(11 класс, модуль III, урок 2) Урок 2. Непрерывность План урока 2.1. Определение непрерывности функции 2.2. Об определении непрерывности функции в изолированной точке области определения 2.3. Теоремы об арифметических операциях функциями 2.4. Теорема о непрерывности сложной функции Тесты Домашнее задание над непрерывными Цели урока: На этом уроке дается определение непрерывности функции в точке, формулируются и доказываются утверждения об арифметических операциях над непрерывными функциями, доказывается очень полезная в дальнейшем теорема о непрерывности сложной функции. 2.1 Определение непрерывности функции Многие примеры из предыдущего урока приводили к тому, что когда f ( x ) , то число a принадлежит области определения функции lim f ( x) f (a) . Например, lim x 0 . Однако, так бывает не всегда. x a x 0 Привести соответствующий пример удается не сразу, потому что в школьном курсе математики в основном изучаются простейшие функции. На многих компьютерах в список стандартных функций входит функция sgnx «сигнум x », которая определяется следующим образом: 1, если x 0; sgn x 0, если x 0; 1, если x 0. Заметим, что иногда функцию sgn x называют «знак x ». Имея функцию sgn x , рассмотрим функцию g ( x) sgn 2 x : 1, если x 0; g ( x) sgn 2 x 0, если x 0; 1, если x 0. Так как при x 0 функция g ( x ) принимает значения 1 , то lim g ( x) 1 . Это значение не равно g (0) , так как g (0) 0 (рисунок 1). x 0 Таким образом, функция g ( x ) имеет предел при x 0 , но этот предел отличается от значения функции g ( x ) в точке 0. Вопрос. В чем разница между g ( x) sgn x ? функциями f ( x) x2 x и Перейдем к определению одной из самых важных характеристик функций — непрерывности. Определение 3. Функция f ( x) называется непрерывной в точке a из области определения, если lim f ( x) f (a) . x a f ( x) x 2 непрерывна в точке 2 , так как lim f ( x) lim x2 (lim x)2 22 f (2) . Пример 1. Функция x 2 x 2 x 2 Вопрос. Как доказать, что функция f ( x) ( x 3)2 непрерывна в точке 1? Вспоминая определение предела функции в точке a из предыдущего урока, можно дать более развернутое определение непрерывности функции в точке a : функция f ( x) непрерывна в точке a , если для всякой последовательности ( xn ) такой, что xn D , xn a и xn a , последовательность ( f ( xn )) сходится к f (a ) (при n ). Если последовательность ( xn ) сходится к числу a , то xn a hn , где последовательность (hn ) сходится к нулю, нигде не обращаясь в 0. Поэтому функция f ( x) непрерывна в точке a , если lim f (a h) f (a) . ha Рассматривая непрерывность функции в разных точках, вводят понятие непрерывности функции на множестве. Определение 4. Функция f ( x) называется непрерывной на множестве M , если f ( x) непрерывна в каждой точке множества M. Пример 2. Функция f ( x) 1 непрерывна на промежутке (0) , так x как при каждом a 0 имеем lim f ( x) lim 1 1 1 f (a) . x a x a x lim x a x a Непрерывность функции можно рассматривать на отрезке, на интервале, на множестве, которое устроено сложнее, чем промежуток. В частности, можно говорить о непрерывности функции в ее естественной области определения. Вопрос. Как доказать, что функция f ( x) 1 непрерывна в своей x естественной области определения? 2.2. Об определении непрерывности функции в изолированной точке области определения Определение непрерывности функции в точке, сформулированное в предыдущем пункте, неявно предполагает, что непрерывность функции f ( x ) рассматривается в такой точке a из области определения, что каждая -окрестность точки a содержит отличные от a точки из области определения функции f ( x) . Кроме этого определения непрерывности иногда рассматривают также следующее определение. Определение 5. Функция f ( x) называется непрерывной в точке a из области определения D , если для каждого положительного числа найдется такое 0 , что при всех x , удовлетворяющих условиям x D и x a , выполняется неравенство f ( x) f (a) . Между определениями 3 и 5 есть небольшая разница, которую поясним на примере. x 2 . Естественная область определения этой x 1 функции есть множество D (1) 0 (1) . Так как существуют окрестности числа 0, которые содержат только число 0 из области определения D , то говорить о пределе функции f ( x) в точке O не приходится. Однако, используя при a 0 определение непрерывности из данного пункта, имеем следующее. Для каждого положительного числа можно взять 1 . Тогда множество всех x из D , удовлетворяющих 2 условию x 0 , состоит из единственного числа x 0 . Для этого x неравенство f ( x) f (0) очевидно. Таким образом, если применить определение 5 , то функцию Пусть f ( x) 2 x 2 следует считать непрерывной в изолированной точке a 0 x2 1 своей области определения. В том случае, когда определен lim f ( x ) и равен f (a ) , определения 3 f ( x) xa и 5 эквивалентны. Вопрос. Как можно определить изолированную точку числового множества? 2.3. Теоремы функциями об арифметических операциях над непрерывными Теоремы о пределах функции, сформулированные в первом параграфе, позволяют сформулировать и доказать несколько аналогичных теорем о непрерывных функциях. Теорема 6. Пусть функции f ( x) и g ( x ) непрерывны в точке a . Тогда функции f ( x) g ( x) , f ( x) g ( x) также непрерывны в точке a. Теорема 7. Пусть функции f ( x) и g ( x ) непрерывны в точке a и f ( x) g ( a ) 0 . Тогда функция также непрерывна в точке a . g ( x) Теорема 8. Пусть функции f ( x) , g ( x ) непрерывны на промежутке D . Тогда функции f ( x) g ( x) и f ( x) g ( x) также непрерывны на промежутке D . Теорема 9. Пусть функции f ( x) , g ( x ) непрерывны на промежутке f ( x) D и g ( x) 0 при всех x D . Тогда непрерывна на g ( x) промежутке D . Пример 3. Установив, что lim x a при любом a , мы приходим к xa тому, что функция f ( x) x непрерывна на всей числовой прямой. Используя этот результат и применяя теорему 8, для каждого многочлена можно доказать непрерывность на всей числовой прямой. Например, функции f ( x) x 2 3x 1 , g ( x) x3 5 x всюду непрерывны. 3 Вопрос. Как доказать непрерывность функции f ( x) 2x в своей x 1 области определения? 2.4. Теорема о непрерывности сложной функции Имея две функции f ( z ) и g ( x ) , можно образовать сложную функцию h( x) f ( g ( x)) , определенную по правилу: если число a входит в область определения функции g ( x ) , а число b g (a ) входит в область определения функции f ( z ) , то h(a ) f (b) f ( g (a)) . Например, пусть f ( z) z и g ( x) sin x . Тогда функция h( x) f ( g ( x)) sin x определена при таких значениях x , при которых sin x 0 . Непрерывность сложной функции можно доказывать на основе следующей теоремы. Теорема 10. Пусть функция g ( x ) непрерывна в точке a , а функция f ( z ) непрерывна в точке b g (a ) . Тогда сложная функция h( x) f ( g ( x)) непрерывна в точке a . Пример 4. Доказав непрерывность функций f ( z ) z 3 и g ( x) x 2 1 на всей числовой прямой, на основании теоремы 10 можно сделать вывод о непрерывности функции h( x) ( x 2 1)3 на всей числовой прямой. Вопрос. Как доказать, что функция f ( x) 1 непрерывна в своей x2 1 области определения? Рассмотрим доказательство теоремы 10 о непрерывности сложной функции. Пусть функция g ( x ) определена на множестве D1 и непрерывна в точке a , функция f ( z ) определена на множестве D2 и непрерывна в точке b g (a ) . Возьмем произвольное положительное число . Для функции f ( z ) по определению 5 найдется такое 1 0 , что при всех z , удовлетворяющих условиям z D и z b 1 , выполняется неравенство f ( z ) f (b) . В свою очередь, для функции g ( x ) по определению 5 найдется такое 2 0 , что при всех x , удовлетворяющих условиям x D1 и x a 2 , выполняется неравенство g ( x) g (a) 1 . Рассмотрим теперь произвольное x из области определения функции h( x) f ( g ( x)) , удовлетворяющее условию x a 2 , и обозначим z g ( x ) . Тогда x a 2 , а поэтому g ( x) g (a) 1 , откуда z b 1 . Но тогда h( x) h(a) f ( g ( x)) f ( g (a)) f ( z ) f (b) . В итоге для функции h( x) f ( g ( x)) для каждого натурального числа K удается найти такое число 2 0 , что при всех x из области определения функции h( x) и удовлетворяющих условию x a 2 , выполняется неравенство h( x) h(a ) . Отсюда по определению 5 получаем непрерывность функции h( x) f ( g ( x)) в точке a . Вопрос. Почему с использованием определения 3 невозможно доказать непрерывность функции f ( g ( x)) , в точке O , если взять f ( z ) sin z и g ( x) , при любом x ? Мини-исследование. Для того, чтобы хорошо представлять себе понятие непрерывности функции в точке, полезно разобраться в том, что означают слова «функция f ( x ) не является непрерывной в точке a ». Если функция f ( x ) не является непрерывной в точке a , то ее принято называть разрывной в точке a , а саму точку a – точкой разрыва функции f ( x) . В примере с функцией sgn 2 x , рассмотренном в самом начале уроке, точка 0 является точкой разрыва, однако кажется немного «ненастоящей», так как если переопределить исходную функцию, положив ее значение в нуле равным 1, то получим непрерывную в 0 функцию, тождественно равную 1 на всей числовой прямой. Такой разрыв естественно назвать устранимым. Функцию sgn x можно представлять себе как бы «склеенной» из нескольких функций: для x 0 – это функция, тождественно равная 1 , предел которой в точке 0 существует и равен 1 ; для x 0 – это функция, тождественно равная 1 , предел которой в точке 0 существует и равен 1 ; и, наконец, при x 0 – это нуль. Такую точку разрыва, как в данных примерах, называют точкой разрыва первого рода. Легко указать принципиально отличные от предыдущих примеры точек разрыва. Рассмотрим хорошо знакомую нам функцию f ( x) 1 , x разрывную в нуле хотя бы потому, что она в нуле не определена. Ее тоже можно представить себе как бы «склеенной» из двух функций: для x 0 – это функция, равная 1 , предел которой в точке 0 не существует; для x 0 – x это функция, равная 1 , предел которой в точке 0 не существует; таким x образом, 0 является такой точкой разрыва, что ни при стремлении x к нулю «слева», ни при стремлении x к нулю «справа», предела не существует. f ( x) , Рассмотрим теперь функцию определенную формулой x | x | f ( x) 1 , которая при x 0 тождественно равна 0, а при при x 0 2 x2 равна 1 . Ее предел слева в точке 0 равен 0, а предела справа в нуле не x существует. Такую точку разрыва, как в последних примерах, называют точкой разрыва второго рода. 1) Дайте определение точек разрыва первого и второго рода, и приведите несколько новых примеров. 0, если x 0; 2) Докажите, что функция f ( x) 1 разрывна в нуле. sin , если x 0 x Разрыв какого рода представляет точка x 0 ? 3) Докажите, что функция f ( x) x sin 1 имеет в нуле устранимый x разрыв первого рода. Проверь себя. Непрерывность Задание 1. Укажите правильный вариант ответа. x a при x 1, При каких a и b функция f ( x) непрерывна на всей x b при x 1 числовой прямой: 1. a 0, b 0 ; 2. a 1, b 1 ; 3. a 4, b 1 ; 4. a 1, b 4 ? (Правильный вариант: 2) x 2 2 x a при x 2, При каком условии на a и b функция f ( x) 2 x 4 x b при x 2 непрерывна на всей числовой прямой: 1. a b 4 ; 2. a b 2 ; 3. a b 2 ; 4. a b 4 ? (Правильный вариант: 1) Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа. Функция f ( x) называется непрерывной в точке a , если a является предельной точкой области определения, и : 1. для всякой последовательности ( xn ) такой, что xn D , a D и xn a , последовательность ( f ( xn )) сходится к f (a ) ; 2. для любого положительного числа и всякой последовательности ( xn ) такой, что xn D , a D и xn a , найдется такое положительное N , что при всех n N выполняется неравенство; f ( xn ) f (a) ; 3. для любого положительного числа найдется такая последовательность ( xn ) что xn D , a D , lim xn a , для которой n выполняется неравенство f ( xn ) f (a) ; 4. для любого положительного числа найдется такая последовательность ( xn ) , что xn D , lim xn a и выполняется равенство n lim f ( xn ) f (a) . n (Правильные варианты: 1, 2) Функция f ( x) называется непрерывной в точке a , если a является предельной точкой области определения, и : 1. для каждого положительного числа найдется такое 0 , что при всех x , удовлетворяющих условиям x D и x a , выполняется неравенство f ( x) f (a) ; 2. для любого положительного числа найдется такое положительное , что при всех x , удовлетворяющих условиям x D , и x a , выполняются неравенства f ( x) f (a) ; 3. для любого положительного числа найдется такое положительное , что при всех x , удовлетворяющих условиям x D , x a и x a , выполняются неравенства f ( x) f (a) ; 4. для любого положительного числа и любого положительного числа при всех x , удовлетворяющих условиям x D , и 0 x a , выполняется неравенство f ( x) f (a) . (Правильные варианты: 1, 2, 3) Если функции f ( x) и g ( x ) непрерывны на всей числовой прямой, то следующая функция всегда непрерывна на всей числовой прямой: f ( x) 1. f ( x) g ( x) ; 2. f ( x) g 2 ( x) ; 3. 2 ; 4. f 2 ( x) g 2 ( x) . g ( x) (Правильные варианты: 1, 2, 4) Домашнее задание 1. Докажите непрерывность функции в каждой точке области определения: а) f ( x) 3x 2 ; б) f ( x) x5 2 x3 x ; в) f ( x) ( x 1)3 ; г) f ( x) 2 x 1 ; 3x 1 3 x д) f ( x) 2 ; е) f ( x) 1 1 . x x 1 x 1 f ( x) x sin 1 при x 0 и а (0) 0 . Докажите, что x непрерывна в нуле. 2.** Пусть f ( x) p 3.** Пусть f ( x) 0 , если x иррационально, и f ( x) 1 , если x , где p q q и q взаимно простые целые числа и q 0 . Докажите, что f ( x) непрерывна в нуле. 4.* Пусть f ( x) x при x 1 и f ( x) x 2 при x 1 . Докажите, что f ( x) непрерывна на всей числовой прямой. 5.** Пусть f ( x) x2 1 при x 1 и f (1) 1 , f (1) 1 . Докажите, что: 2 x 1 а) f ( x) непрерывна в точке 1 ; б) f ( x) не является непрерывной в точке 1 ; в) f ( x) непрерывна в каждой точке a , отличной от 1 и 1 . 6. Какой вид имеет функция f ( g ( x)) , если: а) f ( x) sin x и g ( x) x2 1 ; б) f ( x) x 2 2 x 1 и g ( x) cos x ; 2 в) f ( x) log 2 x и g ( x) 2x ; x 1 г) f ( x) lg x sin x и g ( x) cos x ; д) f ( x) x2 1 и g ( x) tg x ; x 1 е) f ( x) tg x и g ( x) log2 x logx 2 ; 2 ж) f ( x) x и g ( x) x 5 . x 7.** Какой вид имеет функция f ( g (h( x))) , если: а) f ( x) x 2 x , g ( x) 2 x , h( x) sin x ; б) f ( x) ( x 1)2 , g ( x) x , h( x) 1 sin 2 x ; в) f ( x) arcsin x , g ( x) 2 x 2 1 , h( x) lg x ; г) f ( x) x 2 x 1 , g ( x) x 2 x 1, h( x) x 2 x 1 . 8.* Представьте заданную функцию в виде сложной функции f ( g ( x)) : а) sin 3 x 3sin x ; б) x 2 x 1; в) log3sin x sin x ; г) log3 (sin x x) ; д) 1 sin 2 x sin 2 x ; е) arcsin x 0, если x рационально, 9.** Пусть f ( x) 1, если x иррационально, g ( x) x – целая часть x , h( x) x – дробная часть x . Найдите, по какому правилу действуют функции: а) f ( g ( x)) ; б) g ( f ( x)) ; в) f ( h( x )) ; г) h( f ( x )) ; д) f ( g (h( x))) ; е) h( g ( f ( x))) ; ж) g (h( f ( x))) . Словарь терминов Предел функции. Число M называется пределом функции f ( x) в точке a , если для всякой последовательности ( xn ) такой, что xn D , xn a и xn a , последовательность ( f ( xn )) сходится к M (при n ). Предел функции f ( x) в точке a обозначают lim f ( x ) . Равенство lim f ( x) M xa xa означает, что функция f ( x) имеет в точке a предел, равный M . В этом случае иногда говорят, что значения функции f ( x) стремятся к числу M при x , стремящихся к числу a . Другое, эквивалентное приведенному, определение предела функции в точке – число M называется пределом функции f ( x) в точке a , если для каждого положительного числа найдется такое 0 , что при всех x , удовлетворяющих условиям x D , x a и x a , выполняется неравенство f ( x) M . Предельная точка. Точкой a множества M называется предельной точкой множества, если каждая ее окрестность содержит точки из M , отличные от точки a . Предельная точка множества M не обязательно принадлежит этому множеству, например, точка 0 является предельной точкой промежутка (0;1] , но не принадлежит ему. Понятие предела функции f ( x) вводят в таких точках a числовой прямой, что каждая -окрестность числа a содержит числа из области определения функции f ( x) , отличные от a , то есть в предельных точках области определения D f функции f ( x) . Изолированная точка. Точка a, принадлежащая множеству M, называется изолированной точкой множества M , если найдется такая окрестность точки a , в которой кроме самой точки a нет других точек множества M . Окрестность точки. -окрестностью числа a называется множество всех таких чисел x , что x a . Эту окрестность можно записать в виде интервала (a a ) или в виде неравенств a x a . Непрерывность функции в точке. Функция f ( x) называется непрерывной в предельной точке a области определения, если lim f ( x) f (a) . Часто x a дают немного отличное от приведенного определение непрерывности функции в точке – функция f ( x) называется непрерывной в точке a из области определения D , если для каждого положительного числа найдется 0 такое, что при всех x , удовлетворяющих условиям x D и x a , выполняется неравенство f ( x) f (a) . Это определение позволяет считать функцию непрерывной во всякой изолированной точке своей области определения. Непрерывность функции на множестве. Функция f ( x) называется непрерывной на множестве M , если f ( x) непрерывна в каждой точке множества M . Разрывность функции в точке. Функция f ( x) называется разрывной в предельной точке a области определения, если 1) либо функция f ( x) не определена в точке a , 2) либо не существует lim f ( x ) , xa 3) либо lim f ( x) f (a ) . xa Для того, чтобы установить разрывность функции f ( x) в точке a области определения D достаточно найти такую последовательность ( xn ) , что xn D , xn a , xn a , но последовательность ( f ( xn )) расходится (при n ), либо последовательность ( f ( xn )) имеет предел, но он не равен f (a) . Точка разрыва первого рода – это такая предельная точка a области определения D функции f ( x) , что для всякой последовательность ( xn ) , для которой xn D , xn a , xn a , существует предел последовательности ( f ( xn )) , равный числу L ; для всякой последовательность ( xn ) , для которой xn D , xn a , xn a , существует предел последовательности ( f ( xn )) , равный числу L , но по крайней мере одно из этих чисел не равно f (a ) . Если L L разрыв называется устранимым. Точка разрыва второго рода – это такая предельная точка a области определения D функции f ( x) , что не существует предела lim f ( xn ) либо x для всякой последовательности ( xn ) , сходящейся к a , оставаясь меньше a ; либо для всякой последовательности ( xn ) , сходящейся к a , оставаясь больше a ; либо в обоих случаях. Рисунки (названия файлов) Рисунок 1. – 11-3-04.cdr