виде логарифма с данным основанием?
6.Тогда представьте 2 в виде log3 …
2
7.Как нашли число 9? 0,6= log2…
Проверка работы у доски.
К 1 ученику: Кроме основного логарифмического тождества, каким еще тождеством
пользовались?
Ко 2 ученику: Какие уже знакомые уравнения встретились в этом задании? Чем они
отличаются друг от друга? Как было решено уравнение? Как еще можно было решить?
3.Объяснение нового материала.
Проблемная ситуация.
Учитель: Итак, какие теоретические факты вы вспомнили сейчас при выполнении
заданий? А теперь, используя все это, вам предстоит найти значения выражений,
содержащих логарифмы.
На (слайде4).
1) log1/2 32, 2) log12 4+ log12 3, 3) log3 7- log3 7/9, 4) lg100, 5)2 lg 5+ lg 4, 6) log7(-7),
7) lg 130- lg13, 8) log1 2, 9) lg2+ lg5.
Учитель Но прежде разбейте их на две группы: 1) те, которые имеют смысл; 2) те,
которые не имеют смысла. (Вычеркиваем 6, 8). Оставшиеся выражения имеют смысл.
Значит, мы можем найти значения этих выражений. Назовите мне выражения, значения
которых вы можете найти сразу. А можете вы сейчас найти значения оставшихся
выражений? А вот я могу найти значения этих выражений легко и быстро. Скоро вы тоже
сможете это сделать. Но для этого вам нужно узнать свойства логарифмов.
Итак, перед вами основные свойства логарифмов (слайд5).
Эти тождества выполняются для а>0, а≠1, х>0, у>0.
1. logа а=1
2. logа 1=0
3. logа ху=logа х+logа у
4. logа х/у=logа х-logа у
5. logахp=plogа х
Учитель Свойства 1 и 2 очевидны по определению логарифма. Докажем 3 свойство.
х=аlogах, тогда у=аlogау . Найдем ху= аlogах * аlogау = аlogах+logа у . Следовательно
logа ху=logа х+logа у .
коротко это звучит так: логарифм произведения двух выражений равен произведению
логарифмов этих выражений. Это тождество выполняется для любого числа множителей.
Найдите выражения, значения которых можно найти, используя это свойство, и
вычислите их (вычисляют).
Свойство 4 доказывается аналогично. Докажите самостоятельно, используя учебник в
случае затруднения (стр.225).
Ученик доказывает его у доски.
Учитель Как можно сформулировать это свойство коротко? К каким выражениям можно
применить это свойство? Вычислите значения этих выражений (вычисляют).
Свойство 5 докажите самостоятельно дома. А сейчас сформулируем его коротко.
Преобразуйте выражения, используя это свойство: log432, 1/3 log227.
Значение, какого выражения можно вычислить рационально, используя это свойство?
3.Закрепление.
Учитель Эти свойства применяются для логарифмирования выражений, т. е. для
нахождения логарифма данного выражения.
№ 491 (в) выполняют у доски.
3
Какую операцию сейчас выполняли? Какими свойствами пользовались? А если
выражение представлено дробью, каким свойством вы воспользуетесь?
Самостоятельная работа по вариантам.
I вариант № 493(в)
II вариант № 493(г)
На (слайде6) ответы. Необходимо выбрать номер правильного ответа.
1)7/4 lg с-7-2/3 lg а-8 lg b;
2)4-2 lg а+5 lg b+2/3 lg с;
3)-4+2 lg а+2/3 lg с+5 lg b;
4)7/4 lg с-7+2/3 lg а+8 lg b.
Учитель Итак, что означает операция логарифмирования? Однако очень часто
приходится выполнять обратную операцию, т. е. находить выражение, логарифм которого
представлен через логарифмы других чисел. При этом мы будем пользоваться следующим
тождеством: logа t= logа х→ t=х.
Справедливость этого мы докажем, когда изучим логарифмическую функцию и ее
свойства. Эту операцию называют потенцированием. Выполняем № 497(а) у доски.
Теперь я хочу предложить вам еще несколько полезных тождеств.
(Слайд6)
1.logа х=1/ logх а,
2. logак х=1/к logа х,
3. logак хр =р/к logа х,
4. аlogсb= blogса, где к≠0, р≠0, b, х.с,аположительные числа, b≠1, х≠1, с≠1,
а≠1.
Докажем первое тождество, а остальные вы докажите сами.
logа х = logхх/ logха= 1/ logх а.
Учитель Сейчас мы выполним тренировочные упражнения на применение этих свойств.
Задание.
Запишите через с= log2 5 выражения: а) log5 2, б) log23 54, в) log8 5 , г) log4 125.
Учитель А теперь подведем итог. С какими теоретическими фактами вы сегодня
познакомились? Назовите основные свойства логарифмов. А теперь запишите домашнее
задание: стр. 225, № 497(б, г), № 491(а, в), № 496.
А в заключении мы проведем тест, выделите кружком правильные ответы.
Тест.
Вариант I
1. Найдите значение выражения
1
log125 5- log21/2 + log2,5 0,4.
2
1
а)-3,5;
6)4,5;
в)1 ;
3
1оg 6-1,5
2. Вычислите 9 з .
3
а) 2,5;
б) ;
в) 1,5;
4
г)-2
2
.
3
1
3
1 = 1
3. Решите уравнения 1оg4 x = -1,5 и 1оgx
3
2
Запишите произведение их корней.
г) 1 .
4
8
1
1
1
а) ;
б)1 ;
в)9 ;
г)8 .
9
8
8
9
4. Прологарифмируйте по основанию 10 выражение
х=
100а 10а
1000 а
3 lg a
lg a
;
в) б) lgx=1,25;
4
4
lg a
3 lg a
б) lgx=-1,75+
;
г)lgx=-0,25.
4
4
5. Найдите область определения функции
а)lgx=0,75+
5x  x 2
y=
.
log 1 (5  3 x)
3
а)[0; 1
2
2
2
1
1 2
2
] U (1 ;5]; б)(-∞;0] U (1 ;5]; в) [0; 1 ) U (1 ;1 ); г) [0; 1 ).
3
3
3
3
3 3
3
Вариант II
1. Найдите значение выражения
1
Log3 1/2 3 - log0,25+ log64 4.
2
2
2
;
6) ;
в)-2 ;
3
3
3
2. Вычислите 41,5-1оg 1625.
а)-
а) 2,5;
б)1,5;
в) 2,6;
1
г)-1 .
3
г) 1,6.
2
3. Решите уравнения 1оg8 x = - и 1оgx 0,2 = -0,5
3
Запишите произведение их корней.
а)4,2;
б)25,25;
в)6,25;
г)0,8.
4. Прологарифмируйте по основанию 10 выражение
х=
10b 3 100b
1003 b
5 lg b
7 lg b
;
в) б) lgx= ;
6 3
6 3
7 lg b
5 lg b
б) lgx=- +
;
г)lgx=- +
6
3
6
3
5. Найдите область определения функции
а)lgx=
y=
 x 2  3x
.
log 0, 4 (2 x  3)
а)[-5; -1) U (-1; 0]; б)(-∞; -3] U (-1,5; +∞); в) (-1,5; -1) U (-1; 0]; г) [-3; -1,5) U (-1,5; 0].
4.Итог урока.
С какими свойствами логарифмов познакомились ? Для чего они предназначены? Можно
ли обойтись без них?
На этом наш урок закончен. Всем спасибо.
5