РОБАСТНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ СО СТАТИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПО ВЫХОДУ

На правах рукописи
РЯБОВ АНТОН ВЛАДИМИРОВИЧ
РОБАСТНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ
ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ СО СТАТИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ
СВЯЗЬЮ ПО ВЫХОДУ
Специальность 05.13.01 – Системный анализ, управление и
обработка информации (в технических науках)
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата технических наук
Н. Новгород 2007Работа выполнена в Арзамасском политехническом институте
(филиале)
Нижегородского государственного технического университета им. Р. Е. Алексеева.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор Пакшин П.В.
Официальные оппоненты:
доктор технических наук,
профессор Чиркова М. М.
кандидат технических наук,
доцент Гущин О. Г.
Ведущая организация:
ОАО АНПП «Темп-Авиа» г. Арзамас
Защита состоится “_31_” __мая___ 2007 г. в _15:00_ часов на заседании
диссертационного совета Д.212.165.05 Нижегородского государственного
технического университета по адресу: 603600 г. Нижний Новгород, ул. Минина, 24,
НГТУ, корпус _1_, аудитория _1258_.
С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке
Нижегородского Государственного Технического Университета.
Автореферат разослан “___” ____________ 2007 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
кандидат технических наук, доцент
2
А.П. Иванов
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Задача синтеза управления с обратной связью достаточно
полно изучена для линейных систем в случае, когда вектор состояния доступен
измерению. На практике, как правило, непосредственному измерению доступен лишь
вектор выхода, функционально связанный с вектором состояния. Данный факт
очевидным образом приводит к необходимости решения задачи синтеза
стабилизирующего управления с обратной связью по выходу. Несмотря на
естественность такой постановки, указанная задача остается не исследованной
полностью даже для линейных систем со статической обратной связью; известны
лишь частные случаи, когда она может быть решена до конца. При этом подавляющее
большинство результатов относится к системам с непрерывным временем. Обзор
результатов по данной тематике можно найти в работах Б.Т. Поляка и П.С.
Щербакова1; V. L. Syrmos, C. T. Abdallah, P. Dorato, K. Grigoriadis2. Недавние
результаты по дискретным системам представлены в работе G. Garcia, B. Pradin, S
Tarbouriech., F. Zeng3. К настоящему времени получен ряд необходимых и
достаточных условий стабилизации с использованием статической обратной связи по
выходу (D. Youla, V. Kucera4, T. Iwasaki, R. Skelton5 и др.), из которых стало ясно, что
данная задача относится к классу невыпуклых, и ее решение принципиально
невозможно простыми средствами. Более того, показано, что она является NP сложной. В то же время практика управления требует решения таких задач, в том
числе в условиях неопределенности параметров объекта (робастная стабилизация). В
соответствии с этим представляется важной разработка методов и алгоритмов
решения задачи стабилизации и робастной стабилизации по выходу на основе
достаточных условий и конструктивных эвристических процедур, которые на
практике оказываются удовлетворительными, хотя и не всегда гарантируют
получение результата.
Прогресс в развитии техники и технологий постоянно приводит к появлению
новых классов систем, одним из которых являются системы случайной структуры
(ССС). Отличительная особенность ССС состоит в наличии случайного процесса
смены (переключения) режимов, в каждом из которых поведение системы
описывается дифференциальными или разностными уравнениями. В настоящее
время, благодаря важным применениям в аэрокосмической сфере, энергетике,
экономике, и других областях, системы этого класса привлекают широкий интерес
специалистов. Для ССС, имеющих более сложную гибридную динамику, задача
стабилизации с использованием статической обратной связи по выходу еще более
Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Трудные задачи линейной теории управления. Некоторые подходы к решению //
Автоматика и Телемеханика. 2005. №5. С. 7-46.
2
Syrmos V.L., Abdallah C.T., Dorato P., Grigoriadis K. Static output feedback – A survey // Automatica. 1997. V. 33.
P. 125-137
3
Garcia G., Pradin B., Tarbouriech and Zeng F., Robust stabilization and guaranteed cost control for discrete-time
linear systems by static output feedback, IEEE // Automatica. 2003. V. 39. P. 1635-1641.
4
Kucera V., De Souza C.E. A necessary and sufficient condition for output feedback stability // Automatica. 1995. V.
31. P. 1357-1359.
5
Iwasaki, T. and. Skelton R. Pframetrization of all stabilizing controllers via quadratic Lyapunov functions // J.
Optimization Theory and Appl. 1995. V.85. P. 291-307.
1
3
усложняется; тем не менее, и здесь практика требует развития методов решения этой
задачи.
В случае, когда информация о смене режимов отсутствует, и известно только,
какие режимы возможны, возникают задачи одновременной стабилизации обратной
связью по выходу, где нужно обеспечить устойчивость системы одним и тем же
регулятором в любом из возможных режимов, и одновременной робастной
стабилизации, когда эту же задачу нужно решить при неопределенностях параметров
объекта во всех или нескольких режимах.
Когда имеется информация о смене режимов, можно получить менее
консервативные результаты, применяя регулятор с обратной связью по выходу,
параметры которого переключаются в соответствии со сменой режимов. В
зависимости от неопределенности параметров объекта здесь также могут
рассматриваться задачи стабилизации и робастной стабилизации.
Таким образом, тема исследования является актуальной, поскольку задачи
стабилизации, робастной стабилизации и одновременной стабилизации указанных
классов дискретных систем отражают тенденции развития современной теории
управления и запросы современной практики управления, а в то же время в
литературе они изучены недостаточно.
Цель работы. Целью диссертационной работы является получение условий
стабилизации по выходу многорежимных дискретных систем и разработка на их
основе конструктивных методов и эффективных на практике интерактивных
алгоритмов синтеза стабилизирующих и робастных стабилизирующих регуляторов со
статической обратной связью по выходу.
Задачи диссертационной работы. Исходя из поставленной цели, в
диссертационной работе были поставлены задачи разработки методов, а также
алгоритмов синтеза регуляторов со статической обратной связью по выходу,
обеспечивающих:
 стабилизацию и робастную стабилизацию линейных дискретных систем;
 одновременную стабилизацию и одновременную робастную стабилизацию
семейства линейных дискретных систем;
 стабилизацию и робастную стабилизацию линейных дискретных систем
случайной структуры.
Эти методы и алгоритмы должны быть приспособлены для интерактивной
программной реализации.
Методы исследования. При выполнении диссертационной работы
использовались методы теории управления в пространстве состояний, теории матриц,
матричных уравнений и неравенств, теории оптимального управления, теории
случайных процессов; при разработке программного обеспечения использовались
пакеты YALMIP/SeDuMi на базе интегрированной системы инженерных и научных
расчетов MATLAB.
Связь с планом. Исследования по теме диссертационной работы проводились
в соответствии с планом работ по проекту 02-01-00220-а, поддержанному грантом
Российского фонда фундаментальных исследований.
Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые
научные результаты:
 необходимые и достаточные условия стабилизации и робастной стабилизации
линейных дискретных систем статической обратной связью по выходу;
4
 необходимые и достаточные условия одновременной стабилизации и
одновременной робастной стабилизации статической обратной связью по
выходу семейства линейных дискретных систем;
 необходимые и достаточные условия робастной стабилизации линейных
дискретных систем случайной структуры статической обратной связью по
выходу.
Практическая ценность. На основе вытекающих из теоретических
результатов достаточных условий и конструктивных эвристических процедур
предложены интерактивные алгоритмы синтеза регуляторов дискретных систем со
статической обратной связью по выходу. Эти алгоритмы, реализованные в среде
MATLAB, весьма удовлетворительно зарекомендовали себя в результате обширного
численного эксперимента и могут быть рекомендованы для применения в практике
проектирования цифровых систем управления летательными аппаратами,
энергетическими системами и т.д., и позволяют существенно сократить сроки
проектирования подобных систем. Результаты работы внедрены в учебный процесс
Арзамасского политехнического института НГТУ и на предприятии ОАО АНПП
«Темп-Авиа», что подтверждено соответствующими актами.
На защиту выносятся следующие положения работы
1. Необходимые и достаточные условия стабилизации и робастной стабилизации
линейных дискретных систем статической обратной связью по выходу и
полученные на их основе алгоритмы синтеза стабилизирующих регуляторов.
2. Необходимые и достаточные условия одновременной стабилизации и
одновременной робастной стабилизации статической обратной связью по
выходу семейства линейных дискретных систем и полученные на их основе
алгоритмы синтеза стабилизирующих регуляторов, обеспечивающих
одновременную стабилизацию.
3. Необходимые и достаточные условия робастной стабилизации линейных
дискретных систем случайной структуры статической обратной связью по
выходу и полученные на их основе алгоритмы синтеза стабилизирующих
регуляторов.
Личным вкладом соискателя в совместных публикациях является
доказательства утверждений, разработка алгоритмов и проведение численных
экспериментов. Научному руководителю, д.ф.-м.н. проф. Пакшину П.В. принадлежат
общая идея работы и предварительные формулировки теорем.
Внедрение. Методы и алгоритмы синтеза робастных регуляторов со
статической обратной связью по выходу приняты для использования при
выполненияии НИР и ОКР на предприятии ОАО АНПП “ТЕМП-АВИА”. Материалы
диссертационной работы используются в учебном процессе при чтении лекций и
проведении лабораторных работ по дисциплине «Теория навигационных систем» и
«Теория управления» для специальностей «Прикладная математика» и «Авиационные
приборы и измерительно-вычислительные комплексы» на дневном и вечернем
отделениях
Арзамасского
политехнического
института
Нижегородского
государственного технического университета.
Апробация полученных результатов. Основные положения диссертации
докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:
 на 6-й научной конференции «Нелинейные колебания механических систем»
(Н. Новгород, 2002 г.);
 на всероссийской научной конференции «Проектирование научных и
инженерных приложений в среде MATLAB» (Москва, 2002 г.);
5
 на 8-й международной конференции «Системный анализ и управление»
(Евпатория, 2003 г.);
 на 2-й международной конференции по проблемам управления. (Москва, 2003
г.);
 на международной конференции «Физика и управлениe» (Санкт Петербург,
2003 г.).
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 8 печатных
работах, в том числе в журнале из перечня ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из
введения, четырех глав, заключения и библиографического списка.
СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы,
сформулирована цель работы, задачи исследования и основные положения,
выносимые на защиту.
В первой главе приведен обзор результатов, относящихся к теме работы,
обозначены трудности на пути развития теории управления со статической обратной
связью по выходу и обоснована цель исследования.
Во второй главе рассматривается задача стабилизации детерминированной
дискретной системы, описываемой уравнениями:
x
A
x
B
u
,
n

1
n
n
(1)
y
C
x,
n
n
с использованием статической обратной связи по выходу; здесь xn – m -мерный
вектор состояния, u n – k -мерный вектор управления, yn – l -мерный вектор выхода;
A, B, C – постоянные матрицы соответствующих размеров.
Представим пространство состояний системы в виде прямой суммы
ортогональных подпространств
R n  Im(C T )  Ker(C ) .
Тогда для любого x  R m можно записать
x  xI  xK ,
где xI  Im(CT ) , xK  Ker (C ) .
Определим матрицы
EI  C C, EK  I  EI ,
где C  означает обращение по Муру-Пенроузу матрицы C . Матрицы EI , EK являются
матрицами проектирования на Im(C T ) и на Ker(C ) соответственно. Эти матрицы являются
симметричными и единственными.
Требуется получить необходимые и достаточные условия стабилизации
системы (1) управлением с обратной связью вида
un  Gyn .
(2)
Теорема 1. Система (1) стабилизируема управлением со статической обратной
связью по выходу (2) тогда и только тогда, когда существуют матрицы M  M T ,
R  RT и L соответствующих размеров такие, что алгебраическое уравнение
Риккати
T
T
T
1
T
A
H
A

H

A
H
B
(
R

B
H
B
)
B
H
A

M

0
(3)
6
имеет положительно
соотношениям
определенное
решение
H  HT ,
удовлетворяющее
T
RBH
B0
,
( A  BK )T H ( A  BK )  H 

 T

T
1 T
ST
  S ( R  B HB) B H ( A  BK ) 

 ( A  BK ) HB( R  BT HB) 1 S
0


T
1 T

[( R  B HB) B HB( R  
S


 BT HB) 1 ]1


K  ( R  BT HB ) 1 BT HA, S  LEI  BT HAEK .
Матрица стабилизирующего управления (2) определяется по формуле
T

1T

G

(
B
H
B

R
)
(
B
H
A

L
)
C
.
Рассмотрим функционал

T
T
T
T
J

(
x
Q
x

2
x
S
u

u
R
u
)
.

n
n
n
n
n
n
n

0
Управление с обратной связью по вектору состояния, которое обеспечивает
минимум этого функционала вдоль траекторий системы (1), имеет вид

1T
uB

[T
H
B

R
]
[
B
H
A

S
]
x
,
n
n
где H – положительно определенное решение алгебраического уравнения Риккати
T
T T T

1
T
A
H
A

H

(
A
H
B

S
)
(
R

B
H
B
)
(
B
H
A

S
)

Q

0
.
(4)
Нетрудно заметить, что уравнение (3) представляет собой специальный случай (4)
при дополнительном условии
T
S

L
E
B
H
A
E
.
I
K
Из этой связи результатов теоремы с теорией аналитического конструирования
оптимальных регуляторов вытекают достаточные условия и конструктивные
эвристические процедуры, которые позволяют предложить алгоритмы вычисления
управления со статической обратной связью по выходу, основанные на решении
систем линейных матричных уравнений и неравенств. Предложено два таких
алгоритма. Обширный численный эксперимент убедительно доказал их
эффективность.
Далее система (1) рассматривается при учете возможных неопределенностей.
Предполагается, что эти неопределенности заданы в виде политопа, т.е.
[
A
B
]



C
o
[
A
B
]
,q

1
,,,
N
qq
(5)
N
другими словами    q  q для некоторых 0  q  1,
q 1
N

q 1
q
 1, где q  [ Aq Bq ] ,
N – число вершин политопа. Система (1) робастно стабилизируема по отношению к
политопным неопределенностям (5) статической обратной связью по выходу, если
регулятор (2) квадратично стабилизирует систему (1), т.е.
T
(
A

B
G
C
)(
H
A

B
G
C
)

H

0
,H

0
(6)
для всех [ A B] , удовлетворяющих (5).
Известно, что неравенства (6) выполняются для всех [ A B] , удовлетворяющих
(5), тогда и только тогда, когда
( Aq  BqGC )T H ( Aq  BqGC )  H  0,
H  0, q  1,
, N.
7
Этот факт позволяет получить условия робастной стабилизации в виде, аналогичном
предыдущей теореме.
Теорема 2. Система (1) робастно стабилизируема по отношению к
политопным неопределенностям (5) статической обратной связью по выходу тогда
и только тогда, когда существуют матрицы Qq  QqT , Rq  RqT и Lq (q  1, N )
соответствующих размерностей, такие, что система матричных квадратных
уравнений
T
T
T
1
T
A
H
A

H

A
H
B
(
R

B
H
B
)
B
H
A

Q

0
,
q
q
q
q
q
q
q
q
q
имеет положительно определенное решение H  H T , удовлетворяющее выражениям
T
ˆ
R
q
H
B
0
,
q RB
q
q
T


(
A

B
K
)
H
(
A

B
K
)

q
qq
q
qq


T

1T
T
ˆ



H

S
R
B
H
(
A

B
K
)

S
qq q
q qq
q



0
,q

1
, ,N
,

1
ˆ
(
A

B
K
)
H
B
R
S


q qq
qq q



1

1T

1 
ˆ
ˆ



S

R
B
H
B
R
q
q q qq


1
T

1
T
ˆ
ˆ
R
(
B
H
A

L
)

R
(
B
H
A

L
)
q

1
,
.
.
.
,1
N

,
q
q
q
qq

1
q

1
q

1
q

1
где
T

1T
T
KR

(q

B
H
B
)
B
H
A
,S
L
EB
H
A
E
.
q
q
q
q
q
q
q
I
q
q
K
Матрица усиления стабилизирующего управления (2) определяется по формуле
T

1T

G

(
B
H
B

R
)
(
B
H
B

L
)
C
q
q
q
q
q
q
,
где q выбирается произвольно из множества {1, , N}.
На основе результатов теоремы предложены два алгоритма синтеза робастного
стабилизирующего регулятора со статической обратной связью по выходу, в основе
которых лежат те же идеи, что и в случае обычного стабилизирующего регулятора.
В заключении главы демонстрируется применение алгоритмов к синтезу
системы угловой стабилизации летательного аппарата при неопределенных
параметрах объекта.
Третья глава посвящена исследованию одновременной стабилизации и
одновременной робастной стабилизации дискретных систем со статической обратной
связью по выходу.
Изложены предварительные замечания, где рассматривается ситуация, когда
объект может работать в нескольких режимах, причем переход от режима к режиму
происходит независимо от субъекта управления, и информация об этом может
отсутствовать, например, такой переход может вызываться отказом какого-либо
элемента объекта. Цель управления – выбрать регулятор, обеспечивающий
устойчивость системы в любом из возможных режимов.
Рассматриваются условия одновременной стабилизации дискретных систем
статической обратной связью по выходу:
x
A
x
B
u
,
n

1

n

n
(7)
y
C
x.
n
n
Здесь обозначения переменных соответствуют принятым ранее. Относительно матриц
A и B можно лишь утверждать, что
8
[
A
BA
]

{
[
B
]
[
A
BA
]
.
.
.
[
B
]
}
,


1
1
2
2


где пары в правой части можно рассматривать как возможные режимы; иными словами,
всякий раз неизвестно, какой именно режим из рассматриваемого множества имеет место.
Каждая из матриц B1 B2 ... B имеет полный ранг. Измерению доступен лишь вектор yn , и
задача заключается в поиске управления в форме (2) так, чтобы стабилизировать систему (7)
независимо от режима при неопределенностях каждого из режимов, заданных в виде
политопа
[ Ai Bi ]  i  Co[ Aiq Biq ], i  1,..., , q  1,
N
другими словами i   iq iq для некоторых 0  q  1,
q 1
N

q 1
(8)
,N
iq
 1, где N – число
вершин политопа, iq  [ Aiq Biq ] .
Предполагается, что множество систем (7) с политопной неопределенностью
(8) робастно стабилизируемо статической обратной связью по выходу, если регулятор
(2) квадратично стабилизирует каждую систему из данного множества, т.е.
T
T
(
A

B
G
C
)
H
(
A

B
G
C
)

H

0
,H

0
(9)
i
i
ii
i
i
iH
i
для всех [ Ai Bi ] (i  1,..., ), удовлетворяющих (8).
Известно, что неравенства (9) выполняются для всех [ Ai Bi ] (i  1,..., ), ,
удовлетворяющих (8) тогда и только тогда, когда
( Aiq  BiqGC )T H i ( Aiq  BiqGC )  H i  0, H i  H iT  0, q  1,
, N.
Этот факт позволяет получить условия робастной стабилизации в виде следующего
утверждения.
Теорема 3. Множество систем (7) робастно стабилизируемо управлением со
статической обратной связью по выходу (2) тогда и только тогда, когда
существуют матрицы Qiq  QiqT , Riq  RiqT и Liq (i  1,..., , q  1, , N ) такие, что
система матричных квадратных уравнений
T
T
T 
1
T
A
H
A

H

A
H
B
(
R

B
H
B
)
B
H
A

Q

0
i
q
i
i
q
i
i
q
i
i
q
i
q
i
q
i
i
q
i
q
i
i
q
i
q
имеет решение, удовлетворяющее соотношениям
H i  H iT  0, Riq  BiqT H i Biq  0.
( BiqT H i Biq  Riq ) 1 ( BiqT H i Aiq  Liq )  ( BiTq 1H i Bi q 1  Ri q 1 ) 1 ( BiTq 1H i Ai q 1  Li q 1 ),
( BiqT H i Biq  Riq ) 1 ( BiqT H i Aiq  Liq )  ( BiT1q H i 1Bi 1q  Ri 1q ) 1 ( BiT1q H i 1 Ai 1q  Li 1q ),
i  1,...,  1, q  1,..., N  1
( Aiq  Biq K iq )T H i ( Aiq  Biq K iq ) 



T
T
1 T
  H i  Siq ( Riq  Biq H i Biq ) Biq

SiqT


 H i ( Aiq  Biq K iq )  ( Aiq  Biq K iq )


0 ,
T
1
H
B
(
R

B
H
B
)
S
iq i iq
iq
 i iq iq

T
1 T

[( Riq  Biq H i Biq ) Biq H i Biq ( Riq  


Siq
T
1 1


 Biq H i Biq ) ]


i
1
,.
.
.
,;
q

1
,.
.
.
,N
,
где
9
T

1T
T
KR

(i

B
H
B
)
B
H
A
L
E
B
H
i
q
q
i
qi
i
q
i
qi
i
q
i
q
i
q
I
i
q
iE
K
, S
.
Матрица стабилизирующего управления (2) определится по формуле
T

1T

G

(
B
H
B

R
)
(
B
H
A

L
)
C
i
q
ii
q
i
q
i
q
ii
q
i
q
для произвольного выбора i из множества {1,..., } и q из множества {1,..., N} .
По результатам теорем предлагаются два алгоритма синтеза регулятора со
статической обратной связью по выходу, обеспечивающего одновременную
робастную стабилизацию.
Рассмотрим один из алгоритмов более подробно в применении к синтезу
системы стабилизации углового движения летательного аппарата (ЛА). Простейшая
математическая модель контура стабилизации угла ЛА в пространстве состояний
имеет следующий вид:

x(t )  A(i) x(t )  B(i)u(t ), u (t )   B (t ),
 0

A    mz
 
  y
где δB
(10)
 0 
0 



 mzz  mz  , B    m Bz  ,
 0 
0
 y 


- угол отклонения руля высоты;  m z ,  mzz ,  my z ,  m Bz - аэродинамические
1
коэффициенты ЛА для рассматриваемых режимов полета, номинальные значения
которых представлены в таблице. Предполагается, что реальные значения
коэффициентов находятся в пределах 10% допуска от номинального значения.
i
am z
amzz
ay
am Bz
1
4,2 1,5 -0,77 -7,4
2
7,1 1,9
-1
-12,7
3
78
4,1
-2,8
-57
4
4
1,14 -0,62 -7,5
5 116 2,36 -2,3
-42
6
7,9 1,1 -0,56 -13,8
7
55 0,66 -0,84 -22,5
8 14,5 0,43 -0,33 -8,6
9
18 0,31 -0,34
-10
В рассматриваемой системе измерению доступны угол тангажа (t) и угловая
скорость тангажа ωz (t) . В этом случае вектор выхода имеет вид
  (t ) 
1 0 0  
y (t )  
z (t )  ,


0 1 0   (t ) 


а стабилизирующее управление определяется законом вида
uk  u(k )  Gyk  Gy(k ), k   t  (k  1),
(11)
где  - период дискретности БЦВМ.
Таким образом, задача синтеза цифровой системы стабилизации контура тангажа
сводится к определению коэффициента обратной связи закона управления (11),
обеспечивающего одновременную стабилизацию при желаемом качестве переходных
процессов для всех режимов системы (7) при указанном разбросе параметров в
каждом режиме.
10
В данном примере синтезируется цифровая система стабилизации с периодом
дискретности t  0.015 , и к переходным процессам предъявляются следующие
требования: время переходного процесса не более 3.5 с, перерегулирование не более
5%.
Рис. 1. Графики переходных процессов
Последовательность
шагов,
реализующих
алгоритм
одновременной
стабилизации следующая:
1. Осуществляется выбор базовой модели (базового режима) рассматриваемой
системы стабилизации, заданной уравнением (10), и производится расчет
весовой матрицы квадратичного функционала качества в соответствии с
алгоритмом Джонсона6. При этом пользователь задает желаемые полюсы
замкнутой системы для базовой модели.
2. Вычисляются матрицы H i , Li i 1,..., из условия

tr[H
]
m
a
x

i
1
i
при ограничениях в виде линейных уравнений и неравенств
T
S
L
E

B
A
E
,i

1
,
.
.
.
,,
i
i
I
iH
i
i
K

T
T
T
B
H
A

R

B
H
A

R

.
.
.

B
H
A

R
,
1
1
1
12
2
22



T
T
T
H
0
, i
1
,...,
,
B
H
A

L

B
H
A

LB

.
.
.

H
A

L
,
i
1
1
1
12
2
22



6 Johnson C. D. The "unreachable poles", defect in LQR theory: analysis and remedy // Int. J. Control. 1988. V. 47. P.
697 - 709.
11
Q

SiT M
i
i
T


A
H
A

H

Q
M


i
i
i
i
i
i

0
,
i

1
,
.
.
.
,
.
S
N
0

0
,

i
T
T 
 i

MR

B
H
B
i
i
i
i
i
T


M
0 Ni 
 i

3. Вычисляется матрица G .
4. Производится расчет переходного процесса для всех состояний системы (7), по
которому судят о качестве полученного управления.
5. Если синтезированное управление не удовлетворяет заданным показателям
качества, то производится коррекция желаемых полюсов, и процесс
повторяется.
Последний шаг является интерактивным, здесь пользователь сам должен изменить
желаемый спектр, руководствуясь, как общими принципами проектирования,
вытекающими из классической теории управления, так и собственным опытом
проектирования.
Матрица усиления регулятора (11), обеспечивающего одновременную
стабилизацию девяти режимов ЛА по углу тангажа получилась равной
G = [- 22.625787, -1.6331893] .
Характерный вид переходных процессов замкнутой системы стабилизации угла
тангажа по режимам представлен на рисунке 1.
Четвертая глава посвящена стабилизации и робастной стабилизации
дискретных систем случайной структуры статической обратной связью по выходу.
Рассматриваются условия стабилизации дискретных систем случайной
структуры статической обратной связью по выходу, описываемых уравнением
многорежимной системы управления
x

A
()
rx

B
()
r
,
n

1
n n
nu
n
(12)
y
C
()
rx
,

n
n n
 {1,..., } и
  [ ij ]r ,  ij  Prob[ rn1  j | rn  i];
где rn - дискретная марковская цепь с конечным числом состояний
матрицей
вероятностей
перехода

A(rn )  Ai , B(rn )  Bi , C (rn )  Ci , если rn  i ; каждое состояние марковской цепи
соответствует
определенному режиму
системы,
остальные
обозначения
соответствуют принятым ранее. Предполагается, что матрицы Bi , Ci (i  ) имеют
полный ранг.
В главе решаются следующие задачи:
1.
Задача нахождения линейного управления со статической обратной
связью по выходу
un Gy
i n если rn  i ,
(13)
обеспечивающего экспоненциальную устойчивость в среднем квадратичном (ЭУСК)
замкнутой системы (12).
2.
Задача нахождения управления (13), обеспечивающего ЭУСК системы
(12) при аффинных неопределенностях матрицы смены структуры.
Наибольший практический интерес представляет третья задача синтеза
регулятора вида (11), обеспечивающего одновременную стабилизацию по отношению
к неопределенностям вероятностей смены режимов, когда отдельные режимы
системы (12) содержат неопределенности, матрица вероятностей смены режимов
неизвестна, а моменты смены режимов ненаблюдаемы.
Предположим, что неопределенности режимов носят политопный характер,
т.е. для каждого i 
12
[ Ai Bi ]  i  Co[ Aiq Biq ], q  1,
другими
словами
N
i   iq iq
для
некоторых
q 1
(14)
, N,
0  iq  1,
N

q 1
iq
 1,
где
iq  [ Aiq Biq ], i  N , N – число вершин политопа.
Систему (12) будем считать робастно стабилизируемой по отношению к
политопным неопределенностям (14) при произвольных вероятностях смены
режимов, если управление со статической обратной связью по выходу (11)
квадратично стабилизирует замкнутую систему (12), т.е.
T
(
A

B
G
C
)
H
(
A

B
G
C
)

H

0
,H
0
,
i

(15)
i
i
i
i
i
i
для всех [ Ai Bi ] , удовлетворяющих (14).
Известно, что неравенства (15) выполняются тогда и только тогда, когда
( Aiq  BiqGCi )T H ( Aiq  BiqGCi )  H  0, H  0, i  , q  1, , N .
Теорема 4. Система (12) робастно стабилизируема по отношению к
политопным неопределенностям (14) при произвольных вероятностях смены
структуры тогда и только тогда, когда существуют матрицы Qiq  QiqT , Riq  RiqT и
Liq (i  , q  1, N ) соответствующих размерностей, такие, что система
матричных квадратных уравнений
T
T
T
1
T
A
H
A

H

A
H
B
(
R

B
H
B
)
B
H
A

Q

0
,
i

,
i
q
i
q
i
q
i
q
i
i
q
i
q
i
q
i
q
i
q
имеет положительно
соотношениям
определенное
решение
H  HT ,
удовлетворяющее
T
ˆ
R
iq
H
B

0
,
i
q RB
i
q
i
q
T


(
A

B
K
)
H
(
A

B
K
)

i
q
i
qi
q
i
q
i
qi
q


T

1T
T
ˆ



H

S
R
B
H
(
A

B
K
)

S
i
qi
qi
q
i
q i
qi
q
i
q



0
,q

1
,,
N
,

1
ˆ
(
A

B
K
)
H
B
R
S


i
q i
qi
q
i
qi
qi
q



1

1T

1 
ˆ
ˆ



S

R
B
H
B
R
i
q
i
qi
q
i
q
i
q



T
1
T
T
1
( Biq HBiq  Riq ) ( Biq HAiq  Liq )  ( Bi q 1HBi q 1  Ri q 1 ) ( BiTq 1HAi q 1  Li q 1 ),
i  1,..., , q  1,..., N  1,
( BiqT HBiq  Riq )1 ( BiqT HAiq  Liq )  ( BiT1q HBi 1q  Ri 1q )1 ( BiT1q HAi 1q  Li 1q ),
i  1,...,  1, q  1,..., N
где
T

1T
T
KR

(i

B
H
B
)
B
H
A
, S

L
E
(
i
)

B
H
A
E
(
i
)
.
i
q
q
i
q
i
q
i
q
i
q
i
q
i
q
I
i
q
i
q
K
Робастное стабилизирующее управление имеет вид (11), где матрица усиления
определяется по формуле
G  ( BiqT HBiq  Riq ) 1 ( BiqT HBiq  Liq )Ci  , i  ,
для произвольного i  и q {1, , N}.
Теорема 7, в отличие от теоремы 4, накладывает более жесткие требования на
матрицу H : она должна быть постоянной для всех режимов, в то время как в
условиях теоремы 4 матрица H зависит от режима. Это является косвенным
13
подтверждением того, что робастный закон управления в рамках разработанной
теории проектируется с запасом.
Из результатов теоремы 7 вытекает алгоритм синтеза регулятора,
обеспечивающего робастную стабилизацию по отношению к неопределенностям
параметров режимов при произвольных вероятностях смены режимов, реализованный
в виде следующих шагов:
1. Задать весовые матрицы Qiq и Riq .
2. Найти матрицу H  H T  0 как решение задачи оптимизации
tr[ H ]  max
при ограничениях
T
T


A
H
A

H

Q
H
B
i
q
i
q
i
qA
i
q
i
q
T

0
,
H

H

0
,
i

1
,
.
.
.
,
;1
q
,
.
.
.
,
N


.
T
T
T
B
H
A
R

B
H
B


i
q
i
q
i
q
i
q
i
q


3. Вычислить матрицу
Kiq  ( Riq  BiqT HBiq ) 1 BiqT HAiq .

4. Если система линейных матричных неравенств и уравнений
T
R
B
H
B
0
.
iq
iq
iq
( Aiq  Biq K iq )T H ( Aiq  Biq K iq ) 



T
T
1 T
  H  Siq ( Riq  Biq HBiq ) Biq

SiqT


 H ( Aiq  Biq K iq )  ( Aiq  Biq K iq )


0 ,
T
1
HB
(
R

B
HB
)
S
iq
iq
iq
 iq iq

T

1
T

[( Riq  Biq HBiq ) Biq HBiq ( Riq  


Siq
T
1 1


 Biq HBiq ) ]


i
1
,.
.
.
,;
q

1
,.
.
.
,N
,
T
1
T
T
( Biq HBiq  Riq ) ( Biq HAiq  Liq )  ( Bi q 1HBi q 1  Ri q 1 ) 1 ( BiTq 1HAi q 1  Li q 1 ),
i  1,..., , q  1,..., N  1,
( BiqT HBiq  Riq )1 ( BiqT HAiq  Liq )  ( BiT1q HBi 1q  Ri 1q )1 ( BiT1q HAi 1q  Li 1q ),
i  1,...,  1, q  1,..., N
относительно переменной Liq совместна, найти эту матрицу, идти к шагу 6, иначе
идти к шагу 5.
5. Изменить весовые матрицы Qiq и Riq , идти к шагу 2.
6. Вычислить матрицу
T

1T

G

(
B
B

R
)
(
B
B

L
)
C
i
iH
i
i
iH
i
i
i
для произвольных i из множества {1, , } и q из множества {1, , N} . Вычисления
закончить.
Шаг 5, как и в предыдущем алгоритме, реализуется интерактивно. Весовые
матрицы вычисляются по заданному спектру желаемых полюсов.
Графики переходных процессов замкнутой системы стабилизации угла тангажа
представлены на рисунке 2.
Матрица усиления регулятора (11), обеспечивающего одновременную
стабилизацию девяти режимов ЛА по углу тангажа получилась равной
14
G = [- 5.29558, -1.73606] .
Характерный вид переходных процессов замкнутой системы стабилизации угла
тангажа по режимам представлен на рисунке 2.
Рис. 2. Графики переходных процессов
В данном случае возможности робастного управления по сравнению с
результатами главы 2 сузились: переходные процессы здесь всегда оказывались
монотонными.
В заключении приводятся основные научные результаты, отличительной
особенностью которых является, то, что они ориентированы на интерактивную
программную реализацию. Эти результаты состоят в следующем:




Получены необходимые и достаточные условия стабилизации и робастной
стабилизации линейных дискретных систем управлением со статической
обратной связью по выходу.
Разработаны методы и алгоритмы синтеза стабилизирующих и робастных
стабилизирующих регуляторов дискретных систем со статической обратной
связью по выходу.
Получены необходимые и достаточные условия одновременной стабилизации и
одновременной робастной стабилизации семейства линейных дискретных
систем управлением со статической обратной связью по выходу.
Разработаны методы и алгоритмы синтеза регуляторов со статической
обратной связью по выходу для систем с дискретным временем,
обеспечивающих одновременную стабилизацию и одновременную робастную
стабилизацию семейства линейных дискретных систем.
15



Получены необходимые и достаточные условия стабилизации и робастной
стабилизации управлением со статической обратной связью по выходу
линейных дискретных систем случайной структуры.
Разработаны методы и алгоритмы синтеза регуляторов со статической
обратной связью по выходу, обеспечивающих стабилизацию и робастную
стабилизацию систем случайной структуры с дискретным временем.
На базе полученных алгоритмов разработано программное обеспечение в
интегрированной системе MATLAB для синтеза законов управления.
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1. Пакшин П.В., Рябов А.В. Алгоритм синтеза управления со статической обратной
связью по выходу в дискретных системах случайной структуры // Межвузовский
сборник научных трудов молодых ученых «Перспектива 3». - Арзамас: АГПИ, 2003.
– С. 234-239.
2. Пакшин П.В., Рябов А.В. Применение линейных матричных неравенств в среде
MATLAB для синтеза управления со статической обратной связью по выходу //
Тезисы докладов Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и
инженерных приложений в среде MATLAB». – Москва, 2002. – C. 109-110.
3. Пакшин П.В., Рябов А.В. Применение линейных матричных неравенств в среде
MATLAB для синтеза управления со статической обратной связью по выходу //
Материалы Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и
инженерных приложений в среде MATLAB». – Москва, 2002. (CD-версия).
4. Пакшин П.В., Рябов А.В. Синтез управления со статической обратной связью по
выходу в задаче одновременной стабилизации дискретных систем // 8-я
международная конференция «Системный анализ и управление». – Евпатория, 2003. –
C. 119.
5. Пакшин П.В., Рябов А.В. Синтез управления со статической обратной связью по
выходу для линейных систем // Вторая международная конференция по проблемам
управления. – Москва, 2003, том 1, с. 9.
6. Пакшин П.В., Ретинский Д.М., Рябов А.В. Robust Stabilizing Control of DescreteTime Jumping System via Static Output Feedback // International Conference “Physics and
Control”. Saint Petersburg, Russia, 2003. P. 1273-1277.
7. Пакшин П.В., Рябов А.В. Алгоритм решения задачи одновременной стабилизации
обратной связью по выходу на основе линейных матричных неравенств. // 6-я научная
конференция «Нелинейные колебания механических систем». – Н. Новгород, 2002. –
C. 118.
8. Пакшин П.В., Рябов А.В. Синтез управления со статической обратной связью по
выходу для линейных систем. // Автоматика и телемеханика, 2004. – №4. – С. 61-69.
Подписано в печать 25.04.2007 г. Формат 60х84/16
Усл. Печ. Листов 1. Бумага офсетная.
Печать офсетная.
Гарнитура Times New Roman.
Заказ №. Тираж 100 экз.
Отпечатано в ОАО «Арзамасская типография»
607220 г. Арзамас Нижегородской области, ул. Пландина, 8
16