Lekciya24

Лекция 24
Уравнение Томаса-Ферми
Распределение заряда и электрического поля в атомах с учетом взаимодействия электронов
друг с другом проводятся методами самосогласованного поля. Эти расчеты очень сложны и
громоздки (особенно многоэлектронных атомов). Но как раз для сложных атомов существует
другой приближенный метод, приводящий к более грубым результатам, но являющийся гораздо
более простым. Этот метод называется методом Томаса-Ферми и заключается в том, что в
сложных атомах с большим числом электронов большинство электронов обладают большими
квантовыми числами, и, следовательно, для них применимо квазиклассическое приближение.
Поэтому об электронных состояниях можно говорить как о «ячейках в фазовом пространстве».
Рассмотрим атом с тяжелым ядром Z
1 . В этом случае большинство электронов сосре-
доточено на уровнях с большими квантовыми числами. Так как на одном уровне не может быть
двух одинаковых электронов, на первых оболочках электронов мало. Для остальных применяем
квазиклассику.
Плотность электронов: n(r ) . Электростатический потенциал:  ( r ) . Число состояний, приходящихся на фазовый объем:
d 3 pdV
.
(2 )3
С учетом спина:
2
d 3 pdV
.
(2 )3
Импульсы электронов в основном состоянии атома меняются от нуля до некоторого значения p0 . Поэтому число электронов в элементе объема dV равно
8 p03
dV
3 (2 )3
С другой стороны, количество электронов в элементе объема можно записать через их
плотность как:
n(r )dV .
Тогда плотность в данной точке пространства имеем для плотности электронов:
n( r ) =
1 p03
3 2
1
3
Откуда находим p0 - радиус Ферми-сферы.
p0 = (3 2 n)1/3 .
Максимальная кинетическая энергия:
e (r ) 
p02
= E (r ).
2m
Чтобы состояние было связанным, величина E должна быть отрицательной:
E = e0 < 0, 0  0.
Потенциал  0 одинаков во всех точках пространства в стационарном состоянии (в противном
случае электроны переходили бы из точек с меньшим  0 в точки с большим  0 ). Поэтому
e(   0 ) =
2
(3 n)
2
2m
2/3
p02
=
.
2m
 = 0 - уравнение границы атома (в этих точках плотность электронов n(r ) обращается в
нуль). Но вне центрально-симметричного распределения зарядов при условии равенства нулю
полного заряда потенциал должен быть равен нулю. Поэтому на границе атома  = 0 . Поэтому
для нейтрального атома постоянная  0 равна нулю. Для иона постоянная  0 должна быть отлична от нуля. Поэтому
1  2em 
n= 2  2 
3 

3/2
Поскольку потенциал и плотность заряда связаны уравнением Пуассона  = 4 en3/2 , то
из предыдущей формулы имеем
4e  2 
 =


3  a0 e 
3/2
(1)
2
где a0 =
me2
- боровский радиус. Уравнение (1), определяющее распределение поля в атоме, и
называется уравнением Томаса-Ферми. Распределение поля в основном состоянии атома определяется центрально-симметричным решением этого уравнения, удовлетворяющем следующим
граничным условиям
Ze
;
r
r   : r (r )  0.
r  0 :  (r ) =
Первое условие связано с тем, что на малых расстояниях, когда заряд ядра не экранируется
2
электронами, атомное поле совпадает с полем ядра. На больших расстояниях поле должно убывать быстрее кулоновского из-за равенства нулю полного заряда атома.
Используем далее известное выражение для радиальной части лапласиана
1 d  2 d  1 d 2
 = 2  r
(r )
=
r dr  dr  r dr 2
и будем искать решение уравнения (1) в виде:
 (r ) =
Ze
 (r )
r
Тогда уравнения и граничные условия для функции  ( r ) можно записать в следующем
виде:
 (0) = 1,
 () = 0.
r1/2
2/3
d 2   4  2 1/3 
=
Z  .
 
dr 2  3  a0

Переходим к безразмерной переменной:
r =b
a0
x.
Z 1/3
где буквой b обозначена следующая комбинация безразмерных множителей (для компактности
записи уравнения)
1  3 
b=  
2 4 
2/3
 0,885.
Получаем уравнение:
x1/2
d 2
=  3/2 .
2
dx
Это уравнение называется уравнением Томаса-Ферми. Это уравнение не содержит уже никаких параметров и определяет, таким образом, универсальную (то есть одинаковую для всех
атомов) функцию  ( x) .
Зная функцию  ( x) , мы можем найти распределение поля в атоме  (r ) , а затем и распределение плотности электронов n( r ) :
Ze  Z 1/3r 
 (r ) =  
 ...
r  ba0 
Уравнение Томаса-Ферми не решается аналитически, но может быть проинтегрировано
3
численно.
Мы описали некоторые общие свойства «усредненных» атомов, отказавшись от описания
индивидуальных свойств конкретных атомов. Это уравнение можно использовать не только для
атомов, но и для других систем. С помощью модели Томаса-Ферми можно делать различные
оценки или легко понять зависимости тех или иных характеристик атомов от размерных параметров и заряда ядра. Например, из уравнения Томаса-Ферми следует, что роль характерного
размера атома играет величина
r
a0
Z 1/3
(именно этой величиной обезразмерены координаты в уравнении Томаса-Ферми).
Поэтому характерные значения потенциала можно оценить как:
 (r )
Ze
a0 /Z 1/3
Z 2/3
e
a0
Через потенциал можно следующим образом оценить характерную скорость электронов в
атоме:
mv 2
e
e 2 4/3
Z ,
a0
e 2 2/3 e 2 2/3
Z = Z
ma0
v
Можно оценить и плотность электронов:
Z
(a0 /Z 1/3 )3
n
Z2
a03
Обсудим теперь условия применимости метода Томаса-Ферми. Для получения уравнения
Томаса-Ферми мы использовали квазиклассическое приближение, которое не работает на слишком маленьких расстояниях. Как известно квазиклассическое приближение работает на расстояниях, больших радиуса первой боровской орбиты. Поэтому
r
2
a0
=
Z Zme2
Также размеры ограничены сверху: на больших расстояниях де-бройлевская длина волны
электрона становится порядка самого этого расстояния, и потому условие квазиклассичности
полностью нарушается.
Поэтому метод Томаса-Ферми работает при таких значениях расстояния, которое удовлетворяет следующим неравенствам
4
a0
Z
r
a0 , или
1
Z
r
a0
Это и есть область, в которой работает наше приближение.
5
1