DOC, 55.5 КБ

Реклама
В книге Перельмана «Занимательная геометрия» я прочла об опыте Бюффона о вычислении
числа пи, который меня поразил! Мне захотелось его проделать, а после эксперимента возникло
желание - рассказать о нём своим одноклассникам. Я работала над этой темой в течение нескольких
месяцев. Так родился этот проект, с которым я выступала перед учащимися нашей школы в марте,
накануне международного дня числа Пи. Надеюсь, что и у вас моя работа вызовет интерес.
Формы круга, окружности мы встречаем повсюду: это и колесо машины, и линия горизонта, и
диск Луны, и наша планета.
Задумывались ли вы когда-нибудь о размерах нашей Земли и обыкновенной мыши? А ведь
именно они лежат в основе любопытной геометрической задачи: если обтянуть земной шар по
экватору проволокой и затем прибавить к её длине всего лишь 1 м, то сможет ли между проволокой
и землёй проскочить мышь? Попробуем ответить на этот вопрос, но для этого нам придётся
прибегнуть к помощи числа π и вспомнить связь между длиной окружности и её радиусом.
Любой школьник сегодня должен знать это. Ведь, в шестом классе мы знакомились с
этим числом и использовали его при вычислении длины окружности, площади круга, выполняли
практическую работу, в ходе которой получали приближённое значение числа π.
Но, к сожалению, уже через год – два мало кто помнит не только то, что отношение длины
окружности к её диаметру одно и то же для всех окружностей, но даже с трудом вспоминает
приближённое значение числа π, равное 3,14.
респондентов
Как показал тест-опрос только 50%
смогли вспомнить чему
равно число π, а что оно означает смогли пояснить только 5% опрошенных. Этот факт ещё раз
подтверждает справедливость высказывания: «Расскажи мне – и я забуду, покажи мне – и я
запомню, вовлеки меня в действие – и я пойму».
Так что же это за число и зачем оно необходимо нам сегодня? Ещё в древности математики
пытались решить задачи, связанные с кругом: измерить длину окружности или её дуги, площадь
круга или сектора. Первые попытки делались ещё до нашей эры! Впервые Архимед вычислил
отношение длины окружности к диаметру.
А в середине XVIII века знаменитый русский академик Леонард Эйлер ввёл обозначение этой
постоянной. Её стали называть числом π («пи» - начальная буква греческого слова perimetron,
которое и означает «окружность»).
Попробуем и мы приподнять завесу богатейшей истории числа π, которым
человечество пользуется уже много веков.
В глубокой древности считалось, что окружность
ровно в 3 раза длиннее
диаметра. Эти сведения содержатся в клинописных табличках Древнего Междуречья.
Однако уже во II тысячелетии до н. э. математики Древнего Египта находили
более точное отношение. В папирусе Райнда, который датируется приблизительно
1650 г. до н. э., для числа π приводится значение в десятичном приближении это 3,16.
Долгое время в качестве приближённого значения π использовали число 22/7, хотя
уже в V в. В Китае было найдено более точное приближение, которое было открыто
вновь в Европе лишь в 16 в.
В Древней Индии π считали равным √10
Нидерландский учёный Лудольф ван Цейлен в 1615 г. нашёл для него 35
правильных десятичных знака и завещал вырезать это значение на своем могильном памятнике. Это
приближение называли лудольфовым числом.
Вот оно
1
в 1873
Некий Шенкс
г. опубликовал такое значение числа π, в котором после
запятой следовало 707 десятичных знаков!
А так выглядит 101 знак числа π без округления:
Такие длинные числа, приближенно выражающие значение, не имеют ни
практической, ни теоретической ценности. Даже в наши дни с помощью ЭВМ число π вычислено
только с точностью до миллиона знаков, что представляет скорее технический, чем научный
интерес.
Если бы мы пожелали,
например, вычислить длину земного экватора с
точностью до 1 см, предполагая, что знаем длину его диаметра точно, то для этого нам вполне
достаточно было бы взять всего 9 цифр после запятой в числе π. А взяв вдвое больше цифр (18), мы
могли бы вычислить длину окружности, имеющей радиусом расстояние от Земли до Солнца, с
погрешностью в 100 раз меньше толщины волоса!
Итак, десяти знаков числа π вполне достаточно для всех практических целей.
А как же легче запомнить первые цифры числа π? Это совсем несложно. Для запоминания
большего числа знаков существуют забавные поговорки и стихи.
Например, такие:
Нужно только постараться
И запомнить всё как есть:
π = 3,1415926
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
назвать 8 знаков
Тот, кто выучит это четверостишие, всегда сможет
числа π.
В следующих фразах знаки числа π можно определить по количеству букв в каждом слове:
«Что я знаю о кругах?» Эту поговорку предложил Яков Перельман.
Известно стихотворение на английском языке — в
после запятой в числе π.
See I have a rhyme assisting
My feeble brain, its tasks
13 слов, дающее 12 знаков
offtimes resisting.
π = 3,141592653589
Учитель одной из московских школ придумал строку:
«Это я знаю и помню прекрасно »,
а его ученица сочинила забавное продолжение:
Пи многие знаки мне лишни, напрасны ».
π = 3,14159265358
Это двустишие позволяет восстановить 12 цифр.
Небольшие стихотворения или яркие фразы дольше остаются в памяти, поэтому
каждый может попробовать себя в этом виде «математической поэзии» или запомнить уже
сочиненные.
А как же можно практически получить численное значение π?
Для вычисления числа π можно повторить опыт древних греческих математиков. Уложить
вдоль окружности нить, а потом развернуть её и измерить. Затем сложить окружность пополам и
измерить линейкой диаметр. Разделив, полученную длину окружности на её диаметр, получим
значение числа π. Я и мои одноклассники выполняли эту практическую работу в шестом классе.
Проанализировав результаты работы не только нашего класса но и результаты шестиклассников
других лет, можно увидеть, что приблизительно 60% учащихся пришли к тем же выводам, что и
первые математики.
Но самый оригинальный и неожиданный способ для приближенного вычисления числа π, на
мой взгляд, предложил естествоиспытатель Жорж Бюффон.
Суть этого метода состоит в следующем. Запасаются короткой швейной иглой, — лучше с
отломанным острием, чтобы игла была равномерной толщины, — и проводят на листе бумаги ряд
тонких параллельных линий, отделенных одна от другой расстоянием вдвое больше длины иглы.
Чтобы игла не подпрыгивала, подкладывают под бумажный лист сукно. Затем роняют с
2
некоторой (произвольной) высоты иглу на бумагу и замечают, пересекает ли игла одну из линий или
нет. Бросание иглы повторяют много раз, каждый раз отмечая, было ли пересечение.
Если потом разделить общее число падений иглы на число случаев,
когда
замечено было пересечение, то в результате должно получиться число π, конечно, более или
менее приближенно.
Объяснение этого опыта вы можете увидеть в моей работе.
Чем большее число падений наблюдалось, тем точнее получается выражение для π.
Я повторила этот опыт с бросанием прямой иглы длиной 3 см и согнутой иглы также длиной 3
см. И вычислила значение числа π = 3,077 тысячных в случае с прямой иглой и
в случае –
изогнутой π = 3,125 тысячных.
Как видите, отношение длины окружности к диаметру находится здесь опытным путем.
Причем даже не надо чертить круг. Человек, не имеющий никакого представления о геометрии и
даже о круге, может тем не менее определить по этому способу число π, если терпеливо проделает
весьма большое число бросаний иглы. Мне, например, помогала моя младшая сестра, которой всего
6 лет. Вы также можете повторить этот эксперимент.
Определяя π указанными способами, мы получили результаты, не совпадающие с 3,14. Такого
рода опытный путь никак не может дать сколько-нибудь приемлемого значения для π. В связи с этим
становится более понятным, почему древний мир не знал правильного отношения длины окруж-
3 1/7
ности к диаметру, и понадобился гений Архимеда, чтобы найти для π значение
— найти без
измерения, одними лишь рассуждениями.
Геометрия знает немало поучительных и необычных задач, связанных с этим удивительным
числом. Одна из них описана в романе Жюля Верна, герой которого подсчитывал, какая часть его
тела прошла более длинный путь за время его кругосветных странствий – голова или ступни ног.
Приведём решение этой здачи.
Ноги прошли путь 2πR, где R — радиус земного шара. Верхушка же головы прошла при этом
2π умноженное на сумму радиуса земного шара и роста
человека. Разность путей вы видите на экране. Итак, голова прошла путь на 10,7 м больше,
чем ноги.
Любопытно, что в окончательный ответ не входит величина радиуса земного шара. Поэтому
результат получится одинаковый и на Земле, и на Юпитере, и на самой мелкой «планетке».
разность длин
Вообще,
двух окружностей не зависит от их радиусов, а только от
расстояния между ними. Прибавка одного сантиметра к радиусу земной орбиты увеличила
бы ее длину ровно настолько, насколько
удлинится
от такой же прибавки
радиуса окружность пятака.
На этом геометрическом парадоксе и основана любопытная задача, приведённая в самом
начале моей работы. Напомню её условие.
Если обтянуть земной шар по экватору проволокой и затем прибавить к ее длине 1 м, то
сможет ли между проволокой и землей проскочить мышь?
Обычно отвечают, что промежуток будет тоньше волоса: что значит один метр по
сравнению с 40 миллионами метров земного экватора! В действительности же величина
промежутка равна 16 см.
Не только мышь, но и крупный кот проскочит в такой промежуток!
Теперь вообразите, что земной шар плотно обтянут по экватору стальной проволокой. Что
произойдет, если эта проволока охладится на 1о? От охлаждения проволока должна укоротиться.
Если она при этом не разорвалась и не растянулась, то как глубоко она врежется в почву?
Казалось бы, столь незначительное понижение температуры, всего на 1 о, не может вызвать
заметного углубления проволоки в землю. Расчеты показывают другое.
Охлаждаясь на 1о, стальная проволока укорачивается
на одну стотысячную
долю своей длины. При длине в 40 миллионов метров (длина земного экватора) проволока должна сократиться, как легко рассчитать, на 400 м. Но радиус этой окружности из
3
проволоки уменьшится не на 400 м, а гораздо меньше. Для того чтобы узнать, насколько
400 м разделить на 2л.
уменьшится радиус, нужно
Получится около 64 м. Итак,
о
проволока, охладившись всего на 1 , должна была бы при указанных условиях врезаться в землю не
на несколько миллиметров, как может казаться, а более чем на 60 м!
Эти примеры можно было бы продолжать, но мы ограничены во времени, поэтому я вынуждена
заканчивать, но очень надеюсь, что теперь вы задумаетесь над этим удивительным числом.
Современная наука развивается очень быстро. Некоторые достижения человеку трудно было
себе представить несколько десятков лет назад. Но есть вечные ценности, простые на первый взгляд,
которыми человечество пользуется уже много веков. К таким вечным ценностям, на мой взгляд,
относится и число π.
«… в любой окружности, независимо от её диаметра, отношение длины окружности к её
диаметру, есть величина постоянная» - шедевр человеческой мысли, не менее ценный и прекрасный,
чем, например, «Джоконда» Леонардо да Винчи. Но чтобы насладиться красотой Джоконды в
полной мере, необходимо отправиться в Париж. А для того чтобы не просто полюбоваться, но и
получить в собственность уникальную ценность – знания о числе π – достаточно вдумчиво
прочитать школьный учебник, или ещё раз перечитать эту работу. И, возможно, тогда знания,
полученные на уроках геометрии, станут прочными и неформальными.
Теперь, надеюсь, что ни у кого не возникнет вопроса, почему, именно, этому числу посвящён
специальный день – Международный день числа пи! Ежегодно 14 марта все математики планеты и
все те, кто знаком с этим удивительным числом вновь и вновь восхищаются этим шедевром
человеческой мысли!
4
Скачать