1

1
УДК 539.375
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ
СОСТОЯНИЕ И ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ ДЕФОРМАЦИИ
В ВЕРШИНЕ ПРЕДЕЛЬНО УЗКИХ U-ВЫРЕЗОВ
Ю.Н. Овчаренко
С учетом сингулярных решений в линейной механике разрушения исследовано
упругое напряженно-деформированное состояние вершины предельно узкого Uвыреза., Получена соответствующая аналитическая формула для определения
характеристики плотности энергии деформации в качестве оценки этого состояния.
Ключевые слова: линейная механика разрушения, U-вырез, mode I, mode II,
сингулярные решения, плотность энергии деформации.
1. Введение. Работ, посвященных U-вырезам с радиусом в вершине
  0 , в настоящее время имеется достаточно много, как теоретических, так и
экспериментальных. Однако в представляемой работе интересы лежали в области линейной механики разрушения, что существенно сузило круг изучаемых
литературных источников.
В 1966 году в магистерской диссертации 23-летний американский стажер частного Lehigh University аналитически получил [1] формулы для описания напряженного состояния у вершины предельно узкого U-выреза («bluntтрещины») для задач mode I и mode II линейной механики разрушения. Покажем формулы:
1 

5  
3 
 
x
  3 cos  cos    cos  
 
4
2
2  2r
2 
1
 
   K I r  2  1  5 cos   cos 5     cos 3   ,

 

 y
2
2  2r
2 
2
4 
 
1 

5  
3 
 


sin

sin


sin




 xy 
2
2  2r
2 
 4 
 1

5  
3 
 
  7 sin  sin    sin  
x

 
4
2
2  2r
2 
1
 
   K II r  2  1   sin   sin 5     sin 3   ,


 y
2
2  2r
2 
2
4 
 
1 

5  
3 
 
  3 cos  cos    cos  
 xy 
2
2  2r
2 
 4 
(1)
(2)
2
Привлекает в (1) и (2) простота и непосредственная связь с известными
формулами для трещин Вестергарда-Ирвина (   0 ). Формулы предлагается
применять, когда a priori известны коэффициенты интенсивности напряжений
K I и K II для того же тела, но с виртуальной трещиной, аналогичной узкому Uвырезу по плоскостному расположению и размеру.
Рис. 1. Рассматриваемые в [1] узкие эллиптическое отверстие и
гиперболический вырез
Схемы U-вырезов, с необходимой информацией, показаны на рис. 1 а
(узкое эллиптическое отверстие) и рис. 1 б (узкий гиперболический вырез). Реально такой вид может иметь обычная трещина, подвергшаяся коррозионному
воздействию среды, или трещиноподобный дефект в сварном соединении (непровар, подрез), или специально выполненная узкая прорезь в какой-либо детали. В теоретическом плане интерес к узкому U-вырезу заключается в том, что
реальная трещина обычно затупляется до какого-то  прежде, чем стартует, и
это по возможности следует учитывать. Есть также теоретический подход при
хрупком разрушении, когда предполагается существование весьма малой цилиндрической центральной зоны радиуса  у вершины трещины, где материал
нельзя считать сплошной средой [2].
Обращает на себя внимание, что начало полярной системы координат
находится на расстоянии

от дна U-выреза. Именно такое расположение по2
лярной системы позволило Greager получить вышеуказанную форму для представления напряжений.
Для получения формул (1) и (2) Creager применил комплексные функции  z  и   z  для эллиптического отверстия и комплексные функции  z  и
 z  для гиперболического выреза из монографии [3]. Для эллиптического отверстия это:
4 z   Sc e 20 cos 2 cosh   1  e 20  2i sinh 
,
(3)
1


4  z    Sc 2 cosh 2 0  cos 2   e 2 0 cosh 2   0  i 
2






3
Здесь     i , где  и  - эллиптические координаты; ñ и  0 - параметры
эллиптического отверстия; S - внешняя нагрузка с углом приложения  .
Для гиперболического выреза:
iF
,
 z  
2  2 0  sin 2 0  c sinh 
 


iF   1  2 cos 2  0 coth 
2  2 0  sin 2 0 
Здесь также     i , где  и  - эллиптические координаты; ñ и  0 - параметры гиперболического выреза; F – внешняя нагрузка вдоль вертикальной
оси y .
Стажер Creager рассматривал предельно узкие как эллиптическое отверстие, так и гиперболический вырез, где  очень мало. Он применял при рассмотрении вышеуказанных комплексных функций различные предельные переходы с отбрасыванием членов высокой степени малости, а также некоторые
упрощающие условия. В результате получил тождественный результат, как для
эллиптического отверстия, так и для гиперболического выреза. А именно.
Для mode I:
 z  
KI
x  y  2
2

r
1
2
cos
KI
 y   x  2i xy 
2

2

r
,
1
2
 i sin 



3
 i 2 
e
(4)
r
Для mode II:
÷ í  2
K II
2

r
 y   x  2i xy 
1
2
sin
K II

2

,
1
2
 i 2 cos 

3
 i 
 sin   e 2
(5)
r
i
r
2


Исходя из формул (4) и (5), были получены вышеприведенные формулы
(1) и (2). Они использованы в дальнейших работах Creager и других авторов [4,
5] для прочностных исследований «blunt-трещин» в коррозионных средах и при
некоторых видах усталостных нагружений.
В представляемой работе на основе сингулярных решений линейной
механики разрушения проведено дальнейшее исследование упругого напряженно-деформированного состояния (НДС) около вершины предельно узкого
U-выреза. Получена соответствующая аналитическая формула для определения
4
характеристики плотности энергии деформации в качестве оценки этого состояния.
2. Теоретические исследования. Первоначальное знакомство с формулами (1) и (2) происходило по косвенным работам [4, 5], так как сама магистерская диссертация Creager была недоступна. Анализ конструкции вышеуказанных формул показал, что они могут быть получены из следующего представления комплексных функций   z  и   z  [6].
Для mode I :
 z   C1
1
z2
,
1
1 1
 

2
 z   C1 z   z 2  ,
2



где C1 
(6)
KI
.
2
Для mode II :
1
 z   iC 2 z 2
,
1
3 1
 

2
 z   iC 2 z   z 2  ,
2



где C 2 
K II
(7)
.
2
Выражения (6) и (7) при   0 - это соответствующее формулам (1) и (2) (тоже
при   0 ) комплексное описание трещины в линейной механике разрушения.
Покажем.
Общее представление функции напряжений Э. Гурса через две комплексные функции  z  и   z  имеет вид:
1
(8)
U z   z z   z z    z    z  ,
2
где  z    z . Используя результаты работы [7], можно получить описание
этой комплексной функции конкретно для трещины:
1
1
3
3
1
2b 2 2b 2 
U z   a z z 2  a z z 2 
z 
z ,
(9)
2
3
3



5




1
a  a  , Ñ2  i a  a  , C3  1 b  b , C 4  i b  b . Здесь a и b 2
2
3
3
комплексные постоянные коэффициенты. Из простого сравнения (8) и (9) следует, что
где C1 
 z 
1
 az 2
 z 
1
 bz 2
Для mode I имеем [6]: a  C1 , b 
(10)
1
3
C1 . Для mode II: a  iC 2 , b  i C 2 .
2
2
Что и требовалось показать.
Если продифференцировать (10), то имеем известные комплексные
функции Вестергарда для описания напряженного состояния тела с трещиной.

1
2
Дополнительные слагаемые   z
в формулах (6) и (7) были легко подобраны, исходя из внешнего вида (1) и (2).
В дальнейшем представилась возможность познакомиться с самой магистерской диссертацией Creager [1], в частности с формулами (4) и (5). Выяснилось, что предложенные формулы (6) и (7) непосредственно следуют из (4) и
(5).
Комплексные функции (6) и (7) позволяют без особого труда добавить к
(1) и (2) формулы для перемещений, исходя из известного [8] комплексного выражения:
2 u  iv   k  z   z z    z 
Для mode I в прямоугольной системе координат имеем :

1
 1
3


 cos   cos 
2 u 
1  k   cos
2
2 2
2
r
2

  C r 2 
,
(11)
1



1
 1
3

 
2  v 
 k   sin  sin   sin 
2
2 2
2
r
2 

3 
где  - модуль упругости II рода, k 
- для плоского напряженного состо1 
яния, k  3  4 - для плоской деформации,  - коэффициент Пуассона.
Для mode II :

3
 1
3

 
 sin   sin
2  u 
1  k   sin
2
2
2
2
r
2 


  C r 2 
(12)
2



3
 1
3


2  v 
  k   cos  cos   cos 
2
2 2
2
r
2

6
Тем самым завершен полный набор асимптотических формул для описания
НДС в вершине предельно узкого U-выреза.
3. Плотность энергии деформации. Ясно, что применять напрямую
коэффициенты интенсивности напряжений C1 и C 2 для оценки НДС у вершины узкого U-выреза не корректно. Наличие радиуса  у вершины, хотя и
очень малого, вносит существенное изменение. По сравнению с острой трещиной сингулярность напряжений пропадает, они становятся конечными и с другими законами развития. Для оценки соответствующего НДС можно использовать любые подходы, которые имеются в теории упругости. Однако повторимся, интересы автора лежали в области механики разрушения. Поэтому в работе
предлагается оценивать НДС у вершины рассматриваемого U-выреза через
плотность энергии упругой деформации. Эта характеристика вписана не только
в арсенал теории упругости, но и линейной механики разрушения [9, 10].
В полярной системе координат плотность энергии деформации можно
представить как
 1  u r  u u 
1   ur
1  u 
u

(13)
W   r
   r 


   r 
2
r
r  
r
r 
 r
 r 
Выпишем формулы для напряжений и перемещений в полярной системе координат, используя основополагающие комплексные выражения [8]:
 ê     2 z    z  ,
    r  2i r  2e 2i z  z    z  ,
2  u r  iu   e i k z   z z    z 
Суммарно для mode I и mode II имеем:
1 

3  

 r 
 2  5 cos 2  cos 2    r cos 2 

 
 

1
  1
 1 


3



    C1r 2   3 cos  cos    cos  
2
2  r
2
  2
2 
 
1  
3  
 
 
  sin  sin    sin

 r 
2
2  r
2 
 2 
7
1 

3  

 2   5 sin 2  3 sin 2    r sin 2 

 

1



1
3

3




 Ñ 2 r 2   sin  sin    sin
 ,
2
2
2  r
2 
 2
1 

3  
 
  cos  3 cos    cos

2
2  r
2 
 2 

1
 1
3

1 
 cos   cos  
2  u r 
1  k   cos
2
2 2
2
r
2 

  C r 2 

1


 
1
 1
3

 
2  u 
  k   sin  sin   sin 
2
2 2
2
r
2 
 
 
1
 3
3

 
 sin   sin 
1    k   sin
2
2 2
2
r
2 

 C2 r 2 
 
1
 3
3


  k   cos  cos   cos 
2
2 2
2
r
2
 
Эти формулы для напряжений и перемещений подставляем в выражение для
плотности энергии деформации (11). После операций дифференцирования и
большого числа элементарных преобразований получаем:
1
(14)
W  a11C12  2a12C1C 2  a 22C 22 ,
r
где
2



a11 
1  cos  k  cos     

 
r


  1 

2
a12  
2 cos   k  1sin  

sin 
r
  8 

 
2

a 
k 1  cos    1  3 cos   cos    4  cos      
 22 

r
 r  


При   0 выражение (14) переходит в известное выражение [9, 10] для плотности энергии деформации в механике острых трещин.
Логично считать, что разрушение в точке с координатами  c , rc на, контуре вершины U-выреза происходит тогда, когда плотность энергии деформации
8
W в этом месте равна или выше ее критической величины Wc (гипотеза Бельтрами):
W  Wc
(15)
Следует обратить внимание на следующее. В эллиптических координатах плотность энергии деформации
на поверхности выреза представляется
как
, где
и
(плоская деформация).
Фактически имеет место критерий максимального напряжения
. Это отмечал
Sih G.C. [11].
4. Некоторые расчеты и графические построения. Из выражения для  y в
формулах (1) можно найти связь между коэффициентом интенсивности напряжений C1 и упругим коэффициентом концентрации напряжений   в вершине
узкого выреза с некоторым малым радиусом
.
Пусть   0 , r 
 y     íîì , где  íîì - номинальные напряжения. Имеем

2
,
1
(17)
 íîì lim   
2 2
при   0 . Отсюда может быть предложен способ нахождения Ñ1 через коэфÑ1 
фициенты концентрации напряжения   . Он заключается в том, что подсчитываются несколько значений правой части формулы (17) при изменении  и,
соответственно,   . Эти значения ложатся, как правило, на некоторую прямую
на графике зависимости «правой части формулы» от параметра  , которую затем экстраполируется на значение радиуса   0 . В результате графическим путем находится искомое значение C1 .
Рис. 2. Графическое определение коэффициента Ñ 1
9
На рис. 2 показан пример графического определения C1 для плоского симметричного образца с узким U-образным вырезом при чистом изгибе. Коэффициенты концентрации   взяты из монографии Петерсона [12]. Точность полученных таким способом результатов для оценки C1 может быть довольно высокой. Однако данный метод можно рассматривать скорее как принципиальный в
плане связи C1 и   , нежели практический.
Рис. 3. Эпюры напряжений  x ,  y и  xy в сечении   0
На рис.3 показаны характерные графики для напряжений  x ,  y и  xy . Они
построены для   0 , и условных Ñ1  Ñ 2  1 ,   1 . На рис. 3 а показана эпюра
напряжений  y - mode I. Именно эти напряжения будут играть основополагающую роль в разрушении. Несмотря на их резкое возрастание при приближении к кромке U-трещины, они конечны. Пунктиром также показано как выглядела бы эпюра указанных напряжений, если бы предельно узкий U-вырез выродился в острую трещину. Пути резкого возрастания напряжений заметно различаются. Из рис. 3 б следует, что напряжения  x - mode I и  xy - mode II имеют
одинаковую эпюру (ввиду тождественности аналитического описания). Она
уходит в ноль у кромки U-выреза, что и следовало ожидать. Пунктиром показано, как бы выглядела эпюра указанных напряжений, если бы узкий U-вырез
выродился в острую трещину с вершиной в начале координат Î . Разница обнаруживается существенная в связи с отсутствием или наличием сингулярности.
На рис. 4 показаны эпюры плотности энергии деформации на кромках
вершины предельно узкого U-выреза для mode I и mode II. Они построены по
формулам (14) для эллиптического контура.
10
а
б
Рис.4. Эпюры плотности энергии деформации :
а – mode I; б – mode II
Эпюры построены для задачи плоской деформации при следующих исходных данных. Модуль сдвига
, где модуль упругости
, коэффициент Пуассона   0,25 . Коэффициенты интенсивности напряжений
Ñ1  Ñ 2  1 , радиус в вершине U-выреза   1 . Для нормального разрыва (mode
I ) максимальная плотность
наблюдается (рис. 4а) для точки контура в
направлении
. Это направление возможного разрушения не вызывает сомнений, ни с точки зрения теории, ни с точки зрения практики.
Для поперечного сдвига (mode II) расчеты показывают, что максимальная плотность
наблюдается при   90,2 . Положительные значения 
соответствуют углу, где окружные напряжения   отрицательны, а отрицательные значения  – углу, где   положительны. Из здравого смысла следует,
что разрушение можно ожидать только в точке, где окружные напряжения  
положительны, т.е. растягивающие, что обеспечивает раскрытие возможной
микротрещины. В данном примере это имеет место при   90,2 .
Поговорим о точности полученных асимптотических формул (14) для оценки
плотности энергии деформации W кромке вершины предельно узкого Uвыреза. В качестве объекта исследования выбрано mode I и направление   0 .
Сравнивались точное решение, полученное по формуле
1
(18)
W  x x  y  y
2
и асимптотическое (14), представленное в виде:
2
1 1 2 a
 
W
S
(19)
2k  1    
r 8
2 
 r  


11
Для (18) точные значения напряжений подсчитывались по комплексным выражениям (3), которые после необходимых преобразований имели вид:
S
 x  A  B  C  ,
2
S
 y  A  B  C  ,
2
где
sinh 2
A  1  e 2 0
 e 20 ;
cosh 2  1
1 cosh 
B
 e 20  cosh 2 0  e 20 2 sinh 2   1 sinh 2 0 ;
2 sinh 3 






C  e 2 0 cosh 2 0
Точные значения деформаций  x и  y определялись из обобщенного закона
Гука для плоской деформации.
На рис. 5 показаны две графической зависимости относительных погрешностей вычисления плотности энергии деформации W по асимптотической формуле (19) в сравнении с точными решениями по формуле (18). Одна графическая зависимость соответствует   1 , другая   0,1 . В обоих вариантах принималось: S  1,   1, a  100,   0,3 . Из рисунка следует, что для обоих вариантов погрешность вблизи вершины U-выреза ( x  102 ) находится в пределах  10 % , что для практических расчетов вполне допустимо. Вариант с   0,1
дает четкую картину уменьшения погрешности при приближении к контуру
вершины выреза вплоть до «минус» 3 % . Т.е. с уменьшением радиуса  решения у контура вершины для W по формуле (14) становятся все более точными.
Как следствие, это характеризует также точность представленных в работе
асимптотических формул для напряжений и перемещений.
Рис. 5. Относительная погрешность расчета W по
асимптотической формуле (14)
12
Выводы по работе. 1. Представлены более приемлемые для исследований
НДС у вершины предельно узкого U-выреза выражения комплексных функций
 z  и   z  . Получено выражение для плотности энергии деформации через
коэффициенты интенсивности напряжений для mode I и mode II, которое предлагается использовать в качестве оценочного показателя НДС у вершины.
2. Предлагается считать, что трещинообразование в вершине происходит,
когда плотность энергии деформации на ее кромке при некоторой координате
достигает критической величины Wc .
3. С уменьшением радиуса  асимптотические решения для плотности энергии деформации W на контуре вершины U-выреза по формуле (14) становятся
все более точными. Это характеризует также точность представленных в работе
асимптотических формул для напряжений и перемещений.
Библиографический список
1. Creager Matthew. The Elastic Stress Field Near the Tip of a Blunt Crack: Master’s Thesis. Lehigh University, 1966. 40 p.
2. Sih G.C. Strain energy density factor applied to mixed mode crack problems //
International Journal of Fracture. 1974. V. 10, No.3. P. 305-321.
3. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости: Пер. англ. / Под ред. Г.С.
Шапиро. 2-е изд. М.: Наука, 1979. 560 с.
4. Creager M., Paris P. C. Elastic Field Equations for Blunt Cracks with Reference
to Stress Corrosion Cracking // Int. J. Fract. Mech. 1967. Vol. 3, № 4, p. 247-252.
5. Heckel K., Wagner R. The tensile fatigue behavior of CT-specimens with small
notch root radius. Int. J. Fract., 1975, Vol. 11, № 1, p. 135-140.
6. Овчаренко Ю.Н. Теория и практика V-образных вырезов в механике разрушения: Монография / Под ред. Г.И. Макарова. Тула: ТулГУ, 2003. 168 с. 7.
Каландия А.И. Замечания об особенности упругих решений вблизи углов //
Прикладная математика и механика. 1969. Т. 33. Вып. 1. С. 132-135.
8. Мусхелишвили Н.И. некоторые основные задачи математической теории
упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.
9. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. –
2-е изд., перераб. И доп. М.: Наука. Главная редакция физико-математической
литературы, 1985. 504 с.
10. Плювинаж Г. Механика упругопластического разрушения: Пер. с франц.
М.: Мир, 1993. 450 с.
11. Sih G.C. Strain energy density and surface layer energy for blunt cracks or
notches. Mechanics of fracture. Edited by G.E. Sih. The Netherlands, 1978, Vol. 5, p.
XIII-XXXVI.
13
12. Петерсон Р. Коэффициенты концентрации напряжений. М.: Мир, 1977.
302 с.
Овчаренко Юрий Николаевич (ovcharenkos@rambler.ru), к.т.н., доцент,
кафедра сварки, литья и технологии конструкционных материалов, Тульский
государственный университет.
THE ELASTIC STRESS-DEFORMED CONDITIONS AND
DENSITY OF ENERGY OF DEFORMATION AT TOP EXTREMELY
NARROW U-NOTCHES
J.N. Ovcharenko
Abstruct. In view of singular decisions in the linear mechanics of destruction the
elastic stress-deformed condition about top extremely narrow U-выреза. is investigated. The corresponding analytical formula for definition of the characteristic of
density of energy of deformation as an estimation of this condition is received.
Keywords: linear mechanics of destruction, U-notch, mode I, mode II, singular decisions, density of deformation energy.
Ovcharenko Jury (ovcharenkos@rambler.ru), candidate of technical sciences, associate professor, department of welding, casting and construction materials technology, Tula State University.