III. Электричество и магнетизм 1 _____________________________________________________________________________

1
III. Электричество и магнетизм
_____________________________________________________________________________
Тема 4.3. ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
1.4. Электрический ток. Необходимые условия существования тока.
Электрическим током называется любое упорядоченное движение
электрических зарядов. Если в проводнике создать электрическое поле, то в
нем свободные электрические заряды
придут в движение – возникает ток,
называемый током проводимости. Если
в
пространстве
перемещается
заряженное тело, то ток называется
конвекционным. За направление тока
принимается направление движения
положительно заряженных частиц (рис.
30).
Для
возникновения
и
Рис. 30. К определению направления тока.
существования тока необходимо с
одной стороны, наличие свободных заряженных частиц, а с другой – наличие
электрического поля в проводнике. Количественной характеристикой служит
величина I называемая силой тока и определяемая зарядом, протекающим
через поперечное сечение проводника в единицу времени,
dq
4.1
I .
dt
Сила тока величина скалярная, измеряется в амперах.
Электрический ток может быть распределен по поверхности, сквозь
которую он протекает, неравномерно. Более детально ток можно
характеризовать с помощью вектора плотности тока j . Он численно равен
силе тока, протекающей через единичную площадку, перпендикулярную к
направлению движения зарядов
dI
.
4.2
j
dS
Зная вектор плотности тока в каждой точке поверхности можно найти силу
тока через эту поверхность
I   j  dS .
4.3
S
Рис. 31. К определению плотности тока.
выражение:
Пусть заряд свободной частицы
равен q 0 , концентрация свободных
зарядов равна n, скорость их
упорядоченного движения v . Тогда за
время dt через поперечное сечение
проводника будет переноситься заряд
dq  q 0  n  v  S  dt . Учитывая 4.1 и 4.2,
для
плотности
тока
получим
2
Лекция 5. Законы постоянного тока
____________________________________________________________________________
j  q0  n  v .
4.4
Так как скорость v является вектором, то и плотность тока также будет
вектором.
2.4. Закон Ома для участка цепи. Дифференциальная форма закона
Ома.
Г. Ом на опыте установил, что сила тока в однородном проводнике
прямо пропорциональна приложенному напряжению и обратно
пропорциональна его сопротивлению
U
4.5
I .
R
Величина R называется электрическим сопротивлением проводника и
зависит от его геометрических размеров, свойств материала, из которого
он изготовлен и температуры
4.6
R  ,
S
где  - удельное сопротивление, величина численно равная сопротивлению
куба вещества с ребром 1 м, при условии, что ток течет в направлении
перпендикулярном граням куба. Зависимость сопротивления проводника от
температуры имеет следующий вид:
R  R 0 1    t  ,
где R 0 - сопротивление проводника при температуре 0 C ,
 - термический коэффициент сопротивления.
Закон Ома можно записать в дифференциальной форме. Рассмотрим
цилиндрический проводник длиной d и площадью поперечного сечения dS .
Напряжение, приложенное к проводнику U  E  d , где Е – напряженность поля
d
в проводнике. Наконец, сопротивление проводника по 4.6 равно R   .
dS
Подставляя эти значения в 4.5, получим
E
4.7
j .

Носители заряда движутся в направлении вектора Е и поэтому
направление векторов j и E совпадают. Таким образом, окончательно, можно
получить:
j  E,
4.8
1
где   - удельная проводимость вещества.

Формула 4.8 выражает закон Ома в дифференциальной форме.
3.4. Источники тока. Сторонние силы. ЭДС источника тока.
Если два разноименно заряженных тела соединить проводником, то в нем
возникает электрический ток. Возникновение тока приводит к тому, что поле
3
III. Электричество и магнетизм
_____________________________________________________________________________
очень быстро исчезает и, следовательно, ток прекращается. Для того, чтобы
поддерживать ток достаточно длительное время нужно от тела с меньшим
потенциалом непрерывно отводить приносимые заряды, а к телу с большим
потенциалом непрерывно их подводить. Иными словами электрическая цепь
должна быть замкнутой. Но электрическое поле не может перемещать заряды
по замкнутому пути  A  0  и поэтому наряду с электрическими силами на
перемещающиеся заряды должны действовать и силы не электростатического
характера, так называемые сторонние силы.
Величину, равную работе сторонних сил по перемещению единичного
положительного заряда, называют электродвижущей силой источника (ЭДС)
A
4.9
E  ст .
q
По аналогии с электрическими силами стороннюю силу можно
представить в виде:
4.10
Fст  E ст  q ,
где E ст - напряженность поля сторонних сил.
Тогда
Аст   Ест  q  d  q  Ecn  d  q  E
и, следовательно,
4.11
E   Eст  d .
Рассмотрим неоднородный участок цепи 1 – 2 . На участке 1-2 на заряды
будут действовать две силы: электрическая
Е 12
сила Fэ и сторонняя сила Fст и их
1
2
R
1
2
I
Рис. 32. Неоднородный участок цепи.
2
результирующая
2
1
Но
Ed
1
Величину

Тогда работа по перемещению заряда
между точками 1 и 2 будет определяться
по формуле:
2
A12   F  d  q  E  d  q  E ст  d .
2

F  Fэ  Fст  q E э  Eст .
1
4.12
1
2
 1  2 , а  E ст  d  E12 , и тогда
1
U12 
A12
q
A12  q  1  2   q  E12 .
4.13
называют напряжением между двумя точками
электрической цепи
U12   1  2   E12 .
4.14
При отсутствии источника тока  E12  0  напряжение U12 совпадает с
разностью потенциалов.
4.4. Работа и мощность постоянного тока. Закон Джоуля - Ленца.
4
Лекция 5. Законы постоянного тока
____________________________________________________________________________
При упорядоченном перемещении электрических зарядов электрическое
поле совершает работу dA  U  dq . Из 4.1 найдем, что dq  I  dt и тогда
dA  U  I  dt . После интегрирования можно получить
t
U2
A   U  I  dt  U  I  t  I 2  R  t 
t.
4.15
R
0
Следовательно, для мощности тока получим:
U2
2
P  UI  I R 
.
4.16
R
При прохождении тока по неподвижному проводнику он нагревается.
Джоуль и Ленц установили, что количество теплоты, выделяющееся в
проводнике, может быть найдено по формуле:
4.17
Q  I2  R  t .
Если сила тока изменяется во времени, то закон Джоуля - Ленца можно
записать в виде:
t
Q   I 2  t   R  dt .
4.18
0
Закон Джоуля – Ленца можно записать в дифференциальной форме.
Выделим в проводнике с током I элементарный объем в форме цилиндра
длиной d и площадью поперечного сечения dS . Согласно закону Джоуля –
Ленца 4.17 в нем будет выделяться количество теплоты:
d
2 d
4.19
dQ  I2
dt   j  dS
dt  j2    V  dt .
dS
dS
Количество теплоты, отнесенное к единице объема и единице времени,
называется удельной тепловой мощностью тока
dQ
.
4.20
w
V  dt
Учитывая 4.19 выражение 4.20 примет вид
4.21
w  j2   .
Воспользовавшись соотношением 4.8 выражение 4.21 можно записать в
виде:
4.22
w    E2 .
Формулы 4.21 и 4.22 выражают закон Джоуля – Ленца в
дифференциальной форме.
5.4. Закон Ома для неоднородного участка цепи.
Чтобы получить закон Ома для неоднородного участка цепи, т.е. участка
на котором действует ЭДС, воспользуемся законом сохранения энергии. Пусть
на концах участка 1 – 2 (рис.32) поддерживается разность потенциалов
 1  2  . Обозначим ЭДС, действующую на участке E12 , и зададим
направление тока и ЭДС.
5
III. Электричество и магнетизм
_____________________________________________________________________________
Если проводник неподвижен, то единственным результатом протекания
тока будет его нагревание. Количество теплоты, выделяющееся в проводнике,
определяется по закону Джоуля – Ленца 4.17:
dQ  I 2  R  t  I  R  I  dt   I  R  dq .
4.23
При перемещении электрического заряда совершается работа
4.24
dA  E12dq  dq  1  2  .
Согласно закону сохранения энергии dQ  dA и тогда
I  R  dq  E12  dq  dq  1  2 
и после сокращения на dq , окончательно получим
   2   E12 .
I 1
4.25
R
Формула 4.25 выражает закон Ома для неоднородного участка цепи. Из
4.25 следуют частные случаи:
  2 U
1. Если E12  0 , то I  1
- закон Ома для однородного участка

R
R
цепи.
E
2. Если цепь замкнута 1  2 , то I  12 - закон Ома для замкнутой цепи.
R
6.4. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа.
Закон Ома для неоднородного участка цепи позволяет рассчитать любую
электрическую цепь, но расчет этот довольно сложен. Расчет электрических
цепей значительно упрощается, если
воспользоваться правилами Кирхгофа.
Назовем узлом электрической цепи
точку, в которой сходится не менее
трех проводников.
Токи, втекающие в узел, будем
считать положительными, а вытекающие –
отрицательными и тогда для узла
Рис. 33. К первому правилу Кирхгофа. изображенного на рисунке, получим:
N
I1  I2  I3  I4   Ii 0 .
4.26
i 1
Это и есть первое правило Кирхгофа – алгебраическая сумма токов
сходящихся в узле равна нулю. Первое правило Кирхгофа вытекает из закона
сохранения электрического заряда.
Второе правило Кирхгофа является следствием закона сохранения энергии.
Выделим в разветвленной электрической цепи замкнутый контур 1-2-3.
Зададим направление обхода контура (например, по часовой стрелке) и
применим к каждому из участков закон Ома для неоднородного участка цепи:
Лекция 5. Законы постоянного тока
____________________________________________________________________________
6
I1  R1  1  2  E1
I 2  R 2  2  3  E 2
I3  R 3  3  1  E 3
При суммировании этих выражений получим
I1  R1  I 2  R 2  I3  R 3  E1  E 2  E 3
или
N
N
I  R  E .
i 1
i
2
Е1
R1
I2
R2
Е2
I1
1
I3
R3
Е3
Рис. 34. Ко второму правилу Крхгофа.
3
i
i 1
i
4.27
Формула 4.27 выражает
второе правило Кирхгофа:
в замкнутом контуре,
произвольно
выделенном
в
разветвленной электрической
цепи, алгебраическая сумма
произведений сил токов на
сопротивление
соответствующих
участков
равна алгебраической сумме
ЭДС, действующих в этом
контуре.
При составлении уравнений по второму правилу Кирхгофа нужно току и
ЭДС
приписывать
знаки.
Если
направление обхода контура совпадает с
направлением силы тока и ЭДС, то они
считаются
положительными,
в
противном случае – отрицательными
(рис. 35). Направление обхода контура
выбирается произвольно и не зависит от
выбора направления в других контурах.
Рис. 35. К правилу знаков.
7.4. Измерительные мосты постоянного тока.
Для определения сопротивления проводников можно использовать метод
амперметра и вольтметра, однако, этот метод приводит к появлению
погрешности, так как сами приборы имеют какое-то сопротивление.
Для точных измерений сопротивления проводников широко применяются
измерительные мосты постоянного тока (мостик Уитстона).
Измерительный мост постоянного тока представляет собой четырехугольный
контур, образованный сопротивлениями R1 ,R 2 ,R 3 и R 4 , в одну диагональ
которого включается индикатор нуля (измерительная диагональ), а в другую –
источник постоянного тока (диагональ питания) .
7
III. Электричество и магнетизм
_____________________________________________________________________________
Мост называется уравновешенным, если ток в измерительной диагонали
отсутствует, т.е. Iин  0 . Выведем условие балансировки моста. Запишем первое
правило Кирхгофа для узлов b и d
b
I1  I ин  I 4  0
4.28
I

I

I

0
2
ин
3
R3
R4
и второе правило Кирхгофа для
I3
контуров abda и bcdb (обход по часовой
I4
c
a
ин
стрелке).
I2
I ин
I 3 R 3  I ин R ин  I1R 1  0
.
4.29
I1
I 4 R 4  I 2 R 2  I ин R ин  0
R1
R2
Изменением известных сопротивлений
R 1 , R 2 , R 4 можно добиться того, чтобы ток в
d
индикаторе нуля был равен нулю, т.е. Iин  0 .
Тогда из 4.28 можно получить I1  I 2 и I 3  I 4 ,
а из 4.29 с учетом полученного найдем
Рис. 36. Измерительный мост
условие равновесие моста
постоянного тока.
R1 R 3
.
4.30

R2 R4
Это и есть условие балансировки моста постоянного тока. Таким образом,
при определении неизвестного сопротивления величина ЭДС, внутреннее
сопротивление источника и сопротивление гальванометра не играют ни какой
роли.
Из условия равновесия моста, зная сопротивление трех его плеч, можно
однозначно определить неизвестное сопротивление. На практике обычно
вместо сопротивления R 3 включают неизвестное сопротивление R X , а вместо
сопротивления R 4 магазин сопротивлений R m и тогда из 4.30 можно получить
R
4.31
RX  Rm 1 .
R2
8.4. Мощность тока во внешней цепи. КПД источника тока.
Электрическая цепь, как правило, состоит из источника тока, потребителя
(нагрузки) и соединительных проводов. Пренебрегая сопротивлением
подводящих проводов, для силы тока в цепи можно получить выражение
E
.
I
Rr
Работа, совершаемая источником тока, при перемещении заряда вдоль
замкнутой цепи,
A  EIt
и, следовательно, мощность, развиваемая источником тока, будет
определяться по формуле
P  EI.
8
Лекция 5. Законы постоянного тока
____________________________________________________________________________
Подставляя значение
выделяющуюся в цепи:
силы
тока,
получим
полную
мощность,
E2
.
4.32
Rr
Во внешней части цепи (в нагрузке) выделяется только часть этой
мощности
E2  R
2
4.33
Pп  I  R 
R  r 2
которую называют полезной мощностью.
Из 4.32 и 4.33 следует, что КПД источника тока
P
R
.
4.33
 п 
P Rr
Из формулы 4.33 следует, что полезная мощность зависит от
сопротивления нагрузки R. Дифференцируя 4.32 по R и приравнивая
производную нулю, можно найти, что полезная мощность максимальна при
R  r . КПД источника тока в этом случае будет равен 0,5.
P