Задания для домашней контрольной работы № 1

1
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
Экономический факультет, заочное отделение,
специальность «Менеджмент организаций»
(разделы 1-7 – 1-й семестр, разделы 8-12 – 2-й семестр)
1. ВВОДНЫЕ ПОНЯТИЯ. Множества, их объединение, пересечение,
разность, пустое множество, подмножество, равенство множеств. Примеры
(множества натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных
чисел). Модуль (абсолютная величина) действительного числа, его геометрический смысл и основные свойства. Числовые интервалы. Понятие окрестности
(действительного числа, бесконечно удаленной точки на числовой прямой,
двумерной точки).
ЛИТЕРАТУРА: [1: гл.2, § 1; гл.7, § 1], [2: пп.5.1, 5.2], [3: раздел B, пп.1.1,
1.2 ], [5, п.1.1], [7, гл.1, п.1-2].
2. ФУНКЦИИ. Функция, ее область определения, множество значений,
график (для функций одного и двух переменных). ДЛЯ ФУНКЦИЙ ОДНОГО
ПЕРЕМЕННОГО: понятие об обратной функции и взаимно обратных функциях, четные и нечетные функции, периодические функции, монотонные функции. Способы задания функций одного переменного (в том числе неявное, параметрическое), функциональные зависимости. Элементарные функции одного
переменного, их свойства и графики. Числовая последовательность как функция, геометрическая прогрессия.
ЛИТЕРАТУРА: [1: гл.6, §§ 1-9; гл.20, §.1], [2: пп.5.3-5.7, 15.1, 15.10], [3,
раздел В, пп. 2.1, 2.2, 3.1, 5.1], [5, пп.1.2-1.4, 2.1-2.3], [7, гл.2,].
3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ.
ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. Понятие о пределе функции,
единственность предела. Теоремы об арифметических действиях с пределами
функций. Ограниченность функции и теорема об ограниченности функции,
имеющей конечный предел. Бесконечно малые и бесконечно большие функции,
их свойства. Теорема о связи между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями. Непрерывность в точке и на множестве, основные теоремы о
непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций. Теоремы о
переходе к пределу в неравенствах. Понятие об эквивалентных функциях, замена функций на эквивалентные в произведении и частном. Предел отношения
синуса бесконечного малой дуги к этой дуге. Некоторые замечательные пределы и "цепочка" эквивалентных функций. Предел числовой последовательности,
сходимость числовой последовательности. Теорема о пределе монотонной
ограниченной последовательности. Понятие о числе e , функции y  ln x ,
y  e x . Понятие об односторонних пределах, функция "знака" в качестве примера.
ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ: понятие о пределе, отличие от одномерной ситуации. Непрерывность функции двух переменных.
2
ЛИТЕРАТУРА: [1: гл.7, §§ 3-13; гл.8, §§ 1-5; гл.20, §§ 1-2], [2: гл.6, пп. 6.16.7; гл.15, п.15.2], [3, раздел В, пп. 2.2-2.5, 3.2-3.3, 5.1], [5, пп. 3.1], [7, гл.3, гл.4
пп.1,4], [10, с.3-9].
4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО И ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. Приращение аргумента и функции одного переменного. Определение производной функции одного переменного, геометрический, экономический и физический смысл производной. Дифференцируемость функции, зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью. Понятие о бесконечной производной. Основные правила дифференцирования (производная
константы, производная алгебраической суммы функций, производная произведения и следствия, производная частного). Сложная функция и ее производная. Таблица производных элементарных функций. Дифференциал функции.
Понятие о производных и дифференциалах высших порядков. Вычисление пределов функций с помощью производных (правило Лопиталя). Частные производные функции двух переменных (первого и второго порядков). Формулы для
вычисления полных дифференциалов первого и второго порядков. Дифференцируемость функции двух переменных. Понятие о производной по направлению и градиенте.
ЛИТЕРАТУРА: [1: гл.9; гл.10; гл.12, §§ 1-3,7,8; гл.20, §§ 3-4,8], [2: гл.7;
гл.8, п.8.2; гл.9, пп.9.1, 9.3; гл.15, пп. 15.3-15.5], [3, раздел В, пп. 4.1-4.6, 5.25.3], [5, пп.3.2-3.4, 4.1], [7, гл.5], [10, с.10-14], [11, с.18-20].
5. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ОДНОГО И ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ.
ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. Теорема Лагранжа о конечном
приращении и ее следствия. Необходимые и достаточные условия возрастания
(убывания) функции. Понятие об экстремумах функции. Необходимое условие
экстремума. Достаточные условия экстремума (теорема об изменении знака
производной). Выпуклость графика функции, связь со знаком второй производной. Точки перегиба, необходимое и достаточное условия. Второе достаточное
условие экстремума.
ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. Экстремум, необходимые и достаточные условия экстремума. Метод наименьших квадратов. Понятие об условном
экстремуме и методе Лагранжа. Абсолютный экстремум.
ЛИТЕРАТУРА. [1: гл.11, §§ 1-3, 7-8; гл.20, §§ 10-11], [2: гл. 8, пп.8.1,8.38.6; гл.15, пп.15.6-15.8 ], [3: раздел В, пп. 4.8-4.9, 5.4], [5: пп.3.5, 4.3-4.4], [7,
гл.6, п.2,4,6], [8, пп.5.1-5.3],[10; с.14-16], [11: с.22-24].
6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ. Первообразная функции и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов для основных элементарных функций.
Основные методы интегрирования (интегрирование по частям, замена переменных). Интегрирование дробей с квадратичным знаменателем. Интегрирование простейших иррациональностей. Интегрирование тригонометрических
функций. Понятие об определенном интеграле от непрерывной функции (формула Ньютона-Лейбница). Основные свойства определенного интеграла (об-
3
щие, линейность, аддитивность). Монотонность определенного интеграла и
теорема о среднем. Определенный интеграл как предел интегральных сумм и
его геометрические приложения. Определенный интеграл с переменным верхним пределом и связь с первообразной подынтегральной функции. Интегрирование по частям и замена переменой в определенном интеграле. Понятие о несобственных интегралах с конечной (для неограниченных функций) и бесконечной особой точкой.
ЛИТЕРАТУРА: [1: гл.13, §§ 1-9; гл.14, §§ 1-2, 5-8, 12], [2: гл.10; гл.11,
пп.11.4, 11.2, 11.3, 11.5, 11.7], [3: раздел В, пп. 6.1-6.3, 7.1-7.4, 8.1-8.2], [5; пп.
5.1, 5.2, 5.4], [7, гл.7], [10, с.19-24], [11, с.3-5].
7. ПРИЛОЖЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА К ЭКОНОМИКЕ. Элементарные функции, используемые в экономике. Теория пределов
и математика финансов. Функции спроса и предложения. Предельный анализ в
экономике. Экономический смысл производной, эластичность. Классическая
оптимизация. Применение определенных интегралов в экономике.
ЛИТЕРАТУРА: [3, раздел В, п. 4.3], [5: пп.1.5-1.6, 2.4, 3.6-3.8, 4.3, 5.4].
8. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Расстояние между
двумя точками на плоскости и в пространстве, векторы на плоскости и в пространстве, длина вектора, коллинеарность и ортогональность, скалярное произведение и угол между векторами. Геометрическая фигура и ее уравнение, основные задачи аналитической геометрии на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости, уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между
прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Уравнение
прямой, проходящей через две точки; уравнение прямой, проходящей через
точку параллельно заданной прямой; уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно заданной прямой. Уравнение прямой в отрезках, параметрическое уравнение прямой. Точка пересечения прямых. Уравнение касательной к графику функции. Уравнение окружности как пример линии 2-го порядка. Плоскость и прямая в пространстве. Полуплоскости, графическое решение
систем линейных неравенств.
ЛИТЕРАТУРА. [1: гл.1-3; гл.4, §1; гл.18 § 1,10, 12-13; гл.19 §§ 2-4], [2,
гл.4], [3, раздел A, пп. 6.1- 6.4, 6.6], [8, пп.1.1-1.2].
9. N-МЕРНЫЕ ВЕКТОРА , МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. Понятие
N-мерного вектора. Длина. Арифметические операции и их свойства. Скалярное произведение и его основные свойства. Матрицы, их основные виды. Равенство матриц. Арифметические операции с матрицами. Транспонирование
матриц. Элементарные преобразования матриц, эквивалентные матрицы. Ступенчатая матрица и ее ранг. Теорема о сведении матрицы к ступенчатой. Определение ранга произвольной матрицы. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков,
обобщение на n-й порядок. Свойства определителей. Миноры и алгебраические
дополнения. Вычисление определителей. Понятие обратной матрицы, ее свойства. Существование и единственность обратной матрицы. Построение обрат-
4
ной матрицы с помощью алгебраических дополнений. Построение обратной
матрицы методом Гаусса.
ЛИТЕРАТУРА: [1, гл.17 § 1, 3-4; гл.18], [2, пп. 1.1-1.6], [3, раздел А,
пп.2.1-2.3, 3.1-3.5, 4.1-4.4], [4, гл. 1 §§ 1-2], [5, пп.6.1- 6.3, 6.5], [6, гл.1 § 1 пп.25, 9,10, § 2 п.4; гл.2, § 1 пп.1-4], [8, пп.1.1-1.3, 2.1-2.4, 2.6-2.9], [14, стр.3-16], [15,
стр.7-10, 15-25], [16, стр.3-8].
10. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
(СЛАУ). Основные понятия: вид систем, матрица системы, вектор переменных,
столбец свободных членов, расширенная матрица системы. Решение СЛАУ.
Системы неоднородные и однородные, неопределенные и определенные, совместные и несовместные. Общее решение СЛАУ. Элементарные преобразования, приведенные и равносильные СЛАУ. СЛАУ канонического вида, теорема
о сведении к каноническому виду. Теорема Кронекера-Капелли. Теорема о количестве решений. Решение СЛАУ методом Гаусса. Метод Крамера. Применение обратных матриц к решению СЛАУ. Особенности однородных систем.
Фундаментальные решения. Связь между однородными и неоднородными системами.
ЛИТЕРАТУРА: [1, гл.17, §§ 2, 5-7], [2, гл.2], [3, раздел А, гл.1, гл.5], [4, гл.
3], [5, п.6.4], [6, гл.1, § 2, пп.1-3, 5-7], [8, пп.1.4, 1.5, 2.5], [14, стр.16-29], [15,
стр.11-13].
11. N-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. Линейное пространство, лемма о
единственности. Примеры линейных пространств, пространство Rn . Линейно
зависимые и линейно независимые системы векторов, основные теоремы. Базис
и ранг системы векторов, основные теоремы. Строчный и столбцовый ранг
матрицы, их равенство. Практическая проверка системы векторов на линейную
независимость. Базис и размерность линейного пространства, теорема о базисе
в n-мерном пространстве, пример пространства Rn. Разложение вектора по базису. Преобразование координат при переходе к другому базису, теорема о
двух базисах. Понятия о линейном операторе и линейном функционале, виды
линейных операторов. Линейность пространства линейных операторов. Матрица линейного оператора. Характеристический многочлен и характеристическое
уравнение матрицы. Собственные (характеристические) числа и собственные
векторы матрицы. Алгоритм нахождения собственных чисел и собственных
векторов. Свойства собственных векторов. Евклидовы пространства. Ортогональные системы векторов, ортогональные базисы, процесс ортогонализации.
ЛИТЕРАТУРА: [2, пп.3.2-3.7], [3, раздел А, п.2.4-2.9, 7.1-7.5], [4, гл. 2, § 12; гл. 4, § 1-2; гл. 5, § 1-3;], [6, гл.2, § 1, п.7,10,11], [8, пп.1.5-1.7, 3.5-3.6].
12. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Квадратичная форма от n переменных,
матрица квадратичной формы и ее основное свойство (симметрическая матрица). Знак квадратичной формы. Критерий Сильвестра. Канонические квадратичные формы, приведение квадратичной формы к каноническому виду (метод
Якоби). Закон инерции.
ЛИТЕРАТУРА: [2, п.3.8], [4, гл. 7, §§ 2-4], [6, гл.2, §§ 2, п.1].
5
ЛИТЕРАТУРА
1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.,
1989 (и позднее).
2. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш Кремера. М.: Банки и
Биржи, ЮНИТИ. 1998 (и позднее).
3. Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. В.И.Ермакова.
М.: ИНФРА-М. 2000.
4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1974 (и позднее)
5. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. М.: ИНФРАМ, 1999. (и последующие).
6. Мишина А.П., Проскуряков И.В. Высшая алгебра (Линейная алгебра. Матрицы. Многочлены. Общая алгебра). Справочная математическая библиотека. - М.: ГИФМЛ, 1962.
7. Фоменко С.В. Математический анализ. Часть I. - Ростов-на-Дону. 2001.
8. Солодовников А.С., Бабайцев П.А., Браилов А.В Математика в экономике.
Ч.1. М.: Финансы и статистика, 2001.
9. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. В.И.Ермакова. М.: ИНФРА-М. 2001
10. Абанин А.В., Епифанов О.В., Подпорин В.П. Функции, пределы, производные. Метод. указания для студентов ОЗО экономфака. Ростов-на-Дону: УПЛ
РГУ, 1989.
11. Абанин А.В., Епифанов О.В., Подпорин В.П. Определенный интеграл. Функции многих переменных. Ряды. Дифференциальные уравнения. Метод. указания для студентов ОЗО экономфака. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1991.
12. Налбандян Ю.С., Спинко Л.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. Методические указания для студентов специальности «Менеджмент организаций» (дневное и заочное отделения экономического факультета РГУ). Ростов-на-Дону, 2004.
13. Налбандян Ю.С. Руководство к решению задач по линейной алгебре. Методические указания для студентов специальности «Менеджмент организаций»
(дневное и заочное отделения экономического факультета РГУ). Ростов-наДону, 2005.
14. Колыбельникова О.В., Литвер Е.Ф. Линейная алгебра. Ч.1. Методические
указания для студентов ОЗО отделения политэкономии РГУ. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1982.
15. Колыбельникова О.В. Линейная алгебра. Ч.2. Методические указания для
студентов ОЗО отделения политэкономии РГУ. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ,
1985.
16. Колыбельникова О.В. Линейная алгебра. Ч.3. Методические указания для
студентов ОЗО отделения политэкономии РГУ. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ,
1985.