Методы построения кривой доходности

Отчет
по проекту «Мониторинг спреда доходности. Тестирование Confluent
Hypergeometric function в качестве уравнения для установления цены
бескупонных облигаций, то есть для поиска решения для непрерывно
начисляемой процентной ставки в форме нелинейной средней доходности и
построение кривых бескупонной доходности для российского рынка.»
в
рамках ПУГ «Анализ финансовых рынков»
Выполнил:
Коныгин С.С
Москва
2009
1
Оглавление
Введение ................................................................................................................................................................. 3
Глава 1 Облигационные спреды................................................................................................................. 6
Глава 2 Построение кривых доходности по бескупонным облигациям .............................. 8
Методы построения кривой доходности ....................................................................................... 10
Метод «обратной связи» .................................................................................................................... 11
Метод интерполяции........................................................................................................................... 13
Метод Нельсона-Зигеля ..................................................................................................................... 16
Методика пересчета параметров G-кривой.................................................................................. 18
Стандартная процедура оценки кредитных спредов.............................................................. 20
Глава 3 Эконометрические модели динамики процентных ставок .................................... 29
Глава 4 Модели построения временной структуры процентных ставок .......................... 31
Модели динамики процентных ставок ........................................................................................... 31
Модель Vasicek ........................................................................................................................................ 32
Heath-Jarrow-Morton Model......................................................................................................................... 33
Глава 5 Confluent Hypergeometric function (CHF)............................................................................. 35
Заключение ........................................................................................................................................................ 41
Список литературы ........................................................................................................................................ 42
Приложение .............................................................................................................................................. 44
2
Введение
Актуальность темы динамики процентных ставок сложно переоценить в
свете финансового кризиса, влияние которого ощутили все игроки
финансового рынка во всем мире. Сейчас особо важно понимать структуру
процентных ставок на коротких и длинных временных горизонтах, поскольку
широкое применение в последнее время ценных бумаг с фиксированной
доходностью для рефинансирования долга для Российского финансового
рынка требует четкого понимания влияние тех или иных факторов на
временную структуру.
Во-вторых, это особенно важно для ведения правильной (с точки зрения
вероятных потерь в репутации 1политики Центрального Банка, установления
коридора для национальной валюты к бивалютной корзине, учета
инфляционных ожиданий участников финансового рынка).
Необходимо также отметить, что существование инерции в политике
Центрального Банка отражает влияние решений, которые нацелены на
изменение коротких процентных ставок, что отражается на доходности
ценных бумаг в долгосрочной перспективе. 2Ожидания игроков финансового
рынка на примере финансового кризиса 20008 года , когда активно
разгонялись ставки РЕПО, могут повлиять и на цели политики центрального
банка, которые впоследствии выражается к активным действиям на
финансовом рынке последнего ( валютная интервенция). В данный момент
ЦБ России возвращается к политики инфляционного таргетирования, и
снижение инфляции в рамках не превосходящих одного десятка процентов
становится первоочередной задачей.3
Когда экономика страны испытывает сложности с валютной ликвидностью,
то это выражается в резком росте доходности бумаг с фиксированной
доходностью по отношению к иностранным аналогам как с коротким
1
Gregor Irwin, David Vines, A Krugman-Dooley-Sachs Third Generation Model of the Asian Financial Crisis
(1999)
2
Peter Tillmann «Inflation regimes in the US term structure of interest rates», Economic
Modelling,2006
Презентация МЭРТ в ГУ-ВШЭ, май, 2009
Выступление Министра Финансов А.Кудрина, декабрь 2009,
http://www.gzt.ru/topnews/economics/279308.html
3
3
периодом (вставить источник) обращения, что отражает неуверенность
инвесторов в завтрашнем дне. Временная структура процентных ставок
является основой для успешного выполнения механизма кредитования
участников фондового рынка, поскольку доходность, которая является
результатом построения кривой, показывает настроение участников рынка.
В случае, когда государство имеет как внешний, так и внутренний
государственный долг, то управление и построение кривой доходности
является залогом успешной и точной оценки предстоящих выплат. А это в
свою очередь позволяет избежать попадания в долговую яму по
просроченным платежам. Временная структура процентных ставок позволяет
оценить влияние как макроэкономических факторов, так и поведение
участников финансового рынка.
Во-первых, кредитование Центральным банком кредитных организаций
производится на определенных условиях, а именно отвечающим критериям
на момент его предоставления под ставку рефинансирования, которая в
нашей стране играет роль фискальной меры и дает понимание стоимости
денег на рынке заимствований, поскольку является регулирующей и
стимулирующей мерой. Временная структура наглядно показывает, под
какие ставки занимают коммерческие организации на разных временных
горизонтах, а также позволяет сделать выводы о том, находятся ли реальные
процентные ставки в положительной области или нет исходя из имеющегося
уровня инфляции.
Во-вторых, если посмотреть на рынок внутреннего государственного долга
который частично отражает уровень государственных заимствований по
ценным бумагам, то показатели процентных ставок по краткосрочным и
долгосрочным бумагам помогают выяснить степень доверия и
удовлетворенности уровнем доходности инвесторов, вкладывающих капитал
в государственные облигации.
Если посмотреть на финансовый рынок со стороны контрагентов, то
динамика процентных ставок по кредитам и депозитам отражает объем
денежных потоков в секторе, благодаря чему можно судить о достаточности
4
средств в экономике для покрытия различных инвестиционных проектов на
уровне государства, так и на уровне частного сектора.
Таким образом, кривая доходности отражает состояние рынка заемного
капитала в данный момент и учитывает ожидания игроков рынка при
построении прогнозов. Особый
интерес
представляет реакция
долгосрочных ставок на изменения краткосрочных ставок, а также
использование кривой доходности как инструмента оценки деятельности по
управлению портфелем ценных бумаг с фиксированным доходом.
Данная работа построена следующим образом. В первой главе будет
показано, почему важно понимать, отслеживать и уметь правильно
использовать существующие спреды по облигациям.
В главе 2 проведен анализ методов построения кривой доходности ценных
бумаг, а также представлено теоретическое описание кривой бескупонной
доходности. Дано сопоставление моделей, которые используются для
построения бескупонной кривой доходности. В работе уделяется особое
внимание рынку ОФЗ как единственному эталонному инструменту
ценообразования на рынке государственных ценных бумаг.
Далее в главе 3 будут рассмотрены некоторые эконометрические модели
динамики процентных ставок. В этой части работы акцент сделан на
зарубежном опыте построения различных моделей поведения процентных
ставок разных по срокам погашения ценных бумаг, а именно рассмотрены
модели GARCH, VAR-модели. Самая важная составляющая обзора моделей –
оценка возможности их апробации на российском рынке ценных бумаг с
учетом специфики рынка. Обзор моделей служит базой для проведения
собственного исследования, которое будет добавлено в качестве новой
главы в последующих редакциях работы.
В главе 4 проведен анализ подходов к моделированию процентных ставок,
которые используются в зарубежных крупных инвестиционных компаниях.
Данная тема мало освещена в русскоязычной литературе, подобных
примеров имитационных моделей на российском рынке ценных бумаг не
имеется. В качестве примера продемонстрированы возможности
5
прогнозирования по одной из моделей, показана иллюстрация кривой
доходности для компании нефтегазового сектора России.
В главе 5 показаны возможности применения Confluent Hypergeometric
function в качестве уравнения для установления равновесной (справедливой)
цены бескупонных облигаций и для поиска решения для непрерывно
начисляемой процентной ставки в форме нелинейной средней доходности.
Проведен анализ возможности построения кривых доходности для
российского рынка облигаций.
В заключении работы будет изложен анализ проделанной работы и
возможные дальнейшие направления исследований.
Глава 1 Облигационные спреды
Для начала дадим определение, что такое спред. Понятие спреда
многогранно. Часто спред трактуется как разность между лучшими ценами
покупки (бид) и продажи (аск) в один и тот же момент времени на какойлибо актив (акцию, товар, валюту, фьючерс, опцион). В рамках данной
работы в качестве спреда рассматривается разность в доходностях
облигаций разного уровня риска (включая дюрацию).
Если говорить о рынке государственных ценных бумаг, то определение
спреда означает разность в доходности между ГКО-ОФЗ разных выпусков.
Если рынок корпоративных облигаций, то разность в доходностях бумаг
разных компаний одного сектора схожего по характеристикам риска
сравнимых компаний4.
Для обеспечения ликвидности рынка, обычно на биржах устанавливается
размер максимального спреда. На рынке корпоративных облигаций, это
проявляется в установлении определенного уровня доходности купонных
выплат и в количестве выплат в год, что влияет на эффективную доходность к
погашению. По показателю YTM рассчитывается справедливая цена
облигации и сравниваются спреды в доходности.
4
Aswath Damodaran, Measuring Company Exposure to Country Risk: Theory and Practice , Stern School of
Business,2003
6
Таким образом, игроки финансового рынка, имеющие на балансе компании
корпоративные облигации
наблюдают рыночную доходность
по
облигациям как одного эмитента, так и схожих компаний по отрасли с учетом
фундаментальных характеристик компании (риск, капитализация, наличие
конкурентов, схожие финансовые показатели оценки деятельности
компании 5и имеют возможность совершать такие действия с ценными
бумагами, как продать сейчас (считая, что цена на рынке справедливая),
подержать на балансе компании(для недооцененной бумаги), осуществить
обмен на другую, схожую по риску для данной отрасли, но с меньшей
изменчивостью к конъюнктуре рынка (изменению процентной ставки) и
другие, что не является основной темой данной работы.
В случае, когда один участник рынка обеспечивает одновременно как
покупку, так и продажу, что является нормой для инвестиционной компании,
он формирует фиксированный спред, который не меняется при изменении
котировок.
В этом помогает построение кривой доходности по облигациям. То есть в
координатах «доходность к погашению – дюрация» строится график по
необходимой выборке бумаг. Построение адекватной кривой доходности
остается одной из основных задач финансовой инженерии. Правильно
построенная кривая облегчает поиск инструментов с арбитражными
возможностями и позволяет корректно рассчитывать спреды к
безрисковым ставкам.
Рассмотрим вопрос, на основе чего принимаются описанные выше действия
по отношению к ценным бумагам с фиксированной доходностью.
Во-первых, это экспертная оценка компании на покупку\ продажу.
Во-вторых, это выходящая отраслевая статистика, показывающая насколько
рынок перегрет или находится на стадии спада, то есть показывающая
дальнейшее движение цен на облигации. Например, МЭРТ выпускает
5
Aswath Damodaran, Measuring Company Exposure to Country Risk: Theory and Practice , Stern School of
Business,2003
7
статистику по отраслям экономики, исходя из которой, следуя методам
прогнозирования
(таблицы Леонтьева) можно сделать выводы о
количественных показателях сектора. Результаты показывают, будут ли
трудности с поступлением денежных средств от контрагентов (уменьшение
спроса на продукцию) или наоборот, что сектор перегрет. Поэтому имея на
руках такой анализ, компании, выпустившие облигации, прогнозируют
доходность по купонным платежам.
В-третьих, на основе математических моделей динамики процентных ставок,
которые прогнозируют те или иные рыночные эффекты на цены облигаций и
их доходность. Этой теме и будут посвящены следующие главы данной
работы.
Глава 2 Построение кривых доходности по бескупонным облигациям
Данная глава посвящена теоретическим основам построения кривых
доходностей. Временная структура процентных ставок является широким
полем для применения различных подходов для исследований. В России
Центральным Банком используется кривая бескупонной доходности (КБД).
КБД - способ описания временной структуры процентных ставок для
однородных финансовых инструментов (долговых ценных бумаг) со
сходными
качественными характеристиками, в том числе близкого
кредитного качества. Кривая бескупонной доходности по государственным
ценным бумагам является одним из главных индикаторов состояния
финансового рынка и базовым эталоном для оценки различных облигаций и
иных финансовых инструментов.
Стоимость облигаций (например, ГКО) складывается под действием
текущих цен и связанных с ними процентных ставок, характеризующих
уровень риска. В этом случае под спот-ставкой понимается доходность
к погашению в годовом исчислении дисконтной бумаги. На рынке
обращаются облигации, до погашения которых остается различное время.
Доходность по разным облигациям различная и спот-ставки для разных
интервалов времени до погашения разные. Годовая спот-ставка меньше, чем
двухгодовая, которая в свою очередь меньше, чем трехгодовая и т.д.
Но в другие периоды времени зависимость может быть и противоположной.
8
Поэтому при анализе ценных бумаг с фиксированным доходом следует
понимать и учитывать, какая тенденция преобладает в конкретный момент
и можно ли ожидать изменение этой тенденции по облигациям
с одинаковым уровнем риска.
Значение КБД для Российского рынка исходит из политики Министерства
Финансов об оптимальном управлении государственным долгом с целью
распределения выплат по обслуживанию уже совершившихся выпусков 6В
условиях нестабильной экономической обстановки как в России, так и за
рубежом, временная структура процентных ставок позволяет соотнести
ожидания инвесторов относительно бумаг с разными сроками погашения.
Немаловажная задача состоит в том, какую информацию извлечь из того или
иного вида КПД. Существует три основных графика зависимости между
доходностью и сроком, оставшимся до погашения, или три типичные формы
кривых доходности.
 Положительный наклон, или возрастающая кривая, — доходность
долгосрочных кредитов выше краткосрочных.
Эта ситуация характерна тем, что инвесторы ожидают повышения
процентных ставок (гипотеза ожиданий). При слабом возрастании кривой
ожидается слабое понижение процентных ставок. При сильном наклоне,
вероятно, рынок ожидает повышения процентных ставок в будущем. Так
характеризуется
доходность
облигаций
в условиях
нормальной
экономической ситуации. Возможные потери инвесторов у условиях
неопределенности в будущем при росте процентных ставок требуют
соответствующую премию за риск.
 Отрицательный наклон, или убывающая кривая доходности,
Доходность краткосрочных выше доходности долгосрочных облигаций.
Рынок ожидает последующего существенного падения ставок. В условиях
повышенной инфляции доходность облигаций падает (спрос на деньги
значительно превышает их предложение, цена облигаций увеличивается)
Также возможны постоянные (горизонтальные) кривые доходности, которые
Гамбаров Г., Шевчук И., Балабушкин А., Никитин А. Кривая бескупонной
доходности на рынке ГКО-ОФЗ. М.: ЦБРФ; ММВБ, 2004.
6
9
наблюдаются только тогда, когда рынок ожидает некоторого падения
процентных ставок.
В экономической
литературе
можно встретить две концепции,
отражающие срочную структуру процентных ставок: кривая доходности к
погашению (yield curve) и кривая бескупонной доходности (zero-coupon yield
curve) или кривая спот-ставок (spot rate curve).
В качестве одной из переменных, характеризующих облигацию, выступает
срок погашения (или дюрация), а в качестве другой – доходность к
погашению (YTM). Второй подход к срочной структуре процентных ставок
является более точным отражением экономического смысла кривой
доходности. Разница между кривой бескупонной доходности и кривой
доходности к погашению равна купонному эффекту.
(см. Приложение)
Методы построения кривой доходности
Понимание
динамики временной кривой процентных ставок
необходимо для финансовых институтов, специализирующихся на
инструментах с фиксированным доходом. Например, если рассмотреть
ипотечный рынок, то аналитическая система банков обычно требует знания
изменений процентных ставок на ближайшие 360 месяцев. Формулы,
известные для определения доходности к погашению, цен облигаций и
срочных процентных ставок могут помочь аналитикам, при условии, что им
известны ставки по бескупонным облигациям с аналогичными сроками
погашениями. Многие рынки используют в качестве сравнительных
показателей т.н. эталонные, государственные облигации (В России ГКО-ОФЗ).
Существуют два различных (с технической точки зрения) метода построения
кривой доходности:
 Метод обратной связи (bootstrapping)
 Метод интерполяции
Перед любым методом необходимо определить задачи, стоящие перед
использованием того или иного метода. Мы выделяем три задачи:
1) оценить временную структуру процентных ставок
2) объяснить выводы о виде кривой процентных ставок
3) проанализировать влияние процентных ставок на экономику
10
Метод «обратной связи»
Данный метод исходит из того, что нам известны процентные ставки по
бескупонным облигациям с различным сроком погашения. Используя
уравнение:
Где,
- процентная ставка по бескупонным облигациям,
процентная ставка по купонным облигациям можно найти ставки по
купонным облигациям. А если известны ставки по купонным облигациям, то
необходимо решить обратную задачу, и такой метод называется методом
обратной связи или (bootstrapping). Предположим, что проценты
выплачиваются периодически. Величина
равна ставкам по купонным
облигация в первый период. Для того, чтобы найти , где n=2,3…,
необходимо решить уравнение обратное (1) заново (выражаем
из
уравнения).
Необходимо еще раз подчеркнуть, что для решения уравнения
обратного к (1) необходимо иметь значения ставок по бескупонным
облигациям
в правой части уравнения. Неизвестными являются ставки
по бескупонным облигациям . Процесс поиска следующего значения
бескупонной ставки можно легко систематизировать, достаточно иметь
историю предыдущих значений и подсчитанные аннуитеты платежей.
Достаточно добавлять новый член к уже имеющемуся значению этого
параметра за предыдущий период. Как только будет построена кривая
доходности бескупонных облигаций, то можно рассчитать кривую срочных
процентных ставок для купонных и бескупонных облигаций. Необходимость
в знании значений процентных ставок спот отпадает. (См. приложение)
Напомним общий алгоритм построения бескупонных кривых bootstrapping. Это итерационный процесс, который позволяет построить
бескупонную кривую, используя в расчетах выпуски, начиная с самого
короткого и заканчивая выпуском с максимальным сроком обращения.
1. Берется самый короткий выпуск. Оптимальным вариантом
является облигация, по которой остался лишь один платеж, равный
номиналу плюс последний купон. Для него рассчитывается доходность,
которая и становится первой известной спот-ставкой.
11
Спот-ставки – наиболее используемые в моделях динамики
процентных ставок вид ставок, представляющих собой доходность к
погашению по бескупонной облигации с определенным сроком до
погашения и рассчитываемая в конкретный момент времени. В более общем
представлении спот-ставка – это процентная ставка, под которую в нулевой
момент времени предоставляется некоторый заем на период времени, для
которого и вычисляется ставка. Для более длинных выпусков (с числом
невыплаченных купонов два и больше) необходимо оценить самую
короткую
спот-ставку посредством близких по кредитному качеству
инструментов.
2. Далее расчеты происходят со следующей по сроку обращения
(не по дюрации) облигацией. Первые платежи дисконтируются по уже
известным спот-ставкам. Ставка для последней выплаты, включающей купон
и номинал, подбирается так, чтобы сумма дисконтированных платежей
была равна рыночной цене облигации с учетом накопленного купонного
дохода.
12
Перебирая таким образом все обращающиеся выпуски облигаций,
получаем бескупонную кривую.
Рисунок 1. Метод Bootstrapping. Поиск спот ставок.
Рисунок 2. Метод Bootstrapping. Временная структура процентых ставок
В качестве иллюстрации метода приведен пример расчета для облигаций с
разными купонными выплатами ранжированные по возрастанию дюрации.
Метод интерполяции
Если одно из значений процентных ставок по купонным облигациям
отсутствует, то использование метода обратной связи
не позволит
определить ни процентную ставку по бескупонной облигации, ни
13
процентные ставки в следующие периоды. В таком случае используется
другая техника-интерполяция. Интерполяция — в вычислительной
математике способ нахождения промежуточных значений величины по
имеющемуся дискретному набору известных значений. Как правило, на
основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы
с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача
называется аппроксимацией кривой. Интерполяцией называют такую
разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции
проходит точно через имеющиеся точки данных.7. Рассмотрим простейший
вариант интерполяции- линейную интерполяцию. По двум известным
значениям процентных ставок с разными сроками погашения –
краткосрочная ставка, 3-х летняя, 6-ти летняя и т.д. рисуется прямая,
соединяющая пару точек. Краткосрочная срочная процентная ставка зависит
от первой производной функции кривой доходности бескупонных
облигаций. Кусочно-линейная форма кривой доходности бескупонных
облигаций означает, то функция краткосрочных срочных ставок имеет
разрывы (не является непрерывной).
Рисунок 3 Кривые доходности на рынке спот и срочных рынках
Использование другого метода приближения функций-экстраполяции с
помощью кубических сплайнов (spline extrapolation) обеспечивает
непрерывность кривой доходности. Сплайн - кусочная функция, между
7
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
14
каждой парой узлов которой имеет свой полином, и равенство производных
в узлах. Это обеспечивает непрерывность второй производной на всем
интервале интерполяции. Это также позволяет добиться большей гибкости и
точности, большей чувствительности и возможность контроля гладкости.
Данный метод заключается в разбиении всего интервала, охватывающего
максимальный срок обращения государственных облигаций, на
отдельные сегменты, каждый из которых содержит собственную
аппроксимирующую процентную
структуру функцию. Графически, эта
функция будет иметь гладкий вид в отличие от кусочно-линейной.
Рисунок 4. Кривая процентных ставок, построенная методом интерполяции
После того, как определены методы соединения значений процентных
ставок, возникает проблема в приближении к точным статистическим
значением. Другими словами, если имеется точка, по которой нет данных, то
выбранный метод должен предложить наиболее точный вариант оценки
значения процентной ставки. Возникает двойственная проблема: гладкость
против точности.
В данном разделе будут кратко перечислены основные методы. Для
более подробного ознакомления указан список используемой литературы.
Способы приближения кривой доходности:
 Статические методы – приближение кривой доходности
o Параметрические методы (Нельсона-Зигеля, Свенсона)
o Непараметрические методы (Васичека-Фонга, синусоидальноэкспоненциальные сплайны)
15
 Динамические методы
o 3-факторная модель Васичека с оценкой параметров фильтром
Калмана.
o Общая афинная модель временной структуры.
o Подход, основанный на непосредственной эволюции цен.
Остановимся подробнее на методах, которые используется
центральным банком для российского рынка долговых бумаг.
Метод Нельсона-Зигеля
В модели Нельсона-Сигеля мгновенная форвардная ставка равна:
 t 
t
t

 t
forward SV (t )   0   1   2  exp      3 exp   
  
2

 2 
где
βi, τ- параметры, подлежащие определению.
непрерывно
начисляемая процентная ставка имеет вид:

 t
RNS (t )   0  ( 1   2 ) 1  exp  
t
 
Соответствующая

 t
   2 exp   

 
Где - параметр, отвечающий за вклад в модель влияние долгосрочной
компоненты,
- за краткосрочный компонент,
- отвечает за
среднесрочное влияние, τ – коэффициент затухания.
В модели Нельсона-Свенсона добавляются еще два параметра ,
 t 
t
t

 t
forward SV (t )   0   1   2  exp      3 exp   
  
2

 2 
Два дополнительных параметра отвечают за кривизну кривой и добавляет
еще один «горб». Это позволяет добиться более точного приближения к
данным.
Таблица 1. Применение методик в разных странах
Центральный банк
Бельгия
Метод оценки:
параметрический Р
сплайны S
P
Nelson-Siegel,
Svensson
16
Великобритания
S
Waggoner
Германия
P
Svensson
Испания
P
Svensson
Италия
P
Nelson-Siegel
Канада
S
Merrill Lynch
Норвегия
P
Svensson
США
S
Fisher-Nychka-Zervos 8
Финляндия
P
Nelson-Siegel
Франция
P
Швейцария
P
Nelson-Siegel,
Svensson
Svensson
Швеция
S&P
Svensson
Япония
S
Fisher-Nychka-Zervos
Методика расчета кривой доходности на российском рынке
предполагает модифицированную
модель Нельсона- Свенсона с
корректирующими добавками (для непрерывно начисляемой процентной
ставки):

 t
R(t )   0  ( 1   2 ) 1  exp  
t
 
 t2 
 (t  1) 2 
 (t  2) 2 

 t
  g 3 exp  

   2 exp     g1 exp     g 2 exp  
2 
2 

 
 2


(2)
В рамках данной модели G-кривая однозначно определяется набором
из 7 параметров:  0 , 1 ,  2 ,  , g1 , g 2 , g3 .
Вектор параметров G-кривой x   0 , 1 ,  2 ,  , g1 , g 2 , g 3  пересчитывается
после совершения каждой сделки с облигациями, для которой выполняются
следующие условия:
- выпуск облигаций входит в базу расчета;
- до погашения выпуска облигаций остается не менее 30 календарных дней.
Подробнее см. Fisher M., Nychka D., Zervos D. “Fitting the term structure of interest rates with smoothing
splines” , Federal Reserve Board, Finance and Economics Discussion Series, Working Paper # 95-1, 1995
8
17
Методика пересчета параметров G-кривой9
Вектор параметров G-кривой x   0 , 1 ,  2 ,  , g1 , g 2 , g 3  пересчитывается
после совершения каждой сделки с облигациями, для которой выполняются
следующие условия:
- выпуск облигаций входит в базу расчета;
- до погашения выпуска облигаций остается не менее 30 календарных дней.
Пересчет параметров G-кривой осуществляется следующим образом.
Пусть xn1 - значение вектора после обработки сделки с номером n  1 , YTM n доходность сделки с номером n . Тогда новый вектор параметров x n
получается в результате следующих шагов:
1) Для выпуска облигаций, с которым прошла сделка, по формуле ( 3 ) для
каждой даты выплат ti рассчитывается дисконтный коэффициент D(ti ) и
определяется расчетная цена выпуска:
N
Bxn1    D ti  Ci ,
i 1
где:
N - количество предстоящих выплат по данному выпуску,
C i - соответствующие объемы выплат, выраженные в процентах от
непогашенной части номинальной стоимости выпуска.
2) Определяется расчетная доходность к погашению YTM xn1  по процедуре,
установленной на рынке ГКО-ОФЗ, исходя из расчетной цены Bxn1  .
3) Численным методом рассчитывается вектор частных производных h
функции YTM x в точке xn1 .
4) По-компонентно рассчитывается новая оценка x n :
xn , j  xn1, j 
xn , j  xn1, j 
h j  2j  n
Q    d
h j  2j
2
n
2 (Q   )d
,
Q
d
Q
если 2n 
d
если
sign ( n ),
2n 



 (4)



где:
j  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 - номера компонентов,
 n  YTM n  YTM ( xn1 ) ,
9
(5)
Взято из «Методика расчета Кривой бескупонной доходности по государственным ценным бумагам» , [1]
18
7
Q   h 2j  2j ,
j 1
 j - среднеквадратическое отклонение погрешности оценки параметра xn , j ,
-
дисперсия погрешности наблюдения, расчет которой приведен в разделе
7 настоящей Методики.
Функция sign () обозначает знак (плюс или минус) выражения,
находящегося в скобках. В случае значительного отличия YTM n от YTM xn1 
для предотвращения резкой, скачкообразной реакции кривой величина  n
ограничивается способом, приведенным в разделе 6 настоящей Методики.
5) если xn , 4  0,3 , т.е. если параметр  стал меньшим или равным 0,3 
расчеты, осуществленные в соответствии с пунктом 4) настоящего раздела,
аннулируются;  4 обнуляется и снова выполняется пункт 4) настоящего
раздела. После этого параметру  4 возвращается прежнее значение.
Из оценки x n при совершении следующей сделки получается оценка
x n 1 и так далее, т.е. алгоритм рекуррентный.
Кроме того, существуют также ограничения на величину спреда для
каждого выпуска облигаций и нормированные границы по выпуску
облигаций. Также учитывается «вес» сделки или объем сделки. Для
сглаживания кривой применяют фильтр Калмана и многомерное
экспоненциальное сглаживание.10
В настоящее время некоторые финансовые организации
и
коммерческие банки в России используют различных виды спредов
доходности при оценке справедливой стоимости облигаций, а именно:11
 Номинальный спред (облигация\облигация)
 Z-спред (спред к кривой бескупонных доходностей, который
учитывает форму кривой доходности)
 Относительный спред (облигации / доходность к погашению)
 I-спред (облигация\своп)
Теперь постараемся ответить на вопрос, почему же кривая доходности имеет
такой вид. Для этого сравним два графика кривой доходности на две даты:
докризисная и текущая.
Источник: http://old.micex.ru/analytics/gko_yieldcurve
Подробнее см. [2]
Подробнее см. М.Галкин, ПРОЦЕНТНЫЕ СВОПЫ, ШАГ №2: о Z-спрэдах, графиках и «перегретости»
рынка, МДМ Банк, 14.05.07; В.Крылова, Z-спрэд и его братья, РЕНЕССАНС КАПИТАЛ, 30.10.06
10
11
19
Рисунок 5. КПД по ОФЗ на 18 декабря 2009 года
Рисунок 6. КПД по ОФЗ на 18 декабря 2008 года
Стандартная процедура оценки кредитных спрэдов
Для начала, стоит определить отчего появляется спрэд в доходностях. Для
того, чтобы ответить на этот вопрос обратимся к рисунку 5, где изображена
временная структура процентных ставок.
20
Премия за ликвидность
Премия за риск
дефолта эмитента
Безрисковая ставка
Рисунок 7. Временная структура процентных ставок.
Таким образом, перед инвестором стоит задача соотнести всевозможные
риски и выбрать наиболее подходящую процентную ставку, которая будет
отражать доходность бумаги. Существует некая базовая часть, что
выражается в минимальной доходности, равной безрисковой части. И
существует надбавка к безрисковой ставке в виде двух премий: за дефолт и
за ликвидность.
Премия за дефолт отражает:
Во-первых, надежность компании по осуществлению процентных
выплат. С этой целью производится сопоставление дохода, получаемого
компанией в течение года, с суммой процентных платежей по всем видам
займов. Величина дохода в 2—3 раза должна превышать размер процентных
выплат, что свидетельствует об устойчивом финансовом состоянии корпорации. Анализ целесообразно производить в динамике за ряд лет. Если
тренд возрастающий, то фирма наращивает свои возможности для покрытия
процентных платежей. Если же тренд понижающийся, то это свидетельствует
о нестабильности деятельности компании и с течением времени она не
сможет в полном объеме обеспечить процентные выплаты.
Во-вторых, способность компании погасить имеющуюся задолженность
по
всем
основаниям.
Инвестор
должен
учитывать,
что,
кроме
21
облигационного
долга,
у
фирмы
могут
быть
и
другие
долговые
обязательства. Поэтому в процессе анализа производится сопоставление
потока поступлений денежных средств в компанию с общей суммой
задолженности. Приемлемым уровнем считается, если сумма дохода по
отношению к величине долга составляет не менее 30%.
В-третьих, финансовая независимость компании. С этой целью общая
сумма долга сопоставляется с собственным капиталом фирмы. Обычно
считается, что предприятие находится в хорошем финансовом состоянии и не
зависит от внешних источников финансирования, если величина долга не
превышает
50%
ее
собственного
капитала.
Кроме
перечисленных
показателей, производится оценка платежеспособности фирмы, ликвидности
активов,
рентабельности
функционирования
и
других
качественных
параметров деятельности компании. Рядовому инвестору провести качественный
анализ
облигаций
практически
невозможно.
Крупные
инвестиционные компании имеют в своем штате службы анализа,
рекомендации которых обеспечивают принятие обоснованных решений.
Премия за ликвидность отражает:
Во-первых, возможность получения инвестором высоколиквидных
бумаг. Например, это делается с помощью разных рейтинговых агентств.
Высокий рейтинг, установленный для ценных бумаг данного эмитента,
помогает повысить ликвидность ценной бумаги и снизить цену займа.
Действительно, на развитом рынке, где практически все долговые
обязательства имеют рейтинговую оценку, трудно продать какую-либо
облигацию, если отсутствует ее рейтинг. Инвестор требует большей
доходности в краткосрочный момент времени, чем в долгосрочном, так как
риски завтра играют более важную роль, чем риски через 5,10 лет.
22
Во-вторых, облигации, которые инвестор может купить или продать
быстро без существенной скидки в цене, считаются ликвидными, а чем
сложнее это сделать, тем выше ликвидный риск.
Базовая часть представляет собой ставку центрального банка, а
остальные надбавки- это переменная часть. Если мы рассматриваем
межстрановое вложение, то далее переменная часть может менять исходя
также из наличия специфических страновых (политических) рисков и низкая
ликвидность акций (долей капитала) как несистематический риск по рынку.
Инвестор при выборе объекта вложения определяет величину каждого из
рисков и создает индивидуальный кредитный спрэд. 12
Возникает вопрос: как определить величину всех рисков, а
соответственно величину кредитного спрэда.
Что можно наблюдать в последнее время по спрэдам в России, США.
Рисунок 8. Динамика спредов, ноябрь 2009
Рост спреда говорит о неопределенности на рынке (нарастании риска).
Видно из таблицы 9 (рисунок 9), что рост риска значительный.
12
Aswath Damodaran, Measuring Company Exposure to Country Risk: Theory and Practice , Stern School of
Business,2003
23
Рисунок 9. Доходность US Treasures, ноябрь 2009
Вид бумаги
ГОС. Облигации
Корп.
Облигации
Страна
Россия
Рост и сужение, в связи с
опережающим снижением
доходности RUS 30
Постепенное снижение
доходности по бумагам 1,2
эшелона и небольшой рост по
1-му эшелону.
Муниципальные Ниже безрисковой ставки.
облигации
Минимальный объем торгов
обусловлен отсутствием
интереса инвесторов к
рыночным сделкам с
госбумагами, поскольку
доходности практически всех
ОФЗ находятся на нерыночных
уровнях.
При этом попытки продавить
котировки госбумаг вниз
наталкиваются на отсутствие
продавцов на рынке, тем
самым затрудняя открытие
коротких позиций.
США
Расширение, в связи с
данными о замедлении
темпов роста экономики,
ростом риска дефолта
В условиях кризиса
сильно выросла доля
бумаг с высоким
спрэдом. Спрэды бумаг с
разным рейтингом поразному реагируют на
ухудшение кредитных
условий
Сильный рост спрэдов.
На фоне кредитного
кризиса спрэды
расширились ввиду того,
что инвесторы перешли
на более качественную
оценку
фундаментальных
показателей кредитора, а
не полагаясь на
рейтинговые агентства.
Таблица 2.Различия в спредах по видам облигаций и странам
24
Попытаемся проанализировать влияние каждого фактора на спрэд
по облигациям. В настоящее время инвесторы интересуются самым
надежным вложением денег, поскольку огромные суммы денег нельзя
держать в наличности, то они вкладываются с облигации, как более
надежный инструмент. Самые надежные – это американские treasures.
November 2009
Date
1 mo
3 mo 6 mo 1 yr 2 yr 3 yr 5 yr 7 yr 10 yr 20 yr 30 yr
11/02/09
0.03 0.06 0.17 0.38 0.92 1.44 2.33 3.00 3.45 4.22 4.26
11/03/09
0.04 0.06 0.17 0.38 0.92 1.46 2.36 3.05 3.50 4.29 4.34
11/04/09
0.05 0.05 0.16 0.36 0.91 1.46 2.39 3.09 3.57 4.36 4.41
11/05/09
0.06 0.04 0.16 0.36 0.90 1.44 2.35 3.06 3.57 4.36 4.41
11/06/09
0.06 0.06 0.16 0.34 0.86 1.40 2.30 3.02 3.54 4.35 4.40
11/09/09
0.06 0.07 0.17 0.34 0.87 1.40 2.31 3.01 3.52 4.34 4.40
Таблица 3. Treasury Yield Curve Rates
Как видно в последние дни 2009 г на торгах: в настоящий момент мы
наблюдаем положительную доходность по US T. Однако в США в середине
2008 года наблюдались отрицательные ставки т.е. инвесторы готовы еще
доплачивать,
чтобы
получить
более
менее
надежную
бумагу
(профессиональные инвесторы фиксировали прибыль от игры на фондовом
рынке и сохраняли ее в высоконадежных бумагах). Если учесть рост
безработицы и постоянное вливание денег в экономику, то возникает
опасность «ликвидной ловушки». Ее характерные черты:

на денежном рынке продолжает нарастать предложение денег при
стабильно низкой норме процента;
25

на товарных рынках останавливается рост инвестиций, производства и
предложения.
В России тот, факт, что происходит рост спреда, связан со страновым
риском. Инвесторы уводят деньги из emerging markets. Во-вторых, оказывает
влияние и ожидание девальвации, что увеличивает риск ликвидности, что
приводит к постоянному переводу рублевой наличности в доллары.
Анализируя рыночную стоимость и кредитный спред торгуемой
облигации, инвестор может получить определенное представление об
оценке уровня риска облигации участниками торгов. Для принятия более
взвешенного решения зачастую необходимо мнение «третьей стороны».
На основе каких факторов участники рынка оценивают риски облигации и,
как следствие, определяют ее «справедливую» стоимость? Рассмотрим
ответ в таблице.
Вид риска
Рейтинг
категории
надежности
Страновой
риск
Риск эмитента
13
Влияние
Россия
Высокое, рейтинг для эмитента
определяет цену займа, делает рынок
выпускаемой им ценной бумаги
ликвидным и в конечном итоге
определяет ее место (нишу) на рынке.
Высокий, т.к. страна принадлежит к
списку развивающихся стран,а они
являются первые в списки по отводу
капитала в случае кризиса
Низкий.
На российском долговом рынке число
выпусков облигаций невелико,
ретроспективная история
малоинформативна ввиду
сегментарности и непрозрачности
предоставляемой информации.
США
Инвесторы
переключаются на
фундаментальный
анализ, а не на
рейтинг13
Низкий
Высокий.
Рост
неуверенности в
стабильности
практически всех
крупных игроков
рынка.
Financial Security Assurance Inc. Issues Statement in Response to Announcement of Moody’s
Downgrade of FSA from Aaa to Aa3 with Developing Outlook, November 21, 2008
26
Риск
ликвидности
Высокий.
Ситуация кризиса ликвидности за
рубежом привела к сокращению
запасов ликвидных активов в самих
банках, что также находит свое
отражение в удорожании стоимости
межбанковских кредитов и активности
банков на внутреннем фондовом
рынке.
Высокий
Таблица 4. Характеристики типов риска для США и России
Факторы, влияющие на вид кривой доходности:
1. Рыночные ожидания (market expectation) являются первым
фактором, который влияет на временную зависимость процентных
ставок.
2. Премия за риск (risk premium) является вторым важным фактором,
оказывающим влияние на форму кривой доходности. Облигации с
большими
сроками
погашения
демонстрируют
большую
волатильность, поскольку цены на них более чувствительны к
изменениям рыночных ставок. Значительная часть инвесторов не
расположена к риску: инвесторы требуют компенсации (в виде
низких цен) при инвестировании в долгосрочные облигации. Нерасположенность к риску приводит к тому, что долгосрочные
процентные ставки имеют статистически подтвержденную тенденцию
сдвигаться вверх.
3. Премия за ликвидность (liquidity premium) - это третий фактор,
оказывающий
на форму кривой доходности. Этот фактор
упоминается применительно к теории рыночной сегментации
(segmentation theory), которая утверждает, что некоторые категории
инвесторов с финансовыми инструментами с фиксированным
доходом имеют устойчивые предпочтения в отношении
определенных сегментов рынка облигаций в зависимости от сроков
их погашения (страховые компании предпочитают инвестировать в
долгосрочные облигации, банки предпочитают краткосрочные
инструменты и быстрый оборот средств).
4. Кредитный спред (credit spread) можно обнаружить на кривой
доходности любых типов облигаций, кроме казначейских.
Правительство США воспринимается глобальными инвесторами как
27
совершенный (идеальный) должник, который гарантирует выплату
обещанных сумм. Другие рынки неизбежно имеют более низкий
уровень кредитного качества заемщиков. Например, ставки по
свопам
и
ставки
LIBOR
являются
коммерческими
(негосударственными)
ставками,
по
соответствующим
обязательствам не существует государственных гарантий. По этим
ставкам банки и другие кредитно-финансовые организации кредитуют друг друга (зачастую с использованием залога).
Корпоративные облигации торгуются со спредом по отношению к
казначейским бумагам и даже по отношению к свопам, поскольку
корпоративные долговые обязательства не имеют высоконадежного
обеспечения и вложения в них подвергают инвесторов риску
дефолта (в зависимости от финансового состоянии компании,
выпустившей облигации). Кредитные спреды обычно выше для
долгосрочных облигаций. Такие события, как снижение кредитного
рейтинга, инвесторы считают прелюдией к ситуации банкротства
корпорации. Неблагоприятное развитие событий гораздо менее
вероятно в случае краткосрочного инвестиционного горизонта.
Таким образом, на примере графика КПД на две даты, можно сделать
выводы, что в 2008 году наблюдалось последующее существенное падение
ставок, поскольку, судя по виду кривой, величина схождения ставок в
долгосрочных бумагах была ниже ставок по краткосрочным, это аномальная
картина, отражающая неуверенность в завтрашнем дне и вероятность спада
экономики.
Картина на 2009 год обратная: на долгосрочных периодах инвесторы уже
требуют более высокие ставки (аналог безрисковой ставки) и они гораздо
выше ставок по коротким бумагам, что является нормальной ситуацией,
поскольку инвесторы оценивают долгосрочные риски выше краткосрочных.
После того, как было рассмотрены теоретические основы КПД, перейдем к
практическим исследованиям. Было изучено большое количество статей на
тему влияния процентных ставок на политику Центрального Банка, а также
выявлению тех или иных зависимостей между процентными ставками
28
разных типов облигаций. Статьи были объедены по смыслу обсуждаемых
проблем для более детального рассмотрения темы.
Глава 3 Эконометрические модели динамики процентных ставок
В статье Glenn D. Rudebusch «Term structure evidence on interest rate
smoothing and monetary policy inertia» автор задается вопросом, насколько
быстро Центральный Банк может подстроиться под факт изменения
процентных ставок. Как быстро центральный банк подстраивается в ответ на
рост экономики. Существует мнение, что политика в краткосрочном периоде
изменяется медленно. Это связано с тем, что инерция помогает
Центральному Банку концентрироваться на ожиданиях игроков финансового
сектора и добиться наилучшего для них исхода. Авторы статьи утверждают,
что наличие инерции это феномен, который существовал ранее из-за
определенной интерпретации поведения номинальной процентной ставки.
Автор приходит к выводу, что на отклонение политики Центрального Банка
от правила оказывают влияние периодически скореллированные шоки,
поэтому их надо учитывать в модели динамики процентной ставки (правило
Тейлора).
Современное состояние экономики показало, что если федеральная
резервная система США управляла номинальным процентом по правилу
Тейлора, то процентная ставка ушла в отрицательную область, что
демонстрирует несостоятельность подобных моделей сейчас.
В статье Peter Tillmann «Inflation regimes in the US term structure of
interest rates» автор исследуют связь между короткими и длинными
ставками в США. Авторы использует модель VAR временной структуры
процентных ставок для изучения, как переключение монетарной политики
США отражается в сдвигах динамики ставок. Модель исследует
коинтеграцию коротких и длинных ставок или причинно-следственную связь
между ними. Для обнаружения изменения курса политики Центрального
Банка используется процесс цепи Маркова. Данная статья представляет
особый интерес, поскольку в ней исследовались периоды сдерживания
процентной ставки ФРС США и денежной массы. В период 1979-82 годы
смена политики ФРС к сдерживанию роста денежной массы и роста
инфляции привела к гораздо более быстрому установлению равновесия чем
в других режимах. Премия за риск в краткосрочном периоде росла, а в
29
долгосрочном периоде падала. Это означает, что политика приводила к
росту краткосрочных ожиданий инфляции, но в падении в долгосрочном
периоде. После 1987 наблюдалась спокойная ситуация применительно к
премии за риск, ставки снижались, что говорит о переключении режима
политики ФРС.
Данная статья использует модели режимов проведения той или
иной политики Центрального Банка и помогает выявить смену курса.
Недостаток модели в том, что она может показать изменение курса только
по историческим данным. Момент, когда политика переключится на другую
модель, предсказать в рамках представленной статьи не возможно.
В статьях YING HUANG, CARL R. CHEN «DETERMINANTS OF JAPANESE
YEN INTEREST RATE SWAP SPREADS: EVIDENCE FROM A SMOOTH TRANSITION
VECTOR AUTOREGRESSIVE MODEL» и YIN-WONG CHEUNG, DICKSON C. TAM,
MATTHEW S. YIU «DOES THE CHINESE INTEREST RATE FOLLOW THE US INTEREST
RATE?» авторы рассматривают рынки государственных ценных бумаг и
изучают влияние на доходность бумаг различных факторов.
В первой статье авторы изучают спреды доходности между
японскими процентными свопами и государственными облигациями.
Используется модель сглаженной векторной авторегрессии (STVAR) для
выделения влияния различных экономических шоков на спреды свопов.
Используя выборку по двух,пяти,10 летним свопам и таких факторов, а
премия за дефолт, премия за ликвидность, наклон временной структуры
процентных ставок, премия за риск вложения в японские ценные бумаги,
авторы выявляют различные моменты в спредах. Так авторы показывают, что
на спреды самых коротких двухлетних свопов оказывают влияние сильная
волатильность на рынке, в то время как для пяти и десятилетних такой
эффект менее заметен.
Во второй статье авторы рассматривают китайскую монетарную
политику и изучают т.н. «эффект США», который говорит, что китайская
валюта сильно подвержена влиянию американских процентных ставок. Хотя
Китай и придерживается политики подстройки национальной валюты т.н. peg
к американскому доллару, страна имеет свои основы для формирования
процентных ставок (а не копирование их у США). Таким образом, авторы
статьи отклоняют гипотезу о влиянии американских процентных ставок на
значения китайского рынка на основе исторических данных и проведения
простого регрессионного анализа. Что касается рынка российских свопов, то
30
подобный анализ не существует, что является интересным направлением
дальнейших исследований.
Глава 4 Модели построения временной структуры процентных ставок
В данной главе проведено сопоставление моделей построения временной
структуры процентных ставок. Дано математическое описание поведения
процентных ставок во времени.
Модели динамики процентных ставок
Модели делятся по группам, описывающим динамику краткосрочных
процентных ставок (спот) и долгосрочных ставок (форвардных). Такие
модели называются однофакторными. Таким образом, цена облигации
зависит от одного источника неопределенности. Также существуют модели
многофакторные, которые предполагают зависимость цены облигаций от
нескольких факторов. Для примера рассмотрим одну модель для
прогнозирования спот-ставок Vasicek (1977) и одну модель для прогноза
форвардных ставок Heath, Jarrow and Morton (1992). Модели строятся на
следующих предпосылках:
предполагается непрерывное начисление
процентов,
динамика процентных ставок следует стохастическим
процессам.
Модель динамики цен активов должна отражать случайное поведение
движения цены. Цены обычно следуют процессу Маркова, который в свою
очередь состоит из двух слагаемых: Винеровский процесс W или
Броуновское движение и дрифт . Тогда процесс будет выглядеть как:
(1)
Поскольку, следуя движению цены по процессу (1) Броуновское движение
может дать отрицательные значения, то используется Геометрическое
Броуновское движение (GBM).
Процесс GBM выглядит как:
или
31
Решение уравнения согласно Лемме Ито представляется как:
(*)
Стоимость базового актива, в данном случае облигации будет иметь вид:
Для того, чтобы найти стоимость облигации мы должны симулировать
различными методами все форвардные ставки, по которым будет
дисконтироваться стоимость во времени.
Для того, чтобы определить форвардные процентные ставки существуют
несколько моделей. Первая модель, которая берется за основу в нашей
работе – это модель Vasicek14. Модель прогноза форвардных ставок -это HJM
модель, описание этой модели можно найти в многочисленных источниках15.
Кратко, Heath-Jarrow-Morton Model по имеющейся временной структуре
процентных ставок и найденной волатильности форвардных ставок строит
дерево решений возможных процентных ставок в будущем.
Модель Vasicek
Это модель прогнозирования коротких ставок. Цена облигации равна
То есть ожидаемому значению потока платежей дисконтированной по
процентной ставки на момент u.
Динамика процентных ставок в моделях прогноза коротких ставок основана
на процессе Гаусса- Маркова.
14
Oldrich Vasicek. An equilibrium characterization of the term structure. Journal of Financial Economics, 5:177–188, August 1977.
15
Roman Frey, Monte Carlo methods: with application to the pricing of interest rate derivatives, University of St.
Gallen
Martin Haugh, The Heath-Jarrow-Morton Framework, IEOR E4710
Peter Carr, Simulating American Bond Options in an HJM Framework, Morgan Stanley
32
Модель Vasicek упрощает процесс и доводит его до вида:
Heath-Jarrow-Morton Model
Согласно методу Хита-Джарроу-Мортона относительная цена облигаций
равна:
где p(t, m) – цена облигаций, t – время [дни], m – дата до погашения [дни], T
= t + m; X – внешняя переменная; приращение Винеровского процесса:
dz   t dt . Определенные интегралы должны удовлетворять условиям:
Функция волатильности:
Функция дрейфа:
.
.
Модель Хита-Джарроу-Мортона может включать любое количество
факторов, определяющих временную структуру. В качестве примера
рассмотрим
В качестве внешних переменных при прогнозировании
доходности
в работе
использованы два показателя: волатильность
процентной ставки по 6m- US Treasuries16с 13.03.09 по 12.06.09 в долларах,
составившую 0,5190%, а так же величину, отражающую зависимость
волатильности от времени и равную v2=0,01262%*(5-tou), где tou –
количество лет до погашения облигации.
16
http://www.ustreas.gov/offices/domestic-finance/debt-management/interest-rate/yield.shtml
33
Нам необходимо взять процентную ставку для двухлетних облигаций. Она
равна 5,36%. Далее используем метод Монте Карло для оценки стоимости
облигации.
Далее рассмотри пример расчета справедливой стоимости облигации и
доходностей.
Для расчета справедливой стоимости облигации были использованы
рыночные цены по нескольким аналогичным по рейтингу облигациям
компании ТНК-ВР, номинированных в той же валюте, имеющих
фиксированный купон и выпущенных российскими компаниями. В
результате, были использованы следующие облигации:
Таблица 5. Доходность еврооблигаций ТНК-ВР
Coupon
Short Name
Coupon Frequency
BANK OF MOSCOW 7,375
2
BANK OF MOSCOW 7,335
2
BANK OF MOSCOW
7,5
2
TNK-BP FINANCE 6,875
2
TNK-BP FINANCE 6,125
2
TNK-BP FINANCE
7,5
2
TNK-BP FINANCE 6,625
2
TNK-BP FINANCE 7,875
2
VIMPELCOM
8
2
VIMPELCOM 8,375
2
VIMPELCOM 8,375
2
VIMPELCOM
8,25
2
VIMPELCOM 9,125
2
Maturity
11.26.2010
5.13.2013
25.11.2015
7.18.2011
3.20.2012
3.13.2013
3.20.2017
3.13.2018
02.11.2010
10.22.2011
4.30.2013
5.23.2016
4.30.2018
S&P Moody's Fitch
Rating Rating Rating Currency
Baa1
BBBUSD
Baa1
BBBUSD
Baa1
BBBUSD
BB+
Baa2
BBBUSD
BB+
Baa2
BBBUSD
BB+
Baa2
BBBUSD
BB+
Baa2
BBBUSD
BB+
Baa2
BBBUSD
BB+
Ba2
USD
BB+
Ba2
USD
BB+
Ba2
USD
BB+
Ba2
USD
BB+
Ba2
USD
Price
104,3
102,96
97.65
102,84
101,87
104,24
97,13
101,89
100,92
105,35
105,38
102,78
106,88
Используя показатели дюрации и доходности к погашению (Таблица 2)
была построена кривая предполагаемой доходности и рассчитана
справедливая стоимость облигации (Таблица 2), которая составила 104,15 в
% от номинала. Чистая цена, по которой облигация должна торговаться
составляет 101,62, эффективная доходность к погашению составит 7,19%.
Таким образом, наглядно продемонстрировано применение методик,
описанных выше. Следуя расчетам можно оценить стоимость облигации на
любую дату, получить доходность к погашению с учетом различных
эффектов на процентную ставку.
34
YTM
Кривая доходности еврооблигаций ТНК-BP
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0,00
500,00
1000,00
1500,00
2000,00
2500,00
duration
Рисунок 10. Кривая доходности еврооблигаций ТНК-BP
Глава 5 Confluent Hypergeometric function (CHF)
В данной главе показаны возможности применения Confluent Hypergeometric
function (CHF) в качестве уравнения для установления цены бескупонных
облигаций и для поиска решения для непрерывно начисляемой процентной
ставки в форме нелинейной средней доходности и построение кривых
доходности для российского рынка облигаций.
Применение данной функций для построения кривой доходности облигаций
не изучено в современной экономической литературе. Автор данной работы
столкнулся с этой проблемой при изучении валютного кризиса 1998 года в
России, где была использована CHF. Описание данной работы выходит за
рамки отчета, тем не менее будет дано описание функции и каким образом
ее можно использовать в качестве альтернативного метода построения
кривой доходности.
В модели Alan Sutherland (1997) существуют некоторые предпосылки. Вопервых, обозначим log обменного курса до кризиса равным нулю - s=0. В
момент кризиса происходит немедленная девальвация обменного курса – θ.
35
После девальвации ожидается, что обменный курс будет обесцениваться с
постоянной нормой – μ.
Посткризисный обменный курс может быть записан, как
(1)
Где – момент кризиса.
Далее мы считаем, что фундаментальный показатель, обозначенный
как – ε , представляет собой броуновское движение
(2)
Где z - процесс винеровского движения с нулевым отклонением и
единичной
дисперсией.
В
модели
фундаментального
кризиса
предполагается, что фундаментальный показатель достигает некоторого
порогового значения  , при превышении которого, происходит валютный
кризис.
Кризис, связанный с изменением самореализующихся ожиданий, может
быть записан в виде
(3)
В данной модели случайная величина подчинятся Пуассоновскому
распределению. Величина v – интенсивность в контексте усиления ожиданий
валютного кризиса. Валютные курс неизменен в течение следующего
момента dt с вероятностью (1- vdt) или что нападение происходит с vdt
вероятностью, который вызывает переход к процессу обменного курса.
Главное различие в форме представления показателя - в модели
фундаментального кризиса кризис происходит единожды после перехода
порогового значения, а в модели self-fulfilling существует множественное
равновесие, при этом неизвестно в какой момент произойдет кризис,
известна только вероятность кризиса.
36
Рассматривается облигация со сроком погашения tau. На рынке действует
условие арбитража, процентная ставка удовлетворяет условиям паритета
непокрытой процентной ставки
(4)
Правая часть уравнения (4) представляет собой доходность по
отечественным облигациям (локального рынка) co сроком погашения - τ,
левая часть - доходность по зарубежным облигациям co сроком погашения τ,
выраженная в валюте локального рынка.
Для упрощения анализа используем лог-линейную аппроксимацию
(5)
Таким образом, задача состоит в том, чтобы оценить математическое
ожидание для валютного курса в следующий момент времени.
Запишем математическое ожидание для валютного курса
(6)
Где g(x)- плотность распределения величины x- время до кризиса. Задача
состоит в том, чтобы оценить плотность распределения.
В работе Cox&Miller (1965) плотность распределения предлагается записать
следующим образом:
(7)
Для упрощения анализа преобразуем данный вид (7) в уравнение (8)
(8)
Где
37
и
где
Конфлюэтная Гипергеометрическая Функция представляет собой
разложение в ряд (9):
(9)
Она используется для решения дифференциальных уравнений особого типа,
а именно конфлюетных. Функция имеет специальный вид аргументов для
некоторых элементарных функций, в частности и для exp. Авторы прибегают
к использованию этой функции для того, чтобы обойти интегрирование
функции exp в данной степени. Они раскладывают функцию exp в виде двух
слагаемых многочлена P1 и P2, тем самым упрощая анализ. В практической
части исследования данная функция будет построена исходя из полученных в
ходе исследования показателей для валютного кризиса в России 1998 года.
Для Пуассоновского процесса математическое ожидание для валютного
курса
(10)
Рассмотрим модельный пример для того, чтобы понять, как влияют
показатели в моделях на стоимость облигации.
38
Рисунок 11. Эффекты показателей для модели
Показатель фундаментального кризиса отвечает за высоту холма. При росте
этого показателя, т.е. когда наблюдаемый фундаментальный показатель,
например, доля золотовалютных резервов, отличается от порогового
значения на значительную величину, имеем низкий спред доходности
(вернее имеем «отсутствие холма в малые сроки погашения»). Другими
словами, с экономической точки зрения, если известно, что доля IR
приближается к критическому уровню (отличие мало), то инвесторы в
условиях нестабильности и ожиданий девальвации и, имея на руках бумаги с
коротким сроком погашения, требуют высокий доход по бумагам, чтобы
защитить себя от риска дефолта, риска ликвидности и других.
Показатель величины девальвации – θ также влияет на временную структуру
процентных ставок в малые сроки погашения облигаций. С экономической
точки зрения сильная девальвация приводит также к росту спредов по
локальным (отечественным) и зарубежным облигациям.
Показатель «норма обесценения валюты» - μ оказывает влияние на
долгосрочное поведение спреда. Таким образом, имея высокую норму
обесценения в long-run, спред будет стремиться к заданному значению. Этот
показатель представляет собой подобие безрисковой ставки. В
краткосрочном периоде инвесторы требуют в условиях ожидания
девальвации высокие спрэды доходности, чтобы обезопасить себя от рисков,
в долгосрочном же периоде инвесторы все более становятся нейтральными
к риску и поэтому доходность уменьшается, приближаясь к безрисковой.
Что дает исследование облигаций при помощи CHF?
39
Во-первых, это построение кривой бескупонной доходности по одному из
методов. Предлагается изучить КПД с точки зрения нового математического
аппарата (CHF). Мы исходим из того, что справедливая (теоретическая) цена
облигации, рассчитывается как дисконтированная стоимость будущих
потоков платежей по облигации по кривой доходности:
На основании данных о ценах на рынке облигаций модель позволяет
построить гладкую аппроксимацию
функции дисконтирования
таким
образом, чтобы наблюдаемая цена Pk была для каждой облигации близка к
приведенной стоимости, где d(t) – коэффициент дисконтирования на срок t,
Fi,k потоки платежей по купонной облигации k. В случае непрерывного
начисления процентных ставок имеем вид:
Где Е- размер выплаты по облигации, r(s) – доходность «спот» актива со
сроком жизни s.
Предлагается использовать Confluent Hypergeometric function в качестве
уравнения (инструмента) для установления теоретической цены бескупонных
облигаций, то есть для поиска решения для непрерывно начисляемой
процентной ставки в форме нелинейной средней доходности17. Тем самым
использование данного подхода открывает новую область для исследования,
поскольку построенных моделей КПД на основе вышеизложенного подхода
не существует.
Подробнее ANTONIO FALCO AND JUAN M. NAVE, «A NOTE ON THE ZERO COUPON BOND
PRICINGUSING MERTON'S NONLINEAR MEAN REVERSIONINTEREST RATE MODEL, », 2000 ,
Mathematics Subject Classication
17
40
Заключение
Основной задачей данной работы (проекта) является анализ моделей
построения временной структуры процентных ставок. В работе изложена
теоретическая основа подхода к оценке временной структуры, а именно:
метод обратной связи и метод интерполяции. Указаны достоинства и
недостатки обоих методов. Также подробно рассмотрен рынок российских
«эталонных» бумаг, по которым строится КПД, дан обзор методов по оценке
стоимости бескупонной облигации, проанализированы способы улучшения
и корректировки моделей. Дано описание факторов, которые влияют на вид
КПД. Проведено сравнение КПД на две даты (до кризиса и текущий период)
и проанализированы графики кривых.
Цель исследования –показать широкому кругу исследователей (студентам
бакалавриата
и
магистратуры,
специалистам-практикам)
подходы
к
моделированию процентных ставок, которые используются в зарубежных
крупных инвестиционных компаниях. Данная тема мало освещена в
русскоязычной литературе, подобных примеров имитаций моделей на
российском рынке ценных бумаг не имеется.
В дополнение к теории были проанализированы несколько статей в ведущих
журналах на заявленную тему с целью получить практические навыки для
дальнейших исследований. Каждая работа была подвержена критическому
анализу и изучена на возможность применения подобной практики
на
российском рынке.
Кривая доходности позволяет оценивать справедливую цену облигаций с
учетом возможной волатильности процентных ставок, а также избегать
ошибок в управлении портфелем бумаг с фиксированной доходностью.
41
В случае применения на рынке Российских корпоративных облигаций,
вышеописанные методы, как построения кривой доходности, так и модели
динамики процентных ставок могут рассчитать различные характеристики
облигации: цена, доходность, чувствительность. Поэтому, изменяя входные
параметры в модели, результат может быть применен для Российского
рынка. Подобные модели позволяют, оценить стоимость облигации на
любой промежуток времени, произвести сравнение по показателям цена\
доходность, чтобы выявить недооцененные или переоценные облигации.
Также после выявления подобных облигации среди выбранного сектора,
можно будет прогнозировать движение цены и доходности по бумаге в
будущем с учетом различных факторов, например, ожидается снижение \
рост доходности облигации, растет ли неуверенность в секторе, падает ли
инфляция в стране и т.д.
Что продемонстрировано в работе: разобран пример нахождения цены
облигации в непрерывном времени на основе модели HJM по методу МонтеКарло, посчитана кривая доходности для нескольких выпусков
еврооблигаций ТНК-ВР.
Каждый неизвестный параметр моделей является случайным процессом.
Предполагая, какой вид имеет случайный процесс, дается оценка с помощью
математического аппарата, что приближает
результаты оценки к
реальности.
Таким образом, следуя анализу по моделям можно получить результаты для
необходимого
инструмента,
например
для
Российского
рынка
корпоративных облигаций.
Были показаны возможности применения Confluent Hypergeometric function
в качестве уравнения для установления теоретической цены бескупонных
облигации и для поиска решения для непрерывно начисляемой процентной
ставки в форме нелинейной средней доходности.
Список литературы
1. Методика расчета кривой бескупонной доходности по государственным ценным
бумагам - см http://www.micex.ru/
42
2. Кривая бескупонной доходности на рынке ОФЗ, А.Балабушкин, Г.Гамбаров,
http://www.micex.ru/
3. Z-спрэд и его братья, В Крылова, Z-спрэд и его братья, В. Крылова,
http://st.finam.ru/ipo/comments/_Z-Spread_Oct06(1).pdf
4. Гамбаров Г., Шевчук И., Балабушкин А., Никитин А. Кривая бескупонной
доходности на рынке ГКО-ОФЗ. М.: ЦБРФ; ММВБ, 2004.
5. М.Галкин, ПРОЦЕНТНЫЕ СВОПЫ, ШАГ №2: о Z-спрэдах, графиках и
«перегретости» рынка, МДМ Банк, 14.05.07; В.Крылова, Z-спрэд и его братья,
РЕНЕССАНС КАПИТАЛ, 30.10.06
6. Смирнов С., Здоровенин В., Построение безрисковой бескупонной кривой
доходности и кредитных спредов для российского рынка.
7. Временная структура процентных ставок, http://www.qbis.info/
8. Glenn D. Rudebusch «Term structure evidence on interest rate smoothing and monetary
policy inertia» , Journal of Monetary Economics,2001
9. Peter Tillmann «Inflation regimes in the US term structure of interest rates», Economic
Modelling,2006
10. YING HUANG CARL R. CHEN , «DETERMINANTS OF JAPANESE YEN
INTEREST RATE SWAP SPREADS: EVIDENCE FROM A SMOOTH TRANSITION
VECTOR AUTOREGRESSIVE MODEL», Journal of Futures Markets,2007
11. YIN-WONG CHEUNG, DICKSON C. TAM, MATTHEW S. YIU «DOES THE
CHINESE INTEREST RATE FOLLOW THE US INTEREST RATE?»,
INTERNATIONAL JOURNAL OF FINANCE AND ECONOMICS, 2007
12. Monetary and Economic Department, BIS Papers, International banking
and financial market developments, September 2009
13. Monetary and Economic Department, BIS Papers, Financial system and macroeconomic
resilience, July 2009
14. Sergey Smirnov , A new standard of European Bond Commission risk- -free spot yield
curve and credit spreads, International Conference"Global Risk Management Practices
and Emerging Market's Particular Issues“ Moscow, June 2006
15. Д.Д. Гейнц, Корпоративные облигации как источник привлечения инвестиций ,
ИАС ММВБ,2001
16. Еженедельные и ежедневные отчеты, АНАЛИТИЧЕСКИЙ ДЕПАРТАМЕНТ ОАО
«Брокерский дом «ОТКРЫТИЕ», http://research.open.ru/ru/debt_tools/daily_review/
17. IMF, Global Financial Stability Report Financial Stress and Deleveraging Macrofinancial
Implications and Policy, October 2008
18. Смирнов С.Н., Захаров А.В., Рачков Р.В., Лапшин В.А., Здоровенин В.В.,Евстратов
С.А., Косьяненко А.В.,Методика построения кривой безрисковой доходности
«спот» и кредитных спрэдов для группы облигаций с неоднородным кредитным
качеством эмитентов: стандарт EFFAS-EBC для стран Еврозоны, Октябрь 2007,
http://old.micex.ru/analytics/gko_yieldcurve_4.html,
http://www.cbr.ru/GCurve/MetMat.asp
43
19. ОАО «Промсвязьбанк», Панорама: Краткий обзор долговых рынков,
www.psbank.ru
20. Financial Security Assurance Inc. Issues Statement in Response to Announcement of
Moody’s Downgrade of FSA from Aaa to Aa3 with Developing Outlook, November 21,
2008
21. Эксперт РА, "Проблемы и перспективы рынка российских корпоративных
облигаций", http://www.raexpert.ru/researches/bonds1/#Введение
22. К2капитал, "Подводные камни" американского рынка муниципальных облигаций,
http://www.k2kapital.com/training/learning/market_ob/92883.html
23. Банк России, http://www.cbr.ru/statistics/?Prtid=finr
Приложение
Термины для построения КПД18
Бескупонная доходность - доходность к погашению дисконтной (бескупонной)
облигации, то есть облигации, для которой предусмотрена всего одна выплата в дату
погашения облигации. Цена облигации tB)( , выраженная в долях от размера выплаты при
погашении, срок до погашения t в годах и бескупонная доходность Y(t) связаны
соотношением
18
Взято из [1]
44
Расчетная цена облигации Bрасчетная - цена облигации (полная), определенная с
помощью КБД как сумма дисконтированных выплат по данной облигации:
где n - количество предстоящих выплат, ti - сроки до выплат, Сi - размеры
платежей (купонных, амортизационных, погашений), выраженные в долях от
непогашенной части номинальной стоимости облигации.
Доходность облигации к погашению YTM - величина, являющаяся решением
уравнения
где B - цена облигации (полная).
Расчетная доходность облигации YTM четнт - доходность к погашению,
определяемая на основании КБД и структуры выплат по данной облигации в два этапа:
сначала по формуле (2) определяется расчетная цена облигации Bрасчетная, а затем из (3)
находится YTMрасчетная .
Доходность сделки - доходность к погашению, соответствующая цене сделки.
База расчета G-кривой - список выпусков ГКО-ОФЗ, используемых при расчете Gкривой.
Расчетные формулы для построения КПД19
Для каждой группы отдельно проводится анализ относительной ликвидности
выпусков облигаций. Расчет коэффициента ликвидности за ретроспективный период
осуществляется по следующей формуле:
где:
Tk - количество сделок с k-ым выпуском облигаций за ретроспективный период; Vk суммарный объем сделок с k-ым выпуском облигаций;
Т - среднее количество сделок (на один выпуск облигаций) за ретроспективный период,
рассчитанное по формуле среднего арифметического на основе значений Tk по всем
рассматриваемым выпускам облигаций;
V - средний суммарный объем сделок (на один выпуск облигаций) за ретроспективный
период, рассчитанный по формуле среднего арифметического на основе значений Vk по
всем рассматриваемым выпускам облигаций.
Бескупонная доходность в форме спот-доходности с годовой капитализацией
процентов связана с непрерывно начисляемой доходностью соотношением (в базисных
пунктах):
19
Взято из [2]
45
а дисконтная функция представляется выражением:
Модель HJM оцененная методом Монте-Карло
46
Рисунок 5. Процентные ставки для US Traesuries
Данные по любым процентным ставкам могут быть подставлены в модель
для расчета цены облигации, опциона на облигацию приведенной к
настоящему времени.
Рисунок 6. Различные сценарии поведения процентной ставки в модели HJM
С учетом различных сценариев, которые могут произойти в будущем,
предполагается сценарный набор вариантов расчетов.
Результат моделирования случайных процессов представлен ниже.
47
Maturities and Forward rates
Шаг по
времени
13.03.2009
16.03.2009
17.03.2009
18.03.2009
19.03.2009
20.03.2009
23.03.2009
24.03.2009
25.03.2009
26.03.2009
27.03.2009
30.03.2009
0,05
St.Deviation
0,3065%
Time
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0,55
0
0,040963
0,041431
0,0408666
0,0411863
0,0387064
0,0394418
0,0399231
0,0387298
0,0378484
0,036255
0,0350392
0,0333693
1
0,042109
0,0424575
0,0419965
0,0423047
0,0402451
0,0409216
0,0412877
0,0404325
0,0397413
0,0384619
0,0375833
0,0362735
3
0,043941
0,0440522
0,0437998
0,044086
0,042868
0,0434278
0,0435641
0,0433858
0,0430754
0,0424242
0,0422204
0,0416308
5
0,045031
0,0448969
0,0448459
0,045104
0,0447222
0,0451608
0,0450632
0,0455581
0,0456254
0,0455998
0,0460681
0,0461961
10
0,045289
0,0446127
0,0451414
0,0453965
0,0471704
0,0473431
0,0466997
0,0489224
0,049955
0,0515013
0,0536381
0,0555267
30
0,048369
0,048369
0,048369
0,048369
0,048369
0,048369
0,048369
0,048369
0,048369
0,048369
0,048369
0,048369
years
Random
#s
Random
#s
-0,4857647
-0,1721443
0,90270908
-1,3646259
1,46592132
-0,4243089
1,69419484
0,11804625
-0,2456512
1,44880111
0,18413322
0,3882296
-0,4019744
0,00605019
-1,5243086
0,17345516
0,37355516
-1,2329505
-0,7086402
-1,1472591
-1,2296499
-1,3104811
Рисунок 7. Пример реализации HJM модели
Используя два случайных фактора, находим необходимую форвардную ставку для необходимого срока погашения облигации.
Найденное значение подставляется в метод оценки случайных параметров Монте-Карло.
Имея данные по волатильности процентной ставки, производим ряд симуляций для поиска среднего значения ставки дисконтирования,
используя которую получаем приведенную стоимость облигации (PV).
Оценка 2m Treasury методом
Монте-Карло
Базовый
актив
Volatility
Int. rate
100
Time
Sim 1
Sim 2
51,9%
5,36%
Expiry
1
Стоимость
Облигации
97,0594
0
0,005814
0,011628
0,017442
0,023256
0,02907
0,034884
100,00
103,15
102,60
96,71
89,98
91,92
87,59
100,00
104,21
97,17
97,59
103,50
103,58
112,02
Sim
10
100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
97,44 99,84 100,15 95,35 99,52 103,34 94,27 100,07
93,64 105,80 110,36 89,21 91,40 104,81 95,19 96,68
95,50 99,83 118,15 88,13 85,18 102,58 96,03 97,76
100,76 96,91 113,09 86,93 87,18 103,25 98,98 98,54
102,89 91,15 108,62 85,96 87,74 103,04 95,96 95,32
100,86 87,95 105,50 86,97 95,92 100,34 91,74 92,04
Timestep
0,005464
0,040698
0,046512
85,52
85,38
101,83
102,65
105,54 91,35
107,16 91,61
Sim 3
Sim 4
Sim 5
Sim 6
Sim 7
Sim 8
Sim 9
105,27 88,20
100,16 85,23
97,86
92,84
101,14 92,63
100,92 99,75
94,47
100,51
48
0,965116
74,99
93,50
72,95
149,75 88,94
66,60
98,24
101,38 75,97
67,77
65,04
66,71
63,29
63,86
65,70
101,61
96,07
96,32
95,46
95,38
91,28
99,50
98,70
98,76
97,06
93,68
101,06
81,29
101,37 88,73
166,51
Mean
PV
0,97093
0,976744
0,982558
0,988372
0,994186
1
74,88
73,39
77,06
78,84
82,10
77,81
177,37
174,45
182,04
178,44
184,52
184,62
92,77
95,35
94,37
99,41
103,49
96,54
72,76
70,82
73,09
68,38
73,07
74,40
147,71
141,14
137,87
137,19
134,87
137,85
95,38
96,14
98,58
100,11
102,84
103,09
Средняя стоимость
актива по каждому
исходу
102,04
97,06
66,20
153,54
94,81
84,23
143,92 87,72
77,34
81,86
84,81
85,53
86,92
92,08
91,12
Рисунок 8. Пример реализации Метода Монте Карло
49