Контрольная работа № 1 Аналитическая геометрия Задание 1. Даны вершины треугольника А(х1,y1), В(х2,y2), С(х3,y3). Найти 1) длину стороны АВ; 2) уравнение медианы СD, проведенной из вершины С; 3) уравнение высоты СЕ, проведенной из вершины С; 4) уравнение прямой L, проходящей через вершину С, параллельно стороне АВ; 5) длину высоты СЕ; 6) величину внутреннего угла А. Сделать чертеж. Дано: А (1;-1) В(7;2) С(4;5) Решение. Изобразим заданный треугольник в декартовой системе координат Оху. 6 C 5 L A 4 3 B 2 D 1 E 0 -1 0 -1 A 1 2 3 4 5 6 7 8 -2 1) Длину стороны АВ найдем, используя формулу расстояния между двумя точками на плоскости: d ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 Подставляя в нее координаты точке А и В, получим. d AB (7 1)2 (2 (1)) 2 62 32 36 9 45 3 5 (ед.) 2) По определению медианы точка D медианы СD делит отрезок АВ пополам. Следовательно, ее координаты определяются по формулам деления отрезка пополам: x xB 1 7 y yB 1 2 xD A 4 ; yD A 0.5; 2 2 2 2 Таким образом, найдена точка D (4;0.5). Уравнение медианы CD как прямой, проходящей через две заданные точки С и D, запишем в виде x xС y yС x4 y5 x 4 y5 или ; . 4 - 4 0.5 5 0 4.5 x D x С y D yС По свойству пропорции отсюда следует уравнение СD: 0 (y 5) 4.5 ( x 4) или x – 4 = 0 3) Уравнение высоты СЕ как прямой, проходящей через точку С перпендикулярно стороне АВ, будем искать в виде: y yc KCE ( x xc ) , где угловой коэффициент КСЕ, найдем из условия перпендикулярности прямых СЕ и АВ: 1 K CE . K AB Угловой коэффициент КАВ определим, используя формулу углового коэффициента отрезка: y y A 2 (1) 3 1 K AB B . xB x A 7 1 6 2 1 1 2. Следовательно, K CE K AB 12 Уравнение высоты, примет теперь вид y – 5 = – 2 (x –4) ; y – 5 = – 2x + 8 или 2х + y – 13 = 0. 4) Аналогично, уравнение прямой L, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ, будем искать в виде y yc K L ( x xc ) , где угловой коэффициент КAB, найдем из условия параллельности прямых L и АВ: 1 K L K AB 2 Уравнение прямой L, примет теперь вид y – 5 = 1/2 (x – 4); 2y – 10 = x – 4 или х – 2y +6 = 0. 5) Длину высоты СЕ найдем, используя формулу расстояния от точки С до прямой АВ A x B1 y1 C1 CE 1 1 , A12 B12 где А1x+В1y+C1 = 0 есть общее уравнение стороны АВ: 1 y yA K AB ( x xA ) или y (1) ( x 1),2 y 2 x 1 получим x – 2y – 3 = 0. 2 Подставляя в найденное уравнение координаты точки С, получим 1 4 2 5 3 4 10 3 9 9 9 5 CE (ед). 5 5 5 12 22 12 22 6) из рисунка видно, что внутренний угол А треугольника АВС есть угол, на который нужно повернуть сторону АВ в положительном направлении (т.е. против часовой стрелки) до совмещения ее со стороной АС. Поэтому тангенс угла А найдем по формуле: K AC K AB tgA 1 K AC K AB 1 Угловой коэффициент K AB (найден в п.3). Аналогично найдем 2 1 2 yC y A 5 1 6 2 4 1 3 3 ; А arctg 3 K AC 2. Следовательно tgA 1 22 4 4 xC x A 4 1 3 4 1 2 2 Ответ: 1) длина стороны AB 3 5 (ед.) ; 2) уравнение медианы СD: x – 4 = 0; 3) уравнение высоты СЕ: 2х + y – 13 = 0 ; 4) уравнение прямой L: х – 2y – 3= 0; 5) длина высоты СЕ: 9 5 3 (ед) ; 6) величина внутреннего угла А А arctg . 3 4 Задание 2. Составить уравнение и построить линию, для каждой точки которой выполняется следующее условие: 1 Отношение расстояний до точки F (2;0) и прямой x равно 2 2 Решение. Сделаем схематический чертеж по условию задачи: 3,00 x=0,5 M (x, y) 2,00 N(0,5;y) 1,00 F 0,00 0,00 -1,00 1,00 2,00 3,00 -1,00 1) Предположим, что произвольная точка плоскости М (х,y) лежит на линии. Тогда точка N (0,5;y) является ее проекцией на прямой x = 0,5 2) по условию задачи выполняется следующее отношение расстояний: FM 2 или FM 2 NM NM 3) используя формулу расстояния между двумя точками, выразим полученное буквенное равенство в координатной форме и преобразуем его к виду канонического уравнения одной из кривых второго порядка: окружности, эллипса, гиперболы или параболы. ( x 3) 2 ( y 0) 2 2 ( x 0.5) 2 x 2 6 x 9 y 2 4x 2 x 0.25 x2 6x 9 y 2 4x2 4x 1 y 2 3x 2 2 x 8 0 3x 2 2 3x 2 1 25 3x y2 3 3 2 1 25 3 x y 2 3 3 1 1 25 y2 3 3 3 2 1 3 x y2 3 1 25 25 3 3 2 1 x y2 3 1 гипербола 25 25 9 3 Это уравнение гиперболы, построим линию по ее уравнению. 5 4 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 -1 0 -2 -3 -4 -5 Пересечение с осями При у = 0 2 1 x 3 1; 25 9 2 1 25 x 3 9 1 5 x 3 3 4 6 x1 или x2 2 3 3 При х=0 y2 1 решений нет. 25 3 Точка ( - 9/10; 0) 1 2 3 4 5 Задание 3. Даны точки А(х1,y1, z1), В(х2,y2,z2), С(х3,y3, z3). Найти: 1) угол меду векторами AB и AC ; 2) уравнение плоскости P, проходящей через точку А перпендикулярно вектору AB ; 3) расстояние от точки С до плоскости Р; 4) уравнение прямой L, проходящей через точку В и С; 5) точку пересечения прямой L с плоскостью Р. Сделать схематический чертеж. Дано: А (-4;-2;0) В(-1;-2;4) С(3;-2;1) Решение Сделаем схематический чертеж. B C M(x,y,z) P A C’ D 1) Найдем векторы AB и AC , проходящие через 2 заданные точки: AB ( xB x A ; y B y A ; z B z A ) (1 (4);2 (2);4 0) (3;0;4) AC ( xC x A ; yC y A ; zC z A ) (3 (4);2 (2);1 0) (7;0;1) Находим косинус угла между векторами по формуле: AB AC 3 7 0 0 4 1 21 4 25 1 cos 25 50 5 5 2 2 AB AC 32 02 42 7 2 02 12 1 0 Следовательно arccos 45 2 2) Пусть М (x;y;z) – произвольная точка плоскости Р. Тогда вектор AM ( x x A ; y y A ; z z A ) ( x 4; y 2; z 0) будет перпендикулярен вектору AB . Используя условие перпендикулярности двух векторов AB AM 0 как равенство нулю их скалярного произведения в координатной форме, получим общее уравнение плоскости Р: 3 ( x 4) 0 ( y 2) 4 ( z 0) 0 или 3x 12 4z 16 0 или 3x 4z 12 0 3) Расстояние d от точки С до плоскости Р найдем по известной формуле: A x B1 y1 C1 z1 D1 d 1 1 , A12 B12 C12 где А1x+В1y+C1z+ D1= 0 есть уже известное общее уравнение плоскости Р. Получим 3 3 0 2 4 1 12 9 4 12 25 d 5(ед). 5 25 32 02 42 4) Уравнение прямой L, проходящей через две заданные точки В и С, имеют вид: x 1 y 2 z 4 x 1 y2 z4 x xB y yB z zB или или . 4 0 3 3 1 2 2 1 4 xC xB yC yB zC z B 5) Для нахождения точки D пересечения прямой L с плоскостью P, приравняем отношения, входящие в уравнение прямой L, параметру t и получим параметрические уравнения прямой L: x 1 y2 z4 t; t; t x 1 4t; y 2 0; z 4 3t. 4 0 3 x 4t 1; y 2; z 3t 4. Подставляя значения x, y, z в общее уравнение плоскости P, получим значение параметра t, при котором линия L пересекает плоскость P. 3 4t 1 4 3t 4 12 0 12t 12t 3 16 12 0 25 0 Отсюда следует, что точки пересечения D не существует: Ответ 1 1) угол меду векторами AB и AC : arccos 450 2 2) уравнение плоскости P : 3x 4z 12 0 3) расстояние от точки С до плоскости Р : d 5(ед). x 1 y 2 z 4 4) уравнение прямой L: . 4 0 3 5) точка пересечения прямой L с плоскостью Р: не существует. .