Оптимизация СМО - Ростовский государственный университет

РОСЖЕЛДОР
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Ростовский государственный университет путей сообщения»
(ФГБОУ ВПО РГУПС)
М.Д. Линденбаум, Т.М. Линденбаум
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ.
ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Учебное пособие
Утверждено методическим советом университета
Ростов-на-Дону
2013
УДК 519.6(07)+06
Линденбаум М.Д.
Исследование операций. Оптимизация систем массового обслуживания:
учеб. пособие / М.Д. Линденбаум; Рост. гос. ун-т путей сообщения. – Ростов
н/Д, 2013. – с.
Рассмотрены математические модели систем массового обслуживания
(СМО), методы их исследования и оптимизации. Приведена подробная
классификация СМО. Описаны способы описания и свойства потоков заявок.
Рассмотрены марковские модели работы СМО в динамическом и статическом
режиме, модель процесса гибели-размножения. Описаны разомкнутые и
замкнутые, одноканальные и многоканальные системы без очереди и с очередью,
дана их сравнительная оценка. Приведено большое количество примеров,
иллюстрирующих применение математических методов при решении
практических задач.
В пособие включены варианты заданий для двух лабораторных работ по
оптимизации СМО с простой и сложной структурой. Описана методика и
приведены примеры решения задач в Microsoft Excel.
Рецензенты: канд. техн. наук
д-р техн. наук М.А. Бутакова (РГУПС)
2
СОДЕРЖАНИЕ
1 Назначение и структура систем массового обслуживания (СМО)
Стр.
4
2 Классификация СМО ………………………………….................
5
3 Потоки заявок ………………………………………….................
7
4 Марковский процесс функционирования СМО ………………..
11
5 Показатели эффективности работы СМО ………………………
15
6 Динамический режим марковского процесса …………………..
16
7 Модели СМО, стационарное решение ………………..................
18
8 Процесс гибели и размножения ………………………………….
30
9 Многоканальная разомкнутая СМО без очереди ……………...
32
10 Одноканальная разомкнутая СМО с очередью ………………
33
11 Многоканальная разомкнутая СМО с очередью ……………..
35
12 Одноканальная замкнутая СМО с очередью ………………….
36
13 Многоканальная замкнутая СМО с очередью ………………..
38
14 Сравнительные характеристики СМО без очереди и с очередью
Лабораторная работа №1. Оптимизация СМО по числу каналов и мест в
очереди …………………………………………………….
Лабораторная работа №2. Исследование и оптимизация СМО с простой и
сложной структурой …………………………………..
39
41
Библиографический список
58
3
44
1 НАЗНАЧЕНИЕ И СТРУКТУРА СИСТЕМ МАССОВОГО
ОБСЛУЖИВАНИЯ (СМО)
Практически на каждом шагу мы сталкиваемся с системами,
предназначенными для удовлетворения массового спроса на какой-либо вид
обслуживания. Это, например, телефонные станции, информационновычислительные сети, ремонтные мастерские, магазины, парикмахерские,
больницы, билетные кассы, справочные бюро, аэропорты, железнодорожные
сортировочные станции и т.п. Они обслуживают клиентов: абонентов,
покупателей,
больных,
самолеты,
поезда,
причем
обслуживание
осуществляется по мере необходимости, т.е. по мере поступления заявок или
требований на обслуживание. В общем случае заявки поступают в случайные
моменты времени, и на их обслуживание затрачивается случайное время.
Основной особенностью СМО является вероятностный характер их работы.
Для обслуживания заявок в СМО создаются обслуживающие единицы: это
могут быть люди (продавцы, парикмахеры, врачи, кассиры и т.д.) или
технические устройства (каналы связи, взлетно-посадочные полосы,
экипировочные пути и т.п.), их обычно называют каналами обслуживания или
просто каналами, так как впервые методы теории массового обслуживания
начали применять к описанию работы телефонных станций.
Случайный характер работы СМО приводит к тому, что в одни периоды
времени может накапливаться слишком много заявок, так что они образуют
очередь на обслуживание, либо часть заявок могут покидать систему не
обслуженными (получать отказ в обслуживании). В другие периоды заявок
может быть мало, так что СМО оказывается недогруженной, либо вообще
простаивать.
Цель построения и исследования математических моделей СМО состоит
в определении зависимости между характером потока заявок, числом каналов,
их производительностью, правилами работы СМО и эффективностью
обслуживания. Общая структура однофазной СМО приведена на рис. 1, здесь и
далее n – число каналов, m – число мест в очереди.
СМО
каналы
1
поток заявок
на обслуживание
очередь
1 2
2
поток обслуженных
заявок
m
n
n
поток заявок,
получивших отказ
Рис. 1
4
В частных случаях в СМО может быть не предусмотрена очередь, либо
очередь может быть неограниченной, и тогда все заявки, поступившие в
систему, наверняка обслуживаются, отказы невозможны.
2 КЛАССИФИКАЦИЯ СМО
СМО можно классифицировать по многим признакам. Здесь приведена
достаточно полная классификация; она позволяет хорошо систематизировать
излагаемый материал.
1. Классификация по характеру потока заявок.
1.1 Связь интенсивности потока с состоянием СМО.
1.1.1 Системы разомкнутые, количество обслуживаемых клиентов
практически не ограничено.
1.1.2 Системы
замкнутые,
количество
обслуживаемых
клиентов
ограничено, в этом случае интенсивность поступления новых заявок
зависит от того сколько заявок уже находится в системе (по
умолчанию будем считать системы разомкнутыми).
1.2 Типы заявок.
1.2.1 Заявки однородны, т.е. одинаковы по их обслуживанию.
1.2.2 Заявки неоднородны.
1.2.2.1 Заявки различаются по среднему времени, необходимому на их
обслуживание.
1.2.2.2 Заявки различаются по виду обслуживания, т.е. заявки различных
типов, должны обслуживаться разными каналами.
1.2.2.3 Заявки различны по праву на внеочередное обслуживание (по
наличию приоритетов).
1.2.2.3.1 Приоритет заявок относительный, т.е. при наличии очереди в
момент освобождения канала на обслуживание принимается заявка с более
высоким приоритетом.
1.2.2.3.2 Абсолютный приоритет, при котором, если в момент
поступления заявки с абсолютным приоритетом нет свободных каналов, но есть
каналы, обслуживающие заявки с более низким приоритетом, то их
обслуживание прерывается, и немедленно начинается обслуживание заявки с
более высоким абсолютным приоритетом. В этих случаях системы называют с
прерыванием. Примеры таких заявок: при появлении самолета в зоне посадки
авиадиспетчер прерывает связь с дальними самолетами и начинает выводить
подошедший самолет на посадочную полосу, или в момент поступления
тяжелобольного врачи прерываю обход в больнице, и занимаются вновь
поступившим.
2 Классификация по характеру очереди.
2.1 СМО без очереди, т.е. в СМО очередь не предусмотрена, пример такой
СМО – телефонная станция, если требуемые каналы заняты, абонент
немедленно получает отбой.
5
2.2 СМО с очередью.
2.2.1
Очередь не ограничена.
2.2.2
Очередь ограничена.
2.2.2.1 Очередь ограничена по длине, такая ситуация характерна для СМО,
в которой места в очереди должны быть как-то оборудованы, например, в
авторемонтной мастерской имеется охраняемая стоянка с ограниченным
числом мест.
2.2.2.2 Очередь ограничена по времени ожидания до начала обслуживания
(СМО с нетерпеливыми заявками); возможны случаи, когда ограничено общее
время пребывания заявки в СМО в очереди и на обслуживании.
3 Классификация по порядку в очереди. Эта классификация существенна в тех
случаях, когда нас интересует прохождение через СМО каждой конкретной
заявки в отдельности.
3.1 Заявки принимаются на обслуживание в порядке поступления в СМО
(справедливый порядок: раньше пришел – раньше поступил на обслуживание).
3.2 В случайном порядке.
3.3 Возможны другие варианты, например, в порядке обратном порядку
поступления, или в первую очередь принимаются на обслуживание заявки, у
которых осталось меньше допустимое время ожидания, и т.п.
4 Классификация по характеру обслуживающих каналов; эта классификация
аналогична классификации заявок.
4.1 Каналы одинаковы.
4.2 Каналы различны.
4.2.1 Каналы различны по среднему времени обслуживания.
4.2.2 Каналы различны по возможности обслуживания разных типов заявок.
Например, имеются универсальные каналы, которые могут обслуживать заявки
любых типов, и есть специализированные каналы, которые осуществляют
только определенные виды обслуживания. СМО с такими каналами называют
неполнодоступные.
4.2.3 Каналы различны по праву первоочередного принятия заявок на
обслуживание (по приоритету).
4.2.4 Каналы могут иметь другие отличия, например, каналы могут
допускать взаимопомощь, т.е. свободные каналы могут подключаться к
занятым для ускорения обслуживания (СМО с взаимопомощью).
5 Классификация по порядку занятия каналов.
5.1 Каналы занимаются в порядке их освобождения.
5.2 Каналы занимаются в случайном порядке.
5.3 Возможны другие варианты.
6 Классификация по структуре системы.
6.1 Однофазные СМО.
6.2 Многофазные СМО, заявки, обслуженные на предыдущих фазах,
поступают на обслуживание в последующих фазах.
6.3 Возможны другие более сложные структуры.
6
Как указывалось, настоящая классификация достаточно подробна, но
естественно не исчерпывает всех возможных вариантов построения СМО.
3 ПОТОКИ ЗАЯВОК
Поток заявок представляют собой поток случайных событий, т.е.
последовательность событий во времени; заявки поступают случайным образом в
произвольные моменты времени.
3.1 Описание потоков случайных событий
Последовательность событий, которые могут поступать в произвольные
моменты времени, называют потоками случайных событий. Примерами
потоков случайных событий могут служить вызовы абонентов телефонной
станции, обращения в больницу скорой помощи, поступления грузовых поездов
на станцию, отказы электронного оборудования и т.п. Поток случайных
событий можно представить в виде случайных точек на оси времени (рис. 2).
t1
t2
t3
t
0
1
2
3
t
t
t + t
Рис. 2
Моменты поступления событий 1, 2 ,… и интервалы времени между
событиями t1, t2, … непрерывные случайные величины, они могут быть
зависимыми. В общем виде поток случайных событий задается с помощью
функции распределения системы случайных величин F(1, 2 ,...) или
F(t1, t2, …), однако такое описание является слишком сложным и потому
практически бесполезным.
Поэтому на практике используются более простые математические
конструкции, а именно описание непрерывных случайных величин –
интервалов времени между двумя последовательными событиями ti=i–i–1 в
виде функции распределения Fi(ti) или плотности распределения fi(ti), а также
дискретной случайной величины k(t, t+t) – числа событий за интервал времени от
t до t в виде закона распределения Pk(t, t+t).
Для описания потоков случайных событий используют интенсивность
потока (t) и параметр потока (t).
Интенсивность потока – это среднее число (математическое ожидание)
событий в единицу времени.
7


M [k (t , t  t )]
 (t )  lim
 lim k 0
t 0
t 0
t
kРk (t , t  t )
t
,
(1)
где Рk(t, t+t) – вероятность того, что за время от t до t+t поступит k
случайных событий.
Параметр потока – это вероятность поступления хотя бы одного события
в единицу времени

 (t )  lim
 Р (t , t  t )
k 1
k
t 0
t
1  Р0 (t , t  t )
,
t 0
t
 lim
(2)
где Р0(t,t+t) – вероятность того, что за время от t до t +t не поступит ни
одного события.
Из сравнения (1) и (2) следует, что (t)  (t)
3.2 Свойства потоков случайных событий
1 Ординарность. Поток обладает свойством ординарности, если
вероятность поступления за бесконечно малое время t (одновременно) двух
или более событий стремится к нулю

 Р (t , t  t )
lim
t 0
k 2
k
t
0 .
(3)
Этим свойством обладают потоки независимых событий, при отсутствии
общей причины, например, независимые отказы оборудования или обращения в
больницу скорой помощи; при наличии общей причины (всплеск напряжения
сети, пищевое отравление компании одним и тем же продуктом) поток
становится неординарным.
Из сравнения (1) и (2) непосредственно следует, что для ординарных
потоков интенсивность и параметр потока случайных событий численно равны
(t) = (t).
2 Стационарность. Поток стационарен, если интенсивность и параметр
потока не изменяются во времени
 (t )    const ,  (t )    const .
(4)
Потоки обычно не стационарны, изменяются в зависимости от времени
суток, сезона и т.д. Однако при решении практических задач, как правило,
удается выделять интервалы времени, в течение которых потоки можно считать
примерно стационарными, что существенно упрощает их исследование. Для
стационарных потоков F1(t1)=F2(t2)=…=Fi(ti)=F(t), а вероятность Рk(t,t+t)
зависит только от t, для простоты обозначают t=t и тогда вероятность k
случайных событий за интервал времени t равна Рk(t).
8
3 Отсутствие последействия. Поток обладает свойством отсутствия
последействия, если моменты поступления последующих событий не зависят
от предыдущих. Это свойство, как и ординарность, отражает независимость
событий, но если ординарность означает независимость поступления
конкретных событий, то отсутствие последействия – это независимость
«источников» поступления событий. Советским академиком А.Я. Хинчиным
доказана следующая теорема.
Предельная теорема Хинчина. Поток, представляющий собой
бесконечную сумму независимых потоков случайных событий, обладает
свойством отсутствия последействия. Интуитивно это положение кажется
достаточно очевидным. Если бы парикмахерскую посещал всего один клиента,
то когда у него вновь возникнет потребность постричься зависит от того, когда
он стригся в прошлый раз. Но парикмахерскую посещает множество клиентов,
и следующим наверняка будет другой клиент, приход которого не зависит от
того, когда постригся предыдущий.
На практике в большинстве случаев можно считать, что с той или иной
точностью потоки обладают свойством отсутствия последействия.
3.3 Простейший, стационарный пуассоновский поток
Простейшим называют поток, обладающий всеми тремя свойствами, т.е.
ординарный стационарный поток без последействия. Его также называют
стационарным пуассоновским, потому что число событий, поступающих за
некоторый интервал времени, подчиняется закону Пуассона
Pk (t ) 
(t ) k  t (t ) k t
e 
e
k!
k!
(5)
где Pk(t) – вероятность того, что за время t поступит k случайных событий;
 - параметр потока;
 - интенсивность потока,  =  = const;
t = t – математическое ожидание числа событий за время t .
Так как в простейшем потоке параметр и интенсивность потока численно
равны, мы не будем различать их ни по названиям, ни по обозначениям.
Для стационарных потоков функция распределения времени между
событиями не зависит от номера события в потоке т.е.
F1 (t1 )  F2 (t2 )    Fn (tn )  F (t )
(6)
Функция распределения времени между событиями в простейшем потоке,
может быть легко получена из (5). По определению функция распределения F(t)
это вероятность поступления хотя бы одного события до момента t
F (t )  1  P0 (t )  1  e  t ,
(7)
где P0(t) – вероятность того, что за время t не поступит ни одного события
(поступит ноль событий).
Плотность распределения
9
dF (t )
 e  t ,
(8)
dt
т.е. время между событиями имеет экспоненциальный (показательный) закон
распределения.
Следует особо подчеркнуть, что все положения, относящиеся к
простейшему потоку взаимно однозначны. Если установлено, что поток
ординарен, стационарен и не имеет последействия, т.е. простейший, то
справедливы формулы (5) – (8). Если же в результате обработки статистических
данных показано, что число событий примерно подчиняется закону Пуассона
или время между событиями подчиняется экспоненциальному закону, то
справедливы и остальные утверждения о стационарности, ординарности и
отсутствии последействия.
Потоки заявок, как правило, нестационарные, в них наблюдается
суточные, недельные, месячные и сезонные колебания. Наблюдается
существенно различное число пассажиров городского транспорта в часы пик, в
дневные, вечерние и ночные часы. В учреждениях досуга существенно
увеличивается число посетителей в выходные и праздничные дни. В разные дни
месяца и в разные периоды года заметно изменяется нагрузка учреждений по
приему оплаты коммунальных услуг и в налоговой службе, от сезонных
изменений погоды меняется заболеваемость и аварийность многих технических
устройств, а следовательно нагрузка на службу здравоохранения и ремонта
техники. Вместе с тем обычно можно выделять достаточно длительные
интервалы, за которые успевает пройти достаточно большое число заявок, и
интенсивность их поступления примерно постоянна. Это позволяет при
организации работы СМО все время разбивать на интервалы, в пределах
которых поток заявок считать примерно стационарным и оптимизировать
систему (число работающих каналов, интенсивность обслуживания) по этим
интервалам.
Во многих СМО заявки поступают в основном независимо и поток можно
считать ординарным. Если поток не ординарный, можно для приближённого
решения задачи условно считать поток ординарным, приняв параметр потока 
равным интенсивности . При этом нужно иметь ввиду, что неравномерность
поступления заявок в неординарном потоке выше, чем в ординарном, и
следовательно фактическая вероятность отказа и средняя длина очереди будут
больше значений, рассчитанных для ординарного потока. Однако, точный
расчет для неординарного потока, хотя и сложней, чем для ординарного, но
вполне выполним, так как моменты поступления заявок образуют простейший
поток, и нужно только знать закон распределения числа одновременно
поступающих заявок.
В большинство СМО обращается множество независимых клиентов, и
поток заявок не имеет последействия. При наличии последействия, даже
ограниченного, точные аналитические методы расчета не существуют и даже
f (t ) 
10
методы нахождения приближенных оценок весьма сложны. Поэтому при
потоке заявок с последействием обычно моделируют работу СМО методом
статистических испытаний (Монте-Карло). В дальнейшем будем считать, что
потоки заявок без последействия.
4 МАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СМО
Общее описание случайных процессов весьма сложно и малоэффективно
при решении практических задач. Вместе с тем существует класс случайных
процессов, для которых математический аппарат хорошо разработан, и с его
помощью можно решать точно либо приближенно многие практические задачи.
Это марковские случайные процессы, названные в честь русского математика
А.А. Маркова.
Марковским называют случайный процесс, ход которого зависит только
от его начального состояния и не зависит от того, когда и каким образом он
пришел в это состояние, т.е. от предыстории. По сути дела можно говорить о
некотором обобщении понятия потока без последействия на случайный
процесс. Если изменение процесса происходит под воздействием потока
случайных событий, то процесс может быть марковским только при условии,
что поток не имеет последействия.
В системах массового обслуживания переходы системы из состояния в
состояние могут происходить в любой момент времени, поэтому работа СМО
описывается марковским случайным процессом с непрерывным временем и
дискретным множеством состояний. Целью расчета является определение
вероятностей Рi(t) того, что в произвольный момент t система будет находиться
в состоянии Si, 1 i  n, где n – число состояний (возможно, что n ).
n
 P (t )  1 .
i 1
i
(9)
Исходными данными являются вероятности начальных состояний (в
момент t = 0) в виде вектора |Pi (0)|:
Pi (0)  P1 (0), P2 (0),..., Pn (0) ,
(10)
и матрицы интенсивностей переходов |ij|
 , 12 , 13 ,  , 1n
ij 
21 ,  , 23,  , 2 n



n1 , n 2 , n 3 ,  , 
Интенсивность перехода Si  Sj равна
11
(11)
ij  lim
pij ( t )
t 0
t
,
(12)
где Рij(t) – вероятность того, что система, находящаяся в момент t в состоянии
Si, за время t перейдет в состояние Sj.
На главной диагонали матрицы (11) стоят прочерки, так как ii не имеет
смысла. Из (12) следует, что при малом t вероятность перехода Рij(t) равна
Рij ( t )  ij t .
(13)
Если все интенсивности переходов ij не зависят от времени t (ij = соnst),
марковский процесс называют однородным, в противном случае
неординарным.
Марковский процесс с непрерывным временем можно представить в виде
ориентированного графа переходов, на графе вершины (узлы) соответствуют
состояниям процесса, а ребра (дуги, стрелки) – возможным переходам
(например, см. рис. 3):
12
S1
1,n
31
S2
n,1
23
n3
Sn
4,n
S4
24
S3
43
Рис. 3
Задача решается с помощью уравнений Колмогорова, которые выводятся
по формуле полной вероятности. Вероятность того, что в момент t+t система
находится в состоянии Sk Pk(t+t) с точностью до малых высокого порядка
равна сумме вероятностей того, что в момент t система находилась в состоянии
Si Pi(t), 0 i  n, i  k, и за время t перешла в состояние Sk, 0 k n (вероятность
перехода SiSk равна ikt), или в момент t система находилась в состоянии Sk
Pk(t) и за время t не ушла в другое состояние Sj, 1 j  n, j  k, (вероятность
перехода Sk  Sj, kjt):


n

Pk (t  t )   Pi (t )ik t  Pk (t ) 1   kj t 
i 1
j 1


ik
jk
n
После простых преобразований получим:
12
(14)
n
Pk (t  t )  Pk (t ) n
  Pi (t )ik  Pk (t ) kj
t
i 1
j 1
ik
Учитывая,
что
dPk (t )
P (t  t )  Pk (t )
 lim k
,
t  0
dt
t
(15)
jk
осуществив
предельный
переход окончательно, получим систему линейных дифференциальных
уравнений Колмогорова, которая дает решение поставленной задачи
n
n
 dP1 (t )
 dt   Pi (t )i1  P1 (t ) 1 j ,
i 2
j 2

 




n

n
 dPk (t )
P (t )ik  Pk (t )  kj
(16)
 dt   i
j 1
i 1
j

k

ik

 


n 1
n 1
 dPn (t )   Pi (t )in  Pn (t )  nj .

i 1
j 1
 dt
Уравнения системы (16) линейно зависимы, поэтому любое одно из
уравнений необходимо заменить нормирующим условием (9). Уравнения
Колмогорова составляются на основе графа переходов по очень простым
правилам, которые сформируем следующим образом.
1 Слева от знака равенства записывается производная вероятности
рассматриваемого состояния Sk, а справа сумма, содержащая столько
слагаемых, сколько ребер (дуг, стрелок) соединяет данное состояние с
другими состояниями.
2 Слагаемые представляют собою произведения вероятности состояния, из
которого выходит ребро (дуга, стрелка) на соответствующую интенсивность
перехода.
3 Слагаемые, относящиеся к ребрам (дугам, стрелкам) выходящим из
рассматриваемого состояния Sk берутся со знаком минус, а к входящим – со
знаком плюс.
Так, например, для состояния S1 (рис. 3), связанного с другими состояниями
четырьмя стрелками уравнение Колмогорова будет иметь следующий вид:
dP1 (t )
  P1 (t )12  P1 (t )1n  P3 (t )31  Pn (t )n1 .
dt
Решение системы дифференциальных уравнений представляет
значительные трудности. Вместе с тем, во многих случаях нам требуется найти
только решение для стационарного режима.
Марковский процесс с непрерывным временем имеет стационарный
13
режим, если за конечное или счетное число переходов система из любого
состояния может перейти в любое другое состояние. Тогда при t
вероятности Pk(t) стремятся к своим стационарным (финальным) значениям
рk=const, которые не зависят от начального состояния системы. Ясно, что в
стационарном режиме производные обращаются в ноль и уравнения
Колмогорова с нормирующим условием преобразуются в систему линейных
алгебраических уравнений, которая решается сравнительно просто (любое одно
из уравнений, кроме нормирующего условия, следует исключить).
n
 n
p


p
1  1 j  0 ,
  i i1
j 1
 i 2




 n
n
  pi ik  pk  kj  0 ,
i 1
j 1
i  k
j k





n 1
 n 1
  Pi in  Pn  nj  0.
j 1
 i 1
 n
  pi  1.
 i 1


(17)

Стационарные величины рk, 1kn имеют смысл застать систему в
состоянии Sk в произвольный момент времени. Вместе с тем в силу
эргодической теоремы Хинчина эти вероятности можно интерпретировать как
среднее относительное время пребывания системы в состояниях Sk (1kn), это
важно для оценки эффективности работы СМО.
Состояние СМО может изменяться по трем причинам: появление новой
заявки, завершение обслуживания заявки, нетерпеливая заявка покидает СМО
не обслуженной. Чтобы процесс можно было считать марковским, поток заявок
должен быть без последействия и законы распределения времени обслуживания
и времени ожидания нетерпеливых заявок должны быть экспоненциальными
(7), (8). Следует заметить, что требование отсутствия последействия в потоке
заявок является более жестким, чем экспоненциальность закона распределения
времени обслуживания. Как было доказано А.Я. Хинчиным, формулы,
полученные для марковского процесса, дают точный результат для многих
широко распространенных СМО, если время обслуживания подчиняется
любому другому закону. В других случаях эти формулы дают хороший
приближенный результат.
Если поток заявок стационарный, то марковский процесс, описывающий
работу СМО, однородный и задается с помощью матрицы переходов (11) либо
14
графа переходов (см. рис. 3) и вектора начального состояния (10). Если же нас
интересует только стационарный режим, то вектор начального состояния не
нужен, так как от него стационарное решение не зависит.
Последовательность решения задачи исследования работы СМО состоит
в следующем:
1 Составляется множество состояний, в которых может находиться СМО: S0,
S1, …, Sn. Желательно состояния кодировать таким образом, чтобы
мнемонически прослеживались связи между соседними, смежными
состояниями.
2 Составляется граф переходов, отражающий все возможные переходы с
указанием их интенсивностей (граф, на котором указаны интенсивности
переходов, называют размеченным графом).
3 Составляется система уравнений Колмогорова (16) или (17). Эта задача
решается формально по правилам, изложенным выше.
4 Решается система уравнений Колмогорова.
5 По полученным вероятностям состояний СМО рассчитываются показатели
эффективности ее работы.
6 Анализируются полученные результаты и делаются выводы. Если
результаты не удовлетворяют требованиям, может быть поставлена задача
оптимизации СМО.
5 ПОКАЗАТЕЛИ ЭФФЕКТИВНОСТИ РАБОТЫ СМО
В СМО сталкиваются интересы двух сторон участников процесса, т.е.
тех, кого обслуживают, и тех, кто обслуживает. Их интересы в определенной
мере можно считать противоположными. При этом мы сразу должны отметить,
что в математической модели СМО не учитывается такой, практически очень
важный фактор, как качество обслуживания. Мы здесь вынуждены
предполагать, что у клиентов есть свободный выбор, и они не обращаются в
СМО, если качество обслуживания их не удовлетворяет. Если же качество
обслуживания конкретного клиента не удовлетворит, то полагаем, что он
обратится ни к математической модели, а в правозащитные инстанции.
Таким образом, мы будем рассматривать только вероятностно-временную
картину процесса обслуживания и связанные с этим материальные и моральные
издержки.
Показателей эффективности несколько, среди которых главные
следующие.
Пользователя услугами СМО более всего интересуют два показателя.
1 Вероятность отказа в обслуживании Pотк, т.е. вероятность того, что в момент
его обращения окажутся занятыми все каналы и все места в очереди, и ему
придется обращаться вновь, либо время ожидания в очереди превышает
допустимое значение.
2 Средние значения (математические ожидания) длины очереди r и времени
15
ожидания в очереди t ож . Эти две величины связаны между собою простой
зависимостью
tож  r  ,
r  tож
(18)
где  – интенсивность потока заявок.
Средняя длина очереди r проще рассчитывается, а пользователя больше
интересует время ожидания: мы спокойно ожидаем обслуживания в длинной
очереди, если видим, что она быстро продвигается.
3 Организаторов и работников СМО более всего интересует среднее значение
(математическое ожидание) числа занятых каналов или коэффициент
занятости (коэффициент использования) каналов Ки
КИ  Z n ,
(19)
где Z – среднее число занятых каналов;
n – число каналов СМО.
Если каналы загружены равномерно, то коэффициент Ки равен доли
времени занятости каждого канала.
Кроме основных, часто используется дополнительные показатели.
4 Относительная пропускная способность Q
Q  1  Pотк
(20)
5 Абсолютная пропускная способность А
А=Q
(21)
6 Среднее число заявок в системе k , среднее время пребывания заявки в
системе tсист (время ожидания плюс время обслуживания). Число заявок в
системе равно сумме числа заявок на обслуживании и числа заявок в
очереди. Математическое ожидание суммы равно сумме математических
ожиданий слагаемых, причем как для независимых, так и для зависимых
величин (число заявок в очереди равно нулю, если есть свободные каналы),
следовательно
tсист  k  .
k  z  r,
(22)
Когда показателей несколько, возникает задача поиска компромиссного
оптимального решения, учитывающего интересы как клиентов СМО, так и
самой системы. Наиболее простым методом оптимизации является метод
обобщенного показателя, для СМО в качестве обобщенного показателя
целесообразно использовать прибыль от работы системы W:
W = c1(1– Pотк)–(c2 n +c3 m+c4rср)→max,
(23)
где c1 – цена за обслуживание одной заявки;
c2 – затраты на содержание одного канала в единицу времени;
c3 – затраты на содержание одного места в очереди в единицу времени;
c4 – потери от ожидания одной заявки в единицу времени;
 – интенсивность потока заявок [1/ед. времени].
16
При наличии нетерпеливых заявок вероятность отказа рассчитывается по
формуле
Pотк = Pn+ m+ rср/ ,
(24)
где  – интенсивность ухода заявок из очереди.
6 ДИНАМИЧЕСКИЙ РЕЖИМ МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА
Система дифференцированных уравнений Колмогорова (16) может быть
решена аналитически лишь при достаточно простых предпосылках, в общем же
случае, если СМО имеет не более трех состояний. Рассмотрим самую простую
СМО, имеющую всего два состояния – одноканальную СМО без очереди. Граф
переходов СМО приведен на рис. 4.

S0
S1

Рис. 4
Состояние S0 – заявок в системе нет, S1 – в системе одна заявка, она находится
на обслуживании в единственном канале. Переход S0  S1 происходит с
интенсивностью поступления заявок – , а переход S1 S0 с интенсивностью
обслуживания , величиной обратной среднему времени обслуживания. Здесь
получается два дифференциальные уравнения Колмогорова
 P0 ' (t )   P0 (t )  P1 (t )  ,
 '
 P1 (t )  P0 (t )  P1 (t )  .
Одно из уравнений следует заменить нормирующим условием
P0(t) + P1(t)=1.
Далее произведем простые преобразования
P1(t)=1– P0(t),
P0 ' (t )   P0 (t )  P0 (t )    ,
откуда
P0 ' (t )  P0 (t )(   )  .
(25)
(26)
Общее решение уравнения (25) имеет следующий вид:
P0 ( t )  C1  C2 e (    )t ,
(27)
где C1, C2 – постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями,
т.е. начальным состоянием системы.
Естественно принять начальные условия при t=0, P0(0)=1, P1(0)=0, т.е. в
17
начальный момент времени заявки нет. Тогда подставив начальные условия в
(27) и результат решения P0(t) в (25) окончательно получим



P0 (t ) 

 e t T , P1 (t ) 
(1  et T ),
 

где T – постоянная времени переходного процесса, T=1 (   )
При t   получим установившиеся значения вероятностей р0 и р1,
которые не зависят от начальных условий
p0 


; p1 
Показатели эффективности
Pотк  Z    p1 


.

 .
На рис. 5 показан вид переходного процесса, который представляет собой
экспоненциальную зависимость. Как известно, экспоненциальный переходный
процесс достигает установившегося значения с погрешностью менее 5% через
3-4 постоянные времени.
P0(t), P1(t)
1
P0(t)
р1
р0
P1(t)
0
t
T
Рис. 5
Если принять  , T2tЗ2 , где t3=1/ – среднее время между заявками,
=1/ – среднее время обслуживания, т.е. установившийся режим достигается
уже после прохождения в среднем двух заявок.
Конечно, столь простое исследование не позволяет сделать общих
выводов. Вместе с тем, если за смену через СМО в среднем проходит 50 или
более заявок, то при исследовании СМО можно ограничиться стационарным
решением, если всего несколько штук, то нужно всерьез учитывать вопросы
динамики.
18
Всюду в дальнейшем будем рассматривать только стационарные
решения. Если же нужно искать динамическое решение для мало-мальски
сложной системы, то его можно получить либо численным интегрированием
системы дифференциальных уравнений, либо методом статистических
испытаний (Монте-Карло).
7 МОДЕЛИ СМО, СТАЦИОНАРНОЕ РЕШЕНИЕ
Рассмотрим общий подход к составлению математической модели и
исследованию работы СМО в стационарном режиме. Это проще всего сделать
на примерах. Будем применять следующие обозначения: n – число каналов; m –
число мест в очереди;  – интенсивность и параметр потока заявок, если поток
ординарный, если поток неординарный, то  – параметр потока заявок,  –
интенсивность потока заявок;  – интенсивность обслуживания, обратная
величина среднего времени обслуживания , =1/;  - интенсивность ухода из
очереди нетерпеливых заявок, обратная величина среднего допустимого
времени ожидания. Будем состояния системы обозначать цифровым кодом,
причём для каждой задачи код подбирать таким образом, чтобы
он по возможности более наглядно отражал каждое состояние.
Пример 1. Задана СМО: n=2, m=3. Поток заявок простейший с
интенсивностью , заявки однородные. Каналы различны по интенсивности
обслуживания: первый канал имеет интенсивность обслуживания 1, второй –
2. Так как каналы разные, необходимо задать правило их занятия: когда оба
канала свободны, они занимаются случайным образом – с вероятностью 1
заявка поступает на обслуживание в первый канал и с вероятностью 2 – во
второй канал (1+2 =1).
Решение. Вначале составляем множество состояний: «0» – в системе нет
заявок; «11», «12» – в системе одна заявка и она находится на обслуживании
соответственно в первом или во втором канале; «2» – в СМО две заявки, обе на
обслуживании; «3» – в СМО три заявки, из них две на обслуживании, одна в
очереди; «4», «5» – в СМО соответственно четыре и пять заявок, из которых
две на обслуживании, остальные в очереди. Всего семь состояний. Так как
заявки одинаковы, более сложное кодирование применять не следует.
Составление графа переходов. Сначала располагаем состояния системы в
вершинах графа СМО так, чтобы одинаковое число заявок было на одном
уровне (см. рис. 6).
Рассматриваем соседние состояния, выясняем, возможны ли между ними
переходы, и если возможны, то какова их интенсивность. Соединяем состояния,
между которыми возможны переходы, дугами (стрелками) и возле стрелок
указываем интенсивности переходов, в результате чего получаем размеченный
граф. На этом составление математической модели СМО по существу
заканчивается.
19
1
S1
S2
1
0

11
2
S4
2
1
12
 S6
 S7
3
4
5
2

2
 S5
1+2
1+2
1+2
S3
Рис. 6
Из состояния «0» возможны переходы в состояния «11» и «12».
Интенсивность поступления заявок , причем доля 1 из них поступает на
обслуживание в первый канал и 2 – во второй, т.е. интенсивность перехода «0»
 «11» 1, а «0»  «12» 2. Так как для двух и более заявок в СМО имеется
всего по одному состоянию, то переходы из «11» в «2», из «12» в «2» и далее
«2»«3»«4»«5» происходят при появлении очередной заявки с
интенсивностью , как показано на рис. 6. В состоянии «11» занят только
первый канал в состоянии «0» свободны оба канала. Какое же событие должно
произойти, чтобы СМО перешла «11»  «0»? Ясно, что должно завершиться
обслуживание заявки в первом канале, которое осуществляется с
интенсивностью 1. Аналогично переход «12»«0» происходит при
освобождении второго канала с интенсивностью 2. Сравним состояние «2» и
«11». В состоянии «2» заняты оба канала, а в «11» – только первый.
Следовательно, при переходе «2»«11» освобождается второй канал с
интенсивностью 2; аналогично при переходе «2»«12» освобождается первый
канал с интенсивностью 1.
Далее переходы «5»«4»«3»«2» происходят при освобождении
любого одного канала, безразлично какого, и при этом одна заявка из очереди
переходит на обслуживание в освободившийся канал. Одновременно два или
более независимых событий произойти не могут, так как вероятность двух и
более событий за малое время t0 величина высокого порядка малости.
Интенсивность обслуживания двух параллельно работающих каналов,
приводящая к рассматриваемым переходам, равна суммарной интенсивности
1+2. На этом составление размеченного графа завершается.
Составим систему уравнений Колмогорова для стационарного режима
(17) по описанным выше правилам. При составлении уравнений и решении
задачи мнемоническое кодирование состояний менее удобно, поэтому все
состояния и относящиеся к ним вероятности перенумеруем по порядку S1, S2,
…, S7; P1, P2, …, P7:
20
 P11  P 1  2  P2 1  P3  2  0
 P   P   P   P   0
4 2
 1 1 2 1 2
 P1 2  P 3  2  P3   P4 1  0

 P2   P 3   P4 1  P4  2  P4   P5 ( 1   2 )  0
 P4   P5 ( 1   2 )  P5   P6 ( 1   2 )  0

 P5   P6 ( 1   2 )  P6   P7 ( 1   2 )  0
P   P (   )  0
7
1
2
 6
(28)
Уравнения системы (28) линейно зависимы, в самом деле, если сложить
все уравнения получим 0=0 (проверка этого условия является одним из
подтверждений, что уравнения составлены правильно). Поэтому одно любое
уравнение необходимо заменить нормирующим условием
Р1 + Р2 + Р3 + Р4 + Р5 + Р6 + Р7 = 1.
В результате решения системы уравнений при заданных значениях , 1,
2, 1, 2 получим значения вероятностей всех состояний: Р1, Р2, Р3, Р4, Р5, Р6,
Р7.
Вернувшись к мнемоническим обозначениям состояний, можно легко
найти основные и дополнительные показатели эффективности СМО.
Вероятность отказа в обслуживании Ротк равна вероятности состояния S7,
в котором заняты все каналы и все места в очереди, поэтому, если в момент
такого состояния системы поступит очередная заявка, то она получит отказ
Ротк = Р7
Средняя длина очереди рассчитывается по формуле математического
ожидания
r  P5  2 P6  3P7
(29)
В самом деле, в состоянии S5 в очереди находится одна заявка, в S6 - две, в
S7 - три заявки.
t ож  r / 
Аналогично определяется среднее число занятых каналов: в состоянии So
– оба канала свободны, в состояниях S2, S3 занят один канал, в остальных
состояниях заняты оба канала
(30)
Z = (P2 + P3) + 2(P4 + P5 + P6 + P7)
коэффициент занятости
Кз = Z n  Z 2
В данном случае каналы разные и могут представлять интерес
коэффициенты использования каналов в отдельности
Кз1 = P2 + P4 + P5 + P6 + P7 , Кз2 = P3 + P4 + P5 + P6 + P7
(31)
Дополнительные показатели рассчитываются через основные по
21
формулам (20), (21), (22).
Пример 2. Приняв те же исходные данные, что и в примере 1, изменим
только порядок занятия каналов. Будем считать, что, если в момент
поступления очередной заявки оба канала свободны, то заявка поступает на
обслуживание в тот канал, который раньше освободился.
Решение. Учесть какое событие наступило раньше, т.е. предысторию
процесса, можно, вводя дополнительные состояния. Введем такие состояния
«01» – в СМО отсутствуют заявки, и при этом раньше освободился первый
канал, «02» – заявок нет, раньше освободился второй канал. Тогда размеченный
граф имеет вид, представленный на рис. 7.
Поясним приведенный ниже граф. По условию занятия каналов при
поступлении заявки с интенсивностью  происходят переходы «01»  «11»,
«02»  «12». Состояние «11» означает, что работает первый канал, а второй
уже освободился, поэтому при освобождении первого канала с интенсивностью
1 происходит переход «11»  «02», а из состояния «12» с интенсивностью 2 –
в состояние «01».
S1
S3

11
01
2
2
1

02
S2
 S5
 S6
 S7
 S8
3
4
5
2

12
1+2
1+2
1+2
1
S4
Рис. 7
Все остальные переходы, аналогичны примеру 1. (рис. 6). Аналогичен и
весь дальнейший расчет.
Пример 3. В исходных данных примера 1 изменим порядок занятия
каналов: если в момент поступления очередной заявки оба канала свободны, то
она всегда поступает на обслуживание в первый канал. Кроме того, будем
считать, что заявки нетерпеливы и с интенсивностью  в любой момент могут
покинуть очередь, не дождавшись начала обслуживания.
Решение. Размеченный граф для этого примера представлен на рис. 8.
22

S1
S2
11
1
 S4
2
0
12
1
S5
3
2

2

1 + 2+

S6
4
1 + 2+2

S7
5
1 + 2 +3
S3
Рис. 8
Поясним приведенный граф. Переход «0»  «11» происходит при поступлении
заявки с интенсивностью , переход же «0»  «12» невозможен, так как заявки
из состояния «0» всегда поступают на обслуживание в первый канал.
Переход «5»  «4» происходит либо при освобождении одного из
каналов с интенсивностью 1+2 и тогда одна заявка занимает освободившийся
канал, либо одна из трех заявок, находящихся в очереди, покидает СМО, не
дождавшись начала обслуживания, интенсивность таких событий 3.
Аналогично происходят переходы «4»  «3»  «2», только интенсивности
переходов уменьшаются по мере уменьшения числа заявок в очереди: 1 +2 +
2, 1 +2 +  соответственно.
В соответствии с измененным графом внести изменения в систему
уравнений (26) не представляет особого труда. В результате решения системы
уравнений получим значения вероятностей состояний Р1, Р2 , Р3, Р4, Р5, Р6 , Р7.
По полученным значениям вероятностей состояний рассчитываются
средняя длина очереди r , среднее число занятых каналов Z , коэффициенты
занятости (коэффициенты использования) каналов , 1, 2.
Вероятность отказа и среднее время ожидания здесь рассчитывается
иначе. Заявка может с вероятностью Р7 получить отказ сразу, если в момент ее
обращения в систему все каналы и все места в очереди заняты. Но она может
покинуть систему не обслуженной, став в очередь, и не дождавшись начала
обслуживания. Интенсивность потока заявок, покидающих СМО не
дождавшись начала обслуживания равна произведению средней длины очереди
r на интенсивность ухода заявок из очереди, т.е. r  . Доля таких заявок в
общем потоке заявок, обращающихся в систему r  /, откуда вероятность
отказа равна
Pотк  P7  r  /  .
Среднее время ожидания рассчитывается по общей формуле для
математического ожидания: заявка, поступившая в состоянии S4, когда заняты
оба канала и очереди нет, ожидает время 1/(1+2) пока освободится один из
каналов, заявка, поступившая в состоянии S5, когда заняты оба канала и одно
23
место в очереди нет, ожидает время 2/(1 + 2) пока освободится два канала и
т.д.
tож 
2 P5
3P6
P4
.


1   2 1   2 1   2
Пример 4. Задана СМО: n=3, m=0. Поток заявок простейший с
интенсивностью , заявки однородные. Каналы различны по интенсивности
обслуживания: первый канал имеет интенсивность обслуживания 1, второй –
2, третий – 3. Когда два или все три канала свободны, они занимаются
случайным образом – с вероятностью 1 заявка поступает на обслуживание в
первый канал, с вероятностью 2 – во второй канал и с вероятностью 3 – в
третий канал (1+2 +3 =1).
Решение. Заявки одинаковые, а каналы разные, поэтому состояния СМО
целесообразно кодировать следующим образом: первая цифра кода содержимое
первого канала, вторая цифра – второго, третья цифра – третьего. Цифра «0»
означает отсутствие заявки, 1 – наличие заявки. Возможны следующие
состояния системы: «000» – заявок нет; «100», «010», «001» – одна заявка в
первом, втором или в третьем канале; «110», «101», «011» – две заявки в первом
и втором или в первом и третьем, во втором и третьем каналах; «111» – заняты
все три канала; всего восемь состояний. Размеченный граф приведен на рис. 9.
(2)/(2+3)
S2
100
1
000
110
3
1
S1
S5
2
(1)/(1+3)
2
2
3
S3
(3)/(2+3)
S6
1
010
(3)/(1+3)
(1)/(1+2)
S4
S7
1
3
3
S8

101
3

111
2
1

2
001
011
(2)/(1+2)
Рис.9.
Переходы «000»  «100», «000»  «010», «000»  «001» происходят при
поступлении первой заявки с интенсивностью , умноженной на
24
соответствующие вероятности 1,2, 3. Когда какой-либо один из каналов
занят, вновь поступившая заявка занимает свободный канал с интенсивностью
, умноженной на условные вероятности, пропорциональные 1,2, 3.
Например, переход «100»  «110» происходит с интенсивностью (2)/(2 +
3), а переход «100»  «101» происходит с интенсивностью (3)/(2 + 3),
сумма условных вероятностей равна единице (2/(2 + 3) + 3/(2 + 3) = 1).
Когда свободен только один канал, с интенсивностью  очередная заявка
занимает оставшийся свободный канал. Переходы справа налево происходят
при завершении обслуживания заявки в одном из каналов: «111»  «011»,
«110»  «010», «101»  «001», «100»  «000» происходят при освобождении
первого канала с интенсивностью 1, «111»  «011», «111»  «011», «111» 
«011», «111»  «011» происходят при освобождении второго канала с
интенсивностью 2, «111»  «011», «111»  «011», «111»  «011», «111» 
«011» происходят при освобождении третьего канала с интенсивностью 3.
Перенумеруем состояния по порядку: S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7, S8. Необходимо
определить соответствующие им вероятности Р1, Р2, Р3, Р4, Р5, Р6, P7, P8.
Опустим составление системы уравнений Колмогорова (17), решение
которой дает указанные вероятности. Показатели эффективности СМО
определяются следующим образом. Очередь в системе не предусмотрена,
поэтому r  0 , t ож  0 . Отказ происходит только в состоянии S8, вероятность
отказа Ротк = Р8; среднее число занятых каналов
Z = (P2 + P3 + Р4) + 2(P5 + P6 + P7) +3Р8
коэффициент занятости
Кз = Z n  Z 3 .
В данном случае каналы разные и могут представлять интерес
коэффициенты использования каналов в отдельности
Кз1 = P2 + P5 + P6 + P8,
Кз2 = P3 + P5 + P7 + P8,
Кз3 = P4 + P6 + P7 + P8.
Пример 5. Задана СМО n = 1, m = 1. Поток заявок простейший с
интенсивностью , заявки неоднородны, различаются по среднему времени
обслуживания. Заявки первого типа поступают с вероятностью 1 и
обслуживаются с интенсивностью 1, заявки второго типа – с вероятностью 2
и обслуживаются с интенсивностью 2, 1 + 2 = 1.
Решение. Так как заявки разные, состояния СМО целесообразно
кодировать следующим образом: первая цифра кода – содержимое канала,
вторая цифра – содержимое очереди. Цифра «0» означает отсутствие заявки,
цифра «1» - заявка первого типа, цифра «2» - второго типа. Возможные
состояния системы: «00» - заявок нет, «10», «20» - одна заявка на
обслуживании; «11», «12», «21», «22» - две заявки, одна на обслуживании,
другая в очереди. Размеченный граф приведен на рис. 10.
25
1
00
2
1
12
2
1
2
20
11
2
10
1
S1
1
S2
1
21
2
S3
2
22
S4
S5
S6
S7
Рис. 10
Переходы «00»  «10», «10»  «11», «20»  «21» происходят при
поступлении заявки первого типа с интенсивностью 1, переходы «00» 
«20», «10»  «12», «20»  «22» происходят при поступлении заявки второго
типа с интенсивностью 2. Переходы «11»  «10», «12»  «20», «10»  «00»
происходят в момент завершения обслуживания заявки первого типа с
интенсивностью 1 , а переходы «21»  «10», «22»  «20», «20»  «00» происходят в момент завершения обслуживания заявки второго типа с
интенсивностью 2. При этом заявка, находящаяся на обслуживании покидает
СМО (первая цифра кода), а заявка, находящаяся в очереди (вторая цифра кода)
переходит на обслуживание и становится первой цифрой.
Математическая модель СМО составлена. Мы опускаем составление
системы уравнений Колмогорова, так как это делается формально по
изложенным в п. 4 правилам.
Решив систему уравнений Колмогорова и определив вероятности Р1, Р2,
Р3, Р4, Р5, Р6, Р7, найдем значения показателей эффективности работы СМО.
Отказ происходит, когда занят канал и место в очереди, т.е. в состояниях
S4, S5, S6, S7, вероятность отказа равна
Ротк = Р4 + Р5 + Р6 + Р7.
Средняя длина очереди, так как имеется всего одно место, равна
r  1( P4  P5  P6  P7 )  Pотк ,
Среднее время ожидания
t ож  r / 
Среднее число занятых каналов и занятость каналов, так как канал один
равны
Z = Кз = Р2 + Р3 + Р4 + Р5 + Р6 + Р7 = 1 – Р1 .
Пример 6. Задана СМО без очереди n = 2, m = 0. Поток заявок простейший
с интенсивностью , заявки неоднородны, различаются по виду обслуживания.
Заявки первого типа поступают с вероятностью 1, второго – 2 (1 + 2 = 1).
26
Каналы различны по возможности обслуживания заявок разных типов
(СМО неполнодоступная). Первый канал универсальный, может обслуживать
заявки обоих типов, второй канал специализирован на обслуживании заявок
только второго типа. Если в момент поступления заявки второго типа свободны
оба канала, то с вероятностью 1 она поступает на обслуживание в первый
канал и с вероятностью 2 – во второй (1 + 2 = 1).
Решение. Заявки и каналы разные, состояния СМО целесообразно
кодировать следующим образом: первая цифра кода содержимое первого
канала, вторая цифра – второго. Цифра «0» означает отсутствие заявки, 1 –
заявка первого типа, 2 – второго типа. Возможные состояния системы: «00» –
заявок нет; «10», «20» – одна заявка в первом канале; «02» – одна заявка
второго типа во втором канале; «12», «22» – две заявки (состояние «01» и «2,1»
невозможны); всего шесть состояний. Размеченный граф приведен на рис. 11.
Переходы «00»  «10», «02»  «12» происходят при поступлении заявок
первого типа с интенсивностью 1 , переходы «10»  «12», «20»  «22»,
«02»  «22» происходят при поступлении заявки второго типа с
интенсивностью 2, если при поступлении заявки второго типа оба канала
свободны, то с вероятностью 1 (интенсивность 2) произойдет переход «00»
 «20» и с вероятностью 2 (интенсивность 22) переход «00»  «02».
Освобождение каналов при завершении обслуживания происходит с
интенсивностью , как показано на графе (рис. 11). Перенумеруем состояния по
порядку: S1, S2, S3, S4, S5, S6, вероятности которых Р1, Р2, Р3, Р4, Р5, Р6 нужно
определить.
S2
1
S5
2
10
12

S1
S
3

21

1
00
20

S6
2
22

S4

22

02
2
Рис. 11
Мы не приводим систему управлению Колмогорова, которая
составляется по формальным правилам (п. 4). Решение системы уравнения дает
интересующие нас вероятности.
Далее определяются показатели эффективности СМО. Так как очередь не
предусмотрена средняя длина очереди r  0 и среднее время ожидания t ож  0 .
27
Среднее число занятых каналов
Z = (P2 + P2 + P3) + 2(P4 +P5).
Коэффициенты использования – общий и для отдельных каналов
Кз 
Z
; К з1  P2  P3  P5  P6 ; К з 2  P4  P5  P6 .
2
Вероятности отказа для заявок первого типа Ротк1 и второго типа Ротк2
различны: заявка первого типа получает отказ, когда занят первый канал, а второго
типа, когда заняты оба канала.
Ротк1 = (Р2 + Р3 + Р5 + Р6)1; Ротк2 = (Р5 + Р6)2.
Пример 7. Задана СМО без очереди n = 2, m = 0. Поток заявок простейший
с интенсивностью , заявки неоднородны по наличию приоритета, заявки
первого типа имеют абсолютный приоритет перед заявками второго типа и
поступают с вероятностью 1, второго – с вероятностью 2 (1 + 2 =1).
Решение. Различны только заявки, а каналы одинаковы, но кодировать
состояния все же удобно двумя цифрами типов заявок, не различая состояния
порядком следования цифр, просто записывая цифры по возрастанию: «0» –
заявки нет; «1» – заявка первого типа, «2» – заявка второго типа. (Можно в
данном случае кодировать и по-другому; например, первая цифра число заявок
первого типа, вторая – число заявок второго типа, но это менее наглядно).
Таким образом, «00» – заявок нет; «01» – одна заявка первого типа, «02» – одна
заявка второго типа, «11» – две заявки первого типа; «12» – две заявки, из них
одна первого, одна второго типа, «22» – две заявки второго типа. Размеченный
граф переходов приведен на рис. 12.
1
S2
S4
11
1
2
01
1

S1

2
S5
12
00
1
2
1

S3

22 S6
2
02
2
Рис. 12
Переход «00»  «01»  «11» и «02»  «12» происходят при поступлении
заявки первого типа с интенсивностью 1, переходы «00»  «02»  «22» и
«01»  «12» - при поступлении заявки второго типа с интенсивностью 2.
28
Освобождение каналов при завершении обслуживания происходит с
интенсивностью , как показано на графе (рис. 12), в состояниях S4, S6 оба
канала обслуживают заявки одного типа и интенсивность переходов «11» 
«01», «22»  «02» равна 2.
Особенность данного графа состоит в наличии переходов «22»  «12» 
«11», связанных с тем, что при поступлении заявки первого типа с абсолютным
приоритетом она «вытесняет» из СМО заявку второго типа, которая покидает
систему не обслуженной, т.е. получает отказ. Перенумеруем состояния по
порядку: S1, S2, S3, S4, S5, S6. Необходимо определить соответствующие им
вероятности Р1, Р2, Р3, Р4, Р5, Р6.
Опустим составление системы уравнений Колмогорова (17), решение
которой дает указанные вероятности. Показатели эффективности СМО
определяются следующим образом. Очередь в системе не предусмотрена,
поэтому r  0 , t ож  0 . Среднее число занятых каналов и коэффициент
использования каналов равны
Z = (P2 + P3) + 2(P4 +P5 + P6), Кз = Z / 2.
Вероятности отказов для заявок первого и второго типа Ротк1, Ротк2
различны. Заявки первого типа получают отказ только в состоянии S4, когда нет
заявки, которую можно вытеснить
Ротк1 = Р4  1.
Заявки второго типа получают отказ, если они появляются в момент,
когда система находится в состоянии S4, или в состояниях S5 и S6 независимо от
того, какого типа заявка поступит в систему
Ротк2 = Р42 + Р5 + Р6.
Пример 8. Задана СМО, n = 2, m = 3. Поток заявок неординарный
стационарный без последействия; с вероятностью 1 поступает одна заявка, с
вероятностью 2 одновременно поступает две заявки (1 + 2 =1). Параметр
потока  и интенсивность потока  связаны между собой зависимостью  = 
(1 + 22) . Заявки однородны.
Решение. Так как каналы одинаковы и заявки однородны, состояние СМО
однозначно определяется количеством заявок в системе, их может быть от нуля
пяти. Состояния в данном случае будем обозначать: S0, S1, S2, S3, S4, S5: S0 –
заявок в системе нет, S1, S2 – в системе одна или две заявки, они
обслуживаются, S3, S4, S5 – в системе от трех до пяти заявок, из них две
обслуживаются, остальные – в очереди. Размеченный граф переходов приведен
на рис. 13.
При поступлении одной заявки с интенсивностью 1 СМО по порядку
переходит в смежные состояния:
S0 S1 S2  S3  S4. При одновременном поступлении двух заявок
переходы происходят через состояние: S0  S2  S4, S1  S3  S5. Следует
обратить внимание на то, что переход S4  S5 происходит с интенсивностью
29
, независимо от того, сколько заявок поступит. Если поступит одновременно
две заявки, то одна из них получит отказ. Переход S1  S0 происходит с
интенсивностью , так как работает один канал, все остальные переходы справа
налево S5 S4 S3  S2  S1 происходят с интенсивностью 2, так как
одновременно работает два канала и интенсивность обслуживания удваивается.
2
1
S0
1
S1

2
1
S2
2
2
1

S4
S3
2
22
2
S5
2
Рис. 13
Нас интересуют вероятности всех состояний Р0, Р1 , Р2 , Р3 , Р4 , Р5 . Они
определяются решением системы уравнений Колмогорова, которую используя
граф переходов легко записать по правилам, изложенным выше.
Показатели эффективности работы СМО в данном случае определяются
следующим образом. Некоторые особенности здесь возникают только при
определении вероятности отказа Ротк, так как отказ возможен уже в состоянии
S4, если одновременно поступит две заявки, а в состоянии S5 отказы получают
все поступающие заявки, откуда
Ротк = Р42 + Р51 + 2Р52.
Остальные показатели определяются по обычным формулам. Средняя
длина очереди и среднее время ожидания равны
r  P3  2P4  3P5 , tож  ( P1  2 P2  3P3  4 P4 ) /( 2 ) ,
Среднее число занятых каналов и коэффициент использования каналов равны
Z  P1  2( P2  P3  P4  P5 ); К з  Z / 2.
Приведенные здесь примеры иллюстрируют общий подход к
исследованию типичных систем. Конечно, на практике могут встречаться более
сложные случаи, например, неординарный поток заявок и часть заявок имеют
приоритет перед другими заявками, или каналы различны по интенсивности
обслуживания и т.п. Но, разобравшись с описанными здесь примерами, можно
составить математическую модель и для других ситуаций. Мы не стали
акцентировать внимание на составлении систем уравнений Колмогорова, так
как на основе графа переходов это делается по формальным приведенным выше
правилам, поэтому мы продемонстрировали методику составления уравнений
на одном примере (см. пример 1). С помощью компьютера и стандартного
программного обеспечения можно решать системы линейных алгебраических
уравнений достаточно высоких порядков.
Кроме того, на примерах показано достаточно много характерных
вариантов расчета показателей эффективности СМО.
30
Вместе с тем обращает на себя внимание, что математические модели
получаются достаточно сложными даже для СМО совсем небольших размеров.
Далее будет показано, что для довольно широкого класса практически важных
систем, задача может решаться намного проще, т.е. по готовым формулам.
8 ПРОЦЕСС ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
Процессом гибели и размножения называют марковский случайный
процесс с непрерывным временем, если переходы возможны только между
соседними состояниями. Граф переходов процесса гибели и размножения
представлен на рис. 14.
n-2, n-1
n-1, n
01
12
34
23
S0
S1
S2
S3
  
Sn-1
Sn
n-1, n-2
43
n, n-1
Рис. 14
Составим систему уравнений Колмогорова для графа (рис. 14).
10
21
32
P0 01  P110 ,

P  P  P   P  ,
1 10
1 12
0 01
2 21


 P2 21  P2 23  P112  P3 32 ,

  
.

P


P


n 1 n 1 ,n
n n ,n 1

Произведя сокращение
подстановку, получим:
подобных
и
01

P

 1  P0 ,
10

 P2  12 P1  0112 P ,

21
10 21 0

 P3  23 P2  0112 23 P0 ,

32
10 2132

  

0112 ... n 1,n

P

P0 .
 n   ... 
10 21
n, n 1

31
сделав
(32)
последовательную
(33)
Полученные формулы легко запоминаются мнемонически: в числители
произведение последовательности интенсивностей переходов k, k+1 от
меньшего номера к большему (верхние стрелки), в знаменателе - k+1, k (нижние
стрелки). Для определения вероятности Р0 воспользуемся нормирующим
условием:
Р0 + Р1 +Р2 + … + Рn = 1.
(34)
Подставим в (34) значение вероятностей из (33) получим
P0 
 0112 ... n 1, n
 01
 
P0  01 12 P0  ... 
P0  1,
10
10  21
10  21 ... n, n 1
откуда окончательно получим
P0 
1
 0112 ... n 1,n

 
1  01  01 12  ... 
10 10  21
10  21 ... n ,n 1
.
(35)
Формулы (33), (35) позволяют определить вероятности всех состояний
системы, т.е. полностью решают задачу.
Работа как разомкнутых, так и замкнутых СМО описывается процессом
гибели и размножения, если поток заявок простейший, заявки однородны
(одинаковы) и обслуживающие каналы одинаковы. Само собой разумеется, что
законы распределения времени обслуживания и допустимого времени
ожидания нетерпеливых заявок должны быть экспоненциальными, иначе
процесс вообще будет немарковским.
Ясно, что расчет по готовым формулам несравненно проще, чем
использование общего метода марковских моделей, когда нужно строить граф
переходов, составлять систему уравнений Колмогорова, решать эту систему
уравнений. Поэтому, если точно или приближенно можно привести модель
работы СМО к процессу гибели и размножения, это всегда необходимо делать.
9 МНОГОКАНАЛЬНАЯ РАЗОМКНУТАЯ СМО БЕЗ ОЧЕРЕДИ
Рассмотрим СМО без очереди, имеющую n одинаковых каналов. СМО
может находиться в n+1 состоянии S0, S1, S2 …, Sn, по числу заявок в системе.
Граф переходов для такой системы имеет вид графа процесса гибели и
размножения (см. рис. 15).


S0
S2
S1


2


  
Sk
k
3
Рис. 15
32

  
(k + 1)
Sn
n
Увеличение числа заявок в системе, переходы Sk  Sk+1, происходит с
интенсивностью . Уменьшение числа заявок происходит при завершении
обслуживания, переходы Sk  Sk-1 происходят с интенсивностью k, так как в
состоянии Sk одновременно работает k каналов, интенсивность обслуживания
каждого из них .
Если сравнить графы рис. 14, рис. 15 и в формулы (33), (35) подставить
соответствующие интенсивности переходов из графа рис. 15, то получим
формулы, которые называют формулы Эрланга:
P0 
1
(36)
 
n
1 
 ... 
 2 2
n! n
2
n
Pk 
P0 , 1  k  n.
k! n
(37)
Во всех формулах  и  входят в отношение /, поэтому удобно это
отношение обозначить через  (=/), его называют приведенной
интенсивностью потока заявок к интенсивности обслуживания одного канала.
Формулы (36), (37) можно переписать в более простом виде
1
k
P0 
, Pk 
P0 , 1  k  n.
(38)
n
k!
k
1 
k 1 k!
Показатели эффективности.
Вероятность отказа
Pотк  Pn 
n
n!

1
n
k
n 1
k!
1 
.
(39)
Число занятых каналов и коэффициент использования
где
q

n
Z   ( 1  Pот к ); К з  q( 1  Pот к ),
(40)
– приведенная интенсивность потока заявок к суммарной
интенсивности обслуживания всеми каналами.
10 ОДНОКАНАЛЬНАЯ РАЗОМКНУТАЯ СМО С ОЧЕРЕДЬЮ
Рассмотрим в начале случай ограниченной очереди, т.е. СМО имеет один
канал n = 1 и m мест в очереди, его граф представлен на рис. 16. Состояния S0,
S1 …, Sm+1 по числу заявок в СМО.
Переходы в направлении увеличения числа заявок в системе происходят с
33
интенсивностью потока заявок , а в направлении уменьшения числа заявок – с
интенсивностью обслуживания одного канала , так как канал один.






S0

  
S2
S1

  
Sn



Sm+1

Рис. 16
Формулы (33), (35) в этом случае имеют следующий вид
1
1
P0 

(41)
1  ( /  )  ( /  ) 2  ...  ( /  ) m 1 1     2  ...   m 1
В знаменателе формулы (41) – геометрическая прогрессия, поэтому
формулу можно упростить
P0 
1 
1   m 2
,
(42)
откуда
 k (1   )
Pk   P0 
.
1   m 2
(43)
 m1 (1   )
 Pn 
1   m 2
(44)
k
Вероятность отказа равна
Pотк
Для остальных показателей эффективности получаются достаточно
громоздкие выражения, которые здесь не приведены.
Представляет интерес очень распространенный на практике случай, когда
длина очереди не ограничена. Решение может быть получено путем
предельного перехода при m . При этом необходимо, чтобы
производительность системы  была больше нагрузки – интенсивности потока
заявок  ( >), т.е.:

   1.

(45)
Иначе в связи с тем, что отказы невозможны (Ротк = 0), при / = 1
очередь безгранично нарастает r  , t ож  .
При неограниченной очереди и   1 получим следующие формулы для
интересующих нас вероятностей и показателей эффективности СМО
Р0 = 1 –  ,
(46)
k
Pk =  (1 – )
(47)
Вероятность отказа равна нулю. Средняя длина очереди и среднее время
ожидания
34
r   2 /(1   ),
t ож
(48)

2

или t ож 
 (1   )
 (1   )
(49)
Коэффициент занятости канала
К з  1  P0   .
(50)
11 МНОГОКАНАЛЬНАЯ РАЗОМКНУТАЯ СМО С ОЧЕРЕДЬЮ
В общем случае СМО с очередью, если имеется n – каналов и m – мест в
очереди граф переходов процесса имеет следующий вид (рис. 17), причем
состояния обозначаются по числу заявок в системе: S0 – заявок в системе нет;
S , S ,...,S ,...,S – в системе k заявок, 1 k  n, все заявки обслуживаются,
1 2
k
n
очереди нет, в состоянии Sn – заняты все n каналов; Sn+1, Sn+2, …,Sn+r, … , Sn+m – в
системе n+r заявок, 1rm, причем n заявок обслуживаются, r заявок в очереди,
в состоянии Sn+m в системе заняты все каналы и все места в очереди, если во
время этого состояния поступит заявка, то она получит отказ в обслуживании
(см. рис. 17).
Вывод формул, да и сами формулы в этом случае получаются значительно
более громоздкими, поэтому мы здесь приведем лишь некоторые.











S1
S0


2
Sk

k (k+1) n
Sn
Sn+1
n
Sn+2
n
n
Sn+r

n
n

Sn+m
1
n
Рис. 17
Наиболее интересные формулы в их конечном виде:
 n1  k  n q  q n 
 ,
P0  1 1  


k
!
n
!
1

q
 k 1

где q 



n n
(51)
– приведенная интенсивность потока заявок к суммарной
интенсивности обслуживания всех каналов.
Pk 
Pn  r 
k
k!
P0 , 1  k  n,
 nr
n r n!
P0 , 1  r  m.
35
r = 0,
(52)
(53)
 nm
Pотк = Pn+m =
m
P0
n n!
Z   (1  Pотк ).
n
n!
q m P0 .
(54)
(55)
Рассмотрим случай, когда длина очереди не ограничена m. Такая
система работоспособна, если ее нагрузка – интенсивность заявок , меньше
суммарной производительности всех каналов n (n), т.е.:

 q  1.
n
Иначе при

 q 1
n
СМО не справляется с потоком заявок, и очередь
нарастает безгранично r  , t ож  .
Основные формулы для этого случая приведены ниже
n

k n q 
 .
P0  1 1  


k
!
n
!
1

q
 k 1

Pk 
k
k!
Pn  r 
 P0 , 1  k  n, r = 0,
 nr
 P0 , r  1,
n r n!
Pотк = 0 ,
r

n 1
n!n(1  q) 2
 P0 ,
(56)
(57)
(58)
(59)
(60)
t ож  r /  ,
(61)
Z   , К з  q.
(62)
12 ОДНОКАНАЛЬНАЯ ЗАМКНУТАЯ СМО
Замкнутые системы, предназначены для обслуживания ограниченного
числа пользователей. В этих системах, как правило, предусматривается
очередь. Общее число каналов и мест в очереди n+m должно ровняться числу
пользователей. По мере поступлению заявок на обслуживание интенсивность
потока уменьшается. Если интенсивность обращений одного пользователя на
обслуживание ровна , то при отсутствии заявок в СМО интенсивность потока
ровна ( n+m). Пусть в СМО на обслуживании и в очереди находится i=1, 2, …
и более заявок, v=n+m–i пользователей в произвольный момент времени не
нуждаются в обслуживании. Тогда интенсивность потока заявок равна v.
Одноканальная СМО имеет один канал n = 1 и m мест в очереди, его граф
представлен на рис. 16. Состояния S0, S1 …, Sm+1 по числу заявок в СМО.
36
(m+1)
S0
m



  
S2
S1

(m–1)
Sm+1

Рис. 17
Формулы (33), (35) в этом случае имеют следующий вид:
P0  1 /(1  (m  1)   m 2  ...  (m  1)m...1 m 1 ),
P1  (m  1)  P0 ,
P2  (m  1)m 2 P0 ,
(63)
..............................
Pm 1  (m  1)m...1 m 1P0.
Во всех формулах  и  входят в отношение /, поэтому удобно это
отношение обозначить через  (=/), его смысл – приведенная интенсивность
заявок одного пользователя к интенсивности обслуживания одного канала.
В замкнутых системах не может происходить отказов, все заявки рано
или поздно обслуживаются, т.е. Ротк=0.
Абсолютная пропускная способность А имеет смысл среднего числа
обслуживаемых заявок в единицу времени
А=(1–Р0).
(64)
С другой стороны, так как все заявки обслуживаются, абсолютная
пропускная способность равна vср, где среднее число пользователей, не
нуждающихся в обслуживании. Откуда vср=(1–Р0) и окончательно
vср=(1–Р0)/ =(1–Р0)/.
Среднее число заявок в очереди rср равно числу пользователей n+m минус
число пользователей, не нуждающихся в обслуживании, vср и минус число
обслуживаемых заявок (1–Р0)
rср = n+m– (1–Р0)/ –(1–Р0)= n+m–(1–Р0) (1+1/).
(65)
По аналогии с (23) наиболее простым методом оптимизации является
метод обобщенного показателя, в данном случае в качестве обобщенного
показателя целесообразно использовать прибыль от работы системы W, но под
системой следует понимать совместную работу пользователей и СМО, их
обслуживающей
W = c1(1–Р0)/–(c2 n +c3 m+c4rср)→max,
(66)
где c1 – доход, получаемый от работы одного пользователя СМО в единицу
времени;
c2 – затраты на содержание одного канала в единицу времени;
c3 – затраты на содержание одного места в очереди в единицу времени;
c4 – потери от ожидания одной заявки в единицу времени;
 – интенсивность заявок одного пользователя [1/ед. времени].
37
13 МНОГОКАНАЛЬНАЯ РАЗОМКНУТАЯ СМО
В общем случае система имеет n каналов (n > 1) и m мест в очереди.
Граф работы СМО представлен на рис. 17. Состояния S0, S1 …, Sn+m по числу
заявок в системе.
(n+m)
m (m-1) (m-2)
(n+m-1)

(m+1)
…
…
S1
S0
Sn+2
Sn
S
S
n+1

2
n+m
1
n
n
n
n
n
Рис. 18
Формулы (33), (35) в этом случае имеют следующий вид:
P0  1 /(1  (n  m) / 1!   (n  m)( n  m  1) / 2!  2  ...  (( n  m)( n  m  1)...( m  1)) / n!  n 
 (( n  m)( n  m  1)...n) /( m!m)  m 1  ...  (( n  m)( n  m  1)...1) /( m!m n )  n  m ),
P1  (n  m)  1!  P0 ,
P2  (n  m)( n  m  1) / 2!  2 P0 ,
(67)
........................................
Pm  (( n  m)( n  m  1)...( m  1)) / n!  n P0
..............................
Pm  m  (( n  m)( n  m  1)...1) /( n!n m )  n  m P0.
Среднее число Z занятых каналов равно
n 1
nm
i 1
j n
Z   iPi  n  Pj .
(68)
Средняя длина очереди rср
rср 
ть
 (n  k ) P .
л  т 1
k
(69)
Абсолютная пропускная способность A  Z  .
Среднее число пользователей, не нуждающихся в обслуживании vср= Z /  .
Прибыль от работы системы W, включающей в себя совместную работу
пользователей и СМО, их обслуживающей
W = c1 Z /  –(c2 n +c3 m+c4rср)→max,
(70)
где c1 – доход, получаемый от работы одного пользователя СМО в единицу
времени;
c2 – затраты на содержание одного канала в единицу времени;
c3 – затраты на содержание одного места в очереди в единицу времени;
c4 – потери от ожидания одной заявки в единицу времени;
38
 – интенсивность заявок одного пользователя [1/ед. времени].
14 СРАВНИТЕЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СМО
БЕЗ ОЧЕРЕДИ И С ОЧЕРЕДЬЮ
Проведем несложный анализ полученных формул, выясним, как зависят
показатели эффективности от структуры системы – числа каналов, наличия
очереди и от нагрузки системы q=n.
Для сравнительного анализа выберем два типа систем: СМО без очереди
и СМО с очередью неограниченной длины, так как эффективность работы этих
систем достаточно полно характеризуется двумя основными показателями. В
первом случае – это вероятность отказа Ротк и коэффициент использования
каналов ; во втором случае – средняя длина очереди r или среднее время
ожидания t ож и коэффициент использования каналов Кз. При оптимизации по
двум показателям обычно ищется некоторое компромиссное решение.
На рис. 18 представлена зависимость Ротк = f(Кз), при n= 1, 2, 4.
Вероятность отказа мы стремимся минимизировать Ротк 0, а загрузку каналов
максимизировать Кз1. Эти две цели антагонистичны, поэтому необходимо
искать компромисс между Ротк и Кз. Однако, для одноканальных систем (n = 1),
как видно из рис. 18, компромисс не достижим, так как зависимость линейна.
Например, если принять загрузку системы Кз = 0,7 – 0,8 , то соответственно 7080% всех заявок будут получать отказ, и наоборот, при уменьшении Ротк
соответственно уменьшается Кз. Положение улучшается при увеличении числа
каналов, так при n = 4 и Кз = 0,7 – 0,8 вероятность отказа Ротк = 0,31-0,47.
Следовательно, нужно по возможности объединять каналы в многоканальные
системы, что существенно повышает эффективность их работы.
Для СМО с неограниченной очередью коэффициент использования
каналов Кз равен нагрузке системы q= Кз, так как в таких системах отказы
невозможны. Поэтому имеет смысл построить зависимость средней длины
очереди или среднего времени ожидания от коэффициента использования
каналов Кз. Как мы отмечали, для пользователей услугами СМО существенней
среднее время ожидания, чем средняя длина очереди.
Для сравнительного анализа удобней использовать безразмерную
величину: отношение среднего времени ожидания t ож к среднему времени
обслуживания 
t ож   t ож  
n
n!n(1  q) 2
39
 P0 .
(63)
Pотк
1
0,9
0,8
0,7
n=1
0,6
0,5
n=2
0,4
0,3
n=4
0,2
0,1
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Кз
Рис. 18
tож
4
3,5
3
n=1
2,5
2
n=2
1,5
1
n=4
0,5
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Кз
Рис. 19
На рис. 19 приведена зависимость tож /   f ( К з ), К з  q при числе
каналов n = 1,2,4. Как видно из рис. 19, СМО с очередью работает несравненно
40
эффективней, чем без очереди. Здесь тоже мы стремимся минимизировать
время ожидания ( t ож  0 ) и максимизировать использование каналов (Кз1).
Для СМО с очередью даже в случае одного обслуживающего канала можно
найти некоторый компромисс: при использованием канала на 70-80% (Кз=0,7 –
0,8) время ожидания в очереди в 2,3 – 4 раза превосходит время обслуживания,
что, в общем-то, плохо, но терпимо. При увеличении числа каналов положение
еще улучшается, так при наличии четырех каналов и той же загрузке каналов,
относительное время ожидания уже составляет t ож /   0,33  0,52 , так что
объединение каналов и в этом случае весьма целесообразно.
Лабораторная работа №1
ОПТИМИЗАЦИЯ СМО ПО ЧИСЛУ КАНАЛОВ И МЕСТ В ОЧЕРЕДИ
1 Цель работы
Определение оптимальных параметров СМО с простой структурой
методом покоординатной максимизации.
2 Порядок выполнения работы
Рассматривается два варианта построения системы:
- СМО без очереди;
- СМО с ограниченной очередью.
Решение производится путем последовательного целенаправленного
перебора вариантов. При оптимизации СМО без очереди перебор производится
по одному параметру – числу каналов. Принимается m=0, а число каналов
последовательно увеличивается n = 1, 2, 3 и т.д., пока прибыль W
увеличивается, и таким образом определяется оптимальное число каналов.
При оптимизации СМО с очередь, т.е. по двум параметрам (n и m),
наилучшее решение определяется путем перебора вариантов методом
покоординатной максимизации. После найденного оптимального числа каналов
при m=0 начинают увеличивать число мест в очереди до нахождения
максимальной прибыли W. Затем вновь изменяют число каналов, потом число
мест в очереди в направлении увеличения прибыли и т.д. Оптимальным
является решение, при котором изменение числа каналов или (и) числа мест в
очереди на единицу приводит только к уменьшению прибыли.
3
Содержание отчета
Отчет должен содержать цель работы, задание для своего варианта,
процедуру последовательной оптимизации в виде таблицы.
Решение задачи в виде EXCEL-таблицы (см. пример).
Выводы о том,
какая организация СМО выгоднее с очередью или без очереди и насколько.
Отчет должен быть написан аккуратно, разборчиво, может быть
напечатан.
41
4 Задание
Определить оптимальное число каналов n и мест в очереди m по
максимуму прибыли W.
Исходные данные:
=2,4+0,15S1; =1; при S1 – четное =0,05+0,01S2, при S1 – нечетное =0;
с1=40+2S2; с2=5+F; с3=0,8+0,1S1; с4=2+0,2S2,
где S1 – первая цифра шифра; S2 – вторая цифра шифра; F – число букв в
фамилии;  – интенсивность потока заявок;  – интенсивность обслуживания; 
– интенсивность, с которой нетерпеливые заявки покидают очередь.
5 Методические рекомендации
На рис. 20. приведен граф процесса гибели-размножения, описывающего
работу СМО с ограниченной очередью.


S1
S0

2
…


Si

…
i (i+1) n
Sn


Sn+1
Sn+2


…

Sn+j

…
Sn+m
1
n+ n+2 n+3 n+j n+(j+1) n+m
Рис.20.
В соответствии с графом рис.4. для слагаемых знаменателя gk выражения
(35) можно записать простые рекуррентные формулы:
g0=1; gk=gk-1/(i+j), 1in , 0jm, 0kn+m, знаменатель равен
G
nm
 gi , где k – состояние системы; i – число занятых каналов; j – число
k 0
занятых мест в очереди; вероятности состояний Pk=gk/G.
Процесс решения программируется в EXCEL-таблице. Логическая
переменная L, число занятых каналов i и вероятность состояния, в котором
заняты все каналы и все места в очереди Рос, задаются условной функцией:
если k>n+m, то L=0, иначе L=1,
если k<n, то i=k, иначе i=n.
если k=n+m, то Рос = Pn+m, иначе Ротк=0
При kn+m принимается gk=0, для чего gk умножается на L. Среднее число
занятых каналов Zcp и среднее число занятых мест в очереди rcp рассчитываются
по формулам для математического ожидания. В случае наличия нетерпеливых
заявок вероятность отказа рассчитывается по формуле (24).
42
EXCEL-таблица (пример)
Простая СМО с очередью
Исходные данные
=
С1=
3
40
=
С2=
1
15
=
С3=
С4=
0,1
0,5
2
Решение
Состояние
Логическ
СМО
переменн
каналы
очередь
знаменателя
L
i
j=k-i
gk
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
n=
m=
n+m=
Ответы
Рос=
Ротк=
Zcp=
r cp=
Кз =
A=
W(n,m)=
Занятые места
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
3
6
9
0,0697
0,134
2,598
1,931
0,866
2,598
52,05
0
1
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
0
0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Суммы:
Слагаемые
1
3
4,5
4,5
4,354839
4,082661
3,71151
3,274862
2,807025
2,339187
0
0
0
0
0
0
33,57008
Показатели
Рk
gk/G
Zcp
i*Рk
r cp
j*Рk
Рос
Pn+m
0,029788
0,089365
0,134048
0,134048
0,129724
0,121616
0,11056
0,097553
0,083617
0,069681
0
0
0
0
0
0
1
0
0,089365
0,268096
0,402144
0,389171
0,364848
0,33168
0,292659
0,250851
0,209042
0
0
0
0
0
0
2,597856
0
0
0
0
0,129724
0,243232
0,33168
0,390212
0,418084
0,418084
0
0
0
0
0
0
1,931016
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,069681
0
0
0
0
0
0
0,069681
6
Процедура поиска решения
n
m
0
1
2
15,00
26,47
3
4
5
33,46
35,27
31,79
1
42,99
2
46,98
3
49,08
4
50,11
5
38,45
51,96
50,52
6
37,28
52,05
50,56
7
35,91
51,87
50,38
8
При задании исходных данных и изменении значений n и m все
результаты пересчитываются автоматически. Значения величины прибыли
W(n,m) переносятся в таблицу результатов расчета с помощью специальной
вставки «значение».
43
Лабораторная работа №2
ИССЛЕДОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ СМО С ПРОСТОЙ И
СЛОЖНОЙ СТРУКТУРОЙ
1 Цель работы
Изучение общих методов построения математических моделей СМО,
сравнительная оценка СМО со сложной структурой и дисциплиной
обслуживания и СМО с простой структурой для выбора оптимального
варианта.
2 Порядок выполнения работы
Рассматривается два варианта работы СМО:
- СМО со сложной структурой, сложными условиями и дисциплиной
обслуживания;
- простая СМО, работа которой описывается с помощью процесса гибелиразмножения.
1) По заданному варианту описания работы сложной СМО составить
множество состояний, в которых может находиться система и граф
марковского случайного процесса, описывающий её переходы между
состояниями.
2) По графу марковского случайного процесса составить систему линейных
алгебраических уравнений Колмогорова, описывающих работу СМО в
стационарном режиме.
3) Составить расширенную матрицу системы уравнений Колмогорова,
проверить правильность ее составления: сумма значений коэффициентов во
всех столбцах матрицы должна равняться нулю. По исходным данным
рассчитать числовые значения коэффициентов матрицы. Заменить одну из
строк матрицы (обычно последнюю) нормирующим условием
n
P
i 1
i
 1,
(64)
где n – число состояний СМО.
4) Решить систему уравнений Колмогорова на ЭВМ методами линейной
алгебры с помощью Microsoft EXCEL (см. п.5.2.).
5) На основе описания работы СМО и графа марковского процесса
составить выражения для вероятностей отказов Ротк, средней длины очереди r,
по полученным вероятностям состояний рассчитать их значения. Если заявки
неоднородны и последствия от отказов и ожидания у них различны, то Pотк и r
рассчитываются отдельно для каждого типа заявок.
6) По формуле (65) рассчитать обобщённый показатель эффективности
СМО – прибыль W при этом, если заявки или каналы неоднородны и если
различны цена за обслуживание, потери от ожидания заявки в очереди, затраты
44
на содержание каналов, то соответствующие слагаемые вычисляются для всех
типов заявок и каналов.
W = Σi c1i (αi–Pоткi)–( Σj c2j nj +c3 m+ Σi c4iri) →mах,
(65)
где Σi – суммирование по типам заявок, Σj по типам каналов;
Pоткi – вероятность отказа заявкам i-го типа в обслуживании;
ri – средняя длина очереди для заявок i-го типа;
nj – число каналов j-го типа;
m – число мест в очереди;
c1i – цена за обслуживание одной заявки i-го типа;
αi – вероятность заявки i-го типа;
c2j – затраты на содержание одного канала j-го типа в единицу времени;
c3 – затраты на содержание одного места в очереди в единицу времени;
c4i – потери от ожидания одной заявки i-го типа в единицу времени;
 – интенсивность потока заявок [1/ед. времени];
п – параметр потока заявок [1/ед. времени].
При наличии нетерпеливых заявок вероятность отказа рассчитывается по
формуле (24)
Pотк  Pос  rν  ,
где  - интенсивность ухода заявок из очереди;
Рос – сумма вероятностей всех отказовых состояний, в которых заняты
каналы и все места в очереди.
7) Решить задачу исследования СМО с простой структурой и дисциплиной
обслуживания. Для заданного в таблице 1. варианта составить граф
марковского процесса гибели-размножения. Рассчитать на ЭВМ вероятности
всех состояний системы и показатели эффективности. Целесообразно
использовать программу Microsoft EXCEL (лабораторной работы №1, п.5).
По полученным данным рассчитать значение прибыли W* (23)
W*= c1(1–Pотк)–(c2n+c3m+c4r) → mах.
8) Сравнить эффективность системы со сложной структурой, условиями
работы и дисциплиной обслуживания с простой СМО и сделать выбор
оптимального варианта, объяснить его преимущества.
4
Содержание отчета
Отчет должен содержать цель работы, номер варианта, задание в виде
описания сложной СМО и ее параметров, данные для соответствующей
простой СМО.
Решение задачи. Для сложной СМО математическая модель: граф
марковского процесса, система уравнений Колмогорова, расширенная матрица,
формулы для расчета показателей эффективности – вероятности отказа Pотк, и
средней длины очереди r, обобщенного показателя W. Результаты всех
расчётов.
45
Граф работы простой СМО – процесса гибели-размножения. Полученные
на ЭВМ результаты расчета: вероятности состояний процессов, вероятность
отказа Ротк, среднюю длину очереди, значение обобщенного показателя W*.
Выводы должны содержать сравнение результатов для сложной и
простой СМО, пояснения за счет чего возникло различие в эффективности
СМО, практические рекомендации.
Отчет должен быть написан аккуратно, разборчиво, может быть
напечатан.
5 Задания
ВАРИАНТ 1. Задана СМО: =0,8; n=2; m=0; =1; с2=10. Поток заявок
простейший, заявки неоднородны. С вероятностью 1=0,25 поступают заявки
первого типа и 2=0,75 – второго типа. Заявки первого типа имеют абсолютный
приоритет перед заявками второго типа. Для заявок первого типа цена за
обслуживание с11 =132, для второго типа – с12=36.
ВАРИАНТ 2. Задана СМО: =0,7; n=1; m=2; с1=80; с2=10; с3=0,5; с4=1.
Поток заявок простейший, заявки неоднородны. С вероятностями 1=0,5;
2=0,5 поступают заявки первого и второго типа соответственно.
Интенсивность обслуживания заявок первого типа 1=1,4, а второго типа
2=0,6.
ВАРИАНТ 3. Задана СМО: n=3; m=3; =1; с1=40; с2=10; с3=1,3; с4=1. Поток
заявок стационарный неординарный без последействия; заявки однородны.
Параметр потока заявок п=1, с вероятностью 1=0,3 поступает 1 заявка и с
вероятностью 2=0,7 одновременно поступает 2 заявки (интенсивность потока
заявок =(11 +22)п=1,7).
ВАРИАНТ 4. Задана СМО: =1,65; n=3; m=0; =1; с2=10. Поток заявок
простейший, заявки неоднородны. С вероятностью 1=0,2 поступают заявки
первого типа и 2=0,8 – второго типа. Заявки первого типа имеют абсолютный
приоритет перед заявками второго типа. Для заявок первого типа цена за
обслуживание с11=120, для заявок второго типа – с12 =20.
ВАРИАНТ 5. Задана СМО: =0,65; n=1; m=2; =1; с2=10; с3=1. Поток
заявок простейший, заявки неоднородны. С вероятностью 1=0,2 поступают
заявки первого типа и 2=0,8 – второго типа. Заявки первого типа имеют
абсолютный приоритет перед заявками второго типа. Для заявок первого типа
цена за обслуживание с11=140, потери от ожидания в очереди с41 =3, для заявки
второго типа соответственно с12 =40, с42 =0,5
ВАРИАНТ 6. Задана СМО: =1,5; n=2; m=1; =1; с2=10; с3=3. Поток заявок
простейший, заявки неоднородны. С вероятностью 1=0,2 поступают заявки
первого типа и 2 =0,8 – второго типа. Заявки первого типа имеют абсолютный
приоритет перед заявками второго типа. Для заявок первого типа цена за
46
обслуживание с11=120, потери от ожидания в очереди с41=3, для заявки второго
типа соответственно с12 =20, с42 =0,5.
ВАРИАНТ 7. . Задана СМО. Поток заявок простейший, заявки однородны.
Интенсивность потока =1,7; n=3; m=0; с1=40. Каналы разные: первый канал
имеет интенсивность обслуживания 1=1,5; второй 2=1; третий 3=0,5. Затраты
на содержание каналов соответственно равны с21=12; с22=10; с23=6. Когда
свободны два или три канала, то очередная заявка принимается на
обслуживание каналом с большим порядковым номером.
ВАРИАНТ 8. Задана СМО. Поток заявок простейший, заявки однородны.
Интенсивность потока =1,6; n=2; m=3; с1=40; с3=1; с4=1. Каналы разные:
первый канал имеет интенсивность обслуживания 1=1,5; второй 2=0,5.
Затраты на содержание первого канала с21=12, второго канала с22=6. Когда оба
канала свободны, то заявка принимается на обслуживание тем каналом,
который раньше освободился. Заявки нетерпеливые, они покидают очередь с
интенсивность  = 0,1.
ВАРИАНТ 9. Задана СМО: =1,4; n=3; m=0; =1; с1=60. Поток заявок
простейший, заявки неоднородны, с вероятностью 1=0,3 поступают заявки
первого типа и с вероятностью 2=0,7 заявки второго типа. СМО
неполнодоступная. Каналы тоже неоднородны – они двух типов. Первый канал
может обслуживать заявки как первого, так и второго типа, затраты на его
содержание с21=10, второй и третий каналы могут обслуживать только заявки
второго типа и затраты на их содержание с22=5. Когда в момент поступления
заявки второго типа свободны второй или третий каналы, она принимаются на
обслуживание одним из этих каналов
ВАРИАНТ 10. Задана СМО. Поток заявок простейший, заявки однородны.
Интенсивность потока =1,6; n=2; m=3; с1=40; с3=1; с4=1. Каналы разные:
первый канал имеет интенсивность обслуживания 1=1,5; второй 2=0,5.
Затраты на содержание первого канала с21=12, второго канала с22=6. Когда оба
канала свободны, то заявка принимается на обслуживание первым каналом.
ВАРИАНТ 11. Задана СМО: =0,5; n=1; m=1; =1; с2=10; с3=1,8. Поток
заявок простейший, заявки неоднородны. С вероятностью 1=0,25 поступают
заявки первого типа и 2=0,75 – второго типа. Заявки первого типа имеют
относительный приоритет перед заявками второго типа в занятии каналов и
абсолютный приоритет в очереди. Для заявок первого типа цена за
обслуживание с11=200, потери от ожидания в очереди с41=2,2; для заявок
второго типа соответственно с12 =40, с42=0,6
ВАРИАНТ 12. Задана СМО. Поток заявок простейший, заявки однородны.
Интенсивность потока =1,6; n=2; m=3; с1=40; с3=1; с4=1. Каналы разные:
первый канал имеет интенсивность обслуживания 1=1,5; второй 2=0,5.
Затраты на содержание первого канала с21=12, второго канала с22=6. Когда оба
47
канала свободны, заявки принимаются на обслуживание случайным образом с
вероятностями 1=0,4 для первого канала и 2=0,6 для второго канала.
ВАРИАНТ 13. Задана СМО: =0,7; n=2; m=0; с1=80; с2=10. Поток заявок
простейший, заявки неоднородны. С вероятностями 1=0,5; 2=0,5 поступают
заявки первого и второго типа соответственно. Интенсивность обслуживания
заявок первого типа 1=1,4, а второго типа 2=0,6.
ВАРИАНТ 14. Задана СМО: n=3; m=3; =1; с1=40; с2=10; с3=1,3; с4=1.
Поток заявок стационарный неординарный без последействия; заявки
однородны. Параметр потока заявок п=1, с вероятностью 1=0,3 поступает 1
заявка и с вероятностью 2=0,7
одновременно поступает 2 заявки
(интенсивность потока заявок =(11 +22)п=1,7). Заявки нетерпеливые, они
покидают очередь с интенсивностью  = 0,05.
ВАРИАНТ 15. Задана СМО: =0,75; n=2; m=0; =1; с1=80. Поток заявок
простейший, заявки неоднородны, с вероятностью 1=0,3 поступают заявки
первого типа и с вероятностью 2=0,7 заявки второго типа. СМО
неполнодоступная. Первый канал может обслуживать заявки как первого, так и
второго типа, затраты на его содержание с21=10 второй канал может
обслуживать только заявки второго типа и затраты на его содержание с22=5.
Когда в момент поступления заявки второго типа свободны оба канала, заявки
принимаются на обслуживание случайным образом с вероятностями 1=0,6
первым каналом и 2=0,4 вторым каналом.
ВАРИАНТ 16. Задана СМО: =1,4; n=3; m=0; =1; с1=60. Поток заявок
простейший, заявки неоднородны, с вероятностью 1=0,7 поступают заявки
первого типа и с вероятностью 2=0,3 заявки второго типа. СМО
неполнодоступная. Каналы тоже неоднородны – они двух типов. Первый и
второй каналы могут обслуживать заявки как первого, так и второго типа,
затраты на их содержание с21=10, третий канал может обслуживать только
заявки второго типа и затраты на его содержание с22=5. Когда в момент
поступления заявки второго типа свободен третий канал, она принимаются на
обслуживание этим каналом.
ВАРИАНТ 17. Задана СМО: =0,45; n=1; m=1; с1=80; с2=10; с3=0,5; с4=1.
Поток заявок простейший, заявки неоднородны. С вероятностями 1=0,5;
2=0,5 поступают заявки первого и второго типа соответственно.
Интенсивность обслуживания заявок первого типа 1=1,4, а второго типа
2=0,6.
ВАРИАНТ 18. Задана СМО. Поток заявок простейший, заявки однородны.
Интенсивность потока =1,6; n=2; m=3; с1=40; с3=1; с4=1. Каналы разные:
первый канал имеет интенсивность обслуживания 1=1,5; второй 2=0,5.
Затраты на содержание первого канала с21=12, второго канала с22=6. Когда оба
48
канала свободны, то заявка принимается на обслуживание тем каналом,
который раньше освободился.
ВАРИАНТ 19. Задана СМО: =0,5; n=1; m=1; =1; с2=10; с3=1,8. Поток
заявок простейший, заявки неоднородны. С вероятностью 1=0,25 поступают
заявки первого типа и 2=0,75 – второго типа. Заявки первого типа имеют
относительный приоритет перед заявками второго типа. Для заявок первого
типа цена за обслуживание с11=200, потери от ожидания в очереди с41 =2,2; для
заявок второго типа соответственно с12 =40, с42=0,6
ВАРИАНТ 20. Задана СМО. Поток заявок простейший, заявки однородны.
Интенсивность потока =1,6; n=2; m=3; с1=40; с3=1; с4=1. Каналы разные:
первый канал имеет интенсивность обслуживания 1=1,5; второй 2=0,5.
Затраты на содержание первого канала с21=12, второго канала с22=6. Когда оба
канала свободны, заявки принимаются на обслуживание случайным образом с
вероятностями 1=0,4 для первого канала и 2=0,6 для второго канала. Заявки
нетерпеливые, они покидают очередь с интенсивностью  = 0,1.
ВАРИАНТ 21. Задана СМО: =1,2; n=2; m=1; =1; с1=60; с3=1; с4=1. Поток
заявок простейший, заявки неоднородны, с вероятностью 1=0,3 поступают
заявки первого типа и с вероятностью 2=0,7 заявки второго типа. СМО
неполнодоступная. Первый канал может обслуживать заявки как первого, так и
второго типа, затраты на его содержание с21=10 второй канал может
обслуживать только заявки второго типа и затраты на его содержание с22=5.
Когда в момент поступления заявки второго типа свободны оба канала, заявки
принимаются на обслуживание вторым каналом.
ВАРИАНТ 22. Задана СМО. Поток заявок простейший, заявки однородны.
Интенсивность потока =1,6; n=2; m=3; с1=40; с3=1; с4=1. Каналы разные:
первый канал имеет интенсивность обслуживания 1=1,5; второй 2=0,5.
Затраты на содержание первого канала с21=12, второго канала с22=6. Когда оба
канала свободны, то заявка принимается на обслуживание вторым каналом.
Заявки нетерпеливые, они покидают очередь с интенсивность  = 0,1.
ВАРИАНТ 23. Задана СМО. Поток заявок простейший, заявки однородны.
Интенсивность потока =1,7; n=3; m=0; с1=40. Каналы разные: первый канал
имеет интенсивность обслуживания 1=1,5;второй 2=1;третий 3=0,5. Затраты
на содержание каналов соответственно равны с21=12; с22=10; с23=6. Когда
каналы свободны, заявки принимаются на обслуживание случайным образом с
соответствующими вероятностями 1=0,3; 2=0,5; 3=0,2.
ВАРИАНТ 24. Задана СМО: =0,65; n=1; m=2; =1; с2=10; с3=1. Поток
заявок простейший, заявки неоднородны. С вероятностью 1=0,2 поступают
заявки первого типа и 2=0,8 – второго типа. Заявки первого типа имеют
абсолютный приоритет перед заявками второго типа. Для заявок первого типа
цена за обслуживание с11=140, потери от ожидания в очереди с41=3, для заявки
49
второго типа соответственно с12=40, с42 =0,5. Заявки
покидают очередь с интенсивностью  =0,08.
нетерпеливые, они
ВАРИАНТ 25. Задана СМО: n=2; m=4; =1; с1=40; с2=10; с3=0,5; с4=1.
Поток заявок стационарный неординарный без последействия; заявки
однородны. Параметр потока заявок п=1, с вероятностью 1=0,3 поступает 1
заявка и с вероятностью 2=0,7
одновременно поступает 2 заявки
(интенсивность потока заявок =(11 +22)п=1,7). Заявки нетерпеливые, они
покидают очередь с интенсивностью  = 0,05.
ВАРИАНТ 26. Задана СМО: =0,65; n=1; m=2; с1=80; с2=10; с3=0,5; с4=1.
Поток заявок простейший, заявки неоднородны. С вероятностями 1=0,5;
2=0,5 поступают заявки первого и второго типа соответственно.
Интенсивность обслуживания заявок первого типа 1=1,4, а второго типа
2=0,6. Заявки нетерпеливые, они покидают очередь с интенсивностью  =0,1.
ВАРИАНТ 27. Задана СМО: n=2; m=4; =1; с1=40; с2=10; с3=0,5; с4=1.
Поток заявок стационарный неординарный без последействия; заявки
однородны. Параметр потока заявок п=1, с вероятностью 1=0,3 поступает 1
заявка и с вероятностью 2=0,7
одновременно поступает 2 заявки
(интенсивность потока заявок =(11 +22)п=1,7).
ВАРИАНТ 28. Задана СМО: =0,5; n=1; m=1; =1; с2=10; с3=1,8. Поток
заявок простейший, заявки неоднородны. С вероятностью 1=0,25 поступают
заявки первого типа и 2=0,75 – второго типа. Заявки первого типа имеют
абсолютный приоритет перед заявками второго типа. Для заявок первого типа
цена за обслуживание с11=200, потери от ожидания в очереди с41 =2,2; для
заявок второго типа соответственно с12 =40, с42=0,6
ВАРИАНТ 29. Задана СМО: =0,75; n=2; m=0; =1; с1=80. Поток заявок
простейший, заявки неоднородны, с вероятностью 1=0,3 поступают заявки
первого типа и с вероятностью 2=0,7 заявки второго типа. СМО
неполнодоступная. Первый канал может обслуживать заявки как первого, так и
второго типа, затраты на его содержание с21=10 второй канал может
обслуживать только заявки второго типа и затраты на его содержание с22=5.
Когда в момент поступления заявки второго типа свободны оба канала, заявки
принимаются на обслуживание вторым каналом.
ВАРИАНТ 30. Задана СМО. Поток заявок простейший, заявки однородны.
Интенсивность потока =1,7; n=3; m=0; с1=40. Каналы разные: первый канал
имеет интенсивность обслуживания 1=1,5;второй 2=1;третий 3=0,5. Затраты
на содержание каналов соответственно равны с21=12; с22=10; с23=6. Когда
свободны два или три канала, то очередная заявка принимается на
обслуживание каналом с меньшим порядковым номером.
50
Данные для СМО с простой структурой приведены в табл. 1.
Таблица 1
№ Кол- Кол- Интенсив Интенсивно Интенсив Цена Затраты
Вари во
во
ность сть ухода
ность
обслу на содеранта кана- мест потока заявок из обслужив жива жание
лов в оче- заявок
очереди
ания
ния
канала
реди
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
n
m



с1
с2
2
1
3
3
1
2
3
2
3
2
1
2
2
3
2
3
1
2
1
2
2
2
3
1
2
1
2
1
2
3
0
2
3
0
2
1
0
3
0
3
1
3
0
3
0
0
1
3
1
3
1
3
0
2
4
2
4
1
0
0
0,8
0,7
2,7
1,65
0,65
1,5
1,7
1,6
1,4
1,6
0,5
1,6
0,7
2,7
0,75
1,4
0,45
1,6
0,5
1,6
1,2
1,6
1,7
0,65
1,7
0,65
1,7
0,5
0,75
1,7
0,1
0,05
0,1
0,1
0,08
0,05
0,1
-
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
60
80
40
40
60
40
40
40
60
40
80
40
80
40
80
60
80
40
80
40
60
40
40
60
40
80
40
80
80
40
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
Затраты Потери
на содер- от ожижание
дания
места в обслужи
очереди
вания
с3
с4
0,5
1,3
1
3
1
1
1,8
1
1,3
0,5
1
1,8
1
1
1
1
0,5
0,5
0,5
1,8
-
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
-
6 Методические рекомендации
Наиболее творческой частью работы является составление множества
состояний, в которых может находиться система и графа марковского
случайного процесса, описывающего её переходы из состояния в состояние, а
также на основе графа марковского процесса составление выражений для
51
вероятности отказа Ротк и средней длины очереди r. Для этой задачи не может
быть предложено общего алгоритма. Здесь приведен пример решения такой
задачи. Более подробные примеры приведены в п.7.
6.1 Составление уравнений Колмогорова, формул для расчёта
вероятности отказа и средней длины очереди (пример)
Задана СМО: n=2, m=4. Поток заявок простейший с интенсивностью ,
заявки однородные. Каналы различны по интенсивности обслуживания: первый
канал имеет интенсивность обслуживания 1, второй – 2. Так как каналы
разные необходимо задать правило их занятия: когда оба канала свободны, они
занимаются случайным образом – с вероятностью 1 заявка поступает на
обслуживание в первый канал и с вероятностью 2 – во второй канал (1 + 2
=1). Заявки нетерпеливые и с интенсивностью  в любой момент могут
покинуть очередь, не дождавшись начала обслуживания
Решение. Вначале составляем множество состояний: «0» – в системе нет
заявок; «1.1», «1.2» – в системе одна заявка и она находится на обслуживании
соответственно в первом или во втором канале; «2» – в СМО две заявки, обе на
обслуживании; «3» – в СМО три заявки, из них две на обслуживании, одна в
очереди; «4», «5», «6» – в СМО соответственно четыре, пять или шесть заявок,
из которых две на обслуживании, остальные в очереди. Всего восемь
состояний. Так как заявки одинаковы, более сложное кодирование применять
не следует.
Составление графа переходов. Сначала располагаем состояния системы в
узлах графа СМО так, чтобы одинаковое число заявок было на одном уровне
(см. рис. 21). Рассматриваем соседние состояния, выясняем, возможны ли
между ними переходы, и если возможны, то какова их интенсивность.
Соединяем состояния, между которыми возможны переходы, дугами
(стрелками) и возле стрелок указываем интенсивности переходов, в результате
чего получаем размеченный граф.
1 1.1


1 2
0
2
2

1
2
1.2

3
1+2+ν

4
1+2+2ν

6
5
1+2+3ν
1+2+4ν
Рис. 21.
Из состояния «0» возможны переходы в состояния «1.1» и «1.2».
Интенсивность поступления заявок , причем доля 1 из них поступает на
обслуживание в первый канал и 2 – во второй, т.е. интенсивность перехода «0»
 «11» 1, а «0»  «12» 2. Так как для двух и более заявок в СМО имеется
52
всего по одному состоянию, то переходы из «1.1» в «2», из «1.2» в «2» и далее
«2»  «3»  «4»  «5»  «6» происходят при появлении очередной заявки с
интенсивностью , как показано на рис. 6. В состоянии «1.1» занят только
первый канал в состоянии «0» свободны оба канала. Какое же событие должно
произойти, чтобы СМО перешла «1.1»  «0»? Ясно, что должно завершиться
обслуживание заявки в первом канале, которое осуществляется с
интенсивностью 1. Аналогично переход «1.2»  «0» происходит при
освобождении второго канала с интенсивностью 2. Сравним состояние «2» и
«1.1». В состоянии «2» заняты оба канала, а в «1.1» - только первый.
Следовательно, при переходе «2»  «1.1» освобождается второй канал с
интенсивностью 2; аналогично при переходе «2»  «1.2» освобождается
первый канал с интенсивностью 1.
Переход «6»  «5» происходит либо при освобождении одного из
каналов с интенсивностью 1+2 и тогда одна заявка занимает освободившийся
канал, либо одна из четырех заявок, находящихся в очереди, покидает СМО, не
дождавшись начала обслуживания, интенсивность таких событий 4.
Аналогично происходят переходы «5»  «4»  «3»  «2», только
интенсивности переходов уменьшаются по мере уменьшения числа заявок в
очереди: 1+2+3, 1+2+2, 1+2+ соответственно. Одновременно два или
более независимых событий произойти не могут, так как вероятность двух и
более событий за малое время t  0 величина высокого порядка малости. На
этом составление размеченного графа завершается.
Составим систему уравнений Колмогорова для стационарного режима по
описанным выше правилам
 P0 1  P 0  2  P1.11  P1.2  2  0
 P   P   P   P   0
2 2
 0 1 1.1 1 1.1
 P0  2  P1.2  2  P1.2   P2 1  0

P   P1.2   P2 1  P2  2  P2   P3 ( 1   2   )  0
 1.1
 P2   P3 ( 1   2   )  P3  P4 ( 1   2  2 )  0
 P3  P4 ( 1   2  2 )  P4   P5 ( 1   2  3 )  0
 P   P (     3 )  P   P (     4 )  0
5
1
2
5
6
1
2
 4
 P5   P6 ( 1   2  4 )  0
(66)
Уравнения системы (66) линейно зависимы, в самом деле, если сложить
все уравнения получим 0=0 (проверка этого условия является одним из
подтверждений, что уравнения составлены правильно). Поэтому одно любое
уравнение (обычно последнее) необходимо заменить нормирующим условием:
Р0 + Р1.1 + Р1.2 + Р2 + Р3 + Р4 + Р5 +Р6 = 1.
53
Расширенная матрица имеет следующий вид:
1
2
3
4
5
6
7
8
Р0
-
1
2
0
0
0
0
0
Р1.1
1
--1
0

0
0
0
0
Р1.2
2
0
--2

0
0
0
0
Р2
0
2
1
--1-2

0
0
0
Р3
0
0
0
1+2+ν
Р4
Р5
Р6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
--1-2-ν 1+2+2ν
0
0
--1-2-2ν 1+2+3ν
0

--1-2-3ν 1+2+4ν
0

0
0
-1-2-4ν

с.ч.
0
0
0
0
0
0
0
0
В результате решения системы уравнений при заданных значениях
, 1, 2, 1, 2 получим значения вероятностей всех состояний: Р0, Р1.1, Р1.2, Р2,
Р3, Р4, Р5, Р6.
По описанию работы СМО и мнемоническим обозначениям её состояний,
можно легко найти показатели эффективности.Средняя
длина
очереди
рассчитывается по формуле математического ожидания
r=1P3 + 2P4 + 3P5 + 4P6.
(67)
В самом деле, в состоянии «3» в очереди находится одна заявка, в «4»- две, в
«5»- три, в «6»- четыре заявки.
Вероятность отказа в обслуживании для случая нетерпеливых заявок Ротк
рассчитывается как сумма вероятности состояния «6», в котором заняты все
каналы и все места в очереди, и доли заявок, покинувших систему, не
дождавшихся начала обслуживания (23)
Ротк = Р6 + rν/.
5.2 Решение системы линейных неоднородных алгебраических уравнений с
помощью программы Microsoft EXCEL
Пусть задана система n линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
a11 x1 + a12 x2 +…+ a1n xn =b1;
a21 x1 + a22 x2 +…+ a2n xn =b2;
(68)
…
an1 x1 + an2 x2 +…+ аnn xn =bn;
СЛАУ представляют в виде расширенной матрицы коэффициентов
a11, a12, … , a1n b1
a21, a22, …, a2n b2
…
an1, an2, …, аnn bn
и вектора неизвестных
x1, x2, …, xn
В матричной форме система уравнений (66) имеет вид
АХ=В.
(69)
Решение СЛАУ равно
54
Х= А-1 В,
(70)
-1
где А – матрица, обратная матрице А.
Решение задачи сводится к обращению матрицы коэффициентов
преобразованной системы уравнений Колмогорова с помощью функции МОБР
EXCEL. При замене нормирующим условием последнего уравнения вектор
свободных членов имеет вид
В=
0
0
...
1
и искомые значения вероятностей состояний СМО получаются в последнем
столбце обратной матрицы А-1. В том случае умножение (70) выполнять не
требуется. Обращение матрицы выполняется следующим образом. Выделяются
свободные ячейки в виде матрицы размера n х n, производится вызов функции
МОБР, аргументом является матрица А. Для выполнения операции обращения
следует одновременно нажать клавиши Enter + Shift + Ctrl.
5.3 Расчёт показателей эффективности СМО со сложной структурой
Решим систему уравнений Колмогорова (66) и рассчитаем показатели
эффективности при следующих исходных данных: =1,6; 1=1,5; 2=0,5; 1=0,4;
2=0,6; ν=0,1. Цена обслуживания одной заявки ci=40; затраты на содержание
канала первого типа в единицу времени c21=12, второго типа – c22=6; затраты на
содержание одного места в очереди в единицу времени c3=1; потери от
ожидания одной заявки в единицу времени c4=1.
Исходные данные и результаты расчёта приведены в EXCEL-таблицах.
Исходные данные и результаты расчёта выделены жирно.
n
m
2
4
1
2
3
4
5
6
7
9
P0
-1,6
0,64
0,96
0
0
0
0
1
1
2
3
4
5
6
-1,152
-0,298
-0,793
-0,373
0,1920
0,5942
Исходные данные




1,6
1,5
0,5
0,4
Расширенная матрица
P1.1
P1.2
P2
P3
1,5
0,5
0
0
-3,1
0
0,5
0
0
-2,1
1,5
0
1,6
1,6
-3,6
2,1
0
0
1,6
-3,7
0
0
0
1,6
0
0
0
0
1
1
1
1
Обратная матрица
-0,723 -0,519 -0,395 -0,251
-0,548 -0,191 -0,194 -0,123
-0,670 -1,087 -0,681 -0,432
-0,474 -0,523 -0,701 -0,444
0,1144 0,0775 -0,058 -0,338
0,5378 0,5109 0,4123 0,2081
55

0,6
P4

0,1
P5

0,64

0,96
Р6
С. ч.
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
2,2
-3,8
1,6
1
0
0
0
0
0
2,3
-3,9
1
0
0
0
0
0
0
2,4
1
-0,134
-0,066
-0,232
-0,239
-0,182
-0,132
-0,049
-0,024
-0,084
-0,087
-0,066
-0,048
0,1182
0,0582
0,2037
0,2095
0,1596
0,1161
P0
P1.1
P1.2
P2
P3
P4
7
9
0,8481
0,9821
0,8089
0,9559
0,7902 0,7216 0,5795
0,9435 0,8977 0,8030
Результаты
P0
P1.1
P1.2
P2
P3
0,1182 0,0582 0,2037 0,2095 0,1596
1
0jm
j*P(k)
0,1596
r= 0,8495
0,1069
Pотк=P6+r*/
0,3426
0,6451
-0,033
0,3942
0,0808
0,0538
P5
Р6
P4
0,1161
2
0,2322
P5
0,0808
3
0,2423
Р6
0,0538
4
0,2154
0,8495
Здесь P(k) – вероятность состояния СМО с k заявками; j – число заявок в
очереди.
Рассчитаем обобщённый показатель эффективности – прибыль СМО по
формуле (65)
W = ci (1–Pотк) –(c21 n1 +c22 n2 +c3 m+c4r)=
=401,6(1–0,1069 ) – (121 + 61 + 14 + 10,8495)= 34,31.
5.4 Исследование СМО с простой структурой (с одинаковыми каналами и
одинаковыми заявками)
Работа СМО с простой структурой описывается случайным процессом
гибели-размножения. Граф процесса гибели-размножения имеет вид,
представленный на рис.22.






1
0

2
2
3
2+ν
4
2+2ν
6
5
2+4ν
2+3ν
Рис. 22.
Вероятности состояний такой системы рассчитываются по рекуррентным
формулам:
g0=1; gk=gk-1/(i+j), 1in , 0jm, 0kn+m, знаменатель равен
G
nm
 gi , где k – состояние системы; i – число занятых каналов; j – число
k 0
занятых мест в очереди; вероятности состояний Pk=gk/G.
Исходные данные те же, что и в примере п. 6.1, только каналы
одинаковые, и имеют среднюю производительность =1 и с2=10.
Расчет целесообразно производить по программе в виде EXCEL-таблицы
лабораторной работы №1.
Исходные данные
= 1,6
С1= 40
n= 2
= 1
С2= 10
m= 4
=
n+m= 6
56
0,1
С3=
С4=
1
1
Решение
Состояние
Логическ
СМО
переменн
каналы
очередь
знаменателя
L
i
j=k-i
gk
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
1
1
1
1
0
0
Занятые места
0
1
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
1
2
3
4
5
6
Суммы:
Слагаемые
1
1,6
1,28
0,975238
0,709264
0,493401
0,328934
0
0
6,386837
Показатели
Рk
gk/G
Zcp
i*Рk
r cp
j*Рk
Рос
Pn+m
0,156572
0,250515
0,200412
0,152695
0,111051
0,077253
0,051502
0
0
1
0
0,250515
0,400824
0,30539
0,222102
0,154506
0,103004
0
0
1,436341
0
0
0
0,152695
0,222102
0,231758
0,206007
0
0
0,812563
0
0
0
0
0
0
0,051502
0
0
0,051502
Ответы
Рос= 0,0515
Ротк= 0,1023
Zcp= 1,436
r cp= 0,813
Кз = 0,718
A= 1,436
W(n,m)= 32,64
5.5 Анализ полученных результатов
Сравнение вероятности отказов и средней длины очереди показывает, что
для рассмотренных исходных данных они различаются менее, чем на 1%, т.е.
по этим показателям СМО с одинаковыми и с разными каналами практически
одинаково эффективны. Вместе с тем за счёт того, что содержание разных
каналов дешевле, СМО с разными каналами приносит большую прибыль
примерно на 5%.
6 Контрольные вопросы
1 Свойства потока заявок.
2 Что такое интенсивность и параметр потока заявок?
3 Какой поток заявок называют простейшим?
4 Какой случайный процесс называют однородным марковским?
5 В каком случае работа СМО описывается однородным марковским
процессом?
6 Стационарный марковский случайный процесс.
7 Правила составления уравнений Колмогорова для стационарного
марковского случайного процесса.
8 Показатели эффективности СМО.
9 Какой случайный процесс называют процессом гибели-размножения?
57
10
11
12
13
14
15
16
В каком случае работа СМО описывается процессом гибели-размножения?
Классификация типов заявок.
Что такое относительный и абсолютный приоритет?
Классификация СМО по порядку в очереди.
Какие заявки называют нетерпеливыми?
Порядок занятия каналов.
Какие СМО называют неполнодоступными?
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1 Вентцель, Е.С. Исследование операций / Е.С. Вентцель. – М.: Высшая школа,
2006.
2 Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания /
А.Я. Хинчин. – М.: Физматгиз, 1963.
3 Линденбаум, М.Д., Математические модели и оптимизации систем массового
обслуживания / М.Д. Линденбаум, Т.М. Линденбаум.– Ростов-на-Дону:
ИУБиП, 2007.
58