Lekciya28

Лекция 28
Теория стационарных возмущений в случае вырожденного спектра. Примеры
Рассмотрим несколько примеров применения теории возмущений в случае вырожденного спектра.
Пусть трехмерная частица находится в сферически симметричном потенциале, в котором
отсутствует «случайное» вырождение уровней энергии. На эту систему накладывается слабое
однородное электрическое поле с напряженностью E . Докажем, что в первом порядке теории
возмущений расщепления энергетических уровней частицы не происходит.
Стационарные состояния частицы (в отсутствии спина) в центрально-симметричном поле
можно классифицировать с помощью трех квантовых чисел: радиального квантового числа nr ,
орбитального момента l и его проекции m на одну из координатных осей (например, ось,
(0)
направленную вдоль вектора E ) -  (0)
j   nr lm (r ) . При этом уровень энергии частицы с момен-
том l является 2l  1 -кратно вырожденным по проекции момента (по условию «случайное» вырождение отсутствует). То есть собственные значения оператора Гамильтона, отвечающие собственным состояниям с одинаковыми значениями радиального квантового числа nr и момента
l , но с разными значениями m проекции момента на ось z совпадают.
При наложении однородного электрического поля к гамильтониану частицы добавляется
возмущение Vˆ  erE  ezE  erEcos . Очевидно, функции  n(0)r lm (r ) являются правильными
функциями нулевого приближения, поскольку все недиагональные матричные элементы оператора возмущения с невозмущенными функциями  n(0)r lm (r )
Vmm  eE  dr n(0)r lm (r )r cos  n(0)r lm (r )
*
(1)
равны нулю. Действительно, зависимость невозмущенной собственной функции  n(0)r lm (r ) от углов определяется сферической функцией Ylm , оператора возмущения - сферической функцией
Y10 (поскольку cos  Y10 ), поэтому матричный элемент (1) содержит следующий интеграл по
переменной  :
2
Vmm
 d e
i ( m  m  )
(2)
0
который равен нулю, если m  m . Этот матричный элемент равен нулю и для m  m , поскольку | Ylm |2 - четная функция для любого l , Y10 - нечетная. Следовательно, расщепления уровня
1
энергии заряженной частицы в центрально-симметричном поле под действием возмущения
Vˆ  erE  ezE  erEcos не происходит.
Отметим, что проведенное рассмотрение не годится при наличии «случайного» вырождения, характерного, например, для кулоновского поля, когда вырожденными являются состояния с различными l . Рассмотрению расщепления уровней энергии электрона в кулоновском поле под действием однородного электрического поля (эффект Штарка) посвящен конец сегодняшней лекции.
Рассмотрим теперь бесспиновую заряженную частицу, находящуюся в центральном поле, на которую наложено слабое однородное магнитное поле, направленное вдоль оси z . В первом порядке теории возмущений найдем расщепление энергетического уровня с полным моментом l .
Поскольку невозмущенный гамильтониан частицы, находящейся в центральном поле,
коммутирует с операторами квадрата момента импульса и его проекции на ось z , его собственные функции являются также и собственными функциями операторов квадрата момента и его
проекции на ось z , причем уровни энергии 2l  1 -кратно вырождены по проекции момента. То
есть волновые функции стационарных состояний, отвечающие одному уровню энергии могут
быть выбраны как
(0)
 (0)
j  n lm (r )  Rn l (r )Ylm (,  )
r
r
(3)
где радиальная функция Rnr l (r ) одинакова для всех состояний, отвечающих данному уровню
энергии (здесь мы также предполагаем, что «случайное» вырождение по моменту, характерное,
например, для движения частицы в кулоновском поле или трехмерного гармонического осциллятора, отсутствует).
Классическая энергия взаимодействия заряженной частицы с магнитным полем напряженности H определяется выражением Vˆ    H , где  - магнитный момент, связанный с
движением частицы в пространстве (так как по условию спин частицы равен нулю, то она не
имеет магнитного момента, связанного с ее «внутренними» степенями свободы или, другими
словами, с внутренними движениями):

e
e
rp
L  0 L
2Mc
2Mc
(4)
где e - заряд частицы, M - ее масса, c - скорость света, L - момент импульса. Из этих выражений можно построить квантовомеханический оператор взаимодействия частицы с магнитным
полем
2
Vˆ  0 HLˆz
(5)
(направление оси z выбрано вдоль вектора H ). Очевидно, для возмущения (5) собственные
функции невозмущенного гамильтониана являются правильными функциями нулевого приближения. Действительно, легко проверить, что все недиагональные матричные элементы оператора (5)
Vmm
 dr
(0) *
nr lm
*
(r )Lˆz n(0)r lm (r )  m dr n(0)r lm (r ) n(0)r lm (r )
(6)
равны нулю из-за ортогональности собственных функций невозмущенного гамильтониана. Поэтому функции (3) можно использовать в формулах теории возмущений без вырождения. В
частности, поправки первого порядка к энергии уровня определяются диагональными матричными элементами оператора (5) с функциями (3). Находим
 
Em(1)  Vmm   0 H Lˆz
mm
  0 H m  
e mH
2Mc
(7)
Таким образом, энергетический уровень невозмущенного гамильтониана с моментом l расщепляется на подуровни с энергиями
Em  E  Em(1)  E 
e mH
2 Mc
m  l , (l  1),...(l  1), l
(8)
где E - невозмущенная энергия. Как следует из (8) энергии всех состояний различны, что означает, что под действием магнитного поля вырождение по проекции момента импульса, характерное для частицы в центрально-симметричном поле, полностью снимается.
Рассмотрим теперь взаимодействие заряженной частицы, находящейся на первом возбужденном уровне энергии в кулоновском поле притяжения с однородным электрическим полем (эффект Штарка).
Напомним, что первый возбужденный уровень энергии электрона в атоме водорода имеет энергию E  e 2 / 8a ( a - боровский радиус), является четырехкратно вырожденным, поскольку ему отвечают: одно состояние с моментом l  0 и три состояния с моментом l  1. Волновые функции состояний, отвечающих первому возбужденному уровню электрона в атоме, могут быть выбраны в следующем виде
 1(0) 
(0)
 2,3,4

1 
r 
1   e  r / 2 aY00 ( ,  )
3/ 2 
2a  2a 
1
re r / 2 aY1m ( ,  ),
5/ 2
2 6a
3
(9)
m  1, 0, 1
(10)
При наложении на атом однородного электрического поля к гамильтониану электрона
добавляется возмущение Vˆ  erEcos . Ищем правильные функции в виде неизвестных линейных комбинаций функций (9), (10). Подставляя эти линейные комбинации в возмущенное уравнение и умножая его последовательно на  i(0) и интегрируя, получим систему уравнений для
коэффициентов
 E    V11  C1  V12C2  V13C3  V14C4  0

V21C1   E    V22  C2  V23C3  V24C4  0

V31C1  V32C2   E    V33  C3  V34C4  0
V C  V C  V C  E    V C  0
44  4
 41 1 42 2 43 3 
(11)
Среди всех матричных элементов, входящих в систему уравнений (11) не равны нулю только
матричные элементы V31  V13 . Вычисляя их, получим (соответствующие интеграл вычисляется
элементарно)
V31  V13  3eaE
(12)
Система однородных уравнений для неизвестных коэффициентов (11) имеет ненулевые решения, если ее определитель равняется нулю
E 
0
0
E 
3eaE
0
0
3eaE
0
E 
0
0
0
0
E 
0
0
(13)
Раскрывая определитель (13) получаем
  E    E   3eaE
2
2
2
0

(14)
Из уравнения (14) в первом порядке теории возмущений находим энергии подуровней, на которые расщепляется первый возбужденный уровень атома водорода под действием однородного
электрического поля
1,2  E
 3  E  3eaE
 4  E  3eaE
(14)
Поскольку первый корень является двукратно вырожденным, то четырехкратно вырожденный
невозмущенный уровень энергии расщепится на три подуровня, один из которых будет двукратно вырожденным, остальные два – невырожденными. Таким образом, вырождение, имеющее место невозмущенного атома, снимается только частично.
Очевидно, этим подуровням отвечают следующие правильные функции. Тем подуровням, которые не сдвинутся по сравнению с невозмущенной задачей, - состояния с моментом
4
l  1 и проекциями m  1 и m  1 (или любая их линейная комбинация). Сдвинутым состояниям – линейные комбинации состояний с l  1, m  0 и l  0 , m  0 . Предлагаем слушателям
убедиться в этом самостоятельно и найти коэффициенты правильных линейных комбинаций.
5