Предмет: «Геометрия», Класс: 9 «Г» Урок №51 Дата проведения: 13.03.15 Учитель Аманова Ж.Т.

Предмет: «Геометрия», Класс: 9 «Г»
Урок №51
Дата проведения: 13.03.15
Учитель Аманова Ж.Т.
Тема урока: «Длина окружности. Число π. Длина дуги окружности».
Цели урока:
 Дать определение о выводе формулы длины окружности, длины дуги окружности
 Расширить представление учащихся о числе π
 Научить учащихся решать задачи на применение формулы длины окружности и её
дуги.
 Воспитание целеустремленности, стремления к получению знаний.
Ход урока
I.Организационный момент
II.Актуализация знаний обучающихся.
1. Математический диктант с последующей самопроверкой. (проводится с целью
повторения и подготовки учащихся к восприятию нового материала.
1) Радиус окружности, описанной около правильного n-угольника вычисляется по
формуле….(R=а/(2sin1800/n)
2) Смотри рис. Угол АОВ называется……(центральный)
А
О
A
B
3) Радиус окружности, вписанной в правильный n-угольник вычисляется по
формуле….(r=а/(2tg1800/n)
4) Сторона правильного треугольника равна 2 см, радиус описанной около него
окружности равен ….(2/√3 см)
5) Сторона правильного четырехугольника равна 5 см, радиус вписанной в него
окружности равен …(2,5 см)
6) Длина окружности вычисляется по формуле…(С=2πR)
III.Кроссворд
1
2
3
4
5
6
7
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Часть окружности(дуга)
Часть плоскости, ограниченная окружностью(круг)
Отрезок, соединяющий две точки окружности(хорда)
Отношение длины окружности к ее диаметру(пи)
Хорда, проходящая через центр окружности(диаметр)
Часть круга(сегмент)
Отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности(радиус)
– Прочтите в выделенном столбце ключевое слово. Слово «Архимед»
IV.Историческая справка.
Сообщение 2-х учащихся и числе π.
Сообщение 1.
Куда бы мы ни обратили свой взор, мы видим проворное и трудолюбивое число π :
оно заключено и в самом простом колесике, и в самой сложной автоматической машине.
Кымпан Ф.
π — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её
диаметра.
«Этому числу удавалось в течении тысячелетий держать в плену мысли и чувства не
только математиков и астрономов, но и философов и художников".
Число π является приближенным π≈22/7, его значение было найдено еще в 3 веке до
нашей эры греческим ученым Архимедом, о чём потом даже сложили стишок для
запоминания:
Двадцать две совы скучали
На больших сухих суках.
Двадцать две совы мечтали
О семи больших мышах.
Существует праздник числа Пи - 22 июля. Он называется "День приближенного числа
Пи". Считается, что праздник придумал в 1987 году физик из Сан-Франциско Ларри Шоу,
обративший внимание на то, дата и время совпадают с первыми разрядами числа π.
В Древней Греции точные науки процвели просто-таки необычайно, а также появилась
архитектура. А где архитектура – там и расчёты. И всем известный Архимед ещё уточнил
значение числа пи, о чём также в стихах сообщил нам замечательный писатель С.Бобров в
своей чудесной книге «Волшебный Двурог»:
Гордый Рим трубил победу
Над твердыней Сиракуз;
Но трудами Архимеда
Много больше я горжусь.
Надо только постараться
И запомнить всё как есть:
Три – четырнадцать – пятнадцать –
Девяносто два и шесть!
Архимед, возможно, первым предложил математический способ вычисления Пи. Для
этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники.
Сообщение 2.
Открытие и этимология понятия
•
Уильям Джонс (1675-1749) ввел символ "π" в 1706 году.
Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια —
окружность, периферия и περίμετρος — периметр.
•
Как считают специалисты, число π было впервые открыто вавилонскими магами.
Оно использовалось при строительстве знаменитой Вавилонской башни, история которой
вошла в Библию. Однако недостаточно точное исчисление ими π привело к краху всего
проекта. Считается также, что число π лежало в основе строительства знаменитого Храма
царя Соломона
С ЧЕГО ВСЕ НАЧИНАЛОСЬ?
•
Открывателями числа π можно считать людей доисторического времени,
которые при плетении корзин заметили, что для того, чтобы получить корзину нужного
диаметра, необходимо брать прутья в 3 раза длиннее его.
•
Найдены таблички из обожженной глины в Месопотамии, на которых зафиксирован
данный факт.
Карл Луис Фердинанд Линдеман доказал, что π – трансцендентное число. Это означает,
что π не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами.
Сколько знаков после запятой у числа π?
Рассмотрите внимательно его первую тысячу знаков, проникнитесь поэзией этих
цифр, ведь за ними стоят тени величайших мыслителей Древнего мира и Средневековья,
Нового и настоящего времени.
π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117
067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930
381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249
141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941
511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183
011 949 129 …
Погоня за знаками числа π.
На протяжении всей истории изучения числа p, вплоть до наших дней, велась
своеобразная погоня за десятичными знаками этого числа.
•
Леонардо Фибоначчи (около 1220г.) - три первых точных знака числа p.
•
Андриан Антонис - 6 точных десятичных знаков (в XVI в.);
•
Цзу Чун-чжи (Китай) – 7 десятичных знаков (V в.н.э.);
•
Франсуа Виет – 9 десятичных знаков;
•
Андриан ван Ромен – 15 десятичных знаков (1593г.);
•
аль-Каши – 17 знаков после запятой (XV в.)
•
Лудольф ван Цейлену – 32 десятичных знаков (1596г.);
•
Авраам Шарп – 72 десятичных знаков
•
Джон Мечин – 100 десятичных знаков (1706 г.)
•
З. Дазе – 200 десятичных знаков (1844г.)
•
Т. Клаузен – 248 десятичных знаков (1847г.)
А знаете ли Вы?
•
Ученые Токийского университета под руководством профессора Ясумаса Канада
сумели поставить мировой рекорд в вычислениях числа Пи до 12411-триллионного знака.
Для этого группе программистов и математиков понадобилась специальная программа,
суперкомпьютер и 400 часов машинного времени.(Книга рекордов Гиннесса).
Зачем они это делают?
1) Для очень точных вычислений какой-нибудь орбиты спутника желательно иметь
этих знаков побольше, а то можно и на Луну не попасть. Также для строительства плотин
и гигантских мостов тоже нужна точность.
2)
Это число имеет собственную научную ценность. В процессе вычислений этих
знаков было открыто множество разных научных методов и наук.
3) В десятичной части числа π нет повторений, а число знаков после запятой у него –
бесконечно. На сегодняшний день проверено, что в 500 млрд. знаков числа π повторений
действительно нет. Есть основания полагать, что их нет вообще. Это архиважно!
V.Изучение нового материала.
Для чего в реальной жизни надо знать, чему равна длина окружности? На этот
вопрос нельзя дать ответ, который охватил бы все области применения. Но для
ознакомления начнем с примитивных часов. Зная радиус движения секундной стрелки,
можно найти расстояние, которое она должна пройти за минуту. После того как станут
известны путь и время, мы сможем найти скорость, с которой она движется. А дальше
углубляться будут только люди, занимающиеся часами. Если велосипедист движется по
круглому треку, то его время прохождения зависит от скорости и радиуса. Вы можете
найти и его ускорение. В стиральных машинах также не обходится без показателя,
который мы почти разобрали. Там длина окружности необходима для подсчета оборотов
(все ведь упирается в расстояние), проделываемых за определенное количество времени.
В более масштабных условиях благодаря длине окружности предсказывается движение
планет по орбитам и так далее.
- Представьте себе, что вам нужно измерить длину проволоки, из которой изготовлен
обруч. Каким образом это можно сделать? (Выпрямить проволоку, из которой изготовлен
обруч, и измерить линейкой ее длину. Обтянуть обруч нитью и измерить ее длину)
- На доске вычерчена окружность. Как измерить длину этой окружности хотя бы
примерно, но как можно точнее? (С помощью нити, вписать многоугольник с большим
числом сторон в данную окружность и найти его периметр).
1. Измерить длину окружности l.
2. Измерить диаметр окружности D.
3. Найти отношение
Сравним отношения, которые у вас получились. Все они равны приближённо одному и
тому же числу. Это число Пи .
Вывод:
Периметр любого правильного вписанного в окружность многоугольника является
приближенным значением длины окружности. Это приближенное значение длины
окружности при увеличении числа сторон многоугольника практически равно периметру
многоугольника. Точное значение длины окружности –это предел, к которому стремиться
периметр правильного вписанного в окружность многоугольника при неограниченном
увеличении числа его сторон.
Вывод формулы длины окружности:
§25 стр.103
Теорема 23. Длина дуги окружности пропорциональна её радиусу, или отношение длины
окружности к её диаметру для любой окружности – одно и то же постоянное число.
Доказательство.
Возьмем две окружности W1 и W2 c радиусами R1 и R2, а их длины равны C1 и C2
соответственно. Впишем в каждую из них правильные n – угольники F1 и F2. Обозначим
их периметры Р1 и Р2.
Докажем выполнение равенства С1 /2 R1 = С2 /2 R2.
Предположим обратное С1 /2 R1 ≠ С2 /2 R2, например С1 /2 R1 < С2 /2 R2. Если увеличивать
число сторон многоугольников F1 и F2, то разность длин окружностей
C1 , C2 и периметров Р1 , Р2 будет бесконечно малой величиной.
Понятие «бесконечно малая величина», можно понять так:
С1- Р1< 0,0001. Поэтому заменим в последнем неравенстве величины C1 и C2 на Р1 и Р2,
неравенство не нарушится P1 /2 R1 < P2 /2 R2.
Периметры Р1 , Р2 выразим через радиусы окружностей R1 , R2.
Известно, что R1 = а1 /(2 sin 1800/n ), R2 = а2 /(2 sin 1800/n ).
Найдем стороны а1 = 2 R1 * sin 1800/n , а2 = 2 R2 * sin 1800/n
Т.к. периметры правильных n угольников, вписанных в окружности, равны
Р1 = na1 , Р2= na1, тогда
Р1 = 2R1 *n* sin 1800/n , P2 = 2R2 * n *sin 1800/n.
Следовательно P1 /2 R1 = P2 /2 R2, что противоречит нашему предположению, что
С1 /2 R1 ≠ С2 /2 R2. Если так, то выполняется равенство С1 /2 R1 = С2 /2 R2.
Теорема доказана.
Вывод формулы длины дуги окружности:
Учебник §27 стр.106
Градусной мерой дуги окружности называют градусную меру центрального угла,
соответствующего этой дуге.
- какую часть окружности составляет дуга в 10? 1/360 часть
- чему равна длина дуги окружности в 10?
длина дуги окружности l0=C/360=2 πR/360= πR/180
- чему равна длина дуги окружности с градусной мерой α?
длина дуги окружности l= πR/180 * α0
Радианной мерой угла называется отношение длины соответствующей дуги к радиусу
окружности.
l/R = π/180 * α0 (1)
При l=R, то центральный угол, соответствующий дуге, длина которой равна радиусу,
будет 1 радиан.
1рад= πR/180 * α0
Отсюда градусная мера угла в один радиан равна
α0= 180 / π =57017’44’’.
VI. Закрепление изученного материала
Группа 1.
№1 Вычислите длину круговой орбиты искусственного спутника Земли, если спутник
вращается на расстоянии 320 км от Земли, а радиус Земли равен 6370 км.
Группа 2.
№2 Автомобиль прошел 989 м. Найдите диаметр колеса автомобиля, если известно, что
оно сделало 500 оборотов.
Группа 3.
№3 Расстояние между серединами зубьев зубчатого колеса, измеренное по дуге
окружности, равно 47,1 мм. Диаметр колеса равен 450 мм. Сколько зубьев имеет? колесо?
Группа 4
№4
Шлифовальный камень, имеющий форму диска, находится в защитном кожухе. Диаметр
камня равен 58 см, дуга незащищенной его части равна 117°. Найдите длину дуги
незащищенной части камня.
Дано:
Задание для всех групп.
№5 Найдите длину маятника стенных часов, если угол его колебания составляет 38°, а
длина дуги, которую описывает конец маятника, равна 24 см.
Дано:
Найти: AO Решение
Работа с учебником.
№312- №314
VII. Подведение итогов урока
Домашнее задание §25 №315, №317.