Document 530458

Министерство образования и науки Российской Федерации
Костромской государственный технологический университет
О.Р. Воронцова, О.Б. Садовская
ПРАКТИКУМ
по курсу математики для юристов
Кострома
КГТУ
2010
УДК 510(022)
Воронцова О.Р. Математика для юристов: учебно-методическое пособие/
О.Р. Воронцова, О.Б. Садовская. – Кострома: Изд-во Костромского государственного технологического университета, 2010. – 28 с.
Учебное пособие содержит краткий обзор теоретического материала, основные понятия и формулы курса «Математика» (дисциплина ГОС ВПО «Математика и информатика» для студентов специальности 030501 – «Юриспруденция»), типовые задания с решениями и их подробными комментариями,
структурно-тематические карты, глоссарий.
Пособие может быть использовано студентами заочной формы обучения
при решении контрольных работ и подготовке к аттестации по дисциплине
«Математика».
Рецензент:
канд. техн. наук, доцент, декан заочного факультета А.И. Шулятьев.
 Костромской государственный технологический университет, 2010
2
Содержание
Введение ……………………………………………………………………… .4
1. Основы теории множеств………………………………………………… ..5
2. Элементы комбинаторики ………………………………………………….6
3. Логические операции……………………………………………... ………..8
4. Классическая формула вычисления вероятности…………………………8
5. Теоремы сложения и умножения…………………………………………..10
6. Повторные независимые испытания……………………………................11
7. Дискретные случайные величины………………………………................12
8. Первичная обработка результатов эксперимента……...............................14
Глоссарий……………………………………………………………………....18
Структурно-тематические карты:
«Множества и операции над ними»…………………………………….……..22
«Логические операции над высказываниями»…… ……..…………………..23
«Технология нахождения вероятности события»……………..……………..24
«Элементы комбинаторики»………...… …………..…………………..…….25
Об авторах………………………………………………………………………26
Литература……………………………………………………………………...27
3
ВВЕДЕНИЕ
Нужна ли юристу математика?
Полагаем, что нужна.
Во-первых, математика — это часть общечеловеческой культуры, такая
же неотъемлемая и важная, как право, медицина, естествознание и многое другое. Все наилучшие достижения человеческой мысли и составляют основу гуманитарного образования, необходимого каждому современному человеку. Таким образом, для студента-гуманитария математика прежде всего общеобразовательная дисциплина.
Во-вторых, в юриспруденции, как и в математике, применяются одни и те
же методы рассуждений, цель которых — выявить истину. Любой правовед,
как и математик, должен уметь рассуждать логически, уметь применять на
практике индуктивный и дедуктивный методы (вспомните Шерлока Холмса!).
Поэтому, занимаясь математикой, будущий правовед формирует свое профессиональное мышление.
В-третьих, применение математических методов расширяет возможности
каждого специалиста. В юридической практике важную роль играет статистика,
умение правильно обработать информацию, сделать достоверный вывод или
прогноз на основании имеющегося статистического материала. Ценность специалиста существенно возрастает, если он умеет делать все это.
4
ТЕМА 1. Основы теории множеств
Основные определения и формулы
Множество и элемент множества относятся к числу первичных понятий,
для которых не существует определений в строгом смысле слова. Поэтому
обычно говорят о множестве как о наборе предметов, наделенных определенными общими свойствами.
Способы задания множеств:
– перечислением всех элементов множества:
A  1; 2; 3, В={статьи уголовного кодекса};
– заданием общей характеристики (общих свойств) элементов множества:
A  x  R / x 2  4 , 0 , В={орудия преступления}.
Операции над множествами: пересечение, объединение и разность множеств.
Сумма ( объединение ) множеств А и В ( пишется А В ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит либо А, либо В.
Произведение ( пересечение ) множеств А и В ( пишется А В ) есть
множество элементов, каждый из которых принадлежит и А и В.
Разность множеств А и В ( пишется А \ В ) есть множество элементов,
которые принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.
Решение типового примера
Пример 1. Даны два множества: A  x  Z / x 2  3x  4  0, B   x  Z / 3  x  0 .

x4

Найти: A  B; A  B; A \ B .
Решение:
Алгоритм
Конкретное соответствие задачи заданному алгоритму
x 2  3x  4  0
1.Перечислим
эле- Решим неравенство
менты множеств

+
+
x
АиB
-1
4
 x  [1;4]
 A  {1; 0; 1; 2; 3; 4}

x  Z
3 x
0
Решим неравенство
x4


+
-4
3
x
 x  (4;3]
 B   3;  2;  1; 0; 1; 2; 3

x  Z
2.Найдем объедине- Объединение множеств A  B – элементы, принадление множеств A  B
жащие либо А, либо В, т.е. A  B   3;  2;  1; 0; 1; 2; 3; 4
3.Найдем пересече- Пересечение множеств A  B – общие элементы, приние множеств A  B
надлежащие и А и В, т.е. A  B   1; 0; 1; 2; 3
5
4.Найдем
разность Разность множеств A \ B – элементы, принадлежащие
множеств A \ B
А, но не принадлежащие В, т.е. A \ B  4
ТЕМА 2. Элементы комбинаторики
Основные определения и формулы
Два правила комбинаторики – правило суммы и правило произведения.
Если из некоторого конечного множества объект А можно выбрать m
способами, объект В можно выбрать n способами, то выбор А или В можно
осуществить m+n способами.
Если из некоторого конечного множества объект А можно выбрать m
способами, объект В можно выбрать n способами, то выбор пары А и В в указанном порядке можно осуществить m∙n способами.
Основные комбинаторные конфигурации:
Размещением из n
элементов по k элементам называют упорядоченный набор из k
элементов, принадлежащих n-элементному
множеству
Перестановкой из n
элементов называют
размещение из n элементов
Сочетанием из n элементов по k элементам называют любой
набор из k элементов,
принадлежащих
n-элементному множеству
Размещения
Размещения отличны
друг от друга или порядком следования
элементов, или их составом
Перестановки
Перестановки отличны друг от друга порядком следования
элементов
Сочетания
Сочетания отличны
друг от друга только
составом элементов
6
Число размещений из n
элементов по k элементам
обозначается через Ank и
вычисляется по формуле
n!
,
( n  k )!
где n!  1  2  3  ...  n ;
0!  1
Ank 
Число перестановок из n
элементов обозначается
через Pn и вычисляется по
формуле Рn=n!
Число сочетаний из n элементов по k элементам
обозначается через Cnk и
вычисляется по формуле
n!
Cnk 
k!(n  k )!
Решение типовых примеров
x
2
Пример 1. Решить уравнение: P3  C x  2  A52  C x 1  3x 2  P2 , x  N .
Решение:
( x  2)!
5!
( x  1)!
3!


 3x 2  2!,
x!( x  2  x)! (5  2)! 2!( x  1  2)!
3!
( x  2)! 5! ( x  1)!
 
 6x 2 ,
x!2!
3! 2!( x  1)!
6
( x  2)  ( x  1)  x! 5  4  3! ( x  1)  x  ( x  1)!


 6x 2 ,
2 x!
3!
2( x  1)!
3( x  2)  ( x  1) 
20
 ( x  1)  x  6 x 2 ,
2
3 x 2  9 x  6  10 x 2  10 x  6 x 2 ,
x 2  x  6  0,
x1  3;
x 2  2,
 3  N; 2  N.
Ответ : 2.
Пример 2. Однажды утром по улицам города на высокой скорости пронеслась
машина. Она сбила зазевавшегося поросенка и скрылась в неизвестном направлении. Возвращавшийся из ресторана житель N заметил номер автомобиля. Но
когда появилась милиция, он с перепугу вспомнил только, что номер четырехзначный, все цифры разные, причем первая цифра 1, а последняя 4. Сколько автомобилей должна проверить автоинспекция?
Решение: Очевидно, что вторую цифру можно набрать восемью способами, т.к.
цифры 1 и 4 использованы; третью цифру номера – семью способами, т.к. еще
одна цифра уже взята. Согласно правилу произведения общее число возможных
номеров равно 8  7  56 .
Пример 3. Сколькими способами из 15 присяжных заседателей можно отобрать
трех для участия в судебном процессе?
Решение: Поскольку несущественно, в каком порядке отобраны кандидатуры,
15!
15! 15  14  13  12!
3
число вариантов равно С15 


 455 .
3!(15  3)! 3!12!
1  2  3  12!
Пример 4. Поэт-модернист написал стихотворение, в котором первая строка
«Хочу учиться в юридическом институте», а все остальные строки разные и по7
лучены из первой перестановкой слов. Какое наибольшее количество строк
может быть в этом стихотворении?
Решение: Число слов в строке – 5, их порядок играет существенную роль, и в
каждую строку входят все пять слов, поэтому число вариантов P5  5! 120 .
Пример 5. В некотором государстве кабинет министров состоит из 10 человек.
Сколькими способами они могут выбрать из своего состава премьер-министра,
первого и второго вице-премьеров?
Решение: Поскольку порядок внутри выборки играет существенную роль, чис10!
10! 10  9  8  7!
3
ло вариантов равно А10 


 720 .
(10  3)! 7!
7!
ТЕМА 3. Логические операции
Основные определения и формулы
Высказыванием называется любое повествовательное предложение, относительно которого известно, что оно либо истинно (и), либо ложно (л). Высказывание, которое можно разложить на части, называется сложным, а неразложимое – простым. Сложное высказывание получается из простых с помощью логических операций: конъюнкции   , дизъюнкции   , импликации
 , эквивалентности  и отрицания   . Эти операции означают хорошо
известные соединения отдельных предложений связками: для конъюнкции –
«и», для дизъюнкции – «или», для импликации – «если…, то…», для эквивалентности – «тогда и только тогда, когда…», – а также присоединение к высказыванию частицы «не» для отрицания. Результаты логических операций над
простыми высказываниями a и b сведены в так называемые таблицы истинности, сводная из которых имеет вид
a
b
a
a b
ab
a b
a b
и
и
л
л
и
л
и
л
л
л
и
и
и
л
л
л
и
и
и
л
и
л
и
и
и
л
л
и
Решение типового примера
Пример. Построить таблицу истинности для выражения a  b   b  a .
Решение:
a
b
a
a b
b
ba
a  b  b  a 
и
и
л
л
и
д
и
л
л
л
и
и
и
и
и
л
л
и
л
и
и
и
л
и
и
и
л
л
8
ТЕМА 4. Классическая формула вычисления вероятности
Основные определения и формулы
Эксперимент, исход которого невозможно предсказать, называют случайным экспериментом или стохастическим (СЭ).
Событие, которое в данном СЭ может произойти, а может и не произойти,
называют случайным событием.
Элементарными исходами называют события, удовлетворяющие требованиям:
1) при всякой реализации СЭ происходит один и только один элементарный
исход;
2) всякое событие есть некоторая комбинация (набор) элементарных исходов.
Множество всех возможных элементарных исходов полностью описывает СЭ.
Такое множество принято называть пространством элементарных исходов
(ПЭИ). Если элементарные исходы СЭ обладают свойством равновозможности,
то вероятность Р(А) любого события А определяется формулой
m( A)
,
P( A) 
n
где n – общее число равновозможных исходов; m(A) – число исходов, благоприятствующих событию А. Очевидно, что P(A) всегда удовлетворяет неравенству 0  P( A)  1 . Если P(A)=0, то событие А называется невозможным, а при
P(A)=1 – достоверным.
Слова «наудачу», «наугад», «случайным образом» означают равновозможность элементарных исходов.
Решение типовых примеров
Пример1. Студент знает ответы на 20 вопросов из 30. Какова вероятность того,
что он вытащит на экзамене известный ему вопрос?
Решение:
Алгоритм
Конкретное соответствие задачи заданному алгоритму
1.Ввести обозна- А-{студент вытащил известный ему вопрос};
чения для задан- n-число всех вопросов, n=30;
ных величин
т(А)- число вопросов, которые студент знает,
т(А) =20.
Найти p( A)
2.Найти формулу Задано общее число событий и число благоприятных собыдля этого случая тий, следовательно, применяем формулу классического
определения вероятности: P( A) 
m( A) 20 2


n
30 3
Пример 2. В урне 10 красных и 8 синих шаров. Наугад вынимают три шара.
Какова вероятность того, что среди вынутых шаров два красного цвета?
9
Решение:
Алгоритм
Конкретное соответствие задачи заданному алгоритму
1.Ввести обозна- А-{выбор двух красных и одного синего шаров}
чения для задан- Выбор каждого из 18 шаров равновозможен. Исход экспеных величин
римента означает выбор трех шаров.
n  С18 
18! 18  17  16  15!

 816 ;
3!15!
1  2  3  15!
Число
исходов,
3
m( A)  C10  C 8 
2
1
благоприятных
событию
10! 8! 10  9  8! 8  7!



 360 .
2!8! 1!7! 1  2  8! 1  7!
А,
равно
Найти p( A)
2.Найти формулу
для этого случая
P( A) 
m( A) 360

 0,44 .
n
816
ТЕМА 5. Теоремы сложения и умножения
Основные определения и формулы
Сумма событий А и В есть событие А+В, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий – А или В.
Произведение событий А и В есть событие A  B , состоящее в совместном наступлении обоих событий – А и В.
События называются несовместными, если появление одного из них
исключает появление другого, т.е. их совместное наступление невозможно.
Противоположное событие для события А есть событие А , состоящее
в ненаступлении события А. События А и А – несовместны, а их сумма совпадает с ПЭИ.
Вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В
произошло, называется условной вероятностью Р(А/В).
События А и В называются независимыми, если наступление одного из
событий не меняет вероятности наступления другого, т.е. Р(А/В) = Р(А) (или
Р(В/А) = Р(В)).
Теорема 1
Теорема 2
P( A  B)  P( A)  P( B) ,
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B) ,
A и B несовместные
A и B совместные события;
события
P( A  B)  1  P( A  B) , A , B – совместные события,
A+ B – {появление хотя бы одного события}
Теорема 3
Теорема 4
P( A  B)  P( A)  P( B) ,
P( A  B)  P( A)  P( B / A)  P( B)  P( A / B) ,
A и B независимые
события
A и B зависимые события
10
Решение типового примера
Пример. Вероятность успешной сдачи экзамена по теории государства и
права у студентов Розова, Лютикова и Незабудкина соответственно равна 0,7;
0,9 и 0,5. Найти вероятность того, что: а) все три студента успешно сдадут экзамен; б) только один студент сдаст экзамен; в) только два сдадут экзамен; г) ни
один не сдаст экзамен.
Решение:
Алгоритм
Конкретное соответствие задачи заданному алгоритму
1.Ввести обо- а) А – {все три студента успешно сдадут экзамен};
значения
для
A1 – {студент Розов успешно сдаст экзамен};
заданных вели- p( A1 )  0,7 ,
чин
A1 – {студент Розов не сдаст экзамен};
p ( A1 )  1  0,7  0,3 ,
A2 – {студент Лютиков успешно сдаст экзамен};
p( A2 )  0,9 ,
A2 – {студент Лютиков не сдаст экзамен};
p ( A2 )  1  0,9  0,1 ,
A3  {студент Незабудкин успешно сдаст экзамен};
p( A3 )  0,5 ,
A3  {студент Незабудкин не сдаст экзамен}; ииии
p( A3 )  1  0,5  0,5 ,
б) B – {только один студент сдаст экзамен};
в) С – {только два успешно сдадут экзамен};
г) D – {ни один студент не сдаст экзамен};
Найти p( A) , p( B),
p(C ),
p( D)
2.Найти
фор- Надо найти вероятности событий A,B,C,D по вероятностям
мулу для этого событий, связанных с ними, предварительно выписав форслучая
мулы связи между событиями:
а) A  A1  А2  A3 ,
P( A)  p( A1 )  p( A2 )  p( A3 )  0,7  0,9  0,5  0,315 ;
б) B  A1  A2  A3  A1  A2  A3  A1  A2  A3 ,
P( B)  p ( A1 )  p ( A2 )  p ( A3 )  p ( A1 )  p ( A2 )  p ( A3 ) 
 p ( A1 )  p ( A2 )  p ( A3 )  0,7  0,1  0,5  0,3  0,9  0,5  0,3  0,1  0,5 
 0,185;
в) С  A1  A2  A3  A1  A2  A3  A1  A2  A3 ,
P(С )  p ( A1 )  p ( A2 )  p ( A3 )  p ( A1 )  p ( A2 )  p ( A3 ) 
 p ( A1 )  p ( A2 )  p ( A3 )  0,3  0,9  0,5  0,7  0,1  0,5  0,7  0,9  0,5 
 0,485;
г) D  A1  A2  A3 ,
P( D)  p( A1 )  p( A2 )  p( A3 )  0,3  0,1  0,5  0,015 .
11
ТЕМА 6. Повторные независимые испытания
Основные определения и формулы
Пусть осуществляется n независимых повторений некоторого эксперимента, в каждом из которых может произойти событие А. Если вероятность
этого события в каждом испытании не меняется и равна р, то вероятность Pn (k )
того, что в n испытаниях событие А наступит ровно k раз, определяется формулой Бернулли :
k
Pn k   C n  p k  q nk .
Решение типового примера
Пример. В продукции некоторого производства брак составляет 10%.
Наудачу отбираются семь изделий. Найти вероятности событий:
В – среди отобранных – два бракованных;
С – не более двух бракованных;
D – хотя бы одно бракованное.
Решение:
Алгоритм
Конкретное соответствие задачи заданному алгоритму
1.Ввести обозна- Отбор одного изделия – это испытание;
чения для задан- А – {изделие является бракованным};
ных величин
n=7; k=2; р=Р(А)=0,1; q= P(A )  1-0,1=0,9.
Найти: P( B); P(C ); P( D)
2.Сосчитать тре- Воспользуемся формулой Бернулли:
буемую вероят- P( B)  P7 (2)  C 72  0,12  (1  0,1) 72  0,124 .
ность
Для события С можно написать: С = С0 + С1 + С2, где Ск –
среди отобранных ровно k бракованных. Используя теорему сложения, получим
P(C )  P7 (0)  P7 (1)  P7 (2)  C 7  0,10  0,97  C 7  0,11  0,96 
0
1
 C 7  0,12  0,95  0,974.
2
Для вычисления P(D) нет необходимости применять формулу Бернулли, а достаточно перейти к
D –{все изделия стандартные} и применить теорему2 для
нахождения p(D ) :
P( D)  1  P( D)  1  0,9 7  0,522 .
12
ТЕМА 7. Дискретные случайные величины
Основные определения и формулы
Случайной величиной (СВ) называется величина, которая в результате
СЭ может принять то или иное значение, заранее неизвестное и зависящее от
случайных причин.
Если множество возможных значений СВ представляет собой последовательность чисел (конечную или бесконечную), то такая СВ называется дискретной (ДСВ).
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и вероятностями принять эти значения.
Для ДСВ закон распределения можно задавать в различных формах: табличной, графической, аналитической.
Рядом распределения ДСВ называется таблица вида
Х х1 х2 …
хк
…
хn
Р р1 р2 …
рк
…
pn
где хк – все возможные значения ДСВ Х, рк – соответствующие вероятности,
т.е. рк = Р(Х=хк); к = 1,2,…n, причем
n
 pk
 1.
k 1
Многоугольником распределения ДСВ Х называется ломаная линия, звенья которой последовательно соединяют точки (хк, рк), нанесенные на координатную плоскость хОр.
Функцией распределения произвольной СВ Х называется функция F(x)
действительного переменного х, определяемая равенством
F(x) = P(X < x).
Для ДСВ функция распределения всегда является разрывной ступенчатой функцией, скачки которой расположены в точках, соответствующих возможным значениям СВ, и равны вероятностям этих значений. Формально
F ( x)   P( X  xk ) .
xk  x
К числовым характеристикам ДСВ Х относятся: математическое ожидание М(Х), дисперсия D(Х), среднее квадратичное отклонение  (Х).
Математическим ожиданием ДСВ называется среднее значение СВ:
n
M ( X )  x1  p1  x2  p2    xn  pn   xi  pi
i 1
Свойства M(X):
1) M (C )  C, C  const ;
2) M (CX )  CM ( X ), C  const ;
3) M ( X  Y )  M ( X )  M (Y ) ;
4) M ( X  Y )  M ( X )  M (Y ) , если СВ X,Y независимы.
Дисперсией ДСВ называется математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания:
13
D( X )  M (( x  M ( X )) 2 )  ( x1  M ( X )) 2 p1  ( x2  M ( X )) 2 p2  ...  ( xn  M ( X )) 2 pn
Свойства D(X):
1) D(C )  0, C  const ;
2) D(CX )  C 2 D( X ), C  const ;
3) D( X  Y )  D( X )  D(Y ) , если СВ X,Y независимы.;
4) D( X )  M ( X 2 )  (M ( X )) 2  x12  p1  x22  p2    xn2  pn  (M ( X )) 2 - расчетная формула для дисперсии ДСВ.
Решение типового примера
Пример. Случайная величина X задана рядом распределения
Х
1
2
3
4
5
Р
0,1
0,2
0,4
0,2
0,1
Найти P( X  2); P( X  3); P(2  X  4) ; M(X); D(X).
Решение:
Алгоритм
1.Просуммируем
вероятности по
заданным интервалам
2.Вычислим
математическое
ожидание M(X)
3.Вычислим
дисперсию D(X)
Конкретное соответствие задачи заданному алгоритму
P( X  2)  P( X  1)  0,1,
P( X  3)  P ( X  4)  P ( X  5)  0,2  0,1  0,3,
P(2  X  4)  P ( X  2)  P( X  3)  P( X  4)  0,2  0,4  0,2  0,8.
M ( X )  1  0,1  2  0,2  3  0,4  4  0,2  5  0,1  3
1 способ:
D( X )  M ( X  M ( X )) 2 ) 
 (1  3) 2  0,1  (2  3) 2  0,2  (3  3) 2  0,4  (4  3) 2  0,2  (5  3) 2  0,1  1,2.
2 способ:
D( X )  M ( X 2 )  ( M ( X )) 2 
 12  0,1  2 2  0,2  3 2  0,4  4 2  0,2  5 2  0,1  3 2  1,2.
ТЕМА 8. Первичная обработка результатов эксперимента
Основные определения и формулы
Преступность как социальное явление изучают не только юристы, но и
социологи, психологи, медики и т.д. Есть тут серьезная работа и для математиков. Их задача состоит, например, в том, чтобы подвергнуть математической обработке огромный статистический материал — отчеты органов внутренних дел и любые другие документы, содержащие различные числовые дан14
ные. Цель этой работы — выделить наиболее существенные сведения об интересующем нас явлении, составить научный прогноз, выделив тенденцию развития. Результаты обработки представляют в виде таблиц, графиков, диаграмм и
различных числовых характеристик.
Ранжирование опытных данных – операция, заключенная в расположении значений признака по возрастанию, при этом сами значения признака
называются вариантами.
Вариационным рядом называется последовательность вариантов, расположенных в возрастающем порядке, а их число n – объемом выборки (совокупности).
Вариационные ряды бывают дискретными и непрерывными (интервальными).
Дискретный вариационный ряд это ранжированная последовательность
вариантов с соответствующими частотами ni и (или) частостями (относительn
ными частотами) wi  i .
n
Для непрерывного признака при построении интервального вариационного ряда промежуток изменения признака разбивается на ряд отдельных интервалов и подсчитывается количество значений интересующей величины в
каждом из них.
Число интервалов k можно определить по формуле Стерджесса:
где n – объем совокупности или по таблице 1.
k  1 3,32 lg n ,
Таблица 1
Выбор числа интервалов группировки
Объем выборки, n
Число интервалов, k
25 – 40
4–5
40 – 60
5–6
60 – 100
6–9
100 – 200
8 – 10
Больше 200
10 – 15
Размах вариационного ряда – это число R  x max  xmin ,
где xmax – наибольший вариант; x min – наименьший вариант.
Длина частичного интервала определяется по формуле:
R x  xmin
h   max
.
k
k
Вариационные ряды изображают графически с помощью полигона или
гистограммы.
Полигон частот – это ломаная, отрезки которой соединяют точки
( x1 ; n1 ), ( x2 ; n2 ), , ( xk ; nk ) . (Рис. 1).
Гистограмма частот – это фигура, состоящая из прямоугольников с основаниями h=[xi; xi+1] и высотами ni , i=1,2,…,k. (Рис.2).
15
ni
ni
15
10
5
1
0
1
2
3
4
0
xi
Полигон частот
Рис.1
5
10
15
20
xi
Гистограмма частот
Рис.2
Средней арифметической X дискретного вариационного ряда называется отношение суммы произведений вариантов на соответствующие частоты к
x  n  x2  n2    xk  nk
объему совокупности: X  1 1
.
n
Для интервального вариационного ряда в выше указанной формуле
средней арифметической в качестве вариантов xi принимают середины соответствующих интервалов.
Дисперсия вариационного ряда характеризует средний квадрат отклоне( x1  X ) 2  n1  ( x2  X ) 2  n2    ( xk  X ) 2  nk
ния xi от X : D 
.
n
Среднее квадратическое отклонение вариационного ряда:   D .
Решение типового примера
Пример. Дана статистическая совокупность-уровень ежемесячной работы за персональным компьютером (в часах) сотрудников N-го ОВД за 2010 год.
Составить таблицу распределения частот (интервальный вариационный ряд);
построить полигон и гистограмму частот; вычислить среднее значение, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
50
62
99
71
98
67
80
70
92
51
72
83
100
40
70
85
77
86
76
75
65
98
63
84
45
63
50
55
87
52
80
63
73
78
74
65
74
76
54
66
91
77
82
48
65
72
44
88
56
67
73
61
64
77
97
74
55
78
54
69
16
73
94
75
85
42
89
68
100
79
66
82
73
57
64
96
75
69
79
58
57
90
81
59
80
65
53
70
66
75
73
72
96
88
65
79
90
74
93
59
89
Решение:
x min  40 ;
xmax  100 ;
n  100 ;
k  6 (см. таблицу1);
x  x min 100  40
h  max

 10 .
k
6
С учетом полученной величины интервала сформируем интервальный вариационный ряд:
xi ; xi1 
ni
xi
интервалы времени работы за число сотрудников середина интервала, ч
ПЭВМ, ч
– частота, чел.
40;50
5
45
50;60
15
55
60;70
20
65
70;80
30
75
80;90
16
85
90;100
14
95
n=100
Полигон частот
ni
30
20
10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
xi
30
40
50
60
70
80
90
100
xi
Гистограмма частот
ni
30
20
10
0
10
20
17
x1  n1  x2  n2    x6  n6 45  5  55  15  65  20  75  30  85  16  95  14


n
100
7290

 72,9;
100
X 
( x1  X ) 2  n1  ( x2  X ) 2  n2    ( x6  X ) 2  n6 (45  72,9) 2  5  (55  72,9) 2  15 

n
100
2
2
2
2
 (65  72,9)  20  (75  72,9)  30  (85  72,9)  16  (95  72,9)  14 19257

 192,57;
100
D
  D  192,57  13,9 .
18
Глоссарий
Теория вероятности
Понятия
Содержание
Предмет теории вероятности Изучение закономерностей, возникающих при массовых однородных явлениях
Размещение из n элементов Упорядоченный набор из k элементов, принадлежащих n-элементному множеству
по k элементам
Перестановка из n элементов Размещение из n элементов по n
Сочетание из n элементов по Любой набор из k элементов, принадлежащих n-элементному множеству
k элементам
Стохастический эксперимент Эксперимент, результат которого заранее (до его проведения) предугадать нельзя
(опыт, испытание)
Элементарные события
Простейшие неразложимые результаты опыта: ωi;
Пространство элементарных совокупность элементарных событий 
событий
Случайное событие
Явление, которое в результате стохастического эксперимента может произойти или
не произойти
Достоверное событие
Событие, которое обязательно наступает в результате испытания: Ω
Невозможное событие
Событие, которое не может произойти в результате испытания: 
Сумма (объединение) собы- Новое событие С=А+В (С=АUВ), происходящее тогда и только тогда, когда проистий А и В
ходят или А или В
Произведение (пересечение) Новое событие C  A  B (С=А∩В), происходящее тогда и только тогда, когда происсобытий А и В
ходят и А и В одновременно
Разность событий А и В
Новое событие С=А\В, происходящее тогда и только тогда, когда происходит А, но
не происходит В


Событие A противоположно Новое событие происходит тогда и только тогда, когда А не происходит и А+ A =Ω
кА
19
Понятие
Содержание
Несовместные события
События, которые не могут произойти одновременно
Относительная частота собы- Отношение  ( A)  m – числа m экспериментов, в которых событие А произошло,
n
тия А
к количеству проведенных экспериментов n
Классическая схема теории Схема, где присутствует стохастический эксперимент, пространство элементарных
вероятностей
событий которого состоит из конечного n числа равновозможных элементов
Классическое определение
Отношение числа исходов, благоприятствующих А, к общему числу несовместных
m
вероятности события А
равновозможных исходов эксперимента, образующих полную группу: p( A) 
n
Независимые случайные события А и В
Полная группа событий
Случайная величина (СВ)
Дискретная случайная величина (ДСВ)
Непрерывная случайная величина (НСВ)
Закон распределения случайной величины
Функция распределения F(x)
СВ X
Плотность вероятности
f(x) СВ X
Наступление
события А не изменяет вероятности появления события В:
р(В/А)=р(В)
Совокупность событий H1, H2,…,Hn – таких, что H1∩H2=Ǿ, i≠j и H1UH2…UHn= Ω достоверное событие
Величина, численное значение которой может меняться в зависимости от результата
стохастического эксперимента
Величина, возможные значения которой образуют или конечное множество, или
счетное
Величина, возможные значения которой сплошь заполняют некоторый интервал
(конечный или бесконечный)
Соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной
величины xi и соответствующими им вероятностями pi
Функция, равная вероятности того, что случайная величина X примет значение,
меньшее x: F(x)=Р(X<x)
Производная ее функции распределения: f(x)= F’(x)
20
Понятие
Математическое ожидание
СВ X
Содержание
Среднее значение случайной величины:

n
М(X)=  xi  pi (для ДСВ);
М(X)=  x  f ( x)dx (для НСВ)
i 1
Дисперсия СВ X

Математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания:
n
2
2
2
D(X)=M(X-M(X)) =M(X )-M (X);
D( X )   xi2 pi  M 2 ( X ) (для ДСВ);
i 1




D(X)=  ( x  M ( X )) 2  f ( x)dx   x 2 f ( x)dx  M 2 ( X ) (для НСВ)
Среднее квадратическое отклонение
Понятие
Генеральная совокупность
Выборочная совокупность
(выборка)
Выборка репрезентативна
(представительна)
Ранжирование
Частота элемента mi
Накопленная частота mi нак
Относительная частота элемента (частость) wi
  D(X )
Математическая статистика
Содержание
Все множество возможных значений количественного признака, присущего изучаемому объекту
Часть элементов генеральной совокупности, выбранных случайно
Выборка, которая достаточно хорошо отражает пропорции генеральной совокупности
Операция, заключающаяся в расположении данных по возрастанию (убыванию)
Число, показывающее, сколько раз встречается элемент
Число, показывающее, сколько раз наблюдается элемент, меньший x
wi 
mi
, где n – объем выборки
n
21
Понятие
Эмпирическая функция распределения
Содержание
Относительная частота того, что признак примет значение, меньшее заданного x,
нак
т.е. mi
n
Вариационный ряд
Полигон частот
Полигон относительных частот
Гистограмма частот
Средняя арифметическая вариационного ряда x
(выборочная средняя)
Мода вариационного ряда
Ранжированный ряд элементов с соответствующими частотами или относительными частотами
Ломаная, отрезки которой соединяют точки ( x1; m1), ( x2 ; m2 ),..., ( xk ; mk )
Ломаная, отрезки которой соединяют точки ( x1 ; w1 ), ( x2 ; w2 ),..., ( xk ; wk )
Фигура, состоящая из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака, и высотами, равными частотам
Сумма произведений всех вариантов и соответствующих частот, деленная на сумму
k
частот:
X 
 x i mi
i 1
или
n
k
X   x i wi
i 1
Вариант, имеющий наибольшую частоту
Mo
Дисперсия вариационного
ряда Dв
Исправленная выборочная
дисперсия
Среднее квадратическое отклонение
Коэффициент вариации
Средняя арифметическая квадратов отклонений вариантов от их средней арифметиk
ческой:
S2 
Dв 
 ( xi
i 1
 X ) 2 mi
n
n
 Dв
n 1
Квадратный корень из исправленной выборочной дисперсии
Процентное соотношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической: v 
s
100%
X
22
def
A  B  {x|x  A или x  B}
def
A  B  {x | x  A и x  B}
U
A
B
AU
A B
объединение
B
пересечение
A  {a, b, c, d }
B  {x | P( x), x  M }
разность
дополнение
B\ A
U
A
B
Логические операции над высказываниями
U
A
A
декартово
произведение
y
U
B
0
x
A
def
B \ A  {x|x  B и x  A}
def
A  U \ A  {x|x  A}
23
0
def
A  B  { ( x; y )|x  A, y  B}
p
1
1
0
0
p&q
p
1
0
p̄
0
1
“p и q”
p̄
q
1
0
1
0
p&q
1
0
0
0
𝑝⋁𝑞
“𝑝 или 𝑞”
“не p”
p;q
p<=> q
“p равносильно q”
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p<=>q
1
0
0
1
p => q
“ из p следует q”
24
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p => q
1
0
1
1
𝑝
1
1
0
0
𝑞
1
0
1
0
p⋁q
1
1
1
0
Технология нахождения вероятности события
Определения вероятности события
P ( A) 
Основные теоремы теории вероятности
P ( A1  A2 ) 
m
n
m – число исходов, благоприятных
событию A
n – число всех равновозможных,
несовместных исходов
эксперимента
P ( A)   ( A) 
A1 , A2  несовмест.
 P( A1  A2 ),
P( A1  A2 ) 
A=A1+A2
A=A1·A2
def
m
n
P( A1 )  P( A2 / A1 ),
A1 , A2  независимые
A1 , A2  зависимые
Повторные независимые испытания
n
A   A Hi
Схема
Бернулли
i 1
Бернулли
Pn (k )  C nk  p k  q n  k
k
 e   , (  n  p )
k!
1
k  np
Pn (k ) 
  ( x), x 
npq
npq
Pn (k ) 
n
P ( A)   P ( H i )  P ( A / H i )
 ( x) 
1

x2
2
e
2
Pn (k1  k  k 2 )  Ф( x 2 )  Ф( x1 ),
i 1
P ( H i / A) 
P( A1  A2 ) 
P A1   P( A2 ),
P(A) - ?
мера А  ( A)

мера   ()
Полная вероятность
P A1   P( A2 ) 
A1 , A2  совмест.
ω – относительная частота события
А
m – число испытаний, в которых
произошло событие А
n – общее число испытаний
P ( A) 
P( A1  A2 ) 
P ( A1 )  P ( A2 ),
P( H i )  P( A / H i )
P ( A)
x1 
k1  np
Ф( x) 
25
npq
1
2
, x2 
x
e
0
k 2  np
x2

2
npq
dx
Элементы комбинаторики
Исходное множество 𝑋 = 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛
𝑥𝑖 ≠ 𝑥𝑗 ; ∀𝑖 ≠ 𝑗, 𝑖; 𝑗 = 1, 𝑛
𝑛, 𝑘 − выборка произвольных 𝑘 элементов из 𝑋
неупорядоченная
упорядоченная
сочетания
размещения
без повторений
𝐶𝑛𝑘 =
𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
∀𝑛 ∈ 𝑁
∀𝑘 ∈ 𝑁: 𝑘 < 𝑛
с повторениями
𝐶𝑛𝑘 =
без повторений
(𝑛 + 𝑘 − 1)!
𝑘! 𝑛 − 1 !
𝐴𝑘𝑛 =
𝑛!
𝑛−𝑘 !
𝐴𝑘𝑛 = 𝑛𝑘
перестановки
𝑛=𝑘
𝑛! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ (𝑛 − 1) ∙ 𝑛
𝑛! = 𝑘! 𝑘 + 1 ∙ … ∙ (𝑛 − 1) ∙ 𝑛
0! = 1
1! = 1
3! = 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6
с повторениями
𝑃𝑛 = 𝑛!
2! = 1 ∙ 2 = 2
4! = 3! ∙ 4 = 24
𝑘 ,𝑘 ,...,𝑘
𝑛
𝑃𝑘 11+𝑘22 +...+𝑘
=
𝑛
(𝑘1 + 𝑘2 +. . . +𝑘𝑛 )!
𝑘1 ! 𝑘2 !. . . 𝑘𝑛 !
𝑘𝑖 − кратность элемента 𝑥𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑛
26
Об авторах
Воронцова Ольга Романовна – кандидат
технических наук, доцент кафедры высшей
математики Костромского государственного
технологического университета. Автор более
80 печатных работ.
Область научных интересов – методика
преподавания математики, технологии обучения, история математики.
Садовская Ольга Борисовна – кандидат
технических наук, доцент кафедры высшей
математики Костромского государственного
технологического университета. Автор более
100 печатных работ.
Область научных интересов – методика
преподавания математики, технологии обучения, математическое моделирование технологических процессов.
От авторов
Будем рады, если смогли помочь в освоении не простой, всем нужной и
нами любимой математики.
26
ЛИТЕРАТУРА
1. Борисова Е.А., Секованова Л.А. Элементы комбинаторики и теории вероятностей: методическое пособие для студентов спец. 061000, 230500, 02100 –
Кострома: Изд-во КГТУ, 2001 – 39 с.
2. Борисова Е.А., Воронцова О.Р., Чебунькина Т.А. Сборник задач по математике для студентов юридического факультета. – Кострома: Изд-во КГТУ,
2004. – 34 с.
3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1969. – 576 с.
4. Воронцова О.Р. Практикум по теории вероятностей в схемах. – Кострома:
Изд-во КГТУ, 2008. – 46 с.
5. Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая статистика. – К.: Вища шк., 1988. – 438 с.
6. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая шк., 1979. – 477 с.
7. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1969. – 400 с.
8. Емельянов Г.В., Скитович В.П. Задачник по теории вероятностей и математической статистике. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1967. – 332 с.
28