Раздел 3. Системы массового обслуживания с приоритетами.

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Московский институт электроники и математики Национального
исследовательского университета "Высшая школа экономики"
Факультет Экономики НИУ ВШЭ
Программа дисциплины
«Дополнительные главы случайных процессов»
для направления/специальности 061800 «Математические методы в экономике»
подготовки специалиста
Автор программы: Гришунина Ю.Б., grishunina@hse.ru
Одобрена на заседании кафедры Высшей математики МИЭМ «___»____________ 20 г
Зав. кафедрой Четвериков В.М.
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 20 г
Председатель [Введите И.О. Фамилия]
Утверждена УС факультета [Введите название факультета] «___»_____________20 г.
Ученый секретарь [Введите И.О. Фамилия] ________________________ [подпись]
Москва, 2012
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими
вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Пояснительная записка
Программа курса «Дополнительные главы случайных процессов» предназначена
для реализации государственных требований к минимуму содержания и уровню
подготовки выпускников по специальности «Математические методы в экономике»
(081600).
Данная программа составлена в соответствии с Государственным образовательным
стандартом высшего профессионального образования по специальности 081600.
Дисциплина «Дополнительные главы случайных процессов» изучается студентами
данной специальности после изучения курсов экономики, математического анализа,
линейной алгебры, функционального анализа, теории вероятностей, случайных процессов
и является общепрофессиональной дисциплиной.
Данная дисциплина позволяет изучить различные модели систем массового
обслуживания, методы их исследования и соответствующий математический аппарат, а
также способы оценки показателей качества их функционирования. Эти знания
впоследствии используются в курсах специальных дисциплин «Управляемые системы
массового обслуживания в экономике», «Экономические вопросы качества» и
необходимы выпускникам, чья будущая деятельность связана с управлением
предприятиями и фирмами, которые занимаются обслуживанием клиентов или
выполнением заказов в различных отраслях экономики.
Цель данного курса – формирование у будущих специалистов навыков
математического моделирования деятельности фирм, занятых обслуживанием клиентов, и
умения с помощью математических методов оценивать качество их работы. Для
достижения данной цели необходимо освоить принципы построения моделей систем
массового обслуживания и соответствующий математический аппарат, овладеть системой
знаний, умений и навыков, дающей представление о методах исследования, применяемых
в теории массового обслуживания, о ее месте и роли в общей в системе
общепрофессиональных и специальных дисциплин. Кроме того, отработка указанных
умений и навыков позволяет реализовать развивающую функцию образования:
формирование научного мировоззрения студентов, логической и эвристической
составляющей мышления.
Дисциплина «Дополнительные главы случайных процессов» состоит из двух
частей: «Элементы теории случайных процессов» и «Системы массового обслуживания».
В первой части рассматриваются некоторые специальные вопросы теории вероятностей и
теории случайных процессов, математические методы, применяемые в теории массового
обслуживания. Студенты получают и закрепляют базовые знания, необходимые для
освоения математического аппарата, который используется при исследовании систем
массового обслуживания. Во второй части курса рассматривается методика описания,
моделирования и исследования системы массового обслуживания, ее структура,
показатели качества функционирования и способы их вычисления, а также подробно
анализируются конкретные модели систем массового обслуживания.
Таким образом, в процессе обучения студентам необходимо усвоить теоретические
аспекты и получить практические навыки по следующим темам:
 математический аппарат теории массового обслуживания;
 методика описания и моделирования системы массового обслуживания, ее структура;
 методы оценки эффективности функционирования системы массового обслуживания,
показатели качества обслуживания;
 марковские модели систем массового обслуживания;
 системы массового обслуживания с приоритетами;
 простейшие немарковские модели систем массового обслуживания.
Студенты также должны иметь представление:
2



об основных этапах моделирования систем массового обслуживания;
о методах исследования различных классов моделей систем массового обслуживания;
о способах повышения эффективности функционирования систем массового
обслуживания.
Объем дисциплины и виды учебной работы
Вид учебной работы
Семестр
7
Всего часов
Общая трудоемкость дисциплины
Аудиторные занятия
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
И (или) другие виды аудиторных занятий
Самостоятельная работа
Курсовой проект (работа)
Расчетно-графические работы
Реферат
И (или) другие виды самостоятельной работы
Вид итогового контроля (зачет, экзамен)
90
68
34
34
34
34
22
1 к/р и 1 д/з
зачет,
экзамен
1. Содержание дисциплины
1.1. Разделы дисциплины и виды занятий
Учебно-тематический план
Лекции
Тема
Часть 1. Элементы теории случайных процессов
Раздел 1. Простейший поток однородных событий
Тема 1. Свойства экспоненциального распределения.
Тема 2. Распределение Эрланга.
Тема 3. Простейший поток однородных событий:
определение и свойства.
Раздел 2. Марковские процессы с непрерывным
временем
Тема 4. Марковские процессы с непрерывным временем:
определение и способы задания. Предельное распределение.
Дифференциальные
уравнения
Колмогорова
для
вероятностей состояний.
Тема 5. Процессы гибели и размножения.
Раздел 3. Процессы восстановления
Тема
6.
Процессы
восстановления:
простой,
с
запаздыванием, альтернирующий. Функция восстановления.
Интегральное уравнение восстановления. Элементарная
теорема восстановления. Узловая теорема восстановления.
Тема 7. Прямое (перескок) и обратное (недоскок) время
возвращения. Вероятность попадания на четный или
нечетный интервал для альтернирующего процесса.
Раздел 4. Некоторые функциональные преобразования
14
4
1
1
2
Сем/ Практ.
занятия
10
2
1
0
1
Самостоятельная
работа
10
3
2
0
1
3
2
3
2
1
2
1
4
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
3
4
2
3
Тема 8. Производящая функция и ее свойства.
Тема 9. Преобразование Лапласа и Лапласа-Стилтьеса. Их
свойства.
Часть 2. Системы массового обслуживания
Раздел 1. Структура, описание и схема исследования
системы массового обслуживания.
Тема 10. Понятие системы массового обслуживания.
Символика Кендалла.
Тема 11. Схема исследования СМО. Показатели качества
обслуживания.
Раздел 2. Марковские модели систем массового
обслуживания.
Тема 12. Система М|М|n|0. Формулы Эрланга.
Тема 13. Система М|М|n|N с нетерпеливыми клиентами.
Тема 14. Система М|М|n|N.
Тема 15. Система М|М|n| с нетерпеливыми клиентами.
Тема 16. Система М|М|n|.
Раздел 3. Системы массового обслуживания с
приоритетами.
Тема 17. Системы с приоритетами. Относительный и
абсолютный приоритет.
Тема 18. Система М|М|1|0 с приоритетами.
Раздел 4. Простейшие немарковские модели систем
массового обслуживания.
Тема 19. Система М|G|1|.
Тема 20. Система G|M|1|.
Всего
1
2
2
2
1
1
20
2
24
0
12
0
1
0
0
1
0
0
5
14
6
1
2
1
2
1
2
0
5
3
3
3
1
0
1
3
1
1
1
1
0
0
1
11
1
9
1
5
6
5
34
4
5
34
3
2
22
Программа курса
Часть 1. Элементы теории случайных процессов
Раздел 1. Простейший поток однородных событий.
Тема 1. Свойства экспоненциального распределения.
Определение случайной величины. Закон распределения, функция распределения, плотность
распределения. Экспоненциальное распределение. Свойство отсутствия последействия.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей экспоненциальное
распределение. Распределение минимума и максимума
независимых экспоненциально
распределенных случайных величин.
Практическое занятие 1. Количество часов – 1.
Цель Отработка умений решения задач по теме.
Повторение формул для математического ожидания и дисперсии дискретных и непрерывных
случайных величин. Вычисление математического ожидания и дисперсии случайной величины,
имеющей экспоненциальное распределение. Нахождение функции распределения минимума и
максимума независимых экспоненциально распределенных случайных величин.
Самостоятельная работа
Изучение материала по теме для подготовки к зачету и экзамену.
Литература: [1,3,4,6]
Тема 2. Распределение Эрланга.
Формула свертки для плотности распределения суммы независимых случайных величин. Вывод
формулы для плотности распределения Эрланга порядка n.
Литература: [1,3]
Тема 3. Простейший поток однородных событий: определение и свойства.
Потоки однородных событий. Определение простейшего потока. Свойства простейшего потока:
независимость приращений, свойство отсутствия последействия, ординарность, стационарность.
Распределение числа событий простейшего потока на интервале (0;t). Связь экспоненциального
распределения, распределения Эрланга и распределения Пуассона.
Практическое занятие 2. Количество часов – 1.
Цель Отработка умений решения задач по теме.
4
Нахождение закона распределения суммы независимых пуассоновских случайных величин, задача о
«прореженном» потоке, связь равномерного и пуассоновского распределения.
Самостоятельная работа
Изучение материала по теме для подготовки к зачету и экзамену.
Литература: [1,3,4,5]
После изучения данного раздела студент должен знать:

свойства экспоненциального распределения;

свойства простейшего потока;

распределение интервалов между событиями простейшего потока;

распределение момента n-ого события простейшего потока;

вероятностный смысл параметра экспоненциального распределения;

связь экспоненциального распределения, распределения Эрланга, равномерного
распределения и распределения Пуассона.
Студент должен уметь:

находить числовые характеристики случайных величин;

применять теоремы теории вероятностей для исследования функций от случайных величин.
Раздел 2. Марковские процессы с непрерывным временем.
Тема 4. Марковские процессы с непрерывным временем: определение и способы задания.
Предельное распределение. Дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний.
Интенсивности перехода и выхода. Дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей
состояний. Предельное распределение.
Практическое занятие 3. Количество часов – 1.
Цель: Отработка умений решения задач по теме.
Нахождение инфинитезимальных характеристик пуассоновского процесса. Дифференциальные
уравнения Колмогорова для вероятностей состояний пуассоновского процесса.
Самостоятельная работа
Изучение материала по теме для подготовки к зачету и экзамену.
Литература: [1,3,4,5]
Тема 5. Процессы гибели и размножения.
Определение процесса гибели и размножения; формулы для предельного распределения.
Практическое занятие 3. Количество часов – 1.
Цель: Отработка умений решения задач по теме.
Самостоятельная работа
Изучение материала по теме для подготовки к зачету и экзамену.
Литература: [1,3,4,5]





После изучения данного раздела студент должен знать:
способы задания однородного марковского процесса;
определение ПГР;
Студент должен уметь:
находить инфинитезимальные характеристики (интенсивности перехода и выхода);
составлять дифференциальные уравнения Колмогорова;
находить предельное распределение однородного марковского процесса, в частности, ПГР.
Раздел 3. Процессы восстановления.
Тема 6. Процессы восстановления: простой, с запаздыванием, альтернирующий. Функция
восстановления. Интегральное уравнение восстановления. Элементарная теорема восстановления.
Узловая теорема восстановления.
Определение процесса восстановления. Моменты восстановлений, интервалы между
восстановлениями. Вероятностный смысл дифференциала функции восстановления. Интегральное
уравнение восстановления для простого процесса восстановления и для процесса восстановления с
запаздыванием. Элементарная и узловая теоремы восстановления.
Практическое занятие 5. Количество часов – 1.
Цель: Отработка умений решения задач по теме.
Нахождение функции и плотности восстановления для пуассоновского процесса. Решение
интегрального уравнения восстановления для пуассоновского процесса.
5
Самостоятельная работа
Изучение материала по теме для подготовки к зачету и экзамену.
Литература: [1,3,4,5]
Тема 7. Прямое (перескок) и обратное (недоскок) время возвращения. Вероятность попадания
на четный или нечетный интервал для альтернирующего процесса.
Определение прямого и обратного времени возвращения. Распределение прямого и обратного
времени возвращения. Вычисление вероятности того, что произвольный момент времени t будет накрыт
четным или нечетным интервалом альтернирующего процесса восстановления.
Практическое занятие 6. Количество часов – 1.
Цель: Отработка умений решения задач по теме.
Нахождение предельного распределения прямого и обратного времени возвращения с помощью
узловой теоремы восстановления.
Самостоятельная работа
Изучение материала по теме для подготовки к зачету и экзамену.
Литература: [1,3,4,5]



После изучения данного раздела студент должен знать:
определение процесса восстановления и функции восстановления;
вероятностный смысл дифференциала функции восстановления;
формулировки основных теорем теории восстановления.



Студент должен уметь:
применять элементарную и узловую теоремы для решения задач;
составлять интегральное уравнение восстановления;
находить функцию восстановления.
Раздел 4. Некоторые функциональные преобразования.
Тема 8. Производящая функция и ее свойства.
Определение производящей функции. Свойства производящей функции. Нахождение
математического ожидания неотрицательной дискретной случайной величины с помощью производящей
функции.
Практическое занятие 7. Количество часов – 2.
Цель: Отработка умений решения задач по теме.
Решение дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний пуассоновского
процесса с помощью производящей функции.
Самостоятельная работа
Изучение материала по теме для подготовки к зачету и экзамену.
Литература: [1,2,3,4,7]
Тема 9. Преобразование Лапласа и Лапласа-Стилтьеса. Их свойства.
Преобразование Лапласа и Лапласа-Стилтьеса, их взаимосвязь. Свойства преобразования Лапласа.
Нахождение математического ожидания неотрицательной случайной величины с помощью преобразования
Лапласа.
Практическое занятие 8. Количество часов – 2.
Цель: Отработка умений решения задач по теме.
Решение дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний пуассоновского
процесса с помощью преобразования Лапласа.
Самостоятельная работа
Изучение материала по теме для подготовки к зачету и экзамену.
Литература: [1,2,3,4,7]





После изучения данного раздела студент должен знать:
определение производящей функции;
определение преобразования Лапласа и Лапласа-Стилтьеса;
свойства производящей функции;
свойства преобразования Лапласа.
Студент должен уметь:
находить преобразования Лапласа различных функций;
6



уравнений.
находить производящие функции для дискретных распределений;
применять производящие функции для решения счетных систем линейных уравнений;
применять преобразование Лапласа для решения интегральных и дифференциальных
Часть 2. Системы массового обслуживания.
Раздел 1. Структура, описание и схема исследования системы массового
обслуживания.
Тема 10. Понятие системы массового обслуживания. Символика Кендалла.
Понятие системы массового обслуживания. Примеры систем массового обслуживания. Структура
системы массового обслуживания: входящий поток требований, процесс обслуживания,
обслуживающие приборы, очередь, дисциплина обслуживания. Символика Кендалла.
Литература: [1,2,3,5]
Тема 11. Схема исследования СМО. Показатели качества обслуживания.
Схема исследования СМО. Показатели качества обслуживания: среднее время обслуживания,
вероятность потери заявки, средняя длина очереди, функция распределения и математическое ожидание
времени ожидания начала обслуживания, функция распределения и математическое ожидание времени
пребывания заявки в очереди, производительность системы, функционал среднего удельного дохода и др.
Литература: [1,2,3,5]







После изучения данного раздела студент должен знать:
определение системы массового обслуживания;
структуру системы массового обслуживания;
основные этапы исследования системы массового обслуживания;
показатели качества функционирования системы массового обслуживания.
Студент должен уметь:
классифицировать системы массового обслуживания;
описать все элементы системы массового обслуживания с помощью символики Кендалла.
оценивать качество обслуживания с помощью различных показателей.
Раздел 2. Марковские модели систем массового обслуживания.
Тема 12. Система М|М|n|0. Формулы Эрланга.
Система М|М|n|0. Формулы Эрланга. Вероятность потери заявки.
Литература: [1,2]
Тема 13. Система М|М|n|N с нетерпеливыми клиентами.
Система М|М|n|N с нетерпеливыми клиентами. Инфинитезимальные характеристики ПГР,
описывающего данную систему. Математическое ожидание длины очереди.
Практическое занятие 9. Количество часов – 5.
Цель: Отработка умений решения задач по теме.
Плотность распределения времени ожидания начала обслуживания. Вероятность потери заявки.
Функция распределения времени пребывания заявки в очереди.
Самостоятельная работа
Изучение материала по теме для подготовки к зачету и экзамену.
Литература: [1,2]
Тема 14. Система М|М|n|N.
Система М|М|n|N. Инфинитезимальные характеристики ПГР, описывающего данную систему.
Математическое ожидание длины очереди.
Практическое занятие 10. Количество часов – 3.
Цель: Отработка умений решения задач по теме.
Функция распределения времени ожидания начала обслуживания при условии, что заявка принята
в очередь. Вероятность потери заявки.
7
Самостоятельная работа
Изучение материала по теме для подготовки к зачету и экзамену. Выполнение домашнего задания
по данной теме.
Литература: [1,2]
Тема 15. Система М|М|n| с нетерпеливыми клиентами.
Система М|М|n| с нетерпеливыми клиентами. Существование предельного распределения ПГР,
описывающего функционирование системы. Математическое ожидание длины очереди.
Практическое занятие 11. Количество часов – 3.
Цель: Отработка умений решения задач по теме.
Плотность распределения времени ожидания начала обслуживания. Вероятность потери заявки.
Функция распределения времени пребывания заявки в очереди.
Самостоятельная работа
Изучение материала по теме для подготовки к зачету и экзамену.
Литература: [1,2]
Тема 16. Система М|М|n|.
Система М|М|n|. Условие существования предельного распределения ПГР, описывающего
функционирование системы.
Практическое занятие 11. Количество часов – 3.
Цель: Отработка умений решения задач по теме.
Функция распределения времени ожидания начала обслуживания. Математическое ожидание
длины очереди.
Самостоятельная работа
Изучение материала по теме для подготовки к зачету, экзамену и контрольной работе.
Литература: [1,2]
После изучения данного раздела студент должен знать:

методику вычисления показателей эффективности функционирования систем массового
обслуживания;

условия существования предельного распределения ПГР, описывающего систему
массового обслуживания.
Студент должен уметь:

вычислять инфинитезимальные характеристики и предельное распределение ПГР,
описывающего систему массового обслуживания;

вычислять показатели качества обслуживания.
Раздел 3. Системы массового обслуживания с приоритетами.
Тема 17. Системы с приоритетами. Относительный и абсолютный приоритет.
Тема 17. Системы с приоритетами. Виды приоритетов.
Тема 18. Система М|М|1|0 с приоритетами.
Система М|М|1|0 с приоритетами. Предельное распределение марковского процесса, описывающего
функционирование системы.
Практическое занятие 12. Количество часов – 1.
Цель: Отработка умений решения задач по теме.
Вероятность потери заявки первого и второго типа.
Самостоятельная работа
Изучение материала по теме для подготовки к зачету и экзамену.
Литература: [1,2]



После изучения данного раздела студент должен знать:
виды приоритетов в системах массового обслуживания
Студент должен уметь:
строить математические модели приоритетных систем;
вычислять показатели качества функционирования приоритетных систем.
Раздел 4. Простейшие немарковские модели систем массового обслуживания.
Тема 19. Система М|G|1|.
8
Система М|G|1|. Метод вложенных цепей Маркова. Переходные вероятности вложенной
Марковской цепи. Производящая функция для стационарного распределения вложенной цепи.
Период занятости. Основной закон стационарной очереди. Математическое ожидание длины
очереди.
Практическое занятие 13. Количество часов – 4.
Цель: Отработка умений решения задач по теме.
Доказательство основного закона стационарной очереди. Вывод формулы для математического
ожидания длины очереди.
Самостоятельная работа
Изучение материала по теме для подготовки к зачету, экзамену и контрольной работе. Выполнение
контрольной работы по теме.
Литература: [1,2,6]
Тема 20. Система G|M|1|.
Система G|M|1|. Метод вложенных цепей Маркова. Переходные вероятности вложенной
марковской цепи. Производящая функция для стационарного распределения вложенной цепи.
Формула для стационарного распределения вложенной цепи. Предельное распределение случайного
процесса, описывающего функционирование системы.
Практическое занятие №14. Количество часов – 5.
Цель: Отработка умений решения задач по теме.
Предельное распределение случайного процесса, описывающего функционирование системы.
Самостоятельная работа
Изучение материала по теме для подготовки к зачету и экзамену.
Литература: [1,2,6]
После изучения данного раздела студент должен знать:

суть метода вложенных цепей Маркова;

способы нахождения предельного распределения случайных процессов, описывающих
немарковские модели.
Студент должен уметь:

определять марковские моменты;

составлять и решать систему линейных уравнений для нахождения стационарного
распределения вложенной Марковской цепи;

вычислять показатели качества функционирования немарковских систем массового
обслуживания.
Задание для студентов (самостоятельная работа).
Курс «Дополнительные главы случайных процессов» рассчитан на изучение в
течение одного семестра. В течение семестра выполняется одно домашнее задание и одна
контрольная работа.
3. Методические указания к выполнению домашнего задания.
Домашнее задание выполняется каждым студентом самостоятельно по одному из
24 вариантов и оформляется в отдельной тетради или на отдельных листах. Тема
домашнего задания - система М|М|n|N.
Текст задания. Пусть задана система M|M|n|N. Интенсивность входящего потока ,
интенсивность обслуживания .
1. Составить математическую модель данной системы. Для этого ввести в рассмотрение
случайный процесс  (t) – число заявок в системе в момент времени t. Выписать для
этого процесса переходные вероятности Pij(t,h). Показать, что это процесс гибели и
размножения.
2. Выписать систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей
состояний процесса (t). Вычислить предельное распределение.
3. Вычислить вероятность потери заявки q и среднюю стационарную длину очереди.
4. Найти условную функцию распределения времени ожидания начала обслуживания при
условии, что заявка принята в систему.
9
Варианты.
№ n N 
1 2 3 1
2 2 3 2
3 2 3 0,5
4 2 3 0,8
5 2 3 1
6 2 3 0,5
7 2 3 2
8 2 3 0,3
9 2 3 2
10 2 3 1
11 2 3 4
12 2 3 0,6
13 3 2 1
14 3 2 2
15 3 2 0,5
16 3 2 0,8
17 3 2 1
18 3 2 0,5
19 3 2 2
20 3 2 0,3
21 3 2 2
22 3 2 1
23 3 2 4
24 3 2 0,6

1
2
0,5
0,8
2
1
4
0,6
1
0,5
2
0,3
1
2
0,5
0,8
2
1
4
0,6
1
0,5
2
0,3
4. Методические указания к выполнению контрольной работы.
Контрольная работа выполняется каждым студентом самостоятельно по одному из 20
вариантов и оформляется в отдельной тетради или на отдельных листах. В работе должны
быть представлены промежуточные расчеты, конечный ответ и выводы. Задание на
контрольную работу состоит из 2 частей. Тема первой части – система М|М|n|, тема
второй части - система М|G|1|.
Текст задания. Система M|M|1|. Интенсивность входящего потока , интенсивность
обслуживания .
1. Рассмотреть марковскую модель данной системы.
Найти:
- интенсивности перехода соответствующего процесса гибели и размножения;
- предельное распределение этого процесса;
- функцию распределения времени ожидания начала обслуживания;
- среднюю длительность ожидания;
- математическое ожидание длины очереди.
2. Исследовать вложенную цепь Маркова.
Найти:
- переходные вероятности вложенной цепи;
- производящую функцию для стационарного распределения;
- стационарное распределение вложенной цепи;
- преобразование Лапласа-Стилтьеса для функции распределения интервала занятости;
- математическое ожидание интервала занятости;
- математическое ожидание длины очереди.
10
Сравнить результаты, полученные при исследовании марковской модели и вложенной
марковской цепи.
Варианты.
№ 

1 0,5 1
2 0,2 2
3 0,3 3
4 0,4 4
5 0,5 5
6 0,6 3
7 0,6 2
8 1
2
9 1
3
10 1
1,5
11 0,8 1
12 0,8 2
13 0,8 4
14 2
4
15 1,5 3
16 1,5 5
17 3
6
18 2,5 5
19 2
6
20 2
8
5. Тест на остаточные знания по курсу
ТЕСТЫ-ВОПРОСЫ ПО КУРСУ «Дополнительные главы случайных процессов».
Выберите верные ответы и перепишите их в контрольный лист, предназначенный для
оценки преподавателем.
1. Пусть Х1,…,Хn – независимые случайные величины, имеющие экспоненциальное
распределение. Какое распределение имеет минимум из этих случайных величин?
А. Распределение Эрланга порядка n.
Б. Экспоненциальное распределение с суммарным параметром.
В. Распределение Пуассона с суммарным параметром.
Г. Равномерное распределение.
2.
Какие значения может принимать
экспоненциальное распределение?
А. Любые вещественные.
Б. Любые целые.
В. Только натуральные.
Г. Только положительные вещественные.
случайная
величина,
имеющая
3. Пусть Х1,…,Хn – независимые случайные величины, имеющие экспоненциальное
распределение с одинаковым параметром. Какое распределение имеет сумма этих
случайных величин?
А. Нормальное.
Б. Равномерное.
В. Экспоненциальное с суммарным параметром.
Г. Распределение Эрланга порядка n.
11
4. Какое распределение имеют интервалы между событиями простейшего потока?
А. Нормальное.
Б. Равномерное.
В. Экспоненциальное.
Г. Распределение Эрланга порядка n.
5. Какое распределение имеет момент n-ого события простейшего потока?
А. Нормальное.
Б. Равномерное.
В. Экспоненциальное.
Г. Распределение Эрланга порядка n.
6. Какое распределение имеет число событий простейшего потока в интервале (0;t)?
А. Биномиальное распределение.
Б. Распределение Пуассона с параметром λt.
В. Нормальное.
Г. Распределение Эрланга порядка n.
7. Пусть F*(s) – преобразование Лапласа-Стилтьеса функции распределения
неотрицательной непрерывной случайной величины Х. Чему равно F*(0)?
А. 0.
Б. 1.
В. ЕХ.
Г. -ЕХ.
8. Пусть F*(s) – преобразование Лапласа-Стилтьеса функции распределения
неотрицательной непрерывной случайной величины Х. Чему равно F*’(0)?
А. 0.
Б. 1.
В. ЕХ.
Г. -ЕХ.
9. Пусть φ(z) – производящая функция ряда распределения неотрицательной
дискретной случайной величины Х. Чему равно φ(1)?
А. 0.
Б. 1.
В. Р(Х=0).
Г. ЕХ.
10. Пусть φ(z) – производящая функция ряда распределения неотрицательной
дискретной случайной величины Х. Чему равно φ(0)?
А. 0.
Б. 1.
В. Р(Х=0).
Г. ЕХ.
11. Пусть φ(z) – производящая функция ряда распределения неотрицательной
дискретной случайной величины Х. Чему равно φ’’(0)?
А. 0.
Б. 1.
12
В. Р(Х=0).
Г. 2Р(Х=2).
12. Пусть φ(z) – производящая функция ряда распределения неотрицательной
дискретной случайной величины Х. Чему равно φ’(1)?
А. 0.
Б. 1.
В. Р(Х=0).
Г. ЕХ.
13. Что означает число N в 4-ом разряде символики Кендалла?
А. Максимальное число заявок в системе.
Б. Число мест в очереди.
В. Число обслуживающих приборов.
Г. Число типов заявок во входящем потоке.
14. Какой вероятностный смысл имеет интенсивность входящего потока λ?
А. Среднее число заявок в системе в стационарном режиме.
Б. Среднее число заявок, поступивших в единицу времени.
В. Математическое ожидание интервалов между поступлениями заявок в систему.
Г. Максимальное возможное число заявок в системе.
15. Система массового обслуживания М|М|n|N. При каких условиях существует
предельное распределение случайного процесса, описывающего функционирование
указанной системы?
А. Всегда существует.
Б. Только при λ<μ.
В. Только при λ<nμ.
Г. Только при λ≥nμ.
16. Система массового обслуживания М|М|n|∞. При каких условиях существует
предельное распределение случайного процесса, описывающего функционирование
указанной системы?
А. Всегда существует.
Б. Только при λ<μ.
В. Только при λ<nμ.
Г. Только при λ≥nμ.
17. Система массового обслуживания М|М|n|∞ с нетерпеливыми клиентами. При
каких условиях существует предельное распределение случайного процесса,
описывающего функционирование указанной системы?
А. Всегда существует.
Б. Только при λ<μ+ν.
В. Только при λ<nμ.
Г. Только при λ≥n(μ+ν).
18. Система М|М|1|0 с приоритетами. Заявки первого типа имеют абсолютный
приоритет. Как влияет поступление и обслуживание заявок второго типа на
вероятность потери заявки первого типа?
13
А. Чем выше интенсивность поступления заявок второго типа, тем больше вероятность
потери заявки первого типа.
Б. Чем больше среднее время обслуживания заявки второго типа, тем больше вероятность
потери заявки первого типа.
В. Чем выше интенсивность обслуживания заявок второго типа, тем меньше вероятность
потери заявки первого типа.
Г. Никак не влияет.
19. Система М|G|1|∞. Укажите марковские моменты для построения вложенной
марковской цепи.
А. Произвольные моменты времени.
Б. Моменты окончания обслуживания заявок.
В. Моменты поступления заявок в систему.
Г. Моменты начала периода занятости.
20. Система G|М|1|∞. Укажите марковские моменты для построения вложенной
марковской цепи.
А. Произвольные моменты времени.
Б. Моменты окончания обслуживания заявок.
В. Моменты поступления заявок в систему.
Г. Моменты начала обслуживания заявок.
№ п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Ответ
За каждый правильный ответ студент получает 2 балла. Для получения зачета
необходимо набрать не менее 22 баллов, оценка «хорошо» - от 30 до 35 баллов, оценка
«отлично» - при получении от 36 до 40 баллов.
Студенты, получившие менее 22 баллов, проходят повторное тестирование.
14
6. Итоговый контроль
Примерные вопросы к зачету и экзамену по курсу «Дополнительные главы
случайных процессов»
1. Экспоненциальное распределение. Свойства экспоненциального распределения:
отсутствие
последействия,
математическое
распределение минимума и максимума
ожидание,
дисперсия,
независимых экспоненциально
распределенных случайных величин.
2.
Распределение Эрланга.
3. Простейший поток. Определение, свойства.
4. Марковские процессы с непрерывным временем. Интенсивности перехода и
выхода.
Дифференциальные
уравнения
Колмогорова
для
вероятностей
состояний. Предельное распределение. Процессы гибели и размножения;
формулы для предельного распределения.
5. Производящая функция. Решение системы дифференциальных уравнений
Колмогорова для простейшего потока с помощью производящей функции.
6.
Процессы восстановления: простой, с запаздыванием, альтернирующий.
Функция
восстановления.
Интегральное
уравнение
восстановления.
Элементарная теорема восстановления. Узловая теорема восстановления.
Прямое (перескок) и обратное (недоскок) время возвращения. Вероятность
попадания на четный или нечетный интервал для альтернирующего процесса.
7. Преобразование Лапласа и Лапласа-Стилтьеса. Свойства преобразования
Лапласа. Решение системы дифференциальных уравнений Колмогорова для
простейшего потока с помощью преобразования Лапласа.
Системы массового обслуживания.
8. Системы
массового
обслуживания.
Определение.
Символика Кендалла.
Показатели качества обслуживания. Схема исследования СМО.
9. Система М|М|n|0. Формулы Эрланга. Вероятность потери заявки.
10. Система М|М|n|N с нетерпеливыми клиентами. Математическое ожидание
длины
очереди.
Плотность
распределения
времени
ожидания
начала
обслуживания. Вероятность потери заявки. Функция распределения времени
пребывания заявки в очереди.
15
11. Система М|М|n|N. Математическое ожидание длины очереди. Функция
распределения времени ожидания начала обслуживания при условии, что заявка
принята в очередь. Вероятность потери заявки.
12. Система М|М|n| с нетерпеливыми клиентами. Существование предельного
распределения
ПГР,
описывающего
функционирование
системы.
Математическое ожидание длины очереди. Плотность распределения времени
ожидания начала обслуживания. Вероятность потери заявки. Функция
распределения времени пребывания заявки в очереди.
13. Система М|М|n|. Условие существования предельного распределения ПГР,
описывающего функционирование системы. Функция распределения времени
ожидания начала обслуживания. Математическое ожидание длины очереди.
14. Система М|М|1|0 с приоритетами. Предельное распределение Марковского
процесса, описывающего функционирование системы. Вероятность потери
заявки первого и второго типа.
15. Система М|G|1|. Метод вложенных цепей Маркова. Переходные вероятности
вложенной Марковской цепи. Производящая функция для стационарного
распределения
вложенной
цепи.
Период
занятости.
Основной
закон
стационарной очереди. Математическое ожидание длины очереди.
16. Система G|M|1|. Метод вложенных цепей Маркова. Переходные вероятности
вложенной Марковской цепи. Формула для стационарного распределения
вложенной
цепи.
Предельное
распределение
случайного
процесса,
описывающего функционирование системы.
7. Список рекомендуемой литературы
Основная:
1. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания.
Москва: «Высшая школа», 1982
2. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория массового обслуживания. М.: Изд. РУДН,
1995.
3. Каштанов В.А. Элементы теории случайных процессов. М.: МИЭМ, 2010
Дополнительная:
4. Каштанов В.А., Медведев А.И. Теория надежности сложных систем. М.:
Физматлит, 2010
5. Феллер В. М.: «Введение в теорию вероятностей и ее приложения». М.:«Мир»,
1984
6. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: «Наука», 1980
7. Математический энциклопедический словарь /под ред. Прохорова Ю.В.
М.:«Советская энциклопедия», 1988
16