ИССЛЕД РАБОТА БИМЕДИАНЫx

Краткое описание
содержание исследовательской работы по математике на тему
«Исследование свойств бимедиан треугольника и многоугольников,
образованных их точками пересечения»
В данной исследовательской работе учащийся, проводя аналогию с
трисектрисами углов треугольника и, изучив теорему Морлея, вводит понятие
бимедиан и n- медиан треугольника находит отношение, в котором точки
пересечения бимедиан и n- медиан делят их и рассматривает треугольники и
шестиугольники, которые получаются при пересечении бимедиан и n- медиан.
Гипотеза о том, что треугольники получатся правильные или подобные данному
подтвердилась в подобии. Некоторые коэффициенты подобия определены
опытным путем в результате многочисленных измерений при возможно более
точном построении рисунка. Работа отличается новизной темы. Все понятия и
свойства рассмотрены впервые. В математической литературе подобная тема не
рассматривается.
Выполнил
учащийся 8 класса МОУ «СОШ» №4
г. Ртищево Саратовской обл.
Романов Василий
Руководитель
учитель математики Дука Н. И.
Ртищево – 2012
Содержание
Стр
I
Краткие исторические сведения о развитии учения о треугольнике . . . . .1
II
Теорема Морлея о трисектрисах углов треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
III Бимедианы треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
IV Что мы знаем о медианах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
V
Точки пересечения бимедиан треугольника и деление ими
бимедиан на части . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1) точки пересечения смежных бимедиан . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
2) точки пересечения несмежных бимедиан . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
3) точки пересечения бимедиан, выходящих из одной вершины . . . .5
4) треугольники, определяемые соответствующими точками . . . . . . 6
5) пересечение бимедиан правильного треугольника . . . . . . . . . . . . . 7
VI N -медианы треугольника и многоугольники, образованные
их точками пересечения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1) точки пересечения тримедиан . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2) многоугольники, образованные точками пересечения
тримедиан . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3) n – медианы треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
VII Задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
VIII Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I
Краткие исторические сведения о развитии учения о треугольнике
Изображения треугольника и задачи на треугольник встречались в
египетских папирусах, которым более 4000 лет, в старинных индийских книгах,
в древних документах. В VI до нашей эры древнегреческий математик Фалес
доказал свойство углов равнобедренного треугольника. В IV веке до нашей эры
древнегреческий математик Пифагор открыл известную теорему о
прямоугольном треугольнике. В I веке нашей эры греческий математик Герон
вывел формулу площади треугольника по его сторонам.
Треугольник – простейший вид многоугольника. Несмотря на это, он
привлекал к себе внимание многих математиков мира, открывших большое
количество свойств и теорем, например:
 в XVIII веке Леонард Эйлер, швейцарский, немецкий и российский
математик доказал теорему об окружностях 9 точек треугольника, и теорему о
прямой, проходящей через 4 центра треугольника, так называемой прямой
Эйлера;
 в XIX французский полководец Наполеон Бонопарт, увлекающийся
математикой, открыл теорему о свойстве правильных треугольников,
построенных на сторонах данного треугольника;
 в XX веке открыта одна из самых удивительных теорем в геометрии –
теорема американского математика Франка Морлея о точках пересечения
трисектрис треугольника.
С момента открытия теоремы Морлея прошло более века, но до сих пор эта
необыкновенно красивая задача привлекает к себе внимание математиков.
Возможно, нам известны не все свойства треугольника, и в ближайшем
будущем неизвестный до этого математик откроет удивительное свойство
треугольника, которым будут восхищаться.
II
Теорема Морлея о трисектрисах углов треугольника
Вернемся к теореме Морлея. Хорошо известно, что биссектрисы
треугольника пересекаются в одной точке.
А что произойдет, если биссектрисы заменить трисектрисами?
стр 1
Франк Морлей доказал, что если соединить отрезками точки пересечения
смежных трисектрис произвольного треугольника, то получится равносторонний
треугольник.
По определению, трисектрисы – это отрезки прямых, заключенные внутри
треугольника, которые делят углы треугольника на 3 равные части.
III
Бимедианы треугольника
Проводя аналогию биссектрис и медиан треугольника, имея определение
трисектрис, мы самостоятельно вводим определение бимедиан треугольника.
Определение: бимедианами треугольника называются отрезки,
соединяющие вершины треугольника с двумя точками на противоположной
стороне треугольника, которые делят эту сторону на три равные части.
А
В
M
N
С
Точки M и N делят сторону ВС на три равные части, отрезки АМ и А N мы
назвали бимедианами треугольника АВС. Всего в треугольнике можно провести
6 бимедиан.
Проводя далее аналогию трисектрис и бимедиан, выдвинем гипотезу:
треугольники, вершинами которых являются точки пересечения бимедиан,
являются правильными или подобными данному треугольнику, а
многоугольники – правильными или полуправильными.
Поэтому целью нашей работы является исследование свойств бимедиан
треугольника.
Задача исследования – провести анализ многоугольников, полученных при
пересечении бимедиан треугольника.
Объект исследования – треугольник и его бимедианы.
Предмет исследования – точки пересечения бимедиан треугольника.
стр 2
IV
Что мы знаем о медианах
Из приведенных ниже источников мы имеем сведения о медианах
треугольника.
1) Определение: медианой треугольника называется отрезок, соединяющий
вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
2) Свойство точки пересечения медиан: медианы треугольника пересекаются в
одной точке и делятся ей в отношении 2:1, считая от вершины.
Точка пересечения медиан называется центроидом, физический смысл этой
точки – центр масс треугольника.
3) Свойства медиан треугольника:
 медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника
S1 = S2;
S1
S2

отрезки, соединяющие вершины треугольника с точкой пересечения
медиан, делит треугольник на 3 равновеликих треугольника
S1 = S2 = S3;
S2
S3
S1

три медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих
треугольников.
S1
S2
S3
S4
S5
S1 = S2 = S3= S4 = S5 = S6;
S6
стр 3
 Теорема Морлея
Точки пересечения смежных трисектрис треугольника являются вершинами
правильного треугольника
.

Французский математик А. Леберг (1875-1941), используя
элементарные средства, доказал, что среди точек пересечения всех трисектрис
треугольника можно указать 27 троек, являющихся вершинами равносторонних
треугольников. В частности, трисектрисы внешних углов треугольника,
примыкающие к одной и той же стороне, попарно пересекаются в точках,
являющихся вершинами равностороннего треугольника. Стороны
равносторонних треугольников параллельны сторонам «основного»
равностороннего треугольника Морлея.
V
Точки пересечения бимедиан треугольника
и деление ими бимедиан на части
Рассмотрим треугольник АВС и бимедианы AK, AL, BP, BF, CM, CN.
B
B
N
K
O
M
L
S
R
A
Q
G
P
C
F
стр 4
O и S – точки пресечения бимедиан AK и CN, AL и CM соответственно.
1) Найдем отношение, в котором точка О пересечения смежных бимедиан
С N и АК треугольника делит бимедианы.
С N ∩ АК = О
BN=1/3BA. BK=1/3BC ⟹ NК ‖ ВС по теореме Фалеса ⟹ ∆ ВNК ∾ ∆ ВАС по
трем углам, коэффициент подобия k = 1/3 ⟹ NК = 1/3 АС.
NК ‖ АС ⟹ ∠ ОАС = ∠ NКО, как накрест лежащие углы при параллельных
прямых NК и АС и секущей АК.
Аналогично, ∠ КNО = ∠ АОС ⟹ ∆ NКО ∾ ∆ САО, коэффициент подобия
k = NК/АС = 1/3 ⟹ NО = 1/3 СО, КО = 1/3 АО,
NС = NО + ОС = 1/3 СО + СО = 4/3 СО = 4 NО,
NО = 1/4 NС, СО = 3/4 NС.
Итак, получили вывод: точка пересечения смежных бимедиан треугольника
делит бимедиану в отношении 3:1, считая от вершины треугольника.
2) Найдем отношение, в котором точка S пересечения несмежных
бимедиан МС и АL треугольника делит бимедианы.
МС ∩ АL = S
Проведя аналогичные рассуждения, получим:
ВМ = 2/3 ВА, В L = 2/3 ВС ⟹ ∆ МLS ∾ ∆ САS , k = 2/3 ⟹ М L =2/АС,
∆ МSL ∾ ∆ СSА, k = 2\3 ⟹ М S = 2/3 SС, ⟹ МС = 2/3 SС + SС = 5/3 SС, отсюда
SС = 3/5 М S. М S = 2/5 МС.
Итак, получили вывод: точка пересечения несмежных медиан делит
бимедианы в отношении 3:2, считая от вершины треугольника.
3) Рассмотрим соответствующие точки О и R пересечения двух бимедиан
СМ и С N, выходящих из одной вершины треугольника, с другими бимедианами.
Назовем точки соответствующими, если они получаются при пересечении
двух бимедиан, выходящих из одной вершины, с двумя смежными или с двумя
несмежными бимедианами, выходящими из других вершин треугольника.
СМ ∩ ВР = R, СN ∩ АК = О.
стр 5
Соответствующие точки делят бимедианы в одном отношении:
ОN : СN = RМ : СМ = 1/4 ⟹ О R ‖ М N.
Аналогично, любые соответствующие точки, например Q и G, делят
бимедианы BP и BF в одном отношении
QР : ВР = GF : ВF ⟹ QG ‖ АС.
Получили вывод: прямые, соединяющие соответствующие точки
пересечения двух бимедиан, выходящих из одной вершины, с другими
бимедианами, параллельны сторонам треугольника.
Причем, в результате наших наблюдений мы выяснили: если взять две пары
соответствующих точек Т, Е и Q, G на двух бимедианах ВР и В F, выходящих из
одной вершины В, то образованные ими отрезки ТЕ и QG не только параллельны,
но и один из них в 2 раза больше другого
ТЕ ‖ QG , QG = 2 ТЕ.
Это свойство соответствующих точек мы получили в результате измерений
на нескольких рисунках произвольных треугольников, доказать его нам еще не
удалось.
Получили вывод: отрезки , заключенные между крайними
соответствующими точками на любых двух бимедианах, выходящих из одной
вершины треугольника, параллельны и один из них в 2 раза больше другого;
отрезки, заключенные между вторыми точками двух бимедиан, выходящих из
одной вершины, параллельны сторонам треугольника и составляют 1/5 часть от
них; отрезки, заключенные между третьими (считая от вершины)
соответствующими точками, параллельны сторонам треугольника и составляют
1/4 часть от них.
4) Рассмотрим треугольник, вершинами которого служат соответствующие
точки.
Соединив третьи от вершин соответствующие точки бимедиан, получим
треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия 1/4,
ориентированный на плоскости так же, как данный треугольник.
Стр 6
Соединив вторые от вершин соответствующие точки пересечения бимедиан,
получим треугольник, подобный данному с коэффициентом подобия 1/5, причем
его ориентация на плоскости отличается от ориентации данного треугольника на
180о.
Соединив крайние соответствующие точки каждой пары бимедиан
отрезками прямых, получим шестиугольник, который обладает следующими
свойствами: его противоположные стороны параллельны и параллельны
сторонам данного треугольника, из двух противоположных сторон одна больше
другой в 2 раза, большие стороны чередуются с меньшими.
5) Рассмотрим точки пересечения бимедиан правильного треугольника.
Получаем:
1) правильный треугольник, подобный данному, k = 1/5 (рис 1);
2) правильный треугольник, подобный данному, k = 1/4 (рис 2);
3) полуправильный шестиугольник ( рис. 3);
4) шестиугольник с равными сторонами и равными чередующимися углами
(рис 4);
стр 7
5) треугольную правильную звезду (рис 5);
6) фигуру, состоящую из четырех правильных треугольников с тремя общими
вершинами (рис 6).
Рис 1
рис 2
Рис 4
рис 5
рис 3
рис 6
Последняя фигура – вертушка – напоминает знак радиации и может быть
использована как эмблема фирмы.
VI
N -медианы треугольника и многоугольники, образованные их точками
пересечения
Назовем 3-медианами треугольника отрезки, которые соединяют вершины
треугольника с точками на противоположной стороне, которые делят эту
сторону на 4 равные части.
1)
Проводя доказательство, аналогичное первому случаю для бимедиан,
имеем: ∆ NКО ∾ ∆ САО, k = 1/4 ⟹ ОК = ¼ АО и ОК = 1/5АС, следовательно,
точка О делит 3-медианы АК и СN в отношении 4:1, считая от вершины
треугольника;
3
∆ МLS ∾ ∆ САS , k = 3/4 ⟹ SL =3/4АS, SL = АS,
7
следовательно, точка S делит 3-медианы А L и СМ в отношении 4:3, считая от
вершины треугольника.
стр 8
В
N
K
О
M
L
S
А
2)
С
Соединяя соответствующие точки пересечения 3-медиан, получаем :
а) треугольник, подобный данному с коэффициентом подобия k = 2/7 (рис 1);
б) треугольник, подобный данному с коэффициентом подобия k = 2/5 (рис 2);
в) шестиугольник, противоположные параллельные стороны которого относятся
как 1:3 (рис 3).
Рис 1
рис 2
Рис 3
3) Назовем n-медианами треугольника отрезки, которые соединяют вершины
треугольника с точками на противоположной стороне, которые делят эту
сторону на n равных частей.
Рассмотрим шестиугольник, вершинами которого являются
соответствующие точки пересечения n-медиан, ближних к сторонам
треугольника, его противоположные стороны параллельны и относятся как 1: n.
стр 9
VII Задача
На сколько треугольников разбивают данный треугольник бимедианы,
проведенные по одной из каждой вершины?
Ответ: на 17 треугольников.





VIII Заключение
Подтвердилось утверждение гипотезы о том, что:
два треугольника, образованные точками пересечения бимедиан, подобны
данному треугольнику с коэффициентами подобия 1/5 и 1/4;
шестиугольник, вершинами которого являются точки пересечения
бимедиан, является полуправильным, его противоположные стороны
параллельны и относятся как 1:2,
два треугольника, образованные точками пересечения 3-медиан, подобны
данному треугольнику с коэффициентами подобия 2/7 и 2/5;
шестиугольник, вершинами которого являются точки пересечения
3-медиан, является полуправильным, его противоположные стороны
параллельны и относятся как 1:3,
шестиугольник, вершинами которого являются точки пересечения
n-медиан, является полуправильным, его противоположные стороны
параллельны и относятся как 1: n.
стр 10
Литература
1. Глейзер Г. И. История математики в школе. Москва «Просвещение» 1983.
2. Петраков И. С. Математические кружки в 8-10 классах. Москва
«Просвещение» 1987.